新教材2025版高中数学第四章数列4.2等差数列4.2.1等差数列的概念第1课时等差数列的概念与通项公式课后提能训练新人教A版选择性必修第二册

4．2.1等差数列的概念第1课时等差数列的概念与通项公式A级——基础过关练1．－2与11的等差中项为 ()A．－eq\f(9,2) B．－eq\f(13,2) C．eq\f(9,2) D．eq\f(13,2)【答案】C【解析】－2与11的等差中项为eq\f(－2＋11,2)＝eq\f(9,2).2．中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2022，则该数列的首项为 ()A．－1 B．－2 C．1 D．2【答案】B【解析】由等差中项的定义知a1＋2022＝2×1010，∴a1＝－2.3．等差数列{an}中，若a1＝－1，a3＝3，am＝9，则m＝ ()A．6 B．7 C．8 D．9【答案】A【解析】设等差数列{an}的公差为d，则a3＝a1＋(3－1)d＝－1＋2d＝3，解得d＝2，∴am＝a1＋(m－1)d，即9＝－1＋2(m－1)，解得m＝6.故选A.4．(2024年嘉兴期末)若x≠y，两个等差数列x，a1，a2，y与x，b1，b2，b3，y的公差分别为d1和d2，则eq\f(d2,d1)＝ ()A．eq\f(2,3) B．eq\f(3,2) C．eq\f(3,4) D．eq\f(4,3)【答案】C【解析】因为d1＝eq\f(y－x,4－1)＝eq\f(y－x,3)，d2＝eq\f(y－x,5－1)＝eq\f(y－x,4)，所以eq\f(d2,d1)＝eq\f(3,4).5．已知数列{an}为等差数列且a1＝2，a2＋a3＝13，则a4＋a5＋a6＝ ()A．45 B．43 C．42 D．40【答案】C【解析】在等差数列{an}中，∵a1＝2，a2＋a3＝13，∴(a1＋d)＋(a1＋2d)＝13，解得d＝3.又∵a4，a5，a6为等差数列，且a5为a4和a6的等差中项，∴2a5＝a4＋a6，∴a4＋a5＋a6＝3a5＝3(a1＋4d)＝3×(2＋3×4)＝42.6．(2024年成都模拟)《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，这十二个节气日影长依次成等差数列，雨水、惊蛰、春分、清明日影长之和为32尺，前七个节气日影长之和为73.5尺，则立夏日影长为 ()A．7.5尺 B．6.5尺C．5.5尺 D．4.5尺【答案】D【解析】设从冬至日起，日影长构成等差数列{an}，且a5＋a6＋a7＋a8＝32，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝73.5，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a1＋22d＝32，,7a1＋21d＝73.5，))解得a1＝13.5，d＝－1.故a10＝13.5－9×1＝4.5.7．(多选)(2024年福州期末改编)已知等差数列{an}的公差为d，a3＝16，a5＝12，则 ()A．d＝－2B．a1＝20C．a4＋a6＝28D．{2an＋3}是以－1为公差的等差数列【答案】AB【解析】因为a3＝16，a5＝12，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a3＝a1＋2d＝16，,a5＝a1＋4d＝12，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝20，,d＝－2，))故选项A，B正确；由于an＝a1＋(n－1)d＝22－2n，a4＋a6＝14＋10＝24，故C错误；因为2(an＋1＋3)－(2an＋3)＝2(an＋1－an)＝2d＝－4，所以{2an＋3}是以－4为公差的等差数列，故D错误．故选AB.8．(2024年哈尔滨期末)用火柴棒按如图的方法搭三角形．按图示的规律搭下去，则第100个图形所用火柴棒数为________．【答案】201【解析】由图形可知，第一个图形用3根火柴棒，以后每一个比前一个多两根火柴棒，构成等差数列，数列的首项为3，公差为2，所以an＝3＋(n－1)×2＝2n＋1，则第100个图形所用火柴棒数为a100＝2×100＋1＝201.9．等差数列{an}的首项为a，公差为d；等差数列{bn}的首项为b，公差为e.若cn＝an＋bn，且c1＝4，c2＝8，则cn＝__________．【答案】4n【解析】因为cn－cn－1＝an＋bn－(an－1＋bn－1)＝an－an－1＋bn－bn－1＝d＋e，所以数列{cn}是以a＋b为首项，d＋e为公差的等差数列．