2024-2025学年北京市海淀区八一学校高三上学期12月月考数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年北京市海淀区八一学校高三上学期12月月考数学试题一、单选题：本大题共10小题，共50分。1.已知集合A=x|x>1，B=x|x<m，且A∪B=R，那么m的值可以是A.−1 B.0 C.1 D.22.下列函数中，定义域为R的奇函数是(

)A.y=x2+1 B.y=tanx 3.已知双曲线x2−y2b2A.x±3y=0 B.3x±y=0 4.已知函数fx=cosx−3A.fx的最小正周期为2π B.fx的图象关于直线x=8π3对称

C.fx+π的一个零点为x=π5.已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为(

)．A.4 B.5 C.6 D.76.已知a与b是非零向量，且a≠±b，则a=b是a+bA.充分不必要条件； B.必要不充分条件；

C.充要条件； D.既不充分也不必要条件．7.已知直线x+y+2=0与圆x2+y2+2x−2y+a=0有公共点，则实数A.−∞,0 B.0,+∞ C.0,2 D.−∞,28.直线l过点(2,0)且与双曲线x2A.1条 B.2条 C.3条 D.4条9.已知点P是抛物线y2=−4x上的动点，设点P到此抛物线的准线的距离为d1，到直线x+y−4=0的距离为d2，则dA.2 B.2 C.52 10.已知圆M:x2+y2−6y=0与圆N:x−cosθ2+y−sinθA.2 B.94 C.2二、填空题：本大题共5小题，共25分。11.已知2a+i=1−i，其中i为虚数单位，a∈R，则a=

．12.设等比数列an的各项均为正数，其前n项和为Sn.若a1=1, a3=4，则an13.已知正方形ABCD的边长为2，以B为圆心的圆与直线AC相切．若点P是圆B上的动点，则DB⋅AP的最大值是

．14.已知a>0, b>0，且双曲线C1:x2a2−y215.给定曲线为曲线Γ:x2−xy+y2=3①−2②点P在圆x2③曲线Γ关于原点对称，也关于直线y=±x对称；④曲线Γ至少经过4个整点(即横、纵坐标均为整数的点)．其中正确命题的序号为

．三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.已知函数fx=2(1)求函数fx(2)若fx+m≤0对x∈0,π17.在▵ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a, b, c，3a(1)求A；(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使▵ABC存在且唯一确定，求BC边上高线的长．条件①：sinC=条件②：b=1+条件③：a=注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个要求的条件分别解答，按第一个解答计分．18.已知函数fx=(1)求曲线y=f(x)在点0,f0(2)是否存在x1,x2∈0,2，使得曲线y=f(x)在点x119.已知函数fx=a(1)设x=2是fx的极值点．求a的值，并讨论f(2)证明：当a≥1e时，f20.已知椭圆C:x2a2(1)求椭圆C的方程;(2)设过点B(0,m)(m>0)的直线l与椭圆C相交于E,F两点，点B关于原点的对称点为D，若点D总在以线段EF为直径的圆内，求m的取值范围．21.设数列：A:a1, a2, L, an, B:(1)若A:1, 1, 1, 0, B:0, 1, 0, 0，写出XA,B(2)若A, B是不同的数列，求证：n×n数表XA,B满足“xij=(3)若数列A与B中的1共有n个，求证：n×n数表XA,B中1的个数不大于n22参考答案1.D

2.D

3.B

4.D

5.A

6.C

7.A

8.C

9.D

10.C

11.1

12.2n−1

；

；

；

；

；6313.8

14.215.①③④

16.解：(Ⅰ)函数f(x)=2sinxcos(x+π3)+32

=2sinx(12cosx−32sinx)+32=sinxcosx−3sin2x+32

=12sin17.解：(1)因为3由正弦定理可得3又C∈(0,π)，则sinC≠0

，

所以3sin又A∈(0,π)，解得A=π(2)若选条件①：sinC=2a，

由正弦定理知2又sinC=若选条件②：b=1+由余弦定理可得，a2=b即得a=2(设BC边上的高为ℎ，

由三角形等面积法可知S△ABC=即2×(1+3)×1故BC边上高线的长为

2+若选条件③：a=2，

由正弦定理可得asin所以sinC=22，

又C∈(0,π)，解得综上，应该选②，

BC边上高线的长为2+

18.解：(Ⅰ)f(x)=ex−2x2的导数为f′(x)=ex−4x，

可得曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线斜率为1，

切点为(0,1)，

所以切线的方程为y=x+1；

(Ⅱ)设g(x)=ex−4x，g′(x)=ex−4，

由g′(x)=0，可得x=ln4，

g(x)在(0,ln4)递减，在(ln4,+∞)递增，

g(0)=1，g(ln4)=4−4ln4≈−1.52，g(2)=e2−8≈−0.6016，

所以x∈(0,2]时，g(x)∈[−1.52,1)，

若切线相互垂直，则存在19.(1)fx的定义域为0,+∞f′x由题设知，f′2=0，所以从而fx当0<x<2时，f’(x)<0；当可得fx在(0,2)上单调递减，在2,+∞fx由易知f1(2)证明：当a≥1e时，设gx=e当0<x<1时，g′x<0；当x>1时，∴x=1是gx故当x>0时，gx因此，当a≥1e

20.解：(1)由题意得4a=42b=c．

因为a2=b2+c2，所以a=2,b=1,c=1，

所以椭圆C的方程为x22+y2=1．

(2)当直线l的斜率不存在时，由题意知l的方程为x=0，

此时E，F为椭圆的上下顶点，且|EF|=2．

因为点D(0,−m)总在以线段EF为直径的圆内，且m>0，

所以0<m<1．

当直线l的斜率存在时，设l的方程为y=kx+m．

由y=kx+mx22+y2=1，得

(2k2+1)x2+4kmx+2m2−2=0．

因为直线l与椭圆C有两个公共点，

即．

设E(x1,y1),F(x2,y2)，

则x1+x2=−4km2k2+1,x1x2=2m2−22k2+1．21.(1)将A:1, 1, 1, 0, B:0, 1, 0, 0代入计算可得XAB(2)证明：充分性：若ak+令A:a1,由于ai从而有xij必要性：若xij由于A, B是不同的数列，(1)设a1=1, b①若x1k=x所以ak②若x1k=x所以ak同理可证a1=0, b(2)设a1=1, b若x1k=x所以有ak=b若x1k=x所以有ak=b同理可证a1=0, b综上，