2024-2025学年湖北省新高考联考协作体高二（上）联考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年湖北省新高考联考协作体高二（上）联考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知(1+i)z=1+3i，则复数z的虚部为(

)A.1 B.−1 C.i D.22.一组数据23，11，14，31，16，17，19，27的上四分位数是(

)A.14 B.15 C.23 D.253.我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”现有一类似问题：不确定大小的圆柱形木材，部分埋在墙壁中，其截面如图所示.用锯去锯这木材，若锯口深CD=4−22，锯道AB=42，则图中弧ACB与弦AB围成的弓形的面积为(

)A.4π B.8 C.4π−8 D.8π−84.已知cos(θ+π4)=−1010A.4+3310 B.3+43105.平行六面体ABCD−A1B1C1D1的底面ABCD是边长为2的正方形，且∠A1AD=∠A1AB=60°，A.3

B.10

C.11

6.如图，一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为Ω={1,2,3,4,5,6,7,8}，记事件A=“得到的点数为奇数”，记事件B=“得到的点数不大于4”，记事件C=“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是(

)A.事件B与C互斥 B.P(A∪B)=58

C.P(ABC)=P(A)P(B)P(C) D.A，B，7.若某圆台有内切球(与圆台的上下底面及每条母线均相切的球)，且母线与底面所成角的正弦值为32，则此圆台与其内切球的表面积之比为(

)A.43 B.2 C.136 8.在△ABC中，BC=2，∠BAC=π3，O是△ABC的外心，则OA⋅BCA.2 B.103 C.113 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列说法正确的是(

)A.“a=−1”是“直线a2x−y+1=0与直线x−ay−2=0互相垂直”的充要条件

B.“a=−2”是“直线ax+2y+a2=0与直线x+(a+1)y+1=0互相平行”的充要条件

C.直线xsinα+y+2=0的倾斜角θ的取值范围是[0,π4]∪[3π4,π)

D.若点A(1,0)，10.已知函数f(x)=cosx，g(x)=|sinx|A.函数m(x)=f(x)⋅g(x)在(π2,π)上单调递减

B.函数m(x)=f(x)⋅g(x)的最小正周期为2π

C.函数n(x)=f(x)+g(x)的值域为[−1,2]11.在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为棱AD、ABA.三棱锥E−FGH的外接球的表面积为π

B.过点E，F，H作正方体的截面，则截面面积为334

C.若P为线段B1D1上一动点(包括端点)，则直线PA1与平面A1BD所成角的正弦值的范围为[33,63]

D.若Q为线段CD上一动点(包括端点)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知A(2,1)，B(4,3)两点到直线x−ay+1=0的距离相等，则a=

．13.在空间直角坐标系中已知A(1,2,1)，B(1,0,2)，C(−1,1,4)，CD为三角形ABC边AB上的高，则CD=

．14.对任意两个非零的平面向量a和b，定义：a⊕b=a⋅b|a|2+|b|2,a⊙b=a⋅b|四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ab=(1)求角B;(2)若D是△ABC边AC上的一点，且满足BA⋅BD|BA|=16.(本小题12分)已知△ABC的顶点A(1,1)，边AC上的高BH所在直线的方程为x−y+8=0，边AB上的中线CM所在直线的方程为5x−3y−10=0．(1)求直线AC的方程;(2)求△ABC的面积．17.(本小题12分)

某中学举行了一次“数学文化知识竞赛”，高二年级学生参加了这次竞赛.为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩x作为样本进行统计.将成绩进行整理后，分为五组(50≤x<60,60≤x<70,70≤x<80,80≤x<90,90≤x≤100)，其中第1组的频数的平方为第2组和第4组频数的积.请根据下面尚未完成的频率分布直方图(如图所示)解决下列问题：

(1)若根据这次成绩，年级准备淘汰60%的同学，仅留40%的同学进入下一轮竞赛，请问晋级分数线划为多少合理？

(2)从样本数据在80≤x<90，90≤x<100两个小组内的同学中，用分层抽样的方法抽取6名同学，再从这6名同学中随机选出2人，求选出的两人恰好来自于不同小组的概率．

(3)某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：x1，x2，x3，…，x10，已知这10个分数的平均数x−=90，标准差s=5，若剔除其中的96和18.(本小题12分)

在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分别是AC，AB上的点，满足DE/​/BC，且DE经过△ABC的重心.将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，存在动点M使A1M=λA1D(λ>0)如图所示．