因为c1＝4，c2＝8，所以d＋e＝c2－c1＝8－4＝4，所以cn＝4＋(n－1)×4＝4n.10．在正项数列{an}中，a1＝1，an＋1－eq\r(an＋1)＝an＋eq\r(an).(1)数列{eq\r(an)}是否为等差数列？说明理由．(2)求an的通项公式．解：(1)因为an＋1－eq\r(an＋1)＝an＋eq\r(an)，所以an＋1－an＝eq\r(an＋1)＋eq\r(an)，所以(eq\r(an＋1)＋eq\r(an))(eq\r(an＋1)－eq\r(an))＝eq\r(an＋1)＋eq\r(an).因为{an}是正项数列，所以eq\r(an＋1)＋eq\r(an)≠0，所以eq\r(an＋1)－eq\r(an)＝1，所以{eq\r(an)}是等差数列，公差为1.(2)由(1)知，eq\r(an)＝eq\r(a1)＋(n－1)d＝eq\r(1)＋(n－1)×1＝n，所以an＝n2.B级——实力提升练11．(多选)设an＝(n＋1)2，bn＝n2－n(n∈N*)，则下列命题中正确的是 ()A．{an＋1－an}是等差数列 B．{bn＋1－bn}是等差数列C．{an－bn}是等差数列 D．{an＋bn}是等差数列【答案】ABC【解析】因为an＝(n＋1)2，所以an＋1－an＝(n＋2)2－(n＋1)2＝2n＋3，设cn＝2n＋3，所以cn＋1－cn＝2，所以{an＋1－an}是等差数列，故A正确；因为bn＝n2－n，所以bn＋1－bn＝2n，设cn＝2n，所以cn＋1－cn＝2，所以{bn＋1－bn}是等差数列，故B正确；因为an＝(n＋1)2，bn＝n2－n，所以an－bn＝(n＋1)2－(n2－n)＝3n＋1，设cn＝3n＋1，所以cn＋1－cn＝3，所以{an－bn}是等差数列，故C正确；an＋bn＝2n2＋n＋1，设cn＝an＋bn，易知cn＋1－cn＝4n＋3，不是常数，故D错误．12．(2024年山东模拟)设{an}是等差数列且公差不为0，下列结论中正确的是 ()A．若a1＋a2>0，则a2＋a3>0B．若a1＋a3<0，则a1＋a2<0C．若a1<0，则(a2－a1)(a2－a3)>0D．若0<a1<a2，则a2>eq\r(a1a3)【答案】D【解析】∵a1＋a2>0，∴a2＋a3＝(a1＋a2)＋2d，∵d的正负无法推断，∴a2＋a3的正负无法推断，故A错误；∵a1＋a3<0，∴(a1＋a2)＋d<0，a1＋a2的正负无法推断，故B错误；(a2－a1)(a2－a3)＝－d2<0，故C错误；∵0<a1<a2＝a1＋d，∴d>0，则a22－a1a3＝(a1＋d)2－a1(a1＋2d)＝d2>0，即a2>eq\r(a1a3)，故D正确．13．已知等差数列{an}中，a4＝7，a8＝15，把数列{an}的全部奇数项按原依次排列，得到一个新数列，记为{bn}，则此新数列的通项公式为bn＝________．【答案】4n－3【解析】设等差数列{an}的公差为d，则由a4＝7，a8＝15，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋3d＝7，,a1＋7d＝15，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,d＝2，))则an＝2n－1.由题意得b1＝a1＝1，b2＝a3＝5，b3＝a5＝9，…，则{bn}是以1为首项，4为公差的等差数列，故bn＝1＋4(n－1)＝4n－3.14．已知数阵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co4(a11,a12,a13,a14,a21,a22,a23,a24,a31,a32,a33,a34,a41,a42,a43,a44)))中，每行、每列的四个数均成等差数列，假如数阵中a12＝2，a31＝1，a34＝7，那么a32＝________，a22＝________．【答案】3eq\f(5,2)【解析】设第三行的四个数的公差为d3，由a31＝1，a34＝7，得d3＝eq\f(7－1,4－1)＝2，所以a32＝1＋2＝3.因为其次列的四个数成等差数列，所以a22是a12，a32的等差中项，所以a22＝eq\f(a12＋a32,2)＝eq\f(2＋3,2)＝eq\f(5,2).15．(2024年柳州月考)数列{an}满意a1＝1，an＋1＝(n2＋n－λ)an(n＝1，2，…)，λ是常数．(1)当a2＝－1时，求λ及a3的值．(2)是否存在实数λ使数列{an}为等差数列？若存在，求出λ及数列{an}的通项公式；若不存在，请说明理由．解：(1)由于an＋1＝(n2＋n－λ)an(n＝1，2，…)，且a1＝1，所以当a2＝－1时，得－1＝2－λ，故λ＝3，从而a3＝(22＋2－3)×(－1)＝