北京市海淀区2024届中考数学四模试卷含解析

北京市海淀区重点达标名校2024年中考数学四模试卷

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5亳米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿好上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1.如图，△ABC中，AD1BC,AB=AC,ZBAD=30°,且AD=AE,则NEDC等于（）

A.10"B.12.5°C.15°D.20

2.由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图如图所示，其中正方形中的数字表示该位置上的小正方体的个数,

那么该几何体的主视图是（）

A.2B.1C.-2D.-1

4.在0.3,-3,0,-"这四个数中，最大的是（）

D.-石

5.如图①是半径为2的半圆，点C是弧AB的中点，现将半圆如图②方式翻折，使得点C与圆心O重合，则图中阴

A.3B.4-&C.2、万+?D.273-

JJJD

6.如果解关于x的分式方程一々-3=1时出现增根，那么m的值为

x-22-x

A.-2B.2C.4D.-4

7.下列计算正确的是()

A.(a—3)2=a2—6a—9B.(a+3)(a—3)=a?—9

C.(a—b)2=a2—b2D.(a4-b)2=a2+a2

8.如图是由四个相同的小正方体堆成的物体，它的正视图是()

10.如图，若AB〃CD,则a、卜y之间的关系为()

A.a+p+y=36O0B.a-p+y=180°

C.a+p-y=180°D.a+p+y=180。

二、填空题［共7小题，每小题3分，满分21分)

-2

11.已知关于工的一元二次方程A+mx+n=0的两个实数根分别是x।=-2,x2=4,则m+n的值为.

12.将半径为5,圆心角为144。的扇形围成一个圈钱的侧面，则这个圆锥的底面半径为.

3

13.如图，在△ABC中，ZACB=W,AB=8,AB的垂直平分线MN交AC于D,连接DB,若lanNCBD=一，则

BD=

A'B

叫

20

14.如图，矩形AOC'b的两边OC、OA分别位于x轴、y轴上，点八的坐标为b（一7,5）,。是A8边上的一点.将

△川。0沿直线0。翻折，使A点恰好落在对角线0B上的点E处，若点？在一反比例函数的图像上，那么k的值是

16.不等式组）：一’：［的解集是.

2x-5<l

17.对于任意非零实数a、b,定义运算“㊉”，使下列式子成立：l02=~,2®l=1,（-2）05=-^,50（-2）=-^,...,

则a㊉b=.

三、解答题［共7小题，满分69分）

18.（10分）列方程解应用题：

某商场用8万元购进一批新款衬衫，上架后很快销售一空，商场又紧急购进第二批这种衬衫，数量是第一次的2倍，

但进价涨了4元/件，结果共用去17.6万元.该商场第一批购进衬衫多少件？商场销售这种衬衫时，每件定价都是58

元，剩至15（1件时按八折出售，全部售完.售完这两批衬衫，商场共盈利多少元？

19.（5分）某种蔬菜的销售单价R与销售月份x之间的关系如图（1）所示，成本yz与销售月份之间的关系如图（2）

所示（图（1）的图象是线段图（2）的图象是抛物线）

分别求出”、yz的函数关系式（不写自变量取值范围）;

图(2)

通过计算说明：哪个月出售这种蔬菜，每千克的收益最大？

20.（8分）（1）计算：1―J^+Gtan6O。—&U+J^sin45,

3（x+l）+xA-5

⑵解不等式组：2x+l1-x^,

------------匕I

32

21.（10分）三知，如图，直线MN交。O于A,B两点，AC是直径，AD平分NCAM交。O于D,过D作DE_LMN

若DE=6cm,AE=3cm,求0O的半径.

22.（10分）已知：二次函数图象的顶点坐标是（3,5）,且抛物线经过点A（l,3）.求此抛物线的表达式；如果点A关

于该抛物线对称轴的对称点是B点，且抛物线与y轴的交点是C点，求△ABC的面积.

23.（12分）已知关于'的一元二次方程——（5-3»-/〃=0.求证：方程有两个不相等的实数根；如果方程的两实

根为X],与，且xj+*2~—X\X1=7,求m的值.

