理论力学课件-第4章

第4章空间力系4.1力在空间直角坐标轴上的分解与投影4.2力对点之矩、力对轴之矩及空间力偶矩矢4.3空间力系的简化4.4空间力系的平衡4.5平行力系的中心与物体的重心思考题习题

4.1力在空间直角坐标轴上的分解与投影

4.1.1力在空间直角坐标轴上的分解

在平面内，根据力的平行四边形法则，可将一力沿直角坐标轴分解为两个相互垂直的分力。同样，在空间中，可将一力沿空间坐标轴方向分解为三个相互垂直的分力。具体做法如下：如图4-1(a)所示，设有一空间力F，根据力的平行四边形法则，先将该力分解为两个力：沿z轴方向的分力Fz和Oxy平面内的分力Fxy；然后再将分力Fxy分解为沿x轴的分力Fx和沿y轴的分力Fy。由图可见，各分力大小分别为以原力为对角线的直角六面体的三个棱边。上述分解可表示为

F=Fx+Fy+Fz

(4-1)图4-14.1.2力在空间直角坐标轴上的投影

1.直接投影法

在直角坐标系中，若已知力F与三个坐标轴的夹角分别为α、β、γ，如图4-1(a)所示，则力在三个轴上的投影等于力F的大小与方向余弦的乘积，即

Fx=Fcosα,

Fy=Fcosβ,

Fz=Fcosγ

(4-2)

2.间接投影法

当力F与坐标轴间的夹角不易确定时，可将力F先分解到坐标平面Oxy上，得到分力Fxy，然后再将该分力投影到x、y轴上。如图4-1(b)所示，已知角φ和γ，则力在三个坐标轴上的投影分别为

(4-3)

应该注意：力在轴上的投影是代数量，而力沿轴的分力是矢量。若以Fx、Fy、Fz表示力F沿直角坐标轴x、y、z的正交分量，以i、j、k分别表示沿x、y、z坐标轴方向的单位矢，则F可用解析式表示为

F=Fx+Fy+Fz=Fxi+Fyj+Fzk

(4-4)

若已知力F在三个坐标轴上的投影，则可求得F的大小及方位余弦分别为

(4-5)

例4-1在长方体上作用有三个力,F1=500N,F2=1000N,

F3=1500N，各力的作用点、方向及位置如图4-2所示。求各力在坐标轴上的投影。

解：由于F1及F2与坐标轴间的夹角均已知，可用直接投影法投影。力F3与坐标轴的方位角φ及倾角θ已知，可用二次投影法投影。从图中的几何关系可得图4-2可求得各力在坐标轴上的投影分别为

Fx1=0,

Fy1=0,

Fz1=F1cos180°=-500N

Fx2=-1000sin60°=-866N,

Fy2=1000cos60°=500N,

Fz2=0

Fx3=1500cosθcosφ=805N,

Fy3=-1500cosθsinφ=-1073N,

Fz3=1500sinθ=671N

4.2力对点之矩、力对轴之矩及

空间力偶矩矢

4.2.1力对点之矩

力对点之矩是力使物体绕点转动效应的度量。设有一力F作用于刚体上的A点，使刚体绕固定点O转动(如图4-3所示)，经验表明，这种转动效应不仅与力矩的大小、转向有关，还与力矩作用面(矩心与力作用线构成的平面)的空间方位有关。图4-3这种转动效应可用空间力矩矢MO(F)来表示，其中矢量的模|MO(F)|=Fh=2A△OAB(A△OAB为△OAB的面积)；矢量的方位和力矩作用面的法线方位相同；矢量的指向按右手螺旋法则确定，如图4-3所示。MO(F)可用矩心至力作用点的矢径与该力矢量的叉积表示，即

MO(F)=r×F

(4-6)以矩心为坐标原点，选直角坐标系Oxyz如图4-3所示。力作用点为A(x，y，z)，矢径r的解析式为r=xi+yj+zk,力F的解析式为F=Fxi+Fyj+Fzk，力F对O点之矩MO(F)的解析表达式为(4-7)

