【计量经济学】题和答案解析

第四章：多重共线性

二、简答题

1、导致多重共线性的原因有哪些？

2、多重共线性为什么会使得模型的预测功能失效？

3、如何利用辅回归模型来检验多重共线性？

4、判断以下说法正确、错误，还是不确定？并简要陈述你的理由。

⑴尽管存在完全的多重共线性，OLS估计量还是最优线性无偏估计量〔BLUE〕。

⑵在高度多重共线性的情况下，要评价一个或者多个偏回归系数的个别显著性是不可能的。

(3)如果某一辅回归显示出较高的值，那么必然会存在高度的多重共线性。

(4)变量之间的相关系数较高是存在多重共线性的充分必要条件。

(5)如果回归的目的仅仅是为了预测，那么变量之间存在多重共线性是无害的o

5、考虑下面的一组数据：

Y-10-8-6-4-202468：0

1234567891011

x2

13579111315171921

X3

如果我们用模型：

来对以上数据进展拟合回归。

(1)我们能得到这3个估计量吗？并说明理由。

(2)如果不能，那么我们能否估计得到这些参数的线性组合？可以的话，写出必要的计

算过程。

6、考虑以下模型：

由于X?和X，是X的函数，那么它们之间存在多重共线性。这种说法对吗？为什么？

7、在涉及时间序列数据的回归分析中，如果回归模型不仅含有解释变量的当前值，同时还

含有它们的滞后值，我们把这类模型称为分布滞后模型〔distributed-lagmodel］。我们考虑以

下模型：

其中丫——消费，X——收入，t——时间。该模型表示当期的消费是其现期的收入及其滞后

三期的收入的线性函数。

(1)在这一类模型中是否会存在多重共线性？为什么？

(2)如果存在多重共线性的话，应该如何解决这个问题？

8、设想在模型

中，X2和X3之间的相关系数电为零。如果我们做如下的回归：

〔1〕会不会存在且%=自？为什么？

〔2〕A会等于由或，।或两者的某个线性组合吗？

：3〕会不会有var(A)=var02)JLvar(%)=var(R)?

9、通过一些简单的计量软件〔比方EViews、SPSS],我们可以得到各变量之间的相关矩阵:

1r23「Ik'

R=0；：…勺。

«2…1>

怎样可以从相关矩阵看出完全多重共线性、近似多重共爱性或者不存在多重共线性？

三、计算题

1、考虑消费函数

其中，C、丫、曲依次表示消费、收入与财富。下面是假想数据。

CYW

7080810

651001009

901201273

951401425

1101601633

1151801876

1202002252

1402202201

1552402435

1502602686

⑴作C对丫和中'的普通最小二乘回归。

⑵这一回归方程是否存在着多重共线性？你的判断依据是什么？

(3)分别作C对Y和W的回归，这些回归结果说明了什么？

(4)作W.对Y的回归。这一回归结果说明了什么？

(5)如果存在严重的共线性，你是否会删除一个解释变量？为什么？

2、下表给出了美国1971;986年期间新客车出售的数据。

年份Y

X5乂6

%2X3兀

197110227112.0121.3776.84.8979367

197210872111.0125.3839.64.5582153

197311350111.1133.1949.87.3885064

19748775117.5147.71038.48.6186794

19758539127.6161.21142.86.1685846

19769994135.7170.51252.65.2288752

197711046142.9181.51379.35.5092021

197811164153.8195.31551.27.7896048

197910559166.0217.71729.310.2598824

19808979179.3247.01918.011.2899303

19818535190.2272.32127.613.73100397

19827980197.6286.62261.411.2099526

19839179202.6297.42428.18.69100834

198410394208.5307.62670.69.65105005

198511039215.2318.52841.17.75107150

198611450224.4323.43022.16.31109597

Y——新车出售量，未经季节调整数量；

X2——新车，消费者价格指数，1967年=100,未经季芍调整;

