❤重难点03 二次函数中的线段、周长与面积的最值问题及定值问题（解析版）

重难点突破03二次函数中的线段、周长与面积的最值问题及定值问题目录TOC\o"1-3"\n\h\z\u题型01利用二次函数解决单线段的最值问题题型02利用二次函数解决两条线段之和的最值问题题型03利用二次函数解决两条线段之差的最值问题题型04利用二次函数解决三条线段之和的最值问题题型05利用二次函数解决三角形周长的最值问题题型06利用二次函数解决四边形周长的最值问题题型07利用二次函数解决图形面积的最值问题类型一利用割补、拼接法解决面积最值问题类型二利用用铅垂定理巧求斜三角形面积最值问题类型三构建平行线，利用同底等高解决面积最值问题题型08利用二次函数解决定值问题题型01利用二次函数解决单线段的最值问题【解题思路】抛物线中的线段最值问题有三种形式：1．平行于坐标轴的线段的最值问题：常通过线段两端点的坐标差表示线段长的函数关系式，运用二次函数性质求解．求最值时应注意：①当线段平行于y轴时，用上端点的纵坐标减去下端点的纵坐标；②当线段平行于x轴时，用右端点的横坐标减去左端点的横坐标．在确定最值时，函数自变量的取值范围应确定正确．1．（2022·辽宁朝阳·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴分别交于点A(1，0)和点B，与y轴交于点C(0，﹣3)(1)求抛物线的解析式及点B的坐标．(2)如图，点P为线段BC上的一个动点（点P不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，求线段PQ长度的最大值．(3)动点P以每秒2个单位长度的速度在线段BC上由点C向点B运动，同时动点M以每秒1个单位长度的速度在线段BO上由点B向点O运动，在平面内是否存在点N，使得以点P，M，B，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y=x2+2x-3，（-3(2)9(3)-3,-32或（-2，1【分析】（1）将A，C两点坐标代入抛物线的解析式求得a，c的值，进而得出解析式，当y=0时，求出方程的解，进而求得B点坐标；（2）由B，C两点求出BC的解析式，进而设出点P和点Q坐标，表示出PQ的长，进一步得出结果；（3）要使以点P，M，B，N为顶点的四边形是菱形，只需△PMB是等腰三角形，所以分为PM=BM，PM=PB和BP=BM，结合图象，进一步得出结果．【详解】（1）解：把点A(1，0)，C(0，﹣3)代入y=axc=-3a+2×1+c=0，解得：c=-3∴抛物线解析式为y=x令y=0，则x2解得：x1∴点B的坐标为（-3，0）；（2）解：设直线BC的解析式为y=kx+bk≠0把点B（-3，0），C(0，﹣3)代入得：b=-3-3k+b=0，解得：k=-1∴直线BC的解析式为y=-x-3，设点Pm,-m+3，则Q∴PQ=-m-3∴当m=-32时，PQ最大，最大值为（3）解：存在，根据题意得：PC=2t,BM=t，则如图，当BM=PM时，∵B（-3，0），C（0，-3），∴OB=OC=3，∴∠OCB=∠OBC=45°，延长NP交y轴于点D，∵点P，M，B，N为顶点的四边形是菱形，∴PN∥x轴，BN∥PM，即DN⊥y轴，∴△CDP为等腰直角三角形，∴CD=PD=PC⋅sin∵BM=PM，∴∠MPB=∠OBC=45°，∴∠PMO=∠PDO=∠MOD=90°，∴四边形OMPD是矩形，∴OM=PD=t，MP⊥x轴，∴BN⊥x轴，∵BM+OM=OB，∴t+t=3，解得t=3∴P-∴N-3,-如图，当PM=PB时，作PD⊥y轴于D，连接PN，∵点P，M，B，N为顶点的四边形是菱形，∴PN⊥BM，NE=PE，∴BM=2BE，∴∠OEP=∠DOE=∠ODP=90°，∴四边形PDOE是矩形，∴OE=PD=t，∴BE=3-t，∴t=2（3-t），解得：t=2，∴P（-2，-1），∴N（-2，1）；如图，当PB=MB时，32-2∴PN=BP=BM=6-32过点P作PE⊥x轴于点E，∴PE⊥PM，∴∠EON=∠OEP=∠EPN=90°，∴四边形OEPN为矩形，∴PN=OE，PN⊥y轴，∵∠OBC=45°，∴BE=PE=PB⋅sin∴OE=OB-BE=3-3∴点N在y轴上，∴N0,3-32综上所述，点N的坐标为-3,-32或（-2，1）或【点睛】本题考查了二次函数及其图象的性质，用待定系数法求一次函数的解析式，等腰三角形的分类和等腰三角形的性质，菱形的性质等知识，解决问题的关键是正确分类，画出符合条件的图形．2．（2021·西藏·统考中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点．与y轴交于点C．且点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，5）．（1）求该抛物线的解析式；（2）如图（甲）．若点P是第一象限内抛物线上的一动点．当点P到直线BC的距离最大时，求点P的坐标；（3）图（乙）中，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝﹣x2＋4x＋5；（2）P（52，354）；（3）存在，M的坐标为：（3，8）或（﹣3，﹣16）或（7，﹣【分析】（1）将A的坐标（﹣1，0），点C的坐（0，5）代入y＝﹣x2＋bx＋c，即可得抛物线的解析式为y＝﹣x2＋4x＋5；（2）过P作PD⊥x轴于D，交BC于Q，过P作PH⊥BC于H，由y＝﹣x2＋4x＋5可得B（5，0），故OB＝OC，△BOC是等腰直角三角形，可证明△PHQ是等腰直角三角形，即知PH＝PQ2，当PQ最大时，PH最大，设直线BC解析式为y＝kx＋5，将B（5，0）代入得直线BC解析式为y＝﹣x＋5，设P（m，﹣m2＋4m＋5），（0＜m＜5），则Q（m，﹣m＋5），PQ＝﹣（m﹣52）2＋254，故当m＝52时，PH最大，即点P到直线BC的距离最大，此时P（（3）抛物线y＝﹣x2＋4x＋5对称轴为直线x＝2，设M（s，﹣s2＋4s＋5），N（2，t），而B（5，0），C（0，5），①以MN、BC为对角线，则MN、BC的中点重合，可列方程组s+22=5+02-s2+4s+5+t2=0+52，即可解得M（3，8），②以MB、NC为对角线，则MB、NC的中点重合，同理可得s+52=2+02-s2+4s+4+02=t+52，解得【详解】解：（1）将A的坐标（﹣1，0），点C的坐（0，5）代入y＝﹣x2＋bx＋c得：0=-1-b+c5=c，解得b=4∴抛物线的解析式为y＝﹣x2＋4x＋5；（2）过P作PD⊥x轴于D，交BC于Q，过P作PH⊥BC于H，如图：在y＝﹣x2＋4x＋5中，令y＝0得﹣x2＋4x＋5＝0，解得x＝5或x＝﹣1，∴B（5，0），∴OB＝OC，△BOC是等腰直角三角形，∴∠CBO＝45°，∵PD⊥x轴，∴∠BQD＝45°＝∠PQH，∴△PHQ是等腰直角三角形，∴PH＝PQ2∴当PQ最大时，PH最大，设直线BC解析式为y＝kx＋5，将B（5，0）代入得0＝5k＋5，∴k＝﹣1，∴直线BC解析式为y＝﹣x＋5，设P（m，﹣m2＋4m＋5），（0＜m＜5），则Q（m，﹣m＋5），∴PQ＝（﹣m2＋4m＋5）﹣（﹣m＋5）＝﹣m2＋5m＝﹣（m﹣52）2＋25∵a＝﹣1＜0，∴当m＝52时，PQ最大为25∴m＝52时，PH最大，即点P到直线BC的距离最大，此时P（52，（3）存在，理由如下：抛物线y＝﹣x2＋4x＋5对称轴为直线x＝2，设M（s，﹣s2＋4s＋5），N（2，t），而B（5，0），C（0，5），①以MN、BC为对角线，则MN、BC的中点重合，如图：∴s+22=5+0∴M（3，8），②以MB、NC为对角线，则MB、NC的中点重合，如图：∴s+52=2+0∴M（﹣3，﹣16），③以MC、NB为对角线，则MC、NB中点重合，如图：s+02=2+5∴M（7，﹣16）；综上所述，M的坐标为：（3，8）或（﹣3，﹣16）或（7，﹣16）．【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、函数图象上点坐标的特征、等腰直角三角形、平行四边形等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标和相关线段的长度．3．（2021·山东泰安·统考中考真题）二次函数y=ax2+bx+4(a≠0)的图象经过点A(-4,0)，B(1,0)，与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上一点，连接BP、AC，交于点Q，过点P作PD⊥x（1）求二次函数的表达式；（2）连接BC，当∠DPB=2∠BCO时，求直线BP的表达式；（3）请判断：PQQB是否有最大值，如有请求出有最大值时点P【答案】（1）y=-x2-3x+4；（2）y=-158x+158；（3【分析】（1）将A(-4,0)，B(1,0)代入y=ax2+bx+4(a≠0)中，列出关于a、b的二元一次方程组，求出a（2）设BP与y轴交于点E，根据PD//y轴可知，∠DPB=∠OEB，当∠DPB=2∠BCO，即∠OEB=2∠BCO，由此推断△OEB为等腰三角形，设OE=a，则CE=4-a，所以BE=4-a，由勾股定理得BE2=OE2（3）设PD与AC交于点N，过B作y轴的平行线与AC相交于点M．由A、C两点坐标可得AC所在直线表达式，求得M点坐标，则BM=5，由BM//PN，可得△PNQ∽△BMQ，PQQB=PNBM=PN5【详解】解：（1）由题意可得：a⋅解得：a=-1b=-3∴二次函数的表达式为y=-x（2）设BP与y轴交于点E，∵PD//y轴，∴∠DPB=∠OEB，∵∠DPB=2∠BCO，∴∠OEB=2∠BCO，∴∠ECB=∠EBC，∴BE=CE，设OE=a，则CE=4-a，∴BE=4-a，在Rt△BOE中，由勾股定理得B∴解得a=15∴E0,设BE所在直线表达式为y=kx+e(k≠0)∴k⋅0+e=15∴直线BP的表达式为y=-15（3）设PD与AC交于点N．过B作y轴的平行线与AC相交于点M．由A、C两点坐标分别为(-4,0)，(0,4)可得AC所在直线表达式为y=x+4∴M点坐标为(1,5)，BM=5由BM//PN，可得△PNQ∽△BMQ，∴设P(a0∴PQ∴当a0=-2时，PQQB此时P点坐标为(-2,6)．【点睛】本题主要考查二次函数以及一次函数解析式的确定，函数图像的性质，相似三角形，勾股定理等知识点，熟练运用待定系数法求函数解析式是解题关键，本题综合性强，涉及知识面广，难度较大，属于中考压轴题．4．（2020·辽宁阜新·中考真题）如图，二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于点A-3,0，B1,0，交y轴于点C．点Pm,0是x轴上的一动点，PM⊥x轴，交直线