MO(F)在三个坐标轴上的投影为

［MO(F)］x=yFz-zFy,

［MO(F)］y=zFx-xFz,

［MO(F)］z=xFy-yFx

(4-8)

由于力矩矢量MO(F)的大小和方向都与矩心O的位置有关，故力矩矢量的始端必须在矩心，不可随意挪动，力矩矢量为定位矢。当力的作用线通过矩心时，力对点之矩为零。

在国际单位制中，力对点之矩的单位为牛顿·米(N·m)。4.2.2力对轴之矩

力对轴之矩是力使物体绕轴转动效应的度量。为了度量力对绕定轴转动刚体的作用效果和求解空间力系的平衡问题，必须掌握力对轴之矩的概念与计算。

现在计算作用在门上的力F对门轴z之矩。如图4-4(a)所示，将力F分解为两个分力Fz和Fxy，其中分力Fz平行于z轴，不能使门绕z轴转动，故它对z轴之矩为零；只有垂直于z轴的分力Fxy对z轴有矩，等于平面问题中力Fxy对O点之矩。一般情况下，可将一空间力F沿平行于z轴及垂直于z轴的平面分解(如图4-4(b)所示)，显然，轴向分力Fz不能使刚体绕轴Oz转动，只有分力Fxy才可能使刚体绕着Oz轴转动。力对轴之矩等于该力在垂直于该轴的平面上的分力对轴与平面的交点之矩，它是力使刚体绕此轴转动效应的度量。力F对z轴之矩记为Mz(F)，即

Mz(F)=MO(Fxy)=±Fxyh

(4-9)图4-4力对轴之矩为代数量，其正负号规定如下：逆着z轴正向看，若力Fxy使物体绕z轴逆时针方向转动，取正号；反之，取负号。或按右手螺旋规则确定其正负号(如图4-4(c)所示)，用右手四指环绕着力使物体转动的方向，拇指指向与z轴正向一致时，力对轴之矩为正；反之，为负。

力对轴之矩为零的情形：(1)当力与轴相交(h=0)时，力对轴之矩为零；(2)力与轴平行(Fxy=0)时，力对轴之矩为零。或者说当力与轴共面时，力对轴之矩为零。力对轴之矩也可用解析式表示出来。如图4-5所示，力的作用点为A(x，y，z)，力F的解析式为F=Fxi+Fyj+Fzk，力对z轴之矩为

Mz(F)=Mz(Fx)+Mz(Fy)+Mz(Fz)=-yFx+xFy+0=xFy-yFx

同理可得力F对x、y轴之矩。三式合写为

Mx(F)=yFz-zFy,

My(F)=zFx-xFz,

Mz(F)=xFy-yFx

(4-10)图4-5比较式(4-8)与式(4-10)，可得

［MO(F)］x=Mx(F),

［MO(F)］y=My(F),

［MO(F)］z=Mz(F)

(4-11)

该式建立了力对点之矩与力对过该点的轴之矩的关系，即力对点之矩在过该点的任意轴上的投影等于力对该轴之矩。由此可得力对点之矩的大小和方向余弦为

(4-12)

例4-2铅垂力F=500N，作用于曲柄上，如图4-6所示，α＝30°。求该力对各坐标轴之矩。

解：根据力对轴之矩的定义，力对各坐标轴之矩分别为

Mx(F)=-F(0.30+0.06)=-180N·m

My(F)=-F×0.36cos30°=-155.9N·m

Mz(F)=0图4-64.2.3空间力偶矩矢

空间力偶对刚体的作用效果，可用力偶矩矢M来度量。在图4-7(a)中，用rB,rA分别表示力偶(F,F′)的两力作用点

A、B的矢径，rBA=rA-rB=-rAB，F=-F′。力偶(F,F′)对空间任意一点O的矩为

MO(F,F′)=MO(F)+MO(F′)