——消费者价格指数，1967年=100,未经季节调整;

x4——个人可支配收入，10亿美元，未经季节调整；

x5——利率，百分数，金融公司票据直接使用；

x6—民间就业劳动人数〔个人〕，未经季节调整。

(1)如果你决定使用表中全部回归元作为解释变量，可能会遇到多重共线性吗？为什

么？

(2)如果你这样认为的话，你准备怎样解决这个问题？明确你的假设并说明全部计算。

(3)制定适当的线性或者对数线性的模型，以估计美国对汽车的需求函数。

第二局部：参考答案

一、术语解释

1、多重共线性：对于经典线性回归模型[CLRM)

如果上式中某两个或多个解释变量之间出现了相关性，那么称为存在多重共线性。依据解释

变量之间共线性的程度不同，可以分为完全多重共线性和近似多重共线性。

2、完全多重共线性与近似多重共线性：所谓完全多重共线性，是指线性回归模型中的

假设干解释变量或全部解释变量之间具有严格的线性关系，也就是说，对于多元线性回归模

型，假设各解释变量X],*2,…，X上的之间存在如下的关系式：

式中4,4,…,4是不全为零的常数，那么称这些解释变量之间存在完全多重共线性。

当各解释变量X1,X2,…,X*的之间存在如下的近似的线性关系：

那么可以说上述解释变量之间存在近似多重共线性。还可以采用如下的方式，在近似

线性关系式中，假设400,那么可将此近似线性关系表示为：

其中%=4/4，匕为随机误差项。

3、辅回归：在变量之间存在多重共线性的情况下，有一个解释变量能由其它解释变量

近似的线性表示出来。为了找出哪个解释变量和其它变量有这种关系，我们可以将每个%对

其余变量进展回归，即

这种回归叫做辅回归，它是相对于Y对各个X的主回归而言的°

二、简答题

1、答：

经济数据中大量存在多重共线性这一现象，主要原因在于：经济领域很难象其它实险学

科那样从控制性试脸中获得数据；此外，可能有经济变量构造上的原因，也有数据收集与模

型设定方面的原因，具体的，有以下几种：

〔1〕所使用的数据收集方法。我们只能在一个有限的范围内得到观察值，无法进展重

发试脸。

〔2〕模型或从中取样的总体受到约束〔经济变量的共同趋势〕。

〔3〕模型设定的偏误。

〔4〕过度决定的模型。这种情况尤其容易发生在解释变量的个数大于观测值个数的情

形。

由于上述原因，实际应用中，解释变量之间总会存在一定程度的线性相关，因此，问题

不是多重线性有无，而是多重共线性的严重程度。

2、答：

多元线性回归模型的一个重要应用是经济预测。对于模型

如果给定样本以外的解释变量的观测值X。，就可以得到被解释变量的预测值

但是，这只是被解释变量的预测值的估计值而不是预测值。预测值仅以某一个置信水平位于

以该估计值为中心的一个区间中。对于预测的置信区间，我们利用的是构造，统计量，得到

在给定（1一a）的置信水平下为的置信区间为

显然，当解释变量之间存在多重共线性时，（X'X）7非常大，故而丫。的置信区间也很

大，因此，模型的预测功能失效。

3、答：

辅回归是相对于丫对各个X的主回归而言的。在变量之间存在多重共线性的情况下，

有一个解释变量能由其它解释变量近似的线性表示出来。为了找出哪个解释变量和其它变量

有这种关系，我们可以将每个X,对其余变量进展回归，即

Xj+a,.+1X/+l++4，

并计算相应的决定系数，分别记为R；。然后，我们在建立统计量：

它服从自由度为k-2和n-k+l的F分布。其中n为样本大小，k为包括常数项在内的解释变

量个数。如果计算出的片超过了相应自由度的临界值，邨么认为这个X,和其余的解释变量

存在共线性；如果”.未超过临界值，那么认为这个X,和其余的解释变量不存在共线性。这

种辅回归模型检脸不仅可以检验是否存在多重共线性，而且还可以得到多重共线性的具体形

式。

4、答：

〔1〕错。如果变量之间存在完全的线性关系时，我们甚至无法估计其系数或者标准误。

