新教材2025届高考数学二轮专项分层特训卷二命题点加强练命题点30基本初等函数小题突破

命题点30基本初等函数一、单项选择题1.[2024·北京卷]下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是()A．f(x)＝－lnxB．f(x)＝eq\f(1,2x)C．f(x)＝－eq\f(1,x)D．f(x)＝3|x－1|2．[2024·河北张家口一模]下列函数是奇函数，且函数值恒小于1的是()A．f(x)＝eq\f(2x－1,2x＋1)B．f(x)＝－x2＋xC．f(x)＝|sinx|D．f(x)＝xeq\s\up6(\f(1,3))＋x－eq\f(1,3)3.[2024·新课标Ⅱ卷]若f(x)＝(x＋a)lneq\f(2x－1,2x＋1)为偶函数，则a＝()A．－1B．0C．eq\f(1,2)D．14.[2024·天津卷]函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能为()A．f(x)＝eq\f(5（ex－e－x）,x2＋2)B．f(x)＝eq\f(5sinx,x2＋1)C．f(x)＝eq\f(5（ex＋e－x）,x2＋2)D．f(x)＝eq\f(5cosx,x2＋1)5．[2024·辽宁丹东模拟]设函数f(x)满意f(x＋1)＋f(x)＝0，当0≤x<1时，f(x)＝21－x，则f(log0.58)＝()A．－2B．－eq\f(1,2)C．eq\f(1,2)D．26．[2024·新高考Ⅱ卷]已知a＝log52，b＝log83，c＝eq\f(1,2)，则下列推断正确的是()A．c<b<aB．b<a<cC．a<c<bD．a<b<c7．[2024·新高考Ⅱ卷]已知函数f(x)的定义域为R，f(x＋2)为偶函数，f(2x＋1)为奇函数，则()A．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝0B．f(－1)＝0C．f(2)＝0D．f(4)＝08．[2024·新高考Ⅱ卷]已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，f(1)＝1，则eq\i\su(k＝1,22,f)(k)＝()A．－3B．－2C．0D．1二、多项选择题9．[2024·河北沧州模拟]已知向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝(ax，－1)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(x－ax，1－x)，则函数f(x)＝eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))的大致图象可能为()10．[2024·重庆九龙坡模拟]若a，b，c都是正数，且2a＝3b＝6c，则()A．eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(2,c)B．eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(1,c)C．a＋b>4cD．ab>4c211.[2024·新课标Ⅰ卷]噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp＝20×lgeq\f(p,p0)，其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值，p是实际声压．下表为不同声源的声压级：声源与声源的距离/m声压级/dB燃油汽车1060～90混合动力汽车1050～60电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则()A．p1≥p2B．p2>10p3C．p3＝100p0D．p1≤100p212．[2024·广东韶关二模]已知10a＝2，102b＝5，则下列结论正确的是()A．a＋2b＝1B．ab<eq\f(1,8)C．ab>lg22D．a>b[答题区]题号123456789101112答案三、填空题13.[2024·北京卷]已知函数f(x)＝4x＋log2x，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝________．14．[2024·全国甲卷]若f(x)＝(x－1)2＋ax＋sin(x＋eq\f(π,2))为偶函数，则a＝________．15．[2024·新高考Ⅱ卷]写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x)：________．①f(x1x2)＝f(x1)f(x2)；②当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0；③f′(x)是奇函数．16．[2024·河北张家口模拟]函数f(x)＝2eq\r(x2－4x＋4)＋eq\r(x2－2x)的最小值为________．

