2024-2025学年安徽省江南十校高二上学期12月联考数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年安徽省江南十校高二上学期12月联考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合M={a|a=(−1,2,1)+λ(1,2,3)，λ∈R}，N={b|bA.{(−2,0,−2)} B.{0,4,4} C.{(0,4,4)} D.⌀2.条件p:m>0，n>0，条件q:方程mx2+ny2=1表示的曲线是椭圆，则pA.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件3.若点P(3,−4)是直线a1x+b1y+2=0和a2x+b2y+2=0A.3x−4y+2=0 B.4x−3y+2=0 C.3x−4y−2=0 D.4x−3y−2=04.六氟化硫，化学式为SF6，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构(正八面体每个面都是正三角形，可以看作是两个棱长均相等的正四棱锥将底面重合的几何体).如图所示，在正八面体P−ABCD−Q中，G是△BCQ的重心，记PA=a，PB=b，PC=cA.−13a+13b+25.已知m=(2,1,1)是直线l的方向向量，直线l经过点P(−1,0,1)，则点Q(2,4,6)到直线l的距离为(

)A.52 B.522 C.6.已知圆C的方程为x2+y2−2y−1=0，P(a,b)为圆C上任意一点，则A.[−1,2] B.(−∞,−1]∪[2,+∞)

C.[1,3] D.(−∞,1]∪[3,+∞)7.焦点为F(1,0)的抛物线y2=2px(p>0)上有一点P(不与原点重合)，它在准线l上的投影为Q。设直线FQ与抛物线交于M，N两点(|FM|<|FN|)，若|MN|=2|MQ|，则△PMN的面积为(

)A.83 B.1633 8.若圆C:x2+y2=a2为双曲线Γ:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的“伴随圆”，过Γ的左焦点FA.32 B.375 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.给出下列命题，其中真命题为(

)A.过点P(3,2)与坐标轴围成三角形的面积为16的直线有且仅有3条

B.已知点A(−2,−1)，B(1,3)，则满足到点A距离为2，到点B距离为3的直线有且仅有3条

C.过点Q(2,3)与抛物线y2=4x仅有1个公共点的直线有3条

D.过双曲线x24−10.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，动点P满足AP=xAB+yADA.当x=0，y=0，z∈[0,1]时，|B1P|+|PD|的最小值为25

B.当x=12，y=1，z=1时，三棱锥P−A1BD的体积为3

C.当x=1，y=1，z∈[0,1]时，经过A1，B，P三点截正方体所得截面面积的取值范围是11.过抛物线Γ:x2=2py上一点M(2,1)作斜率分别为k1，k2的两条直线，与Γ分别交于A，B两点(异于点A.过点M与Γ相切的直线方程为y=x−1

B.若点A，B关于y轴对称，则k1+k2为定值

C.若k1⋅k2=1，则直线AB经过定点(−3,−2)

D.分别以A，B，M为切点作抛物线Γ的三条切线AP，三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.抛物线3x2+5y=0的焦点坐标是

13.蓄有水的圆柱体茶杯，适当倾斜能得到椭圆形水面，当椭圆形水面与圆柱底面所成的二面角为30°时，则水面椭圆的离心率为

．14.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N分别为棱AA1和BB四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知圆C的圆心在直线y=2x上，且经过A(6,2)，B(4,6)两点.过定点D(4,1)的动直线l与圆C交于P，Q两点，O为坐标原点．(1)求圆C的标准方程;(2)求|OP+16.(本小题15分)已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率e=233，左、右焦点分别为F1，F(1)求双曲线C的方程;(2)过右焦点F2且倾斜角为α(π6<α<5π6)的直线交双曲线C于P，Q两点，若PQ的中点为N，O为坐标原点，直线ON交直线17.(本小题15分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥底面ABCD，△PAD是边长为6的正三角形，E，F分别是线段AB和PD上的点，AE=4．

(1)试确定点F的位置，使得AF/​/平面PEC，并证明;(2)若直线CF与平面PAD所成角的正切值为32，求平面ABC与平面AFC夹角的余弦值．18.(本小题17分)