=rA×F′+rB×F=rAB×F

=rBA×F′=M

(4-13)上述结果表明，力偶对空间任意一点的矩矢与矩心无关，所以力偶矩矢是自由矢量，用M表示。M的大小为M=Fh，方位与力偶作用面的法线相同(如图4-7(b)所示)，指向由右手螺旋法则确定(如图4-7(c)所示)。力偶矩的大小、作用面的方位及转向决定了力偶对刚体的转动效应，称为力偶的三要素。空间力偶对刚体的效应完全由力偶矩矢所决定。图4-7空间力偶矩矢是自由矢。因此两个空间力偶无论作用在刚体上的什么位置，也不论力的大小、方向及力偶臂的大小怎样，只要力偶矩矢相等，就彼此等效。这一结论表明：空间力偶可以平移到与其作用面平行的任意平面上，而不改变力偶对刚体的作用效果；可以同时改变力和力偶臂的大小，或将力偶在其作用面内任意移转，只要力偶矩矢不变，其作用效果就不变。力偶矩矢是空间力偶作用效果的唯一度量。

4.3空间力系的简化

4.3.1空间汇交力系的简化

对于空间汇交力系，连续使用力的平行四边形法则，可得其合力。空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用线通过汇交点。

(4-14)

或用解析式表示为

FR=∑Fxi+∑Fyj+∑Fzk(4-15)由此可得合力的大小和方向余弦为

(4-16)4.3.2空间力偶系的简化

任意多个空间分布的力偶可以合成为一合力偶，合力偶矩矢等于各分力偶矩矢的矢量和，即

(4-17)

或用解析式表示为

(4-18)由此可得合力偶矩的大小和方向余弦为

(4-19)4.3.3空间任意力系的简化

1.空间力的平移定理

作用在刚体上任意点A的一个力，可以平移到刚体内任意指定点O，要使原力对刚体的作用效果不变，必须附加一个力偶，附加力偶矩矢等于原力对指定点O的矩,如图4-8所示。图4-8

2.空间任意力系向简化中心的简化

设在刚体上作用一空间任意力系F1,F2,…,Fn，各力作用点的矢径分别为r1,r2,…,rn，选择任意点O为简化中心，建立Oxyz直角坐标系如图4-9(a)所示(为了方便起见，图中只画出三个力)。图4-9根据力的平移定理，现将力系中各力向简化中心O平移，得到一作用于O点的空间汇交力系F1′,F2′,…,Fn′和一个附加的空间力偶系M1,M2,…,Mn，如图4-9(b)所示。其中

Fi′=Fi,Mi=MO(Fi)

(i=1,2,…,n)

再将此汇交力系和附加力偶系分别合成，便可得到作用于简化中心的力矢FR′与力偶矩MO，如图4-9(c)所示。

(4-20)所以，空间任意力系向任意一点简化可得到一力和一力偶。该力作用在简化中心，其大小和方向等于原力系中各力的矢量和，称之为力系的主矢；该力偶矩矢等于原力系中各力对简化中心之矩的矢量和，称之为力系的主矩。

由式(4-15)、(4-20)可知，主矢的解析表达式为

FR′=∑Fxi+∑Fyj+∑Fzk

(4-21)

由式(4-10)、(4-18)和式(4-20)可知，主矩的解析表达式为

MO=∑Mx(Fi)i+∑My(Fi)j+∑Mz(Fi)k

(4-22)由式(4-16)可得主矢的大小为

(4-23)

由式(4-19)可得主矩的大小为

(4-24)

4.4空间力系的平衡

将空间任意力系向简化中心简化，结果得到一主矢FR′

和一主矩MO。空间力系平衡时，力系的主矢和主矩应同时为零，由式(4-23)、(4-24)可得，空间任意力系的平衡方程组为

∑Fx=0,∑Fy=0,∑Fz=0

∑Mx(F)=0,∑My(F)=0,∑Mz(F)=0

(4-25)即刚体在空间任意力系作用下平衡的充要条件是所有各力在三个坐标轴上投影的代数和分别等于零；各力对每一坐标轴之矩的代数和也分别等于零。式(4-25)称为空间任意力系的平衡方程组的一般形式。