（1）求这个二次函数的表达式；（2）①若点P仅在线段AO上运动，如图1．求线段MN的最大值；②若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=x2+2x-3；（2）①94【分析】（1）把A(-3,0),B(1,0)代入y=x2+bx+c中求出b（2）①由点Pm,0得M(m,-m-3),Nm,m②分MN=MC和MC=2MN两种情况，根据菱形的性质得到关于【详解】解：（1）把A(-3,0),B(1,0)代入y=x0=9-3b+c,0=1+x+c.解得b=2,∴y=x（2）设直线AC的表达式为y=kx+b，把A(-3,0),C(0,-3)代入y=kx+b．得，0=-3k+b,-3=b.解这个方程组，得∴y=-x-3．

∵点Pm,0是x轴上的一动点，且PM⊥x∴M(m,-m-3),Nm,m∴MN=(-m-3)-=-=-m+3∵a=-1<0，∴此函数有最大值．又∵点P在线段OA上运动，且-3<-∴当m=-32时，MN有最大值9②∵点Pm,0是x轴上的一动点，且PM⊥x∴M(m,-m-3),Nm,m∴MN=(-m-3)-m2（i）当以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形，则有MN=MC，如图，∵C（0，-3）∴MC=(m-0)2∴-整理得，m4∵m2∴m2解得，m1=-3+∴当m=-3+2时，CQ=MN=3∴OQ=-3-(32-2∴Q(0，-32-1当m=-3-2时，CQ=MN=-3∴OQ=-3-(-32-2∴Q(0，32-1(ii)若MC=2则有-整理得，m2解得，m1=-4，综上所述，点Q的坐标为Q【点睛】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用线段的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质，解（3）的关键是利用菱形的性质得出关于m的方程，要分类讨论，以防遗漏．5．（2020·天津·中考真题）已知点A(1,0)是抛物线y=ax2+bx+m（a,b,m为常数，a≠0,m<0（1）当a=1,m=-3时，求该抛物线的顶点坐标；（2）若抛物线与x轴的另一个交点为M(m,0)，与y轴的交点为C，过点C作直线l平行于x轴，E是直线l上的动点，F是y轴上的动点，EF=22①当点E落在抛物线上（不与点C重合），且AE=EF时，求点F的坐标；②取EF的中点N，当m为何值时，MN的最小值是22【答案】（1）抛物线的顶点坐标为(-1,-4)；（2）①点F的坐标为(0,-2-7)或(0,-2+7)；②当m的值为-32或【分析】（1）根据a=1,m=-3，则抛物线的解析式为y=x2+bx-3，再将点A（1，0）代入y=（2）①首先用含有m的代数式表示出抛物线的解析式，求出C(0,m)，点E(m+1,m).过点A作AH⊥l于点H,在Rt△EAH中，利用勾股定理求出AE的值，再根据AE=EF，EF=22，可求出m的值，进一步求出F②首先用含m的代数式表示出MC的长，然后分情况讨论MN什么时候有最值.【详解】解：（1）当a=1，m=-3时，抛物线的解析式为y=x∵抛物线经过点A(1,0)，∴0=1+b-3．解得b=2．∴抛物线的解析式为y=x∵y=x∴抛物线的顶点坐标为(-1,-4)．（2）①∵抛物线y=ax2+bx+m经过点A(1,0)和M(m,0)∴0=a+b+m，0=am2+bm+m∴a=1，b=-m-1．∴抛物线的解析式为y=x根据题意，得点C(0,m)，点E(m+1,m)．过点A作AH⊥l于点H．由点A(1,0)，得点H(1,m)．在Rt△EAH中，EH=1-(m+1)=-m，HA=0-m=-m，∴AE=E∵AE=EF=22∴-2m=22此时，点E(-1,-2)，点C(0,-2)，有EC=1．∵点F在y轴上，∴在Rt△EFC中，CF=E∴点F的坐标为(0,-2-7)或②由N是EF的中点，得CN=1根据题意，点N在以点C为圆心、2为半径的圆上．由点M(m,0)，点C(0,m)，得MO=-m，CO=-m．∴在Rt△MCO中，MC=M当MC≥2，即m≤-1时，满足条件的点N落在线段MCMN的最小值为MC-NC=-2m-2当MC<2，-1<m<0时，满足条件的点N落在线段CMMN的最小值为NC-MC=2-(-2∴当m的值为-32或-12时，【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，抛物线上的点的坐标满足抛物线方程等，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．．6．（2023·重庆·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=14x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C

(1)求该抛物线的表达式；(2)点P是直线AC下方抛物线上一动点，过点P作PD⊥AC于点D，求PD的最大值及此时点P的坐标；(3)在（2）的条件下，将该抛物线向右平移5个单位，点E为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点F，Q为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．写出所有使得以QF为腰的△QEF是等腰三角形的点Q的坐标，并把求其中一个点Q的坐标的过程写出来．【答案】(1)y=(2)PD取得最大值为45，(3)Q点的坐标为92,-1或92【分析】（1）待定系数法求二次函数解析式即可求解；（2）直线AC的解析式为y=-34x-3，过点P作PE⊥x轴于点E，交AC于点Q，设Pt,1（3）根据平移的性质得出y=14x-922-4916，对称轴为直线x=92【详解】（1）解：将点B3,0，C0,-3．代入1解得：b=1∴抛物线解析式为：y=1（2）∵y=14x2+14当y=0时，1解得：x1∴A-4,0∵C0,-3设直线AC的解析式为y=kx-3，∴-4k-3=0解得：k=-∴直线AC的解析式为y=-3如图所示，过点P作PE⊥x轴于点E，交AC于点Q，