24.（14分）如图1,在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE,求证：CE=CF；

如图2,在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果/GCE=45。，请你利用（1）的结论证明：GE

=BE+GD；运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：

如图3,在直角梯形ABCD中，AD〃BC（BC>AD）,ZB=90%AB=BC,E是AB上一点，且NDCE=45。，BE

=4,DE=1O,求直角梯形ABCD的面

图1图2图3

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、C

【解题分析】

试题分析：根据三角形的三线合一可求得NDAC及NADE的度数，根据NEDC=9（T-NADE即可得到答案.

•.'△ABC中，AD1BC,AB=AC,ZBAD=30°,

.,.ZDAC=ZBAD=3O°,

VAD=AE（已知）,

ZADE=753

ZEDC=<WJ-ZADE=15°.

故选C.

考点：本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理

点评：解答本题的关键是掌握等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.

2、A

【解题分析】

由三视图的俯视图,从左到右依次找到最高层数，再由主视图和俯视图之间的关系可知，最高层高度即为主视图高度.

【题目详解】

解:几何体从左到右的最高层数依次为1,2,3,

所以主视图从左到右的层数应该为1,23

故选A.

【题目点拨】

本题考查了三视图的简单性质，属于简单题，熟悉三视图的概念，主视图和俯视图之间的关系是解题关键.

3、B

【解题分析】

Va+b=3,

（a+b）2=9

・'.a2+2ab+b2=9

Va2+b2=7

/.7+2ab=9,7+2ab=9

r.ab=l.

故选B.

考点：完全平方公式；整体代入.

4、A

【解题分析】

根据正数大于0,0大于负数，正数大于负数，比较即可

【题目详解】

V-3<-73«)<0.3

，最大为0.3

故选A.

【题目点拨】

本题考查实数比较大小，解题的关键是正确理解正数大于0,0大于负数，正数大于负数，本题属于基础题型.

5、D

【解题分析】

连接OC交MN于点P,连接OM、ON,根据折叠的性质得到OP=5OM,得到NPOM=6D。，根据勾股定理求出MN,

2

结合图形计算即可.

【题目详解】

解：连接OC交MN于点P,连接OM、ON,

图②

由题意知，OCJLMN,且OP=PC=L

在RSMOP中，•.•OM=2,OP=1,

OP।______

；・cosZPOM=—-=-，AC=xloM2-OP2=退，

OM2

，NPOM=60。，MN=2MP=27J,

，NAOB=2NAOC=120°,

则图中阴影部分的面积=§华.-2S弓形MCN

1.\20TTX221,6,、

=—X^X22-2X(--------------------x2J3xl)

23602

=26-

故选D.

【题目点拨】

本题考查了粕对称的性质的运用、勾股定理的运用、三角函数值的运用、扇形的面积公式的运用、三角形的面积公式

的运用，解答时运用轴对称的性质求解是关犍.

6、D

【解题分析】

ntOY

----^=1,去分母，方程两边同时乘以（X-1）,得：

x-22-x

m+lx=x-l,由分母可知，分式方程的增根可能是1.

当x=l时，ni+4=l-1,m=-4,

故选D.

7、B

【解题分析】

利用完全平方公式及平方差公式计算即可.

【题目详解】

解:A、原式=a16a+9,本选项错误；

B、原式=a，9,本选项正确；

C、原式』2-2ab+l?,本选项错误；

D、原式=a2+2ab+b\本选项错误，

故选：B.

【题目点拨】

本题考查了邛方差公式和完全平方公式，熟练掌握公式是解题的关键.

8、A

【解题分析】

【分析】根据正视图是从物体的正面看得到的图形即可得.

【题目详解】从正面看可得从左往右2列正方形的个数依次为2,1,

如图所示：

故选A.

【题目点拨】本题考查了三视图的知识，正视图是从物体的正面看得到的视图.

9、B

【解题分析】

由圆周角定理即可解答.

【题目详解】

•••△ABC是。。的内接三角形，

r.Z4=-乙BOC,

2

而N3OC=120。，

AZA-60°.

故选B.

【题目点拨】

本题考查了圆周角定理，熟练运用圆周角定理是解决问题的关键.

10、C

【解题分析】

过点E作痔〃AB,如图，易得C7)〃EF,然后根据平行线的性质可得NBAE+N尸EA=18。。，ZC=ZFEC=y,进一步

即得结论.

【题目详解】

解：过点E作E尸〃A8,如图，'：AB//CD,AB//EF,：.CD//EF,

AN3AE+NF£A=180,ZC=ZFEOy,

；./FEA呻-y,.\a+(p-Y)=l80o,即a+6-y=180°.