一个物体在空间有六种独立运动的可能，它们分别是沿着三个坐标轴方向的移动与绕着三个坐标轴的转动。各力在三个坐标轴上投影的代数和为零，保证了物体沿三个坐标轴不移动；对三个坐标轴取矩的代数和为零，保证了物体绕三个坐标轴不转动。方程组(4-25)保证了物体可在空间处于平衡状态。空间任意力系的平衡方程也有其它形式。但对于一个刚体，最多可以建立六个独立的平衡方程，可用以求解六个未知量。

从空间任意力系的一般平衡方程式(4-25)中可以导出特殊力系的平衡方程，例如空间汇交力系、空间平行力系和平面任意力系等的平衡方程。4.4.1空间汇交力系的平衡方程

各力作用线不在同一平面内，但汇交于一点的力系称为

空间汇交力系，如图4-10所示。取力系的汇交点O为坐标原点建立Oxyz直角坐标系，在此情形下，不论力系是否平衡，力系中各力对于坐标轴x、y、z之矩均恒为零。所以，空间汇交力系的独立平衡方程只有三个，即

∑Fx=0

∑Fy=0

(4-26)

∑Fz=0图4-104.4.2空间平行力系的平衡方程

各力作用线不在同一平面内，但互相平行的力系称为空间平行力系，如图4-11所示。取坐标轴z与各力平行，在此情形下，不论力系是否平衡，力系中各力对于坐标轴z之矩均为零，同时各力在x轴及y轴上的投影也均为零，所以空间平行力系的独立平衡方程只有三个，即

∑Fz=0

∑Mx(F)=0

(4-27)

∑My(F)=0图4-114.4.3平面任意力系的平衡方程

取力系的作用面为xy坐标面，在此情形下，不论力系是否平衡，力系中各力在z轴上的投影均为零，同时各力对x轴和y轴之矩也均为零，所以平面任意力系的独立平衡方程只有三个，即

∑Fx=0

∑Fy=0 (4-28)

∑Mz(F)=0

此方程与上一章所得到的平面任意力系平衡方程的一般形式完全一致。求解空间力系的平衡问题，其步骤与求解平面力系一样：首先选取研究对象，进行受力分析，画受力图；其次建立适当的坐标系，列平衡方程，解出未知量。应当指出，在实际应用平衡方程解题时，可以分别选取适宜的轴线作为投影轴或力矩轴，使每一平衡方程包含的未知量最少，以简化计算。另外，为方便计算，也可以在六个平衡方程中列出三个以上的力矩式方程来代替部分或全部投影式方程。但与平面任意力系一样，对投影轴和力矩轴都有一定的限制条件。

例4-3重为W的重物用杆AB和位于同一水平面内的绳索AC、AD支撑，如图4-12(a)所示。已知W=1000N，CE=ED=

12cm，EA=24cm，β=45°。不计杆重，求绳索的拉力和杆AB所受的力。

解：取杆AB和重物为研究对象。其上受有主动力W，A处受绳索的拉力FAD、FAC，铰链B对杆的约束力为FAB。因为不计杆重，AB为二力杆，所以FAB必沿杆AB的轴线，假设AB杆受压。这些力组成一空间汇交力系。建立直角坐标系Axyz，如图4-12(b)所示。图4-12列平衡方程如下：

∑F=0,FABcosβ-W=0

∑Fx=0,FACsinα-FADsinα=0

∑Fy=0,-FACcosα-FADcosα+FABsinβ=0其中，

将已知数值代入后解得

FAB=1414N，FAC＝FAD＝559N

FAB为正值，说明图中假设的FAB指向与实际指向相同，即杆AB受压力作用。

例4-4半圆板的半径为r，重为W，如图4-13所示。已知板的重心C离圆心的距离为4r/(3π)，在A、B、D三点用三根铅垂绳子悬挂于天花板上，使板处于水平位置，求三根绳子的拉力？

