《自动控制原理及其应用》 课件 第5章频域分析

第5章频域分析z2目录Contents5.1、基本概念5.2、奈奎斯特图与伯德图5.3、奈奎斯特判据4、频域设计指标5.5用MATLAB进行系统频域分析31频域特性基本概念主要知识点频域特性相关基本概念；频域特性与时域特性以及传递函数的关系；频域特性基本定义定义：系统对正弦输入信号的稳态响应称为系统的频域响应。2024/12/19频域特性函数

：代表了幅度的变化，Φ：表示相位的变化。用实验法，我们可以改变输入信号的频率，依次测量输出信号的幅度和相位差。这样，逐点建立G（jω）函数。2024/12/19频域特性函数可以测量系统的单位脉冲响应g（t），然后对g（t）作傅里叶变换，得到G（jω）。2024/12/19频域特性函数极坐标形式：直角坐标形式：2024/12/1982奈奎斯特图与伯德图主要知识点1、奈奎斯特图定义及绘制；2、典型函数的奈奎斯特图；3、伯德图的定义与绘制；4、典型函数的伯德图；5、一般函数的伯德图绘制；9Nyquist图定义及绘制Naquist图定义；特点；绘制；奈奎斯特图定义：直角坐标系中，绘制系统频率特性曲线。奈奎斯特图的横坐标为G（jω）的实部Re（ω），纵坐标为G（jω）的虚部Im（ω），以此绘制响应曲线，把ω（-ꝏ->+ꝏ）的所有点都描绘出来。由于（-ꝏ->0）和（0->+ꝏ）的曲线是关于X轴对称的。2024/12/19奈奎斯特图2024/12/19典型环节奈奎斯特图2024/12/19典型环节奈奎斯特图2024/12/19典型环节奈奎斯特图2024/12/19典型环节奈奎斯特图2024/12/19延迟环节对奈奎斯特图的影响2024/12/19系统型别对奈奎斯特图的影响2024/12/1918Bode图定义及绘制Bode图定义；特点；绘制；伯德图定义幅频特性图：A（ω）；和相频特性图：Φ（ω）其中幅频特性图做了对数处理：；图的纵坐标为L（ω），横坐标对对变量ω做对数处理：为lg（ω）相频特性图：纵坐标为Φ（ω），横坐标同幅频特性图一样为lg（ω），这样便于两个图对照使用2024/12/19伯德图定义横坐标对ω作了对数处理。坐标按lgω作等分刻度，但为使用方便，标度任然使用原来的频率值ω。此时，ω就变为10倍频等分了2024/12/19典型环节伯德图2024/12/19典型环节伯德图2024/12/19典型环节伯德图2024/12/19典型环节伯德图2024/12/19二阶震荡环节-幅频特性二阶震荡环节-相频特性伯德图的近似误差（二阶）典型环节伯德图延迟环节：2024/12/19伯德图的绘制如下系统：L（ω）作了对数处理：L（ω）=20lgA1（ω）+20lgA2（ω）+20lgA3（ω）Φ（ω）=Φ1（ω）+Φ2（ω）+Φ3（ω）伯德图绘制时，可以先计算出每个串联环节的伯德图，再相加即可2024/12/19伯德图的绘制实际绘制时，幅频特性图，先看一看系统的型别及增益(K/SV)，确定其低频部分；然后，每遇到一个一阶极点，系统折线斜率减少20dB；每遇到一个一阶零点，系统折线斜率增加20dB；每遇到一个二阶极点，系统斜率较少40dB（震荡环节按折线近似）；每遇到一个二阶零点，系统折线增加40dB；注意：伯德图的幅频特性图中，纵坐标为10lgA（ω），横坐标为lgω。斜率-20dB是指横坐标lgω增加1：例如ω由1到10，纵坐标减少20。