河南省信阳市2023-2024学年高一上学期期末数学试题 含解析

2023-2024学年普通高中高一（上）期末教学质量检测数学试题本试卷共4页，22题，满分150分，考试时间120分钟．★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答；每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合，，则等于（）A. B.C. D.2.若，且，则角是（）A第一象限角 B.第二象限角C第三象限角 D.第四象限角3.函数的零点所在区间为（）A. B. C. D.4.函数的部分图象大致为（）A. B.C D.5.已知，，，则（）A. B. C. D.6.已知，且，则的最小值为（）A.1 B. C.2 D.7.我国某科技公司为突破“芯片卡脖子问题”实现芯片国产化，加大了对相关产业研发投入.若该公司计划2020年全年投入芯片制造研发资金120亿元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长9%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200亿元的年份是（）参考数据：A.2024年 B.2023年 C.2026年 D.2025年8.已知，若对于任意，都有，则实数a的取值范围是（）A B. C. D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.函数与的图象关于原点对称B.函数，且恒过定点C.已知命题，则的否定为：D.是的充分不必要条件10.下列化简正确的是（）A. B.C. D.11.已知函数则以下说法正确的是（）A.若，则是上的减函数B.若，则有最小值C.若，则的值域为D.若，则存在，使得12.已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且，在上单调递减，则（）A.是偶函数B.是奇函数C.在上单调递增D.在上单调递增三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上．13.若扇形的半径为2，面积为，则扇形的周长为________．14.函数在上单调递减，则的范围为________.15.已知是偶函数，当时，，且，则__________.16.已知的零点为，若，则整数的最大值是______.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.计算､求值：（1）；（2）.18.已知幂函数在上是增函数（1）求的解析式；（2）若，求的取值范围．19.已知函数.（1）当时，求该函数的值域；（2）若不等式在上有解，求的取值范围.20.已知产品利润等于销售收入减去生产成本.若某商品的生产成本（单位：万元）与生产量（单位：千件）间的函数关系是；销售收入（单位：万元）与生产量间的函数关系是.（1）把商品的利润表示为生产量的函数；（2）当该商品生产量（千件）定为多少时获得的利润最大，最大利润为多少万元？21.设，是关于的方程（其中）的两个实数根（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值.22.已知定义域为的函数是奇函数．（1）求实数，的值；（2）若对任意恒成立，求的取值范围．2023-2024学年普通高中高一（上）期末教学质量检测数学试题本试卷共4页，22题，满分150分，考试时间120分钟．★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答；每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合，，则等于（）A B.C. D.【答案】C【解析】【分析】解不等式化简集合A，求出函数的定义域化简集合B，再利用交集的定义求解即得.【详解】由，得，则，函数有意义，得，则，所以.故选：C2.若，且，则角是（）A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，利用同角公式变形得，再求出角所在象限.【详解】由，，得，，因此，所以角是第四象限角.故选：D3.函数的零点所在区间为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据零点存在性定理和单调性即可求解.【详解】函数.又为单调增函数，所以有唯一零点，且在区间内.故选：C.4.函数的部分图象大致为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由函数的奇偶性及特殊点即可判定.【详解】由于，，，故为奇函数，图象应关于原点中心对称，故排除B和C；又因为，故排除D项，故选：A.5.已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据指数函数的单调性，可以判断的大小；根据作商法可得,可得答案.【详解】是减函数，，即，而，即，，故选：B6.已知，且，则的最小值为（）A.1 B. C.2 D.【答案】A【解析】【分析】利用基本不等式，结合已知条件，即可得出答案.【详解】因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，故选：A．7.我国某科技公司为突破“芯片卡脖子问题”实现芯片国产化，加大了对相关产业的研发投入.若该公司计划2020年全年投入芯片制造研发资金120亿元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长9%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200亿元的年份是（）参考数据：A.2024年 B.2023年 C.2026年 D.2025年【答案】C【解析】【分析】根据指数函数模型列不等式求解．【详解】依题意，第n时投入资金为亿元，设2020年后第n年该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿元，则,得，两边同取常用对数，得，所以，所以从2026年开始，该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿元.