解：取半圆板为研究对象，三根绳子均承受拉力，作用在板上的力分别为F1、F2、F3,铅垂向上，此外板还受到铅垂向下的重力W作用。所以，作用在板上的力系为空间平行力系。建立如图4-13所示的Axyz坐标系。图4-13列平衡方程如下：

∑Fz=0，F1+F2+F3-W=0

∑Mx(F)=0，-Wr+2F2r+F3(r+rsin30°)=0

∑My(F)=0，W

-F3rcos30°=0

解此方程组可得

F1=0.38W，F2=0.13W，F3=0.49W

即三根绳子承受的拉力分别为0.38W，0.13W，0.49W。

例4-5均质矩形板ABCD重W=800N，重心在G点，矩

形板用球形铰链A和圆柱形铰链B固定在墙上，并用绳子CE系住，静止在水平位置。已知∠ECA=∠BAC=θ=30°，如图

4-14所示。求绳子的拉力和铰链A及B的约束反力。

解：研究矩形板ABCD。球铰链A处有三个约束反力FAx、FAy、FAz，柱铰链B处有两个约束反力FBx、FBz，矩形板ABCD的受力如图4-14(b)所示，属于空间任意力系。图4-14设AB长为a，BC长为b。将力F分解为F1和F2，如图4-14

(b)所示。其中F1与z轴平行，F2位于Axy平面内。由合力矩定理可知，力F对某轴之矩等于F1和F2对同轴之矩的代数和。列出平衡方程如下：其中,F1=Fsin30°,F2=Fcos30°,代入上面的方程组可解得

F=800N,

FAx=346N,

FAy=600N

FAz=400N,

FBx=0,

FBz=0

注意：有时写力矩平衡方程比力的投影方程方便，力矩轴也不一定要相互垂直。例如在本例中可取AE为力矩轴，由力矩平衡方程∑MAE(F)=0，可直接求得FBz=0。

例4-6图4-15所示的均质长方板由六根直杆支撑于水平位置，直杆的两端各用球铰链与板和地面联接。板重为W，在A点处沿AB方向作用一水平力F，且F=2W。求各杆的内力。图4-15

解：取长方体钢板为研究对象。各杆均为二力杆，假定各杆均受拉力作用，板的受力如图4-15所示，为一空间任意力系。列平衡方程如下：

∑MAE(F)=0,

F5=0 (4-29)

∑MBF(F)=0,

F1=0 (4-30)

∑MAC(F)=0,

F4=0 (4-31)

∑MAB(F)=0,

W

+F6a=0 (4-32)解得

由

(4-33)

解得由

(4-34)

解得

F2=1.5W

在所得结论中，正号表示杆件受拉，负号表示杆件受压。

本例中用六个矩式方程求得六个杆的内力。一般来讲，矩式方程的应用比较灵活，常可使一个方程中只含一个未知量。当然也可用其它形式的平衡方程组求解本例。

4.5平行力系的中心与物体的重心

4.5.1平行力系的中心

空间分布的平行力系是一种常见力系，如流体对固定平面的压力，物体所受的重力等。平行力系中心是平行力系合力的作用线始终通过的一个确定点。例如，两同向平行力F1、F2分别作用在刚体上的A、B两点，如图4-16所示。利用力系的简化理论，可求得它们的合力FR，其大小为FR=F1+F2，其作用线内分AB连线于C点，对点C应用合力矩定理有