2024/12/19伯德图的绘制对数处理的作用：幅频特性作对数处理，把各串联环节的乘法运算转换成了加法运算，便于手工计算；横坐标用作对数处理，则各个典型环节的幅频特性近似图为直线或折线，这样也非常便于手工绘制；2024/12/19伯德图的绘制2024/12/19伯德图的绘制2024/12/193103奈奎斯特判据主要知识点1、奈奎斯特判据定义及证明；2、奈奎斯特判据对应的伯德图形式；基本内容研究系统闭环传递函数和开环传递函数之间的关系，得出了利用开环传递函数特性判断系统闭环稳定性的方法；目的：避免了高阶方程的计算求根；2024/12/19基本内容奈奎斯特判据：Z=N+P；Z：系统闭环传递函数在右半平面的极点个数；（若为0，则系统稳定）N：系统开环传递函数的奈奎斯特曲线顺时针包围-1+j0点的次数；P：系统开环传递函数在右半平面的极点个数；2024/12/19基本推导过程2024/12/19通过已知的pi和qj推导出零点zj分布情况基本推导过程辐角原理：2024/12/19sF(s)GG＊基本推导过程对于：有：2024/12/19δ∠（s-Zi）=-2π，其余辐角变化项，由于未环绕，均为0基本推导过程我们任意选择一条闭合曲线Cs，考察其对应的F（s）曲线顺时针绕原点的圈数N，就可知道该闭合曲线内包含的F（s）的零点和极点个数差。N=Z-P（Z为零点个数，P为极点个数）；我们想了解F（s）在右边平面零点极点个数之差，只需让闭合曲线Cs包围整个右半平面即可，该闭合曲线称为-奈奎斯特轨线；2024/12/19奈奎斯特判据使用方法我们一般只计算ω：（0->+ꝏ）的曲线绕（-1，0）的圈数为N，由于ω：（-ꝏ->0）曲线与此对称，所以ω：（-ꝏ->+ꝏ）曲线绕（-1，0）的圈数为2N。有：Z=P-2N；这里N是按逆时针方向计算圈数；2024/12/19正穿越半次正穿越奈奎斯特判据使用方法在伯德图中的使用：2024/12/19奈奎斯特判据使用方法传递函数包含原点的奈奎斯特轨线处理方法及其对应的奈奎斯特图2024/12/19奈奎斯特判据使用方法对应的伯德图处理方法：2024/12/19奈奎斯特判据特点1、与时域判据相比，避免了高阶微分方程的求解，方便、快捷；2、与劳斯-霍尔维茨判据相比，无需获得精确的系统传递函数，利用实测响应特性图就能判断；3、便于研究系统参数及结构变化对稳定性的影响；因而，在工程上应用十分广泛；2024/12/19案例分析讨论延迟项τ对系统稳定性的影响：稳定吗？2024/12/194404频域设计指标主要知识点1、相位裕度与幅值裕度的定义；2、开环频率指标3、基本案例介绍；频域稳定裕度时域分析中，我们用超调量来描述相对稳定性，在频域，我们用奈奎斯特曲线靠近临界点（-1，0）的程度来描述相对稳定性。通常用相位裕度γ和幅度裕度Kg来表示。一般而言，相位裕度和幅值裕度指标只适用于最小相位系统（可含滞后环节）。2024/12/19最小相位系统定义：系统的零点极点均在S平面左半平面；仅从幅频特性图或相频特性图就能确定系统特性；最小相位系统在具有相同幅频特性的情况下，其相角范围最小；2024/12/192024/12/19频域稳定裕度2024/12/19频域稳定裕度相位裕度：系统截止频率为ωc，A（ωc）=1，L（ωc）=0dB时；γ=180°+Φ（ωc）；相位裕度的物理意义：若稳定系统开环相位再延迟γ，系统将进入临界稳定状态；2024/12/19频域稳定裕度伯德图中的相位裕度和幅度裕度：2024/12/19频域稳定裕度相位裕度和幅度裕度的大小还能反应系统的相对稳定性；适当的裕度还能防止系统参数变化造成的不利影响，保证系统的稳定性；工程上：一般要求系统的相位裕度γ=30°~60°；幅度裕度h>6~10dB2024/12/19频域稳定裕度的重要性1、系统模型参数不准确；2、系统参数时变；3、系统非线性因素的影响；保持足够的设计裕度可以使我们的系统具备较高的可靠性和环境适应性--鲁棒性：