(1)求证：A1C⊥平面BCDE；

(2)当λ=119.(本小题12分)

对于一组向量a1,a2,a3,…,an(n∈N∗,n≥3)，令Sn=a1+a2+a3+…+an，如果存在ap(p∈{1,2,3…,n})，使得|ap|≥|Sn−ap|，那么称ap是该向量组的“H向量”．

(1)设an=(n,x+n)(n∈N∗)，若a3是向量组a参考答案1.A

2.D

3.C

4.A

5.C

6.C

7.C

8.B

9.BCD

10.BC

11.BCD

12.2或1

13.3

14.14

3215.解：(1)∵ab=33sinC+cosC，

∴a=33bsinC+bcosC，

∴sinA=sin(B+C)=33sinBsinC+sinBcosC

⇒sinBcosC+cosBsinC=33sinBsinC+sinBcosC

⇒cosBsinC=33sinBsinC.

又∵C∈(0,π)16.解：(1)由于边AC上的高BH所在直线方程为x−y+8=0，

所以设直线AC的方程为x+y+c=0，

由于点A(1,1)在直线AC上，即1+1+c=0，解得c=−2，

所以直线AC的方程为x+y−2=0．

(2)由于点C既满足直线5x−3y−10=0的方程，又满足x+y−2=0的方程，

所以5x−3y−10=0x+y−2=0，解得x=2y=0，故C(2,0)，

所以AC=(2−1)2+(0−1)2=2．

设B(a,b)，由于点B满足直线x−y+8=0，故a−b+8=0，

设AB的中点坐标为(a+12,b+12)，满足5x−3y−10=0，

所以5×a+12−3×b+12−10=017.解：(1)由第1组的频数的平方为第2组和第4组频数的积可知，0.162=0.8a，解得a=0.032，

又(0.008+0.016+0.032+0.04+b)×10=1，解得b=0.004，

所以a=0.032，b=0.004，

成绩落在[50,70)内的频率为：0.16+0.32=0.48，落在[50,80)内的频率为：0.16+0.32+0.40=0.88，

设第60百分位数为m，则(m−70)0.04=0.6−0.48，解得m=73，

所以晋级分数线划为73分合理；

(2)由图可知，按分层抽样法，两层应分别抽取4人和2人，分别记为a，b，c，d和A，B，

则所有的抽样有：Ω={AB,Aa,Ab,Ac,Ad,Ba,Bb,Bc,Bd,ab,ac,ad,bc,bd,cd}，共15个样本点，

A=“抽到的两位同学来自不同小组”，

则A={Aa,Ab,Ac,Ad,Ba,Bb,Bc,Bd}，共8个样本点，

所以P(A)=815．

(3)因为x−=90，所以x1+x2+...+x10=10×90=900，

所以s2=110(x12+x22+⋯+x102)−902=52，

所以x18.(1)证明：翻折前，由∠C=90°，DE/​/BC，知DE⊥CD，DE⊥AD，

翻折后，DE⊥CD，DE⊥A1D，

因为CD∩A1D=D，CD、A1D⊂平面A1CD，

所以DE⊥平面A1CD，

又A1C⊂平面A1CD，所以DE⊥A1C，

因为A1C⊥CD，CD∩DE=D，CD、DE⊂平面BCDE，

所以A1C⊥平面BCDE．

(2)解：因为DE经过△ABC的重心，且BC=3，AC=6，

所以DE=2，CD=2，AD=4，

由(1)知A1C⊥平面BCDE，

所以A1C⊥CD，A1C⊥BC，

所以A1C=A1D2−CD2=AD2−CD2=23，

以C为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则C(0,0,0)，B(0,3,0)，D(2,0,0)，E(2,2,0)，A1(0,0,23)，

当λ=12时，点M是A1D的中点，所以M(1,0,3)，

所以CB=(0,3,0)，BM=(1,−3,3)，BE=(2,−1,0)，

设平面BCM的法向量为n1=(x1,y1,z1)，则n1⋅BM=x1−3y1+3z1=0n1⋅CB=3y1=0，

令z19.解：(1)由题意可得：|a3|≥|S3−a3|=|a1+a2|，

因为an=(x+n,n)，则a1+a2=(x+1,x)+(x+2,2)=(2x+3,3)，a3=(x+3,3)，

则|a3|2≥|a1+a2|2，即(x+3)2+9≥(2x+3)2+9，

整理得x(3x+6)≤0，

解得