〔2〕错。在高度多重共线性的情况下，仍然可以得到一个或者多个显著的t值。

〔3〕错。OLS估计量的方差有下式给出：

从此式可以看出，一个很高的R；可被一个很低的或者很高的2片抵消掉。

〔4〕错。如果一个模型只有两个回归元，两两之间的高度相关系数便表示存在多重共

线性。但是在变量之间存在多重共线性的前提下，可能是几个变量之间的关系。变量之间的

相关系数较高是存在多重共线性的充分非必要条件。

〔5〕不确定。如果观测到共线性在后来的样本数据中继续存在，或许无害。但如果不

是这样，或者目的在于做出准确的估计的话，多重共线性便成为问题。如果仅仅要是预测的

话，预测有效的前提条件是模型构造的稳定。

5、答：

〔1〕不能。通过对和乂3的观察，我们可以知道它们存在以下的关系：

X3/=2X2/-1,所以可知变量X2和X3是完全线性相关的。

〔2〕把方程写成

其中％=氏、%=22+2月O

因此，我们可以唯一的估计出四和二？，但无法估计出原始的尸，因为两个方程无法

解出三个未知数。

6、答：

这种说法不正确。因为Y和火；都是X的非线性函数，把它们包括在回归模型中并不违

反经典性线性回归模型的根本假设。多重共线性的相关是指的变量之间的线性相关。

7、答：

〔1〕是的。经济时间序列数据有同向变动的趋势。在这里，收入的滞后变量一般也可

以一样的方向变动O

〔2〕在遇到时间序列数据存在线性相关性时，我们一般都是采用一阶或者高阶差分变

换来消除共线性。

8、答：

〔1〕是的。这是因为X2和X3之间的相关系数为0,所以夕系数的表达式

（Z丫也）（Z靖）-（Z丁再）（Z々也）

A=------------------------------------------、

（Z）（Z**）-（1>2/3广

中的穿插乘积项消失，从而变成与a和/系数同样的表示式。

12〕是它们的一个线性组合。证明如下：

因此有B1=«|+/）-Ko

〔3〕不是。原因如下:

32

var(d2)=

Z4

9、答：

我们可以利用相关矩阵的行列式来判断多重共线性与否，可以利用R的行列式大小来

判断多重共线性的强弱。

(1)假设R的行列式为0时，那么存在完全的共线性。

(2)假设R的行列式很小接近于。时，那么存在近似的共线性。

(3)假设R的行列式为1时，那么变量正交、不存在共线性。

三、计算题

1、解：

〔1〕使用EViews软件进展回归

DependentVariable:SER01

Method:LeastSquares

Date:07/02/06Time:19:32

Sample:110

Includedobservations:10

VariableCoefficientSrd.Errort-St£tisticProb.

C24.336986.2800513.8752840.0061

W-0.0349520.030120-1.1604330.2839

Y0.8716400.3143792.7725760.0276

R-squared0.968182Meandependentvar111.0000

AdjustedR-squarcd0.959092S.D.dependentvar31.42893

S.E.ofregression6.356758Akaikeinfbcriterion6.780239

Sumsquaredresid282.8586Schwarzcriterion6.871015

Ix)glikelihood-30.90120F-statistic106.5019

Durbin-Watsonstat2.941201Prob(F-statistic)0.000006

回归得到的方程为•

AAA

〔2〕有。R-squarcd的值为0.968182,但是系数W通过不过显著性检脸。

⑶

VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.