命题点30基本初等函数(小题突破)1．解析：对于A，因为y＝lnx在(0，＋∞)上单调递增，y＝－x在(－∞，＋∞)上单调递减，所以f(x)＝－lnx在(0，＋∞)上单调递减，故A错误；对于B，因为y＝2x在(0，＋∞)上单调递增，y＝eq\f(1,x)在(0，＋∞)上单调递减，所以f(x)＝eq\f(1,2x)在(0，＋∞)上单调递减，故B错误；对于C，因为y＝eq\f(1,x)在(0，＋∞)上单调递减，y＝－x在(0，＋∞)上单调递减，所以f(x)＝－eq\f(1,x)在(0，＋∞)上单调递增，故C正确；对于D，因为feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝312-1＝312＝eq\r(3)，f(1)＝3|1－1|＝30＝1，f(2)＝3|2－1|＝3，明显f(x)＝3|x－1|在(0，＋∞)上不单调，D错误．故选C.答案：C2．解析：因为－f(－x)＝－eq\f(2－x－1,2－x＋1)＝eq\f(2x－1,2x＋1)＝f(x)，所以函数f(x)＝eq\f(2x－1,2x＋1)为奇函数；因为f(x)＝eq\f(2x－1,2x＋1)＝1－eq\f(2,2x＋1)，又2x>0，0<eq\f(2,2x＋1)<2，所以－1<1－eq\f(2,2x＋1)<1，故A正确；因为f(－1)≠－f(1)，f(－1)≠f(1)，故f(x)＝－x2＋x是非奇非偶函数，故B错误；函数f(x)＝|sinx|满意f(－x)＝f(x)为偶函数，故C错误；因为f(1)＝1eq\s\up6(\f(1,3))＋1－eq\f(1,3)＝2>1，故D错误．故选A.答案：A3．解析：方法一设g(x)＝lneq\f(2x－1,2x＋1)，易知g(x)的定义域为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))，且g(－x)＝lneq\f(－2x－1,－2x＋1)＝lneq\f(2x＋1,2x－1)＝－lneq\f(2x－1,2x＋1)＝－g(x)，所以g(x)为奇函数．若f(x)＝(x＋a)lneq\f(2x－1,2x＋1)为偶函数，则y＝x＋a也应为奇函数，所以a＝0，故选B.方法二因为f(x)＝(x＋a)lneq\f(2x－1,2x＋1)为偶函数，f(－1)＝(a－1)ln3，f(1)＝(a＋1)lneq\f(1,3)＝－(a＋1)ln3，所以(a－1)ln3＝－(a＋1)ln3，解得a＝0，故选B.答案：B4．解析：方法一由题图可知函数f(x)的图象关于y轴对称，所以函数f(x)是偶函数．对于A，f(x)＝eq\f(5（ex－e－x）,x2＋2)，定义域为R，f(－x)＝eq\f(5（e－x－ex）,x2＋2)＝－f(x)，所以函数f(x)＝eq\f(5（ex－e－x）,x2＋2)是奇函数，所以解除A；对于B，f(x)＝eq\f(5sinx,x2＋1)，定义域为R，f(－x)＝eq\f(5sin（－x）,x2＋1)＝－eq\f(5sinx,x2＋1)＝－f(x)，所以函数f(x)＝eq\f(5sinx,x2＋1)是奇函数，所以解除B；对于C，f(x)＝eq\f(5（ex＋e－x）,x2＋2)，定义域为R，f(－x)＝eq\f(5（e－x＋ex）,x2＋2)＝f(x)，所以函数f(x)＝eq\f(5（ex＋e－x）,x2＋2)是偶函数，又x2＋2＞0，ex＋e－x＞0，所以f(x)＞0恒成立，不符合题意，所以解除C；分析知，选项D符合题意，故选D.方法二由题图可知函数f(x)的图象关于y轴对称，所以函数f(x)是偶函数．因为y＝x2＋2是偶函数，y＝ex－e－x是奇函数，所以f(x)＝eq\f(5（ex－e－x）,x2＋2)是奇函数，故解除A；因为y＝x2＋1是偶函数，y＝sinx是奇函数，所以f(x)＝eq\f(5sinx,x2＋1)是奇函数，故解除B；因为x2＋2＞0，ex＋e－x＞0，所以f(x)＝eq\f(5（ex＋e－x）,x2＋2)＞0恒成立，不符合题意，故解除C.分析知，选项D符合题意，故选D.答案：D5．解析：因为f(x＋1)＋f(x)＝0，所以f(x＋1)＝－f(x)，所以f(x＋2)＝f[(x＋1)＋1]＝－f(x＋1)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为2.因为log0.58＝－log28＝－log223＝－3，所以f(log0.58)＝f(－3)＝f(－3＋2＋2)＝f(1)＝－f(0)＝－21－0＝－2.故选A.答案：A6．解析：a＝log52<log5eq\r(5)＝eq\f(1,2)＝log82eq\r(2)<log83＝b，即a<c<b.故选C.答案：C7．解析：因为函数f(x＋2)为偶函数，则f(2＋x)＝f(2－x)，可得f(x＋3)＝f(1－x)，因为函数f(2x＋1)为奇函数，则f(1－2x)＝－f(2x＋1)，所以f(1－x)＝－f(x＋1)，所以f(x＋3)＝－f(x＋1)＝f(x－1)，即f(x)＝f(x＋4)，故函数f(x)是以4为周期的周期函数，因为函数F(x)＝f(2x＋1)为奇函数，则F(0)＝f(1)＝0，故f(－1)＝－f(1)＝0，其它三个选项未知．