故选：C．8.已知，若对于任意，都有，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】对给定不等式作等价变形，构造函数并确定其单调性，再借助函数单调性并结合复合函数单调性求解即得.【详解】不等式，令，则，依题意，，，因此函数在上单调递增，令，而在上单调递增，则函数在上单调递增，且恒有令，显然函数在上单调递增，因此在上单调递增，且，，当时，在上单调递增，当时，在上单调递增，且恒成立，因此；当时，由在上单调递增，得，解得，由，，得，解得，因此，所以实数a的取值范围是.故选：B二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.函数与的图象关于原点对称B.函数，且恒过定点C.已知命题，则的否定为：D.是充分不必要条件【答案】AC【解析】【分析】A：根据图象上任意一点的对称点所满足的关系式判断；B：令，由此确定出所过定点坐标；C：通过修改量词否定结论可得结果；D：根据与的互相推出情况进行判断.【详解】对于A：设上任意一点，其关于原点的对称点为，所以，所以，所以，即为图象上任意一点，故A正确；对于B：令，所以，此时，所以过定点，故B错误；对于C：修改量词否定结论可得，故C正确；对于D：不能推出，但一定能推出，所以是的必要不充分条件，故D错误；故选：AC.10.下列化简正确的是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】利用诱导公式化简各选项并判断即得.【详解】对于A，，A正确；对于B，，B正确；对于C，，C正确；对于D，，D错误.故选：ABC11.已知函数则以下说法正确的是（）A.若，则是上的减函数B.若，则有最小值C.若，则的值域为D.若，则存在，使得【答案】ABC【解析】【分析】把选项中的值分别代入函数，利用此分段函数的单调性判断各选项.【详解】对于A，若，，在上单调递减，故A正确；对于B，若，，当时，，在区间上单调递减，，则有最小值1,故B正确；对于C，若，，当时，，在区间上单调递减，；当时，，在区间上单调递增，，则的值域为，故C正确；对于D，若，当时，；当时，；当时，，即当时，，所以不存，使得，故D错误.故选：ABC12.已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且，在上单调递减，则（）A.是偶函数B.是奇函数C.在上单调递增D.在上单调递增【答案】AC【解析】【分析】根据奇偶性定义可判断AB；根据复合函数单调性可判断CD.【详解】因为是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，所以，，所以和均为偶函数，A正确，B错误；又因为，在上单调递减，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，由复合函数的单调性可知，在上单调递增，单调递减，故C正确，D错误.故选：AC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上．13.若扇形的半径为2，面积为，则扇形的周长为________．【答案】【解析】【分析】由扇形的面积公式求出弧长，代入扇形周长公式即可求解.【详解】由题意设扇形圆心角所对弧长、半径以及面积分别为，由题意，解得，所以扇形的周长为.故答案为：.14.函数在上单调递减，则的范围为________.【答案】【解析】【分析】函数是由指数变换得到的，根据函数图像变换知识和指数函数单调性可得的单调性，从而解出答案.【详解】因为，所以根据函数图像的平移变换和指数函数的性质可得在单调递增，在单调递减.因为函数在上单调递减所以.故答案为：.15.已知是偶函数，当时，，且，则__________.【答案】2【解析】【分析】根据偶函数的性质可知，【详解】因为是偶函数，所以，解得.故答案为：216.已知的零点为，若，则整数的最大值是______.【答案】【解析】【分析】根据题意分析的零点，，得到，通过判断的范围即可得到答案.【详解】函数的定义域为，当时，恒成立，不存在零点；当时，单调递增，且，，所以的零点，，即，两边同时取对数，即，即，所以，所以，记，显然，单调递减，所以，所以，所以整数的最大值是0.故答案为：0【点睛】关键点点睛：本题关键点在于判断的零点的范围，并通过和代入原式进行化简，再构造函数结合单调性判断范围进而求解答案.本题考查了转化与化归能力，属于中档题.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.计算､求值：（1）；（2）.【答案】（1）17（2）2【解析】【分析】（1）利用指对幂的运算法则求解即可.（2）运用诱导公式直接化简求值即可.【小问1详解】原式；【小问2详解】原式.18.已知幂函数在上是增函数（1）求的解析式；（2）若，求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用幂函数的定义与性质即可得解；（2）利用单调性与定义域即可得解.【小问1详解】因为是幂函数，所以，解得或，又在上是增函数，故，，则.【小问2详解】由（1）知在上是增函数，又，的定义域为，，解得，的取值范围是．19.已知函数.（1）当时，求该函数的值域；（2）若不等式在上有解，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）换元令，结合二次函数的性质求值域；（2）换元令，整理可得在上有解，根据存在性问题分析求解.【小问1详解】因为，由对数函数单调性可知，当时，，令，，即可得，，可知的开口向上，对称轴为，由二次函数性质可知当时，，当时，，所以可得当时，函数的值域为.【小问2详解】当时，可得，令，，可得，即在上有解，整理可得在上有解，因为函数在上单调递增，当时，所以的取值范围是.20.已知产品利润等于销售收入减去生产成本.若某商品的生产成本（单位：万元）与生产量（单位：千件）间的函数关系是；销售收入（单位：万元）与生产量间的函数关系是.（1）把商品的利润表示为生产量的函数；（2）当该商品生产量（千件）定为多少时获得的利润最大，最大利润为多少万元？【答案】（1）（2）生产量为千件时，最大利润为万元【解析】【分析】（1）设利润是（万元），由即可得利润关于生产量的函数；（2）分别由基本