C24.454556.4138173.8127910.0051

Y0.5090910.03574314.243170.0000

R-squarcd0.962062Meandependentvar111.0000

AdjustedR-squarcd0.957319S.D.dependentvar31.42893

S.E.ofregression6.493003Akaikeinfocriterion6.756184

Sumsquaredresid337.2727Schwarzcriterion6.816701

I^oglikelihood-31.78092F-statisric202.8679

Durbin-Watsonstat2.680127Prob(F-statistic)0.000001

VariableCoefficientStd.Errort-SutisticProb.

c26.451988.4461653.1318330.0140

w0.0480390.00454310.575190.0000

R-squared0.933241Meandependentvar111.0000

AdjustedR-squarcd0.924896S.D.dependentvar31.42893

S.E.ofregression8.613107Akaikeinfocriterion7.321304

Sumsquaredresid593.4849Schwarzcriterion7.381821

Loglikelihood-34.60652I7-statistic111.8346

Durbin-Watsonstat2.389869Prob(F-statistic)0.000006

在这两个回归中，系数是显著的，而在同时对两个变量进展回归时，却存在局部系数的

不显著，说明变量之间存在多重共线性。

⑷

VariableCoefficientStd.Errort-SutisticProb.

C336363673.70690-0.0456350.9647

Y10.372730.41075325.252990.0000

R-squarcd0.987611Meandependentvar1760.000

AdjustedR-squared0.986062S.D.dependentvar632.0272

S.E.ofregression74.61690Akaikeinfocriterion11.63947

Sumsquaredresid44541.45Schwarzcriterion11.69998

Ix)glikelihood-56.19734F-statistic637.7133

Durbin-Watsonstat2.366673Prob(F-statistic)0.0()0000

VariableCoefficientStd.Errort-SutisticProb.

Y10.354970.12399183.514000.0000

R-squarcd0.987607Meandependentvar1760.000

AdjustedR-squarcd0.987607S.D.dependentvar632.0272

S.E.ofregression70.35864Akaikeinfocriterion11.43973

Sumsquaredresid44553.05Schwarzcriterion11.46999

Ix)glikelihood-56.19864Durbin-Watsonstat2.366224

不管是否带上常数项，R-squared的值都非常大(>0.98],而且Y的系数都通过显著性

检脸，说明w.和丫存在高度的共线性。

〔5〕在满足模型的经济含义的前提下〔以免造成模型设置失误〕，我们还是可以通过

舍去W或者Y来消除共线性的

2、解：

〔1〕首先我们发现各个变量在数量级上存在较大差异，所以我们一般考虑对数线性回

归模型。如果我们的对数回归模型中包含了所有的解释变量，那么得到如下的结果：

DependentVariable:I.OG(Y)

Method:LeastSquares

Date:07/02/06Time:20:31

Sample:19711986

Includedobservations:16

VariableCoefficientStd.Errort-SutisticProb.

C3.25485919.116560.1702640.8682

LOG(X2)1.7901530.8732402.0500120.0675

LOG(X3)-4.1085181.599678-2.5683410.0280

LOG(X4)2.1271991.2578391.6911540.1217

LQG(X5)-0.0304480.121848-0.2498840.8077

LOG(X6)0.2777922.0369750.1363750.8942

R-squarcd0.854803Meandependentvar9.204273

AdjustedR-squarcd0.782205S.D.dependentvar0.119580

S.E.ofregression0.055806Akaikeinfocriterion-2.653874

Sumsquaredresid0.031143Schwarzcriterion-2.364153

Toglikelihood27.23099F-statistic11.77442

Durbin-Watsonstat1.793020Prob(F-statistic)0.000624

我们发现R-squared=0.854803>0.80,LOG(X4)、LOG(X5)、LOG(X6)都不能通过0.10

的显著性检脸。我们可以得出结论，各变量之间存在多重共线性。

〔2〕由于有5个解释变量，我们可以考虑消除局部解释变量重新对参数进展估计，以

得到正确的回归方程。

我们首先得到个解释变量之间的相关系数矩阵：

X2X3X4X5X6

X210.996864584320.991353674830.525829679620.97214455418

675

X30.9968645843210.991273632980.543312899970.96523922955

974

X40.991353674830.9912736329810.461436278030.97261537151

6