如图，已知椭圆E1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)与椭圆E2:x216+y212=1有相同的离心率，P(1,32)在E(1)求椭圆E1的标准方程(2)求证：|AP|=|BQ|;(3)设直线l1，l2的倾斜角互补，求证：|AP|·|AQ|=|CP|·|CH|19.(本小题17分)

设A和B是空间中的两个不同点，则A，B，C三点共线的充要条件是存在实数t∈R，使得AC=tAB，并且每个实数t唯一对应直线AB上的点C.仿照上面定义，设A，B，C是共线的三个不同点，定义点C关于点A，B的分比为(A,B;C)=AC(1)设(A,B;C)=λ(λ≠−1)，O为空间中任意取定的一点，求证：OC(2)若A，B，C，D是共线的四个不同点，满足(A,B;C)=−(A,B;D)，求(B,C;A)−(B,A;D)的值;(3)如图，设D，E和F分别是△ABC的边AB，BC和CA上的点，若三条直线AE，BF和CD交于一点M，求证：(A,B;D)⋅(B,C;E)⋅(C,A;F)=1．

参考答案1.C

2.B

3.A

4.D

5.B

6.C

7.B

8.C

9.BCD

10.AD

11.ABD

12.(0,−513.1214.[0,115.解：(1)易求A，B中点坐标为T(5,4)，kAB=6−24−6=−2，

故AB中垂线为y−4=12(x−5)，即y=12x+32，

与y=2x联立解得圆心C点坐标为(1,2)，

圆的半径r=(1−6)2+(2−2)2=5，

故圆C:(x−1)2+(y−2)2=25，

(2)设P，Q中点坐标为N，

∵CN⊥PQ，故N点在CD为直径的圆上，

设CD中点M，以16.解：(1)由题意结合双曲线的对称性可知|BF1|=|BF2|=|AB|，得∠AF2F1=90∘，即AF2⊥x轴，

把x=c

代入方程x2a2−y2b2=1，可得|AF2|=|yA|=b2a，

又|AF2|=2|OB|，|OB|=63，即b2a=263，又e=ca=233

解得a2=24，b2=8，∴双曲线C的方程为：x224−y28=1.

(2)设直线PQ的方程为：x=my+22，联立方程x=my+42x224−y28=1，

化简得(m2−3)y2+82my+8=0

设P(x1,y1)，Q(x2,17.解：(1)取F为PD三等分点，且PD=3DF，

过F作FK//CD，则FK=23CD=AE，

所以AEKF为平行四边形，所以AF//EK，

又AF⊄面PEC，EK⊂面PEC，

所以AF/​/平面PEC，证毕;

(2)由题意平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD=ADCD⊥AD，所以CD⊥面PAD，

所以直线CF与平面PAD所成角的平面角为∠CFD，

在Rt△CDF中，由tan∠CFD=CDFD=32，得DF=4．

设AD中点为O，设BC中点为Q，分别以OA，OQ，OP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

则A(3,0,0)，B(3,6,0)C(−3,6,0)，F(−1,0,23)，AF=(−4,0,23)，CF=(2,−6,23)，

设平面AFC的一个法向量为m=(x,y,z)，

由m⋅AF=−4x+23z=0m⋅CF=2x−6y+23z=0,

取18.解：(1)由题意知，ca=1−b2a2=12∴a2=43b2，

又∵P(1,32)在椭圆E1上，∴1a2+94b2=1，

∴b2=3，a2=4，

故椭圆E1:x24+y23=1

(2)若AB斜率不存在或为0，由对称性知：AP=BQ；

若AB斜率存在且不为0，设AB中点为T(x0,y0)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，

则x1216+y1212=1 ①，x2216+y2212=1 ②

 ①− ②得：

(x1−x2)(x1+19.解：(1)∵AC=λCB，

∴OC−OA=λOB−OC，

∴1+λOC=OA+λOB，

∴OC=11+λOA+λ1+λOB;

(2)设(A,B;C)=λ，即ACC