MC(FR)=MC(F1)+MC(F2)=0

可得

显然，C点的位置与两力F1、F2在空间的指向无关。

如将F1、F2按同方向转过相同的角度α，则合力FR亦转过相同的角度α，且仍通过C点，如图4-16所示。图4-16上述结论可推广到任意多个力组成的平行力系，即将力系中各力依次逐个合成，最终可求得力系的合力FR=∑Fi，合力的作用点即为该平行力系的中心，且此点的位置仅与各平行力的大小和作用点的位置有关，而与各平行力的方向无关。现根据合力矩定理确定平行力系中心的位置。取一直角坐标系Oxyz,如图4-17所示，设有一空间平行力系F1,F2,…,Fn平行于z轴，各力作用点为Ai(xi,yi,zi)(i=1,2,…，n)，而平行力系的合力为FR，其作用点为C(xC，yC，zC)。根据合力矩定理有

Mx(FR)=∑Mx(Fi),

可得FRyC=∑Fiyi

My(FR)=∑My(Fi),可得FRxC=∑Fixi图4-17再按照平行力系的性质，将各力按相同的转向转到与y

轴平行的位置(图4-17中的虚线位置)，由Mx(FR)=∑Mx(Fi)有

FRzC=∑Fizi，于是可得平行力系中心C的坐标公式为

(4-35)4.5.2物体重心的概念

物体的重心实质上是平行力系中心的特例。地球表面附近的物体，每一部分都受到地心的引力作用，由于地球半径比物体尺寸大得多，因此，物体各部分受到的引力组成了一个近似平行力系，此力系的合力即为物体所受的重力，重力的作用点称为物体的重心。显然，无论物体如何放置，其重心总是相对确定的点。物体的重心是一个重要概念。凡是转动机械，如离心机的转鼓，特别是高速离心机，设计时应使转轴通过转鼓的重心，这实际上是很难做到的，若有偏心，也应该将偏心严格控制在一定的范围内，否则，将引起强烈振动。重心的位置可由平行力系中心的坐标公式来确定。设物体各微小部分的重量为ΔWi(i=1，2，…，n)，物体整体的重量为W，其大小为W=∑ΔWi，则物体重心的坐标公式为

(4-36)对于均质物体，其密度为常数γ，物体的重量与体积成正比，ΔWi=γΔVi，W=γV,代入式(4-36)有

(4-37)

式中,V为物体的体积，显然均质物体的重心就是几何中心，即形心。对于均质等厚薄壳，厚度为t，则物体的体积与其面积成正比，Vi=ΔAit，V=At，其形心坐标公式可写为

(4-38)对于均质等截面线状物体，单位长度体积为λ，物体的体积与其线长度成比例，Vi=ΔLiλ，V=Lλ，其形心坐标公式可写为

(4-39)在地球表面附近，重心的位置与质心的位置重合，仿照重心的计算公式，质心坐标可写为

(4-40)式(4-40)可用矢量形式表示为

(4-41)

其中,rC为质点系的质心矢径，M=∑mi为整个质点系的质量，

mi为第i个质点的质量，ri为第i个质点的矢径。4.5.3确定重心位置的方法

1.对称性判别法

凡是具有对称面、对称轴或对称点的均质物体，其重心必在对称面、对称轴或对称点上。如均质圆球体的中心是对称点，它也是圆球体的重心；等腰三角形垂直于底边的中线是对称轴，其重心必在该中线上。对于一些简单形状均质体的重心，可由公式(4-36)~(4-39)直接积分得到，表4-1列出了常见的几种简单形状物体的重心。对于工程中常见的型钢(如工字钢、角钢、槽钢等)，可在型钢表中查出相应的截面形心位置。

2.分割组合法

把一个复杂形状的物体假想地分割成几个形状简单的部分，使每部分的重心位置都容易确定。把每部分的重力加在它自身的重心上，就可把问题归结为求有限个平行力的中心的问题，按照式(4-40)即可确定其重心的坐标。