设Pt,14∴PQ=-3∵∠AQE=∠PQD，∠AEQ=∠QDP=90°，∴∠OAC=∠QPD，∵OA=4,OC=3，∴AC=5，∴cos∠QPD=∴PD=4∴当t=-2时，PD取得最大值为45，1∴P-2,-（3）∵抛物线y=14将该抛物线向右平移5个单位，得到y=14x-点P-2,-52向右平移∵平移后的抛物线与y轴交于点F，令x=0，则y=1∴F0,2∴E∵Q为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．则Q点的横坐标为92设Q9∴QE2=当QF=EF时，922+m-22解得：m=-1或m=5，当QE=QF时，92-32+m+解得：m=综上所述，Q点的坐标为92,-1或92【点睛】本题考查了二次函数综合问题，解直角三角形，待定系数法求解析式，二次函数的平移，线段周长问题，特殊三角形问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．题型02利用二次函数解决两条线段之和的最值问题【解题思路】抛物线中的线段最值问题有三种形式：2.两条线段和的最值问题：解决这类问题最基本的定理就是“两点之间线段最短”，解决这类问题的方法是：作其中一个定点关于已知直线的对称点，连接对称点与另一个定点，它们与已知直线的交点即为所求的点.其变形问题有三角形周长最小或四边形周长最小等.【常见模型一】（两点在河的异侧）：在直线L上找一点M，使PA+PB的值最小.方法：如右图，连接AB，与直线L交于点M,在M处渡河距离最短，最短距离为线段AB的长。【常见模型二】（两点在河的同侧）：在直线L上找一点M，使PA+PB的值最小.方法：如右图，作点B关于直线L的对称点B’，连接AB’,与直线L的交点即为所求的渡河点，最短距离为线段AB’的长。7．（2023·山东枣庄·统考中考真题）如图，抛物线y=-x2+bx+c经过A(-1,0),C(0,3)两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM

(1)求该抛物线的表达式；(2)若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求MH+DH的最小值；(3)若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y=-(2)37(3)存在，Q1,3或Q1,1【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可；（2）作点D关于x轴的对称点D'，连接D'M，D'M与x轴的交点即为点H（3）分DM，DP，MP分别为对角线，三种情况进行讨论求解即可．【详解】（1）解：∵抛物线y=-x2+bx+c∴-1-b+c=0c=3，解得：b=2∴y=-x（2）∵y=-x∴M1,4设直线AM:y=kx+m(k≠0)，则：-k+m=0k+m=4，解得：k=2∴AM:y=2x+2，当x=0时，y=2，∴D0,2作点D关于x轴的对称点D'，连接D则：D'0,-2，∴当M,H,D'三点共线时，MH+DH有最小值为

∵D'0,-2，∴D'即：MH+DH的最小值为：37；（3）解：存在；∵y=-x∴对称轴为直线x=1，设Pp,t，Q当以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时：①DM为对角线时：1+p=0+1t+n=4+2