故选B.答案：B8．解析：令y＝1，得f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)f(1)＝f(x)，即f(x＋1)＝f(x)－f(x－1).故f(x＋2)＝f(x＋1)－f(x)①，f(x＋3)＝f(x＋2)－f(x＋1)②.①＋②，得f(x＋3)＝－f(x)，所以f(x)的周期为6.令x＝1，y＝0，得f(1)＋f(1)＝f(1)f(0)，所以f(0)＝2，所以f(2)＝f(1)－f(0)＝1－2＝－1，f(3)＝f(2)－f(1)＝－1－1＝－2，f(4)＝f(3)－f(2)＝－2－(－1)＝－1，f(5)＝f(4)－f(3)＝－1－(－2)＝1，f(6)＝f(5)－f(4)＝1－(－1)＝2.所以eq\i\su(k＝1,22,f)(k)＝3[f(1)＋f(2)＋…＋f(6)]＋f(19)＋f(20)＋f(21)＋f(22)＝3×0＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝1＋(－1)＋(－2)＋(－1)＝－3.故选A.答案：A9．解析：因为eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝(x，－x)，所以f(x)＝eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝ax2＋x.当a＝0时，f(x)＝x，A正确；当a>0时，f(x)的零点为0和－eq\f(1,a)，且－eq\f(1,a)<0，B正确，C错误；当a<0时，f(x)的零点为0和－eq\f(1,a)，且－eq\f(1,a)>0，D正确．故选ABD.答案：ABD10．解析：设2a＝3b＝6c＝t，则a＝log2t＝eq\f(1,logt2)，eq\f(1,a)＝logt2，b＝log3t＝eq\f(1,logt3)，eq\f(1,b)＝logt3，c＝log6t＝eq\f(1,logt6)，eq\f(1,c)＝logt6，所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(1,c)，(a＋b)(eq\f(1,a)＋eq\f(1,b))＝2＋eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2＋2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))＝4，因为a≠b，所以eq\f(b,a)≠eq\f(a,b)，则等号不成立，所以(a＋b)(eq\f(1,a)＋eq\f(1,b))>4，则a＋b>eq\f(4,\f(1,a)＋\f(1,b))＝4c，因为(a＋b)＝ab(eq\f(1,a)＋eq\f(1,b))>4c，所以ab>eq\f(4c,\f(1,a)＋\f(1,b))＝4c2，故选BCD.答案：BCD11．解析：因为Lp＝20×lgeq\f(p,p0)随着p的增大而增大，且Lp1∈[60，90]，Lp2∈[50，60]，所以Lp1≥Lp2，所以p1≥p2，故A正确；由Lp＝20×lgeq\f(p,p0)，得p＝p010Lp20，因为Lp3＝40，所以p3＝p010eq\f(40,20)＝100p0，故C正确；假设p2>10p3，则p010eq\f(Lp2,20)>10p010eq\f(Lp3,20)，所以10Lp220－Lp320>10，所以Lp2－Lp3>20，不行能成立，故B不正确；因为eq\f(100p2,p1)＝eq\f(100p010\s\up6(\f(Lp2,20)),p010\s\up6(\f(Lp1,20)))＝10Lp220－Lp120＋2≥1，所以p1≤100p2，故D正确．综上，选ACD.答案：ACD12．解析：由题可知a＝lg2，b＝eq\f(1,2)lg5＝lgeq\r(5)，又eq\r(5)>2，所以a<b，D错误；因为10a·102b＝10a＋2b＝10，有a＋2b＝1.所以A正确；由基本不等式得a＋2b≥2eq\r(2ab)，所以ab≤eq\f(1,8)，当且仅当a＝2b时，取等号；又因为a＝lg2，2b＝lg5，所以a≠2b，故ab<eq\f(1,8)，B正确；由于a＝lg2>0，b＝lgeq\r(5)>lg2，所以ab>lg22，C正确．故选ABC.答案：ABC13．解析：函数f(x)＝4x＋log2x，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝4eq\f(1,2)＋log2eq\f(1,2)＝2－1＝1.答案：114．解析：方法一因为f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)，即(－x－1)2－ax＋sineq\b\lc\(\rc\)(