Robust2024/12/19频域指标和时域指标的关系二阶系统：ts=7/（tgγ·ωc）2024/12/19频域指标和时域指标的关系2024/12/19高阶系统：闭环谐振峰值：一般Mr=1.1~1.4对应ξ=0.4~0.7；超调量σ=0.16+0.4（Mr+1）；1<Mr<1.8；调节时间ts=Kπ/ωc；K=2+1.5（Mr-1）+2.5（Mr-1）2；1<Mr<1.8；系统开环频率特性2024/12/19系统闭环频率指标闭环传递函数Φ（jω）=G（jω）/（1+G（jω））=M（ω）·ejϕ（ω）；2024/12/19系统闭环频率指标2024/12/19系统闭环频率指标零频值：M（0），若M（0）=1为无静差系统；若M（0）=K/（1+K）<1，则为有静差系统；给定精度复现带宽ωM：给定误差要求Δ，在ω<ωM范围内，有；带宽频率ωb：M（ωb）=0.707M（0）；（-3dB）

为系统频宽；谐振峰值Mr和峰值频率ωr：Mr表征系统的相对稳定性，M越大，相对稳定性越差；2024/12/19案例分析直流电机调压调速：电机模型：

R为电机线圈电阻，L为电机线圈电感，Ke为感应电压系数，ω为电机转速；运动公式：Te为电机转矩=KT*I，TL为系统阻力转矩，JL为系统负载总的等效惯量；2024/12/19案例分析2024/12/19案例分析2024/12/19案例分析2024/12/19案例分析开环：Kp=1时，幅值穿越频率ωc=2.23，对应的ϕ（ωc）=-155.8°，相位裕度γ=24.2°；2024/12/19案例分析调整后：相位裕度γ≥40°时，Kp≤0.46，对应的系统开环增益K=4.62024/12/1965主要知识点总结：三奈奎斯特判据的定义及证明一频域特性基本概念及其与传递函数的关系二奈奎斯特图伯德图的相关定义；伯德图的绘制四频域设计指标；相关实例分析；总结2024/12/19频域分析法避免了时域法中繁琐的数学计算，无需系统精确建模，对有些环节，例如延迟环节，时域代数法分析有一定困难，但是，利用频域分析法却十分的简洁、清晰。

频域分析法在工程中应用十分广泛！5.5用MATLAB进行系统频域分析MATLAB包含了进行控制系统分析与设计所必需的工具箱函数。下面简单介绍bode（伯德）函数和nyquist（奈奎斯特）函数的用法。1．bode功能：求连续系统的伯德频率响应，即绘制伯德图。格式：[mag,phase,w]=bode(a,b,c,d)[mag,phase,w]=bode(a,b,c,d,iu)[mag,phase,w]=bode(a,b,c,d,iu,w)[mag,phase,w]=bode(num,den)[mag,phase,w]=bode(num,den,w)说明：（1）bode函数可计算出连续时间系统的幅频和相频响应曲线（即伯德图）。当缺省输出变量时，bode函数可在当前图形窗口中直接绘制出连续时间系统的伯德图。（2）bode(a,b,c,d)可绘制出系统的一组伯德图，它们是针对多输入－多输出连续系统的每个输入的伯德图。其中，频率范围由函数自动选取，而且在响应快速变化的位置会自动采用更多的取样点。（3）bode(a,b,c,d,iu)可得到从系统第iu个输入到所有输出的伯德图。（4）bode(num,den)可绘制出以连续时间多项式传递函数

表示的系统伯德图。（5）bode(a,b,c,d,iu,w)或bode(num,den,w)，可以利用指定的频率矢量绘制出系统的伯德图。（6）当带输出变量引用函数时，可得到系统伯德图相应的幅度、相位及频率点矢量，其相互关系为