∴p=0t+n=6当p=0时，t=3，∴n=3，∴Q1,3②当DP为对角线时：0+p=1+12+t=4+n

∴p=22+t=4+n当p=2时，t=-2∴n=1，∴Q1,1③当MP为对角线时：1+p=0+14+t=2+n

∴p=0n-t=2当p=0时，t=3，∴n=3，∴Q1,5综上：当以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，Q1,3或Q1,1或【点睛】本题考查二次函数的综合应用，是中考常见的压轴题．正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的性质，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．8．（2015·四川自贡·统考中考真题）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=-1，且抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其中A(1,0)（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴x=-1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；（3）设点P为抛物线的对称轴x=-1上的一个动点，求使ΔBPC为直角三角形的点P的坐标.【答案】（1）抛物线的解析式为y=-x2-2x+3，直线的解析式为y=x+3.（2）M(-1,2)；（3）P的坐标为(-1,-2)或(-1,4)或(-1,【详解】分析：（1）先把点A，C的坐标分别代入抛物线解析式得到a和b，c的关系式，再根据抛物线的对称轴方程可得a和b的关系，再联立得到方程组，解方程组，求出a，b，c的值即可得到抛物线解析式；把B、C两点的坐标代入直线y=mx+n，解方程组求出m和n的值即可得到直线解析式；（2）设直线BC与对称轴x=-1的交点为M，此时MA+MC的值最小．把x=-1代入直线y=x+3得y的值，即可求出点M坐标；（3）设P（-1，t），又因为B（-3，0），C（0，3），所以可得BC2=18，PB2=（-1+3）2+t2=4+t2，PC2=（-1）2+（t-3）2=t2-6t+10，再分三种情况分别讨论求出符合题意t值即可求出点P的坐标．详解：（1）依题意得：-b2a=-1∴抛物线的解析式为y=-x∵对称轴为x=-1，且抛物线经过A(1,0∴把B(-3,0)、C(0,3得-3m+n=0n=3，解之得：m=1∴直线y=mx+n的解析式为y=x+3.（2）直线BC与对称轴x=-1的交点为M，则此时MA+MC的值最小，把x=-1代入直线y=x+3得y=2，∴M(-1,2).即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为（注：本题只求M坐标没说要求证明为何此时MA+MC的值最小，所以答案未证明MA+MC的值最小的原因）.（3）设P(-1,t)，又B(-3,0)，∴BC2=18，P①若点B为直角顶点，则BC2+PB2②若点C为直角顶点，则BC2+PC2③若点P为直角顶点，则PB2+Pt1=3+综上所述P的坐标为(-1,-2)或(-1,4)或(-1,3+点睛：本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数（二次函数和一次函数）的解析式、利用轴对称性质确定线段的最小长度、难度不是很大，是一道不错的中考压轴题．9．（2021·山东东营·统考中考真题）如图，抛物线y=-12x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线y=-12（1）求抛物线的解析式；（2）求证：△AOC∽△ACB；（3）点M3,2是抛物线上的一点，点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作DE⊥x轴交直线BC于点E，点P为抛物线对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求PD+PM【答案】（1）y=-12x2+3【分析】（1）先利用直线y=-12x+2得到点B（2）根据解析式求得点A的坐标，求出两个三角形的边长，根据两组对应边成比例夹角相等求证；（3）设点D的坐标为x,-12x2+32x+2，将线段【详解】（1）解：∵直线y=-12x+2分别与x轴和y轴交于点B∴点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，2），把B4,0，C0,2分别代入得-8+4b+c=0c=2解得b=3∴抛物线的解析式为y=-1（2）∵抛物线y=-12x2+∴-1解得x1=-1，∴点A的坐标为-1,0，∴AO=1，AB=5，在Rt△AOC中，AO=1，OC=2∴AC=5∴AOAC∵ACAB∴AOAC又∵∠OAC=∠CAB，∴△AOC∽△ACB．（3）设点D的坐标为x,-则点E的坐标为x,-∴DE=-=-=-=-∵-1∴当x=2时，线段DE的长度最大．此时，点D的坐标为2,3，∵C0,2，∴点C和点M关于对称轴对称，连接CD交对称轴于点P，此时PD+PM最小．连接CM交直线DE于点F，则∠DFC=90°，点F的坐标为2,2，∴CD=C∵PD+PM=PC+PD=CD∴PD+PM的最小值5．．【点睛】此题考查的是二次函数的综合知识，利用待定系数法求函数解析式，函数图象与坐标轴的交点问题，函数的最值问题，轴对称的性质，勾股定理，证明两个三角形相似，熟练掌握各知识点是解题的关键．10．（2023·山东德州·校考一模）如图，已知抛物线y=ax2-32x+c与x轴交于点A(-4,0)，(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q使QB+QC最小？若存在，请求出Q点坐标；若不存在，请说明理由；(3)点P为AC上方抛物线上的动点，过点P作PD⊥AC，垂足为点D，连接PC，当△PCD与△ACO相似时，求点P的坐标．【答案】(1)y=-(2)存在，Q(-(3)点P的坐标为(-3,2)或(-【分析】（1）由待定系数法求解即可；（2）找到点B关于对称轴对称的点A，连接AC交对称轴于一点即为Q，求AC所在直线解析式，即可求解；（3）当△PCD与△ACO相似时，则△PCD∽△CAO或△PCD∽△ACO，故分分类讨论即可：①若△PCD∽△CAO，则∠PCD=∠CAO，可推出点P的纵坐标与点C的纵坐标相同，由点P为AC上方抛物线上的动点，得关于x的一元二次方程，求解并作出取舍则可得答案；②若△PCD∽△ACO，则∠PCD=∠ACO，PDAO=CDCO，过点A作AC的垂线，交CP的延长线于点G，过点G作GH⊥x轴于点H，判定△GAC∽△PDC，△GHA∽△AOC，由相似三角形的性质得比例式，解得点G的坐标，从而可得直线CG的解析式，求得直线CG与抛物线的交点横坐标，再代入直线【详解】（1）解：∵抛物线y=ax2-32x+c与∴16a-3解得a=-1∴抛物线的解析式为y=-1（2）存在，如图：∵A，B关于对称轴对称，∴QA=QB，∴QB+QC=QA+QC，∴QB+QC的最小值为AC，∴AC与对称轴的交点即为所求：由（1）可知，对称轴为：x=-b2a=-∵A(-4,0)，C(0,2)，∴AC所在直线解析式为：y=1令x=-32，∴Q(-32，（3）∵点A(-4,0)，B(1,0)，∴OA=4，OB=1，在抛物线y=-12x2-∴C(0,2)，∴OC=2，∴AC=O∵PD⊥AC，∴∠PDC=90°=∠AOC，∴当ΔPCD与ΔACO相似时，则△PCD∽△CAO或①若△PCD∽△CAO，则∠PCD=∠CAO，∴CP∥∵C(0,2)，∴点P的纵坐标为2，∵点P为AC上方抛物线上的动点，∴2=-1解得：x1=0（不合题意，舍去），∴此时点P的坐标为(-3,2)；②若△PCD∽△ACO，则∠PCD=∠ACO，PDAO∴PDCD过点A作AC的垂线，交CP的延长线于点G，过点G作GH⊥x轴于点H，如图：∵PD⊥AC，GA⊥AC，∴GA∥∴△GAC∽△PDC，∴GAPD∴GAAC∵GA⊥AC，GH⊥x轴，∴∠GAC=∠GHA=90°，∴∠AGH+∠GAH=90°，∠GAH+∠CAO=90°，∴∠AGH=∠CAO，∵∠GHA=∠AOC=90°，∴△GHA∽△AOC，∴GHAO即GH4∴GH=8，AH=4，∴HO=AH+OA=8，∴G(-8,8)，设直线CG的解析式为y=-3令-3解得：x1=0（不合题意，舍去），把x=-32代入y=-3∴此时点P的坐标为(-32，综上所述，符合条件的点P的坐标为(-3,2)或(-32，【点睛】本题考查二次函数的综合应用，掌握待定系数法求函数的解析式、一线三直角模型及相似三角形的判定与性质等知识点是解题的关键．11．（2021·广东东莞·校考一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，抛物线的对称轴l与x轴交于M点．(1)求抛物线的函数解析式；(2)设点P是直线l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求PA+PC长；(3)已知点N（0，﹣1），在y轴上是否存在点Q，使以M、N、Q为顶点的三角形与△BCM相似？若存在；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y＝﹣x2+2x+3(2)PA+PC的长为3(3)存在，点Q的坐标为0,2或0,-1【分析】（1）当x＝0时，y＝3，可得C（0，3）．再设设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3）（a≠0），利用待定系数法，即可求解；（2）连接PA、PB、PC，根据轴对称性可得PA＝PB．从而得到PA+PC＝PC+PB．进而得到当点P在线段BC上时，PC+AP有最小值．即可求解；（3）先求出抛物线的对称轴，可得点M1,0，再由点N（0，﹣1），B（3，0），C（0，3）．可得MN=2,BC=32,BM=2,∠CBM=45°,∠MNO=45°，可得∠【详解】（1）解：把x＝0代入得：y＝3，∴C（0，3）．设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3）（a≠0），将点C的坐标代入上式得：3＝﹣3a，解得：a＝﹣1．∴抛物线的解析式为y＝-（x+1）（x-3）=﹣x2+2x+3．（2）解：如图，连接PA、PB、PC，∵点A与点B关于直线l对称，点P在直线l上，∴PA＝PB．∴PA+PC＝PC+PB．∵两点之间线段最短，∴当点P在线段BC上时，PC+AP有最小值．∵OC＝3，OB＝3，∴BC＝32∴PA+PC的最小值＝32（3）解：存在，理由：抛物线的对称轴为直线x＝﹣b2a＝1∵抛物线的对称轴l与x轴交于M点．∴点M1,0∵点N（0，﹣1），B（3，0），C（0，3）．∴OM=ON=1，OB=OC=3，∴MN=2∴∠CBM=∠MNO，当点Q在点N下方时，∠MNQ=135°，不符合题意，∴点Q在点N上方，设点Q的坐标为（0，n）．则QN=n+1，∵以M、N、Q为顶点的三角形与△BCM相似，∴∠QMN=∠CMB或∠MQN=∠CMB，当∠Q1MN=∠CMB时，△∴Q1∴n+132=∴点Q1当∠MQ2N=∠CMB时，△M∴Q2∴n+12=2∴点Q2综上所述，点Q的坐标为0,2或0,-1【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，相似三角形的判定和性质，两点之间，线段最短，待定系数法求二次函数解析式等知识，熟练掌握二次函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键．12．（2023·江苏苏州·统考一模）如图，二次函数y=-14x2+12m-1x+m（m是常数，且m>0）的图象与x轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，动点P在对称轴l(1)求点A、B、C的坐标（用数字或含m的式子表示）；(2)当PA+PC的最小值等于45时，求m的值及此时点P(3)当m取（2）中的值时，若∠APC=2∠ABC，请直接写出点P的坐标．【答案】(1)A-2，0，(2)m=4，P(3)P点坐标为3，0【分析】（1）将x=0，y=0，分别代入y=-1（2）如图1，连接PB，由题意知，PA=PB，则PA+PC=PB+PC，可知当C，P，B三点共线时，PA+PC值最小，在Rt△BOC中，由勾股定理得BC=5m，由PA+PC的最小值等于45，可得5m=45，计算m的值，然后得出（3）由（2）知m=4，则B8，0，C0，4，抛物线的对称轴为直线x=3，勾股定理逆定理判断△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，记D为直线l与x轴的交点，如图2，连接CD，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得CD=BD=AD，由等边对等角可得∠DCB=∠ABC，由三角形外角的性质可得∠ADC=∠DCB+∠ABC=2∠ABC，进而可得∠ADC=∠APC，即P与D重合，求此时的P点坐标；过A，C，D三点作⊙O'，如图2，由同弧所对的圆周角相等可知⊙O'与直线l=3交点即为P，设P3，a，由题意知，圆心O'在直线【详解】（1）解：当x=0时，y=m，当y=0时，-14x2+解得x1=2m，∴A-2，0，B（2）解：如图1，连接PB，由题意知，PA=PB，∴PA+PC=PB+PC，∴当C，P，在Rt△BOC中，由勾股定理得BC=∵PA+PC的最小值等于45∴5m=4解得m=4，∴B8，0∴抛物线的对称轴为直线x=3，设直线BC的解析式为y=kx+b，将B8，0，C解得k=-1∴直线BC的解析式为y=-1当x=3时，y=-1∴P3∴m=4，P3（3）解：∵m=4，∴B8，0，C∵AC2=22∴AC∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，记D为直线l与x轴的交点，如图2，连接CD，∴CD=BD=AD，∴∠DCB=∠ABC，∵∠ADC=∠DCB+∠ABC=2∠ABC，∴∠ADC=∠APC，∴P与D重合，即P3过A，C，D三点作⊙O'，如图2，由同弧所对的圆周角相等可知⊙O由题意知，圆心O'在直线x=12上，设圆心坐标为12，∵AO'2解得n=5∵AO'2解得a1=0，∴P3综上，P点坐标为3，0或【点睛】本题考查了二次函数与线段、角度综合，二次函数的图象与性质，勾股定理的逆定理，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，同弧所对的圆周角相等，等边对等角，三角形外角的性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．题型03利用二次函数解决两条线段之差的最值问题【解题思路】抛物线中的线段最值问题有三种形式：3.两条线段差的最值问题：解决这类问题最基本的定理就是“三角形任何两边之差小于第三边”，解决这类问题的方法是：求解时,先根据原理确定线段差取最值时的图形,再根据已知条件求解。【常见模型一】（两点在同侧）：在直线L上求一点P,求|PA-PB|的最大值方法：如右图，延长射线AB，与直线L交于点P，|PA-PB|最大值为AB【常见模型二】（两点在异侧）：在直线L上求一点P,求|PA-PB|的最大值。方法：如右图，作点B关于直线L的对称点B’，延长射线AB’，与直线L交于点P，|PA-PB|最大值为AB’13．（2023·江西九江·校考模拟预测）已知二次函数y=ax2＋bx＋c中，x，x…-1013…y…03m0…(1)表格中m=______，在如图所示的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象；