【题目点拨】

本题考查了平行公理的推论和平行线的性质，属于常考题型，作EF〃A5、熟练掌握平行爱的性质是解题的关键.

二、填空题［共7小题，每小题3分，满分21分)

11、-10

【解题分析】

根据根与系数的关系得出-2+4=-m,-2x4=n,求出即可.

【题目详解】

•・•关于X的一元二次方程F+〃优+"=0的两个实数根分别为。=.2,x?=%

.*.-2+4=-m,-2x4=n,

解得：m=-2.n=-8,

.'.m+n=-10»

故答案为：-10

【题目点拨】

此题考查根与系数的关系，掌握运算法则是解题关键

12、1

【解题分析】

考点：圆锥的计算.

分析：求得扇形的孤长，除以1“即为圆锥的底面半径.

144^-x5

解:扇形的弧长为：J=而；

这个圆锥的底面半径为：4n-ln=l.

点评：考查了扇形的弧长公式：圆的周长公式；用到的知识点为：圆锥的靠长等于底面周长.

13、275.

【解题分析】

CD3

由tan/CBD=—=-设CD=3a、BC=4a,据此得出BD=AD=5a、AC=AD+CD=8a,由勾股定理可得（8a）?+（4a）

BC4

2=82,解之求得a的值可得答案.

【题目详解】

CD3

解：在RSBCD中，VtanZCBD=——=一,

BC4

・••设CD=3a、BC=4a,

则BD=AD=5a,

AC=AD+CD=5a+3a=8a,

在RSABC中，由勾股定理可得（8a）2+（4a）2=82,

解得：a=¥或8=.竽（舍），

贝ijBD=5a=275,

故答案为24.

【题目点拨】

本题考查线段垂直平分线上的点到线段两端点的蛇国相等的性质，勾股定理的应用，解题关键是热记性质与定理并准

确识图.

14、-12

【解题分析】

过E点作EF1OC于F,如图所示:

EF八,“BC53

=tanZ.BOC=——=—=-

由条件可知：OE=OA=5,OFOC204,

T

所以EF=3,0F=4,

则E点坐标为（4,3）

设反比例函数的解析式是y=一,

贝情k=-4x3=-12.

故答案是：“2.

15、xi=O,xj=l

【解题分析】

先移项，然后利用因式分解法求解.

【题目详解】

x2=lx

x2-lx=O,

x(x-l)=O,

x=0或x-l=O.

.*.X1=O,X2=l.

故答案为：x=0,X2=l

【题目点拨】

本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程右边变形为0,再把方程左边分解为两个一次式的乘积，这样原方

程转化为两个一元一次方程，然后解一次方程即可得到一元二次方程的解

16、x<l

【解题分析】

分析：分别求出不等式组中两个不等式的解集，找出解集的公共部分即可确定出不等式组的解集.

x-i<o(D

详解:

2x-5<l®

由①得：x<l.

由②得：x<3.

则不等式组的解集为：xwl.

故答案为x<1.

点睛：本题主要考查了解一元一次不等式组.

【解题分析】

试题分析：根据己知数字等式得出变化规律，即可得出答案:

住,!号，2初子彳亲(-2脚=小昌白5。(-2)号=高胃

a㊉b=3'

ab

三、解答题(共7小题，满分69分)

18、(1)200D件；(2)90260元.

【解题分析】

(1)设该商场第一批购进衬衫x件，则第二批购进村衫2、件，根据单价=总价。数量结合第二批比第一批的进价涨了

4元/件，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论;

(2)用(1)的结论x2可求出第二批购进该种衬衫的数量，再利用总利润=错售收入-成本，即可得出结论.

【题目详解】

解：(1)设该商场第一批购进衬衫,件，则第二批购进衬衫2x件,

1760(X)8()(XX)

根据题意得：—--------=4

2xx

解得：x=200l).

经检验，x=2间。是所列分式方程的解，且符合题意.

答：商场第一批购进衬衫2000件.

（2）2000x2=4000（件），

（20（K）+4000150）x58+150x58x0.8-80000-176000=90260（兀）.

答：售完这两批衬衫，商场共盈利90260元.

【题目点拨】

本题考查了分式方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2：根据数量关系，列式计算.