，

，

。相位以度为单位，幅度可转换成以dB为单位，即

。例5-14有一二阶系统，其自然频率

，阻尼因子

，试绘制系统的幅频和相频曲线。解

可输入以下MATLAB程序[a,b,c,d]=ord2(1,0.2);bode(a,b,c,d);grid执行后，可得到伯德图如右图所示。连续系统的伯德图说明：ord2是二阶系统生成函数，格式为[a,b,c,d]=ord2(wn,z)，表示生成固有频率为wn，阻尼系数为z的连续二阶的状态空间模型系统。例5-15已知典型二阶系统试绘制

取不同值时系统的伯德图。解

取

，

为[0.1:0.1:1.0]时，二阶系统的伯德图可直接采用bode函数得到。输入以下MATLAB程序wn=6;kosi=[0.1:0.1:1.0];w=logspace(-1,1,100);figure(1)num=[wn*wn];forkos=kosiden=[1,2*kos*wn,wn*wn];[mag,pha,w1]=bode(num,den,w);subplot(2,1,1);holdon;semilogx(w1,pha);endsubplot(2,1,1);gridon;title('BodePlot');xlabel('Frequency(rad/sec)');ylabel('Gain(dB)');subplot(2,1,2);gridon;xlabel('Frequency(rad/sec)');ylabel('Phase(deg)');holdoff执行上述程序后，可得到如右图所示的伯德图。典型二阶系统的伯德图说明：命令函数logspace(-1,1,100)用于产生由

到

对数分度的100值的矢量；命令函数semilogx则用于绘制横坐标是对数分度、纵坐标是线性分度的半对数坐标曲线。从135页图中可以看出，当

时，相角

也趋于0；当

时，

；当

时，

。当

时，频率响应的幅度最大。例5-16有一系统

，试绘制该系统的伯德图。解

输入以下MATLAB程序k=100;z=[-4];p=[0,-0.5,-50,-50];[num,den]=zp2tf(z,p,k);bode(num,den);title('BodePlot');grid执行后得如右图所示的伯德图。系统伯德图2．nyquist功能：求连续系统的奈奎斯特频率曲线，即绘制奈氏图。格式：[re,im,w]=nyquist(a,b,c,d)[re,im,w]=nyquist(a,b,c,d,iu)[re,im,w]=nyquist(a,b,c,d,iu,w)[re,im,w]=nyquist(num,den)[re,im,w]=nyquist(num,den,w)说明：（1）nyquist函数可计算连续时间系统的奈氏频率曲线，当不带输出变量引用函数时，nyquist函数会在当前图形窗口中直接绘制出奈氏曲线。（2）nyquist(a,b,c,d)可得到一组奈氏曲线，每条曲线相应于多输入－多输出连续系统的输入－输出组合对，其频率范围由函数自动选取，而且在响应快速变化的位置自动选取更多的取样点。（3）nyquist(a,b,c,d,iu)可得到从第iu个输入到系统所有输出的奈氏曲线。（4）nyquist(num,den)可得到连续多项式传递函数

表示的系统奈氏曲线。（5）nyquist(a,b,c,d,iu,w)或nyquist(num,den,w)可利用指定的频率向量w来绘制系统的奈氏曲线。（6）当带输出变量引用函数时，可得到系统奈氏曲线的数据，而不直接绘制出系统的奈氏曲线。例5-17有一二阶系统

试绘制该系统的奈氏曲线。解

输入以下MATLAB程序num=[2,5,1];den=[1,2,3];nyquist(num,den);title('NyquistPlot')执行后得到如右图所示的奈氏曲线。由于曲线没有包围

点，且

，所以由单位负反馈

构成的闭环系统稳定。连续系统的奈氏曲线例5-18已知开环系统试绘制系统的奈氏曲线，判断闭环系统的稳定性，并绘制闭环系统的单位脉冲响应。解

根据开环系统的传递函数，利用nyquist函数绘出系统的奈氏曲线，并根据奈氏判据判别闭环系统的稳定性，最后利用cloop函数构成闭环系统，并用impulse函数求出脉冲响应，以