(2)若二次函数y=ax2＋bx＋c的图象与y轴交于点A，顶点为(3)设Q(0，2t)是y轴上的动点，若线段PQ与函数y=ax【答案】(1)4，画图象见解析(2)|PA-PB|的最大值为2，点P的坐标为-3(3)t的取值范围是32≤t<3【分析】（1）由表格中的y与x的对应值可知点(-1，0)，(0，3)，（2）先求得A(0，3)，抛物线的顶点坐标为B(1，4)，再根据勾股定理求得AB=2，由PA-PB≤AB，可知当点P在直线AB上时，PA-PB=AB，此时PA-PB取得最大值2，求得直线AB的解析式为y=x+3，将P(t，（3）结合函数图象分类讨论求解即可【详解】（1）∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(-1∴可设二次函数的解析式为y=a(x+1)(x-3)．又二次函数的图象经过点(0,将(0,3)代入得-3a=3，∴a=-1，∴y=-x+1当x=1时，y=4，即m=4．图象如图所示，

（2）对于y=-x2+2x+3，当x=0∴A(0∵y=-∴抛物线的顶点坐标为B1∴AB=1∵PA-PB≤AB∴当点P在直线AB上时，PA-PB=AB，此时PA-PB的值最大，最大值为2∴设直线AB的解析式为y=kx+3，则k+3=4，解得k=1，∴直线AB的解析式为y=x+3，∵P(t,0)在直线y=x+3上，∴t+3=0，解得t=-3，∴P(-3，∴PA-PB的最大值为2，对应的点P的坐标为(-3，（3）由题意可知二次函数y=ax∴二次函数y=-x2+2x+3设线段PQ所在直线的解析式为y=x＋将P(t，0)，Q(0∴线段PQ所在直线的解析式为y=-2x＋当线段PQ过点(0，3)，即点Q与点A重合时，线段PO与函数y=-x当线段PQ过点(3，0)，即点P与点(3，0)重合时，t=3，此时线段PQ与函数∴当32≤t<3时，线段PQ与函数将y=-2x＋2t代入y=x∴-x令Δ=16-4×(-1)×(3-2t)=0，解得t=∴当t=72时，线段PQ与函数综上所述，t的取值范围是32≤t<3或【点睛】此题重点考查二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、用待定系数法求函数的解析式、勾股定理、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法．14．（2022·湖南常德·统考中考真题）如图，已经抛物线经过点O(0,0)，A(5,5)，且它的对称轴为x=2．(1)求此抛物线的解析式；(2)若点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限，当△OAB的面积为15时，求B的坐标；(3)在（2）的条件下，P是抛物线上的动点，当PA-PB的值最大时，求P的坐标以及PA-PB的最大值【答案】(1)y=(2)B(2,8)(3)P(-2,12),PA-PB的最大值为3【分析】（1）根据题意可设抛物线为y=ax（2）设B2,y,且y>0,记OA与对称轴的交点为Q，设直线OA为：y=kx,解得：k=1,可得直线OA为：y=x,则Q2,2,（3）如图，连接AB，延长AB交抛物线于P，则此时PA-PB=AB最大，由勾股定理可得最小值，再利用待定系数法求解AB的解析式，联立一次函数与二次函数的解析式，解方程组可得P的坐标．【详解】（1）解：∵抛物线经过点O(0,0)，∴设抛物线为：y=ax∵抛物线过A(5,5)，且它的对称轴为x=2．∴25a+5b=5-b2a∴抛物线为：y=（2）解：如图，点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限，设B2,y,且y>0,记OA与对称轴的交点为设直线OA为：y=kx,∴5=5k,解得：k=1,∴直线OA为：y=x,∴Q2,2∴S=1解得：y=8或y=-4,∵y>0,则y=8,∴B（3）如图，连接AB，延长AB交抛物线于P，则此时PA-PB=AB最大，∵A5,5∴AB=5-2设AB为：y=k'x+b',代入A、B两点坐标，∴5k'+b'=5解得：k'=-1∴AB为：y=-x+10,∴y=-x+10解得：x=5y=5∴P【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，坐标与图形面积，三角形三边关系的应用，勾股定理的应用，确定PA-PB最大时P的位置是解本题的关键．15．（2022上·福建泉州·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为E1，4的抛物线y=ax2+bx+c与x轴从左到右依次交于A，B两点，与y轴的交点为(1)求此抛物线的解析式；(2)若直线BP与抛物线对称轴交于点D，当BD-CD取得最大值时，求点P的坐标；(3)若直线BC与抛物线对称轴交于点F，连接PC，PE，PF，记△PCF，△PEF的面积分别为S1，S2，判断【答案】(1)y=-(2)P(2(3)存在，最大值为3【分析】（1）由顶点坐标可设该函数顶点式为y=a'(x-1)2+4（2）设直线BP与抛物线对称轴交于点D，连接AD，CD，AC．根据抛物线解析式可求出A(-1，0)，B(3，0)，由抛物线的对称性可知AD=BD，即BD-CD=AD-CD．再根据AD-CD≤AC，即得出BD-CD的最大值为（3）利用待定系数法可求出直线BC的解析式为y=-x+3，从而可求出F(1，2)．设直线PC与抛物线对称轴交于点Q，设P(t，-t2+2t+3)(1<t<3)，利用待定系数法又可求出直线PC解析式为y=(-t+2)x+3，从而得出Q(1，-t+5)，进而可求出FQ=【详解】（1）解：∵该抛物线顶点为E1∴还可设该抛物线解析式为y=a∵该抛物线与y轴的交点为C0∴3=a解得：a'∴该抛物线解析式为：y=-(x-1)（2）如图，设直线BP与抛物线对称轴交于点D，连接AD，对于y=-x2+2x+3，令y=0解得：x1∴A(-1，∵抛物线关于其对称轴对称，点D在抛物线对称轴上，∴AD=BD，∴BD-CD=∵AD-CD≤AC，∴BD-CD≤AC，即BD-CD的最大值为AC的长，此时点A，C，D∴点C关于抛物线对称轴的对称点即为点P．∵抛物线对称轴为x=-b∴P(2，（3）存在，最大值为3．设直线BC的解析式为y=mx+n，则0=3m+n3=n，解得：m=-1∴直线BC的解析式为y=-x+3，当x=1时，y=-1+3=2，∴F(1，如图，设直线PC与抛物线对称轴交于点Q，设P(t，-t2+2t+3)(1<t<3)则-t2+2t+3=tp+q∴直线PC解析式为y=(-t+2)x+3，令x=1，则y=-t+5，∴Q(1，∴FQ=y∴S1∵EF=y∴S2∴2S∵1<t<3，∴当t=2时，2S1+【点睛】本题为二次函数综合题，考查利用待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质等知识．熟练掌握二次函数的图象和性质并利用数形结合的思想是解题关键．16．（2020上·广东惠州·九年级惠州一中校考阶段练习）如图，抛物线y=ax2-2ax-3a与x轴交于A，B两点，点A，B分别位于原点的左、右两侧，与y轴交于点C，D为抛物线的顶点，已知△ABC(1)求抛物线的解析式．(2)P为抛物线对称轴上的点，当PA-PC取最大值时，求点P的坐标．(3)在（2）的条件下，E为抛物线上的动点，若S△BDE:S【答案】(1)y=(2)P(3)2+2,23【分析】（1）令y=0，求出x的值即可；（2）根据三角形两边之差小于第三边，所以当点P在直线AC延长线上时，PA-PC最大，最大值为AC，求出直线AC的解析式，代入x=1即可求得P的坐标；（3）连接BP，BD，过点E作EF∥y轴交BD于点F，连接BE，DE，先求出S△BDP=233，S△BDE=33；设点E的坐标为：【详解】（1）对于y=ax2-2ax-3a，当y=0∵a≠0,∴x解得，x∵点A，B分别位于原点的左、右两侧，∴A-1,0∴AB=3-令x=0,则y=-3a，∴OC=-3a∵S△ABC∴a=3∴OC=3∴抛物线的解析式为y=3（2）如图所示，根据三角形两边之差小于第三边，所以，当点P在直线AB上时，PA-PC最大，设直线AC的解析式为y=kx+b，把-1,0,0,-3解得，k=-3∴直线AC的解析式为y=-3∵y=∴抛物线的对称轴直线为x=1，∴y=-∴P（（3）如图，连接BP，BD，过点E作EF∥y轴交BD于点连接BE，DE，当x=1时，y=-4∴点D的坐标为1∵P1∴PD=-4∴S△BDP=12又S∴S△BDE设点E的坐标为：t,设直线BD的解析式为y=k代入B3,0，D1,-4解得：k1∴直线BD的解析式为：y=2∴点F的坐标为t∴EF=3∵S==∴|3整理得，t2-4t+2=0或解得，t1=2+2，t代入可得点E的坐标为：2+2,23【点睛】本题考查了二次函数的应用以及解析式的确定以及面积问题等知识，主要考查学生数形结合思想的应用能力，题目的综合性很强．