例4-7角钢截面近似尺寸如图4-18所示。试求其形心的位置。

解：建立图示Oxy坐标系，角钢截面可分割成两个矩形，如图中虚线所示，两矩形的面积分别为

A1=(200-20)×20=3600,

A2=150×20=3000

形心的坐标分别为

图4-18代入式(4-38)，可得角钢截面形心的坐标为

例4-8求图4-19所示振动沉桩器偏心块的重心。已知：

R=100mm，r=17mm，b=13mm。

解：将偏心块看成由半径为R的大半圆A1，半径为r+b的

半圆A2和半径为r的小圆A3三部分组成。因为A3是切去的部分，所以面积应取负值。图4-19建立Oxy坐标系，如图4-19所示，y轴为对称轴，所以xC=0。设y1、y2、y3分别是面积A1、A2、A3的重心坐标，查表4-1得

则偏心块的重心坐标为

这种确定重心的方法也称为负面积法。

3.实验法

如果物体的形状不规则或质量分布不均匀，为了避免繁杂的数学运算，可采用实验法确定其重心。工程中常用的实验法有悬挂法和称重法。

1)悬挂法

悬挂法用于确定小型轻便物体(如薄板)的重心。如图

4-20所示，将薄板分别悬挂于A点和B点两次，根据二力平衡原理，薄板静止后，其重心必在过悬挂点的铅直线上。在薄板上画出每次过悬挂点的铅直线，它们的交点C即为物体的重心。图4-20

2)称重法

称重法用于确定大型空间物体(如汽车、轮船、飞机等)的重心。如图4-21所示，已知汽车的重量为W，前后轮距为l，车轮半径为r。设汽车是左右对称的，则重心必在对称面上，只需测定重心C距后轮的距离xC及距地面的高度zC即可。图4-21欲测定xC，可将前、后轮分别放在磅秤和地面上，使车身保持水平，如图4-21(a)所示，测得磅秤上的读数为F1。因车身平衡，所以

(4-42)

欲测定zC，需将后轮抬高到任意高度H，如图4-21(b)所示。测得磅秤上的读数为F2。同理可得

(4-43)由图中几何关系可知：

(4-44)

其中,h为重心与后轮中心的高度差，h=zC-r。

将式(4-42)、(4-43)代入式(4-44)，可得

则思考题

4-1若已知力F与x轴的夹角为α，与y轴的夹角为β，以及力F的大小，能否计算出力在z轴上的投影Fz?

4-2将物体沿过重心的平面切开，两边是否一样重？

4-3物体位置改变时重心是否改变？如果物体发生了变形，重心的位置变不变？

4-4一均质等截面直杆的重心在哪里？若把它弯成半圆形，其重心的位置是否改变？

4-5传动轴用两个止推轴承支持，每个轴承有三个未知力，共六个未知量。而空间任意力系的平衡方程恰好为六个，问此问题是否为静定问题？习题

4-1立方块上作用的各力如题4-1图所示。各力的大小为：F1=50N，F2=100N，F3=70N。试分别计算这三个力在x、y、z轴上的投影及其对三个坐标轴之矩。题4-1图

4-2长方形板ABCD的宽度为a，长度为b，重为W，在

A、B、C三角用三个铰链杆悬挂于固定点，使板保持在水平位置，如题4-2图所示。求此三杆的内力。题4-2图

4-3题4-3图中力F=1000N，求力F对z轴之矩Mz(F)。题4-3图

4-4题4-4图所示起重机构中,已知：AB=BC=AD=AE,点A、B、C、D和E处均为球铰链联接，如三角形ABC在xy平面的投影为AF线，AF与y轴夹角为θ。求铅直支柱和各斜杆的内力。题4-4图

4-5如题4-5图所示，三杆AO、BO和CO在O点用球形铰链联接，且在A、B、C处用球形铰链固定在墙壁上。杆AO、BO位于水平面内，且三角形AOB为等边三角形，D为AB的中点。杆CO位于COD所在的平面内，且此平面与三角形AOB所在的平面垂直，杆CO与墙成30°角，在O点悬挂重为W的重

物，试求三杆所受的力。题4-5图

4-6如题4-6图所示，重为W的重物，由三杆AO、BO和CO所支撑。杆BO和CO位于水平面内，已知OC=a，AC