新教材2025版高中数学课时作业49球的表面积和体积北师大版必修第二册

课时作业49球的表面积和体积[练基础]1．若一个圆锥的底面半径和一个半球的半径相等，体积也相等，则它们的高度之比为()A．2:1B．2:3C．2:πD．2:52．一平面截一球得到直径为2eq\r(5)cm的圆面，球心到这个平面的距离是2cm，则该球的体积是()A．12πcm3B．36πcm3C．64eq\r(6)πcm3D．108πcm33．已知一长方体的底面是边长为1的正方形，长方体的全部顶点都在同一球面上．若球的体积为eq\f(32,3)π，则该长方体的体积为()A.eq\r(2)B.eq\r(14)C.eq\f(\r(78),3)D．144．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是()A．16πB．20πC．24πD．32π5．圆柱形玻璃容器内盛有高度为12cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好沉没最上面的球(如图所示)，则球的半径是_______cm.6．如图，半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，求该几何体的体积．(其中∠BAC＝30°)[提实力]7．[多选题]如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论正确的是()A．圆柱的侧面积为2πR2B．圆锥的侧面积为2πR2C．圆柱的侧面积与球面面积相等D．圆柱、圆锥、球的体积之比为3:1:28．已知三棱锥P­ABC的全部棱长都相等且长度为1，则三棱锥P­ABC的内切球的表面积为________．9．求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥(轴截面是正三角形的圆锥叫等边圆锥)的体积之比．[战疑难]10．一个高为16的圆锥内接于一个体积为972π的球，在圆锥里又有一个内切球．求：(1)圆锥的侧面积；(2)圆锥内切球的体积．课时作业49球的表面积和体积1．解析：设半球的半径为r，圆锥的高为h，则eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(4,3)πr3×eq\f(1,2)，所以h＝2r，故选A.答案：A2．解析：设球心为O，截面圆心为O1，连接OO1，则OO1垂直于截面圆O1，如图所示，在Rt△OO1A中，O1A＝eq\r(5)cm，OO1＝2cm，∴球的半径R＝OA＝eq\r(22＋\r(5)2)＝3(cm)，∴球的体积V＝eq\f(4,3)×π×33＝36π(cm3)．答案：B3．解析：设球的半径为R，则eq\f(4,3)πR3＝eq\f(32,3)π，解得R＝2.因为长方体的体对角线的长为球的直径，所以长方体的体对角线长为4.设长方体的高为x，则eq\r(12＋12＋x2)＝4，解得x＝eq\r(14)，所以该长方体的体积为1×1×eq\r(14)＝eq\r(14).故选B.答案：B4．解析：设正四棱柱底面边长为a，则S底＝a2，∴V＝S底·h＝4a2＝16，∴a＝2.又正四棱柱内接于球，设球半径为R，则(2R)2＝22＋22＋42＝24，∴R＝eq\r(6)，∴球的表面积为4πR2＝24π.故选C.答案：C5．解析：设球半径为rcm，则由3V球＋V水＝V圆柱可得3×eq\f(4,3)πr3＋πr2×12＝πr2×6r，解得r＝6.故球的半径是6cm.答案：66．解析：过C作CO1⊥AB于O1，在半圆中可得∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2R，∴AC＝eq\r(3)R，BC＝R，CO1＝eq\f(\r(3),2)R.AO1＝AC·sin60°＝eq\f(3,2)R，BO1＝AB－AO1＝eq\f(R,2)，∴V球＝eq\f(4,3)πR3.V圆锥AO1＝eq\f(1,3)·π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)R))2·eq\f(3,2)R＝eq\f(3,8)πR3，V圆锥BO1＝eq\f(1,3)·π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)R))2·eq\f(1,2)R＝eq\f(1,8)πR3，V几何体＝V球－V圆锥AO1－V圆锥BO1＝eq\f(4,3)πR3－eq\f(3,8)πR3－eq\f(1,8)πR3＝eq\f(5,6)πR3.7．解析：依题意得球的半径为R，则圆柱的侧面积为2πR×2R＝4πR2，∴A错误；圆锥的侧面积为πR×eq\r(5)R＝eq\r(5)πR2，∴B错误；球面面积为4πR2，∵圆柱的侧面积为4πR2，∴C正确；∵V圆柱＝πR2·2R＝2πR3，V圆锥＝eq\f(1,3)πR2·2R＝eq\f(2,3)πR3，V球＝eq\f(4,3)πR3，∴V圆柱V圆锥V球＝2πR3eq\f(2,3)πR3eq\f(4,3)πR3＝312，∴D正确．故选CD.答案：CD8．解析：因为棱长为1的正四面体的底面积S＝eq\f(\r(3),4)，高h＝eq\f(\r(6),3)，所以V＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(\r(2),12).设内切球的半径为r，则球心到各个底面的距离都为r，且球心与各个底面构成的三棱锥的体积都是V′＝eq\f(1,3)Sr，所以V＝4V′，即eq\f(\r(2),12)＝4×eq\f(1,3)Sr，从而r＝eq\f(\r(6),12).故内切球的表面积为4πr2＝eq\f(π,6).答案：eq\f(π,6)9.解析：如图，等边△SAB为圆锥的轴截面，此截面截圆柱得正方形C1CDD1，截球面得球的大圆O1.设球的半径O1O＝R，则它的外切圆柱的高为2R，底面半径为R，由tan∠OBO1＝eq\f(OO1,OB)得：OB＝eq\f(R,tan30°)＝eq\r(3)R.∴SO＝OB×tan60°＝eq\r(3)R·eq\r(3)＝3R∴V球＝eq\f(4,3)πR3，V柱＝πR2·2R＝2πR3，V锥＝eq\f(1,3)π·(eq\r(3)R)2·3R＝3πR3，∴V球V柱V锥＝469.10．解析：(1)如图所示，作出轴截面，则等腰三角形SAB内接于圆O，而圆O1内切于△SAB.设圆O的半径为R，则有eq\f(4,3)πR3＝972π，∴R＝9，∴SE＝2R＝18.∵SD＝16，∴ED＝2.连接AE，又SE是圆O的直径，∴SA⊥AE，∴SA2＝SD×SE＝16×18＝288，SA＝12eq\r(2).∵AB⊥SD，D为AB中点，∴AD2＝SD·DE＝16×2＝32，AD＝4eq\r(2).∴S圆锥侧＝π×AD×SA＝π×4eq\r(2)×12eq\r(2)＝96π.(2)设内切球的半径为r，即