17．（2019·云南红河·统考一模）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0），与y轴交于点B，且对称轴为x＝1．（1）求该抛物线的解析式；（2）点P是抛物线对称轴上的一动点，当|PA﹣PB|取最大值时，求点P的坐标．【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）P（1，6）【分析】（1）利用待定系数法即可求得；（2）根据三角形两边之差小于第三边，得，当点P在直线AB上时，|PA﹣PB|最大，根据△ABO∽△APH求得PH的长度，即可求得P的坐标．【详解】（1）由题意得：-1-b+c=0b2×(-1)=1，解得∴该抛物线的解析式：y＝﹣x2+2x+3；（2）∵抛物线为y＝﹣x2+2x+3，令x＝0，则y＝3，∴B（0，3），∵三角形两边之差小于第三边，∴当点P在直线AB上时，|PA﹣PB|最大.设抛物线的对称轴直线x＝1与x轴交于点H，与直线AB交于点P，∵PH∥y轴，∴△ABO∽△APH∴BOPH∴PH＝2BO＝6，∴P（1，6）即为所求．【点睛】本题主要考查二次函数与平面几何的综合，根据三角形两边之差小于第三边，得：点P在直线AB上时，|PA﹣PB|最大，是解题的关键.题型04利用二次函数解决三条线段之和的最值问题18．（2021·湖北恩施·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，点A，B在x轴上，抛物线y=x2+bx+c经过点B，D-4,5两点，且与直线（1）求抛物线的解析式；（2）F为抛物线对称轴上一点，Q为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点Q，F，E，B为顶点的四边形是以BE为边的菱形．若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；（3）P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接ME，BP．探究EM+MP+PB是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=x2+2x-3；（2）存在以点Q，F，E，B为顶点的四边形是以BE为边的菱形，点F的坐标为-1,22或-1,-22或-1,5-17或-1,5+17；（3）EM+MP+PB【分析】（1）由题意易得AD=AB=5，进而可得A-4,0，则有B1,0，然后把点B、（2）设点F-1,a，当以点Q，F，E，B为顶点的四边形是以BE为边的菱形时，则根据菱形的性质可分①当BF=BE时，②当EF=BE（3）由题意可得如图所示的图象，连接OM、DM，由题意易得DM=EM，四边形BOMP是平行四边形，进而可得OM=BP，则有EM+MP+PB=DM+MO+1，若使EM+MP+PB的值为最小，即DM+MO+1为最小，则有当点D、M、O三点共线时，DM+MO+1的值为最小，然后问题可求解．【详解】解：（1）∵四边形ABCD为正方形，D-4,5∴AD=AB=5，A-4,0∴AO=4，∴OB=1，∴B1,0把点B、D坐标代入得：16-4b+c=51+b+c=0解得：b=2c=-3∴抛物线的解析式为y=x（2）由（1）可得B1,0，抛物线解析式为y=x2∵点D与点E关于抛物线的对称轴对称，∴E2,5∴由两点距离公式可得BE设点F-1,a，当以点Q，F，E，B为顶点的四边形是以BE①当BF=BE时，如图所示：∴由两点距离公式可得BF2=B解得：a=±22∴点F的坐标为-1,22或-1,-②当EF=BE时，如图所示：∴由两点距离公式可得EF2=B解得：a=5±17∴点F的坐标为-1,5-17或-1,5+综上所述：当以点Q，F，E，B为顶点的四边形是以BE为边的菱形，点F的坐标为-1,22或-1,-22或-1,5-17（3）由题意可得如图所示：连接OM、DM，由（2）可知点D与点E关于抛物线的对称轴对称，B1,0∴OB=1，DM=EM，∵过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，∴PM=OB=1,PM//∴四边形BOMP是平行四边形，∴OM=BP，∴EM+MP+PB=DM+MO+1，若使EM+MP+PB的值为最小，即DM+MO+1为最小，∴当点D、M、O三点共线时，DM+MO+1的值为最小，此时OD与抛物线对称轴的交点为M，如图所示：∵D-4,5∴OD=4∴DM+MO+1的最小值为41+1，即EM+MP+PB的最小值为41设线段OD的解析式为y=kx，代入点D的坐标得：k=-5∴线段OD的解析式为y=-5∴M-1,【点睛】本题主要考查二次函数的综合、菱形的性质及轴对称的性质，熟练掌握二次函数的综合、菱形的性质及轴对称的性质是解题的关键．19．（2022·山东烟台·统考二模）如图，平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A，B在x轴上，抛物线y=-x2+bx+c经过A，C4,-5两点，且与直线(1)求抛物线的解析式：(2)P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为Q，连接EQ，AP．试求EQ+PQ+AP的最小值；(3)N为平面内一点，在抛物线对称轴上是否存在点M，使得以点M，N，E，A为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y=-(2)41(3)存在，1,-3，1,22，1,-22，1,-5+【分析】（1）求出A点坐标，把A、C坐标代入解析式计算即可；（2）连接OC，交对称x=1于点Q，证明四边形AOQP是平行四边形，即可说明若使的EQ+PQ+AP值为最小，其EQ+OQ为量小，最小值为线段OC长；（3）由于N是任意一点，要使得以点M，N，E，A为顶点的四边形是菱形只要说明△AME是等腰三角形即可．【详解】（1）∵四边形ABCD为正方形，C4,-5∴AD=AB=5，B4,0∴OA=1，∴A-1,0将点A，C坐标代入y=-x2+bx+c解得：b=2c=3∴抛物线的解析式为y=-x（2）连接OC，交对称x=1于点Q∵PQ⊥y轴，∴AO∥∵AO=PQ=1，∴四边形AOQP是平行四边形，∴AP=OQ，∴EQ+PQ+AP=EQ+1+OQ若使的EQ+PQ+AP值为最小，其EQ+OQ为量小．∵E，C关于对称轴x=1对称，∴EQ=CQ，∴EQ+OQ=CQ+OQ，此时EQ+OQ的值最小，最小值为线段OC长．∵C4,-5∴OC=4∴EQ+PQ+AP的最小值为41+1即EQ+PQ+AP的最小值为41+1（3）设M(1,m)∵E，C关于对称轴x=1对称，C4,-5∴E-2,-5∵A∴AAE∵由于N是任意一点，要使得以点M，N，E，A为顶点的四边形是菱形∴△AME是等腰三角形当AE=AM时，AM解得m=±22此时M点坐标为1,22，当AE=EM时，EM解得m=-5±17此时M点坐标为1,-5+17，当AM=EM时，EM解得m=-3，此时M点坐标为1,-3综上所述，存在点M1,-3，1,22，1,-22，1,-5+，使得以点M，N，E，A为顶点的四边形是菱形【点睛】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求抛物线的解析式、线段和最值问题、二次函数的性质、菱形的判定与性质，综合性较强，有一定难度．其中第（3）问把菱形转换成等腰三角形是解题的关键，需要注意分析题意分情况进行讨论，否则容易漏解．20．（2022·湖北恩施·统考模拟预测）如图，已知抛物线y=14x+h2+k．点A-1,2在抛物线的对称轴上，B0,54是抛物线与y(1)直接写出h，k的值；(2)如图，若点D的坐标为3,m，点Q为y轴上一动点，直线QK与抛物线对称轴垂直，垂足为点K．探求DK+KQ+QC的值是否存在最小值，若存在，求出这个最小值及点Q的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图，连接AD，AC，若∠DAC=60°，求点D的坐标．【答案】(1)h=1，k=1(2)存在，最小值为74+1，(3)D【分析】（1）根据二次函数性质进行分析，即可得到答案；（2）由（1）可知y=14x+12+1，求得D3,5，作C点关于直线x=-12的对称点C'，连接C'D交抛物线对称轴于点K，连接CQ，当C'、K、D三点共线时，C'D有最小值，即（3）如图，过D作DE⊥AC于E，设Dm,14m2+12m+54，则Cm,0【详解】（1）解：∵点A-1,2∴抛物线的对称轴为直线x=∴h=1∴y=1∵B0,54∴1∴k=1；（2）解：存在最小值，理由如下：由（1）可知，y=1∵点D是抛物线上一点，坐标为3,m，∴m=1∴D3,5作C点关于直线x=-12的对称点C'，连接C'D