217

2

19、（1）yi=--x+7;y2=-x-4x+2；（2）5月出售每千克收益最大，最大为

【解题分析】

（1）观察图象找出点的坐标，利用待定系数法即可求出山和yz的解析式.

（2＞由收益W=〉-yz列出W与x的函数关系式，利用配方求出二次函数的最大值.

【题目详解】

"2

3k+b=5

解：（1）设y=kx+b,将（3,5）和（6,3）代入得,,解得3.

6k+b=3

h=l

.*.yi="-x+1.

设〉=a(x-6)2+b把(3,4)代入得，

4=a(3-6)2+l,解得a=；.

.'.y2=；(x-6)2+l»即yi—x2-4x+2.

(2)收益环=>-y2,

21

=----x+1-(-x2-4x+2)

33

1,、i7

=----(x-5)2+—,

33

Va=--<!),

3

・,.当x=5时，Wax«=j.

故5月出售每千克收益最大，最大为g元.

【题目点拨】

本题考查了一次函数和二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求解析式是解题关键，掌握配方法是求二次函数最大值

常用的方法

20、(1)7-石-5右；(2)-2<x<I.

【解题分析】

(1)根据绝对值、特殊角的三角函数值可以解答本题;

(2)根据解一兀一次不等式组的方法可以解答本题.

【题目详解】

o

(1)|3->/5|+>/3tan60->/50+V2sin45"

=3-4+gx6-S丘+

2

=3-石+3-5、份+1

=7-75-572：

3(%+1)+4-5①

⑵⑵包上<1②

32

由不等式①，得

x>-2,

由不等式②，得

x<1,

故原不等式组的解集是・2<蟀1.

【题目点拨】

本题考查解一元一次不等式组、实数的运算、特殊角的三角函数值，解答本题的关键是明确解它们各自的解答方法.

21、解：(1)证明见解析：

(2)。。的半径是7.5cm.

【解题分析】

(1)连接0D,根据平行线的判断方法与性质可得/ODE=NDEM=90。，且D在。0上，故DE是G»O的切线.

(2)由直角三角形的特殊性质，可得AD的长，又有AACDS^ADE.根据相似三角形的性质列出比例式，代入数

据即可求得圆的半径.

【题目详解】

(1)证明；连接OD.

VOA=OIh

.,.ZOAD=ZODA.

VZOAD=ZDAE,

・••NODA=NDAE.

；.DO〃MN.

VDEXMN,

.•.ZODE=ZDEM=90\

即OD1DE.

YD在(DO上，OD为。O的半径，

，DE是。O的切线.

(2)解：7ZAED=90°,DE=6,AE=3,

：•AD=>lDE2+AE2=3石•

连接CD.

•；AC是。。的直径，

.•.ZADC=ZAED=90°.

,/ZCAD=ZDAE,

/.△ACD^AADE.

.ADAC

••-----=------■

AEAD

.3x/5AC

・・----=—产.

3375

则AC=15(cm).

AOO的半径是7.5cm.

考点：切线的判定；平行线的判定与性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质.

22、(1)y=--(x-3)2+5(2)5

【解题分析】

(1)设顶点式尸a(x.3)2+5,然后把A点坐标代入求出a即RJ得到抛物线的解析式；

(2)利用抛物线的对称性得到B(5,3),再确定出C点坐标，然后根据三角形面积公式求解.

【题目详解】

(1)设此抛物线的表达式为y=a(x-3)2+5,

将点A(L3的坐标代入上式，得3=a(l—3户+5,解得〃=一],

・•.此抛物线的表达式为y=-；(x-3尸+5.

(2)VA(1,3),抛物线的对称轴为直线x=3,

.*.8(5,3).

令x=0,)，=-3*-3)2+5=3，则。(0,》，

,△ABC的面积=；x(5-l)x(3-；)=5.

【题目点拨】

考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，掌握待定系数法求二次函数的

解析式是解题的关键.

23、(1)证明见解析(1)1或1

【解题分析】

试题分析：(D要证明方程有两个不相等的实数根，只要证明原来的一元二次方程的△的值大于0即可；

(1)根据根与系数的关系可以得到关于m的方程，从而可以求得，”的值.

试题解析：(I)证明：VX2-(,n-3)X-/?!=(),；.△=[-(.in-3)j1-4xlx(-m)=m'-lni+9=(.m-1)'+8>0,

・••方程有两个不相等的实数根