由对称性可知，C'∴DK+KQ+QC=DK+KQ+C'K≥C'D+KQ，当C'、K、D三点共线时，C'D∵抛物线的对称轴为直线x=-1∴KQ=1，∵D3,5，CD⊥x∴C3,0∴C∴C'∴DK+KQ+QC的最小值为74+1设直线C'D的解析式为∴-4k+b=0解得：k=5∴直线C'D的解析式为令x=-1∴K-1,∴Q0,（3）∵y=1如图，过D作DE⊥AC于E，设Dm,14∴CD

∵∠DAC=60°，∴DE2=∴D=m+1而CD解得：m=±23∵D在第二象限，则m>0，∴m=23∴D2【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，最值问题，勾股定理，一元二次方程的解法，待定系数法求一次函数解析式等知识，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键．题型05利用二次函数解决三角形周长的最值问题21．（2023·广东湛江·校考一模）抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于点A-3,0,B

(1)(2)求抛物线的解析式(3)在抛物线对称轴上找一点M，使△MBC的周长最小，并求出点M的坐标和△MBC的周长(4)若点P是x轴上的一个动点，过点P作PQ∥BC交抛物线于点Q，在抛物线上是否存在点Q，使B、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在请求出点【答案】(1)抛物线的解析式为y=-(2)当△MBC的周长最小时，点M的坐标为-1,43，△MBC(3)在抛物线上存在点Q，使B、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，点Q的坐标为-2,2或-1-7,-2【分析】（1）根据点A，B的坐标，利用待定系数法可求出抛物线的解析式；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点C的坐标，利用二次函数的性质可得出抛物线对称轴为直线x=-1，连接AC，交抛物线对称轴于点M，此时△MBC的周长取最小值，由点A，B，C的坐标可得出BC，AC的长度及直线AC的解析式，再结合二次函数图象对称轴的横坐标和直线AC的解析式可得出点M的坐标和△MBC的周长；（3）由点B，C，P的纵坐标可得出点Q的纵坐标为2或-2，再利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点Q的坐标．【详解】（1）解：解：将A-3,0,B1,0代入y=a解得：a=-2∴抛物线的解析式为y=-2（2）解：当x=0时，y=-2∴点C的坐标为0,2．∵抛物线的解析式为y=-2∴抛物线的对称轴为直线x=-1．连接AC，交抛物线对称轴于点M，如图1所示．

∵点A，B关于直线x=-1对称，∴MA=MB，∴MB+MC=MA+MC=AC，∴此时△MBC的周长取最小值．∵点A的坐标为-3,0，点B的坐标为1,0，点C的坐标为0,2，∴AC=13，BC=5，直线AC的解析式为当x=-1时，y=2∴当△MBC的周长最小时，点M的坐标为-1,43，△MBC的周长为（3）解：∵以B、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，点B，P的纵坐标为0，点C的纵坐标为2，∴点Q的纵坐标为2或-2，如图2所示．

当y=2时，2=-2解得：x1∴点Q的坐标为-2,2；当y=-2时，-2=-2解得：x1∴点Q的坐标为-1-7,-2或∴在抛物线上存在点Q，使B、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，点Q的坐标为-2,2或-1-7,-2或【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、二次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征以及平行四边形的性质，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出抛物线解析式；（2）利用两点之间线段最短，找出点M的位置；（3）根据平行四边形的性质，找出点Q的纵坐标为2或-2．22．（2023·湖南郴州·统考中考真题）已知抛物线y=ax2+bx+4与x轴相交于点A1,0，B4,0(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，点P是抛物线的对称轴l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求PAPC(3)如图2，取线段OC的中点D，在抛物线上是否存在点Q，使tan∠QDB=12【答案】(1)y=(2)3(3)Q5+172,2或Q【分析】（1）待定系数法求函数解析式即可；（2）根据△PAC的周长等于PA+PC+AC，以及AC为定长，得到当PA+PC的值最小时，△PAC的周长最小，根据抛物线的对称性，得到A,B关于对称轴对称，则：PA+PC=PB+PC≥BC，得到当P,B,C三点共线时，PA+PC=BC，进而求出P点坐标，即可得解；（3）求出D点坐标为0,2，进而得到tan∠OBD=12，得到∠QDB=∠OBD，分点Q【详解】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx+4与x轴相交于点A∴a+b+4=016a+4b+4=0，解得：a=1∴y=x（2）∵y=x2-5x+4，当x=0∴C0,4，抛物线的对称轴为直线∵△PAC的周长等于PA+PC+AC，AC为定长，∴当PA+PC的值最小时，△PAC的周长最小，∵A,B关于对称轴对称，∴PA+PC=PB+PC≥BC，当P,B,C三点共线时，PA+PC的值最小，为BC的长，此时点P为直线BC与对称轴的交点，设直线BC的解析式为：y=mx+n，则：4m+n=0n=4，解得：m=-1∴y=-x+4，当x=52时，∴P5∵A1,0∴PA=52-1∴PAPC（3）解：存在，∵D为OC的中点，∴D0,2∴OD=2，∵B4,0∴OB=4，在Rt△BOD中，tan∵tan∠QDB=∴∠QDB=∠OBD，①当Q点在D点上方时：过点D作DQ∥OB，交抛物线与点Q，则：∠QDB=∠OBD，此时Q点纵坐标为2，设Q点横坐标为t，则：t2解得：t=5±∴Q5+172②当点Q在D点下方时：设DQ与x轴交于点E，则：DE=BE，设Ep,0则：DE2=O∴p2+4=4-p∴E3设DE的解析式为：y=kx+q，则：q=23k2+q=0∴y=-4联立y=-43x+2y=x∴Q3,-2或Q综上：Q5+172,2或Q5-【点睛】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出二次函数解析式，利用数形结合，分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．本题的综合性强，难度较大，属于中考压轴题．23．（2023·四川资阳·统考二模）如图，直线y=-43x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y=-43

(1)求抛物线的解析式；(2)点D为抛物线上位于AB上方的一点，过点D作DE⊥AB于点E，作DF∥y轴交AB于点F，当△DEF的周长最大时，求点D的坐标；(3)G是平面内的一点，在（2）的条件下，将△DEF绕点G顺时针旋转α得到△D'E'F'，当【答案】(1)y=-(2)D(3)1910或【分析】（1）根据yAB=-43x+4，令y=0和x=0，求出（2）根据勾股定理求出AB长度，表示出DE+EF+DF=125DF，设Dt,-43t2+（3）根据当△DEF顺时针旋转α后，EF∥y轴，D'E'⊥y轴，设D'm,n则E'm-95,n，F'm-【详解】（1）解：∵yAB=-得-4解得：x=3，令x=0，得y=4，∴A3,0，B故得方程组0=-12+3b+c4=c∴b=∴此抛物线的解析式为：y=-4（2）∵A3,0，B∴OA=3，OB=4，∴AB=O∴sin∠ABO=OA∵DF∥∴∠DFE=∠ABO，∵DE⊥AB，∴DE∴EF=3∵EF∴EF=4∴DE+EF+DF=3设Dt,-43∴DF=-4∴DE+EF+DF=12∴当t=32时，∵t=32，∴D3（3）当t=32时，∴DE=35DF=∵∠DFE=∠ABO=α，∴当△DEF顺时针旋转α后，EF∥y轴，设D'm,n则E'①当E'、D

-4解得：m=19∴D'的横坐标为②当D'、F

∴-解得：m=7∴D'的横坐标为又∵E∴E'、∴综上所述，点D'的横坐标为1910或【点睛】本题考查了二次函数综合题，待定系数法求函数解析式，二次函数图像和特征，一次函数图像和特征，勾股定理，三角函数值，解答本题的关键是运用分类讨论的思想．24．（2023·湖北恩施·统考一模）已知直线y=x-1与x轴交于点A，过x轴上A，C两点的抛物线y=ax2+bx+3与y轴交于点B，与直线y=x-1交于D(1)直接写出A，B，C三点的坐标；(2)求抛物线的解析式；(3)若点M是抛物线对称轴l上一动点，当△CDM的周长最小时，求△CDM的面积；(4)点P是抛物线上一动点（点P不与B，C重合），连接AP，DP，若△ADP的面积等于3，求点【答案】(1)A1，0，(2)y=(3)2(4)P12，-1【分析】（1）先求出点C的坐标，进而求出点B的坐标，在y=x-1中，当y=0时，x=1，即可求出点A的坐标；（2）利用待定系数法求解即可；（3）先求出D4，3；设直线AD与直线l交于点H，连接AM、CM，CH，由对称性可知AM=CM，则当A、M、D三点共线时，AM+DM（4）先求出过点C且与AD平行的直线解析式为y=x-3，再证明S△ADC=S△ADP，则由平行线间的距离处处相等可得点P在直线【详解】（1）解：在y=ax2+bx+3中，当x=0∴C3∴OB=OC=3，∴B0在y=x-1中，当y=0时，x=1，∴A1（2）解：设抛物线解析式为y=ax-1把C0，3代入y=a解得a=1，∴抛物线解析式为y=x-1（3）解：联立y=x-1y=解得x=4y=3或x=1∴D4设直线AD与直线l交于点H，连接AM、由对称性可知AM=CM，∴△CDM的周长=CM+DM+CD=AM+DM+CD，∵CD是定值，∴当A、M、D三点共线时，AM+DM最小，即此时△CDM的周长最小，最小值为AD+CD，此时点∵A1∴抛物线对称轴为直线x=2，在y=x-1中，当x=2时，y=1，∴H2∴S△CDH（4）解：设过点C且与AD平行的直线解析式为y=x+b1∴0=3+b1∴b1∴过点C且与AD平行的直线解析式为y=x-3，∵S△ADC∴S△ADC∴由平行线间的距离处处相等可得点P在直线y=x-3或在直线y=x+1上，联立y=x-3y=x2-4x+3，解得∴P1联立y=x+1y=x2-4x+3，解得∴P25+17综上所述，点P的坐标为P12，-1或【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，待定系数法求函数解析式等等，灵活运用所学知识是解题的关键．25．（2023·四川成都·统考一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+ca≠0与x轴交于点A-1，0(1)求抛物线的函数表达式；(2)在对称轴上找一点Q，使△AQC的周长最小，求点Q的坐标；(3)在（2）的条件下，点P是抛物线上的一点，当△AQC和△AQP面积相等时，请求出所有点P的坐标．【答案】(1)y=(2)Q(1,-2)(3)P1(1,-4)，P【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）如图，连接CB交对称轴于点Q，先求出抛物线的对称轴为直线x=1，由对称性得到AQ=BQ，进一步推出当C，B，Q三点共线时，△AQC的周长最小，求出直线BC的解析式为y=x-3，进而求出点Q（3）同理可求出直线AQ的解析式y=-x-1，过点C作AQ的平行线，交抛物线于点P1，同理可求出直线P1C的解析式为y=-x-3，联立y=-x-3y=x2-2x-3，解得x=1y=-4，则P11,-4；直线AQ与y轴的交点为0，-1，点【详解】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx+ca≠0与x轴交于点A-1,0，点B∴a-b+c=09a+3b+c=0∴a=1b=-2∴抛物线解析式为y=x（2）解：如图，连接CB交对称轴于点Q，∵抛物线解析式为y=x∴抛物线的对称轴为直线x=1，∵点A，B关于对称轴x=1对称，∴AQ=BQ，∴AC+AQ∴当C，B，Q三点共线时，△AQC∵C0,-3，B(3,0)设直线BC的解析式为y=kx+b∴3k+b∴k=1∴直线BC的解析式为y=x-3，在y=x-3中，当x=1时，y=-2，∴Q1,-2（3）解：同理可求出直线AQ的解析式y=-x-1，过点C作AQ的平行线，交抛物线于点P1同理可求出直线P1C的解析式为联立y=-x-3y=x2-2x-3，解得∴P1∵直线AQ与y轴的交点为0，-1，点C0，-3到0，-1的距离为2联立y=-x+1y=x2-2x-3同理可得P21+17综上所述：点P的坐标为P1(1,-4)，P2【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数函数综合，待定系数法求函数解析式，平行线间间距相等等等，灵活运用所学知识是解题的关键．题型06利用二次函数解决四边形周长的最值问题26．（2023·辽宁丹东·校考二模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+5与x轴交于A-1,0，B5,0

(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点P是位于直线BC上方抛物线上的一个动点，求△BPC面积的最大值；(3)若点D是y轴上的一点，且以B、C、D为顶点的三角形与△ABC相似，求点D的坐标；(4)若点E为抛物线的顶点，点F3,a是该抛物线上的一点，点M在x轴、点N在y轴上，是否存在点M、N使四边形EFMN的周长最小，若存在，请直接写出点M、点N【答案】(1)y=-(2)125(3)D的坐标为0,-1或0,-(4)M1117【分析】（1）把A-1,0，B5,0分别代入（2）过点P作PH⊥OB交BC于点H，根据S△PBC=12OB⋅PH（3）由∠OBC=∠OCB=45°可知：要使△BCD与△ABC相似，则有ABBC=BC（4）作点E关于y轴的对称点E'，作点F3,a关于x轴的对称点F'，由轴对称的性质可得四边形EFMN的周长=MN+NE+MF+EF=MN+NE'+MF'+EF，可知