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文档简介
2023届清远市重点中学高三起点调研考试数学试题试卷注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知等差数列的前项和为,若,则等差数列公差()A.2 B. C.3 D.42.如图,矩形ABCD中,,,E是AD的中点,将沿BE折起至,记二面角的平面角为,直线与平面BCDE所成的角为,与BC所成的角为,有如下两个命题:①对满足题意的任意的的位置,;②对满足题意的任意的的位置,,则()A.命题①和命题②都成立 B.命题①和命题②都不成立C.命题①成立,命题②不成立 D.命题①不成立,命题②成立3.已知是双曲线的左、右焦点,若点关于双曲线渐近线的对称点满足(为坐标原点),则双曲线的渐近线方程为()A. B. C. D.4.已知复数是正实数,则实数的值为()A. B. C. D.5.设集合则()A. B. C. D.6.若函数在时取得最小值,则()A. B. C. D.7.如图,在四边形中,,,,,,则的长度为()A. B.C. D.8.已知实数、满足约束条件,则的最大值为()A. B. C. D.9.已知抛物线的焦点为,准线为,是上一点,是直线与抛物线的一个交点,若,则()A. B.3 C. D.210.执行如图所示的程序框图,若输入,,则输出的()A.4 B.5 C.6 D.711.已知的值域为,当正数a,b满足时,则的最小值为()A. B.5 C. D.912.阅读下面的程序框图,运行相应的程序,程序运行输出的结果是()A.1.1 B.1 C.2.9 D.2.8二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.设实数满足约束条件,则的最大值为______.14.在直角坐标系中,某等腰直角三角形的两个顶点坐标分别为,函数的图象经过该三角形的三个顶点,则的解析式为___________.15.某大学、、、四个不同的专业人数占本校总人数的比例依次为、、、,现欲采用分层抽样的方法从这四个专业的总人数中抽取人调查毕业后的就业情况,则专业应抽取_________人.16.如图,机器人亮亮沿着单位网格,从地移动到地,每次只移动一个单位长度,则亮亮从移动到最近的走法共有____种.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知向量,.(1)求的最小正周期;(2)若的内角的对边分别为,且,求的面积.18.(12分)在平面直角坐标系中,点,直线的参数方程为为参数),以坐标原点为极点,以轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)求曲线的直角坐标方程;(2)若直线与曲线相交于不同的两点是线段的中点,当时,求的值.19.(12分)如图,在中,角的对边分别为,且满足,线段的中点为.(Ⅰ)求角的大小;(Ⅱ)已知,求的大小.20.(12分)已知函数.(1)讨论的单调性;(2)若函数在区间上的最小值为,求m的值.21.(12分)设函数().(1)讨论函数的单调性;(2)若关于x的方程有唯一的实数解,求a的取值范围.22.(10分)设函数,直线与函数图象相邻两交点的距离为.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)在中,角所对的边分别是,若点是函数图象的一个对称中心,且,求面积的最大值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.C【解析】
根据等差数列的求和公式即可得出.【详解】∵a1=12,S5=90,∴5×12+d=90,解得d=1.故选C.【点睛】本题主要考查了等差数列的求和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.2.A【解析】
作出二面角的补角、线面角、线线角的补角,由此判断出两个命题的正确性.【详解】①如图所示,过作平面,垂足为,连接,作,连接.由图可知,,所以,所以①正确.②由于,所以与所成角,所以,所以②正确.综上所述,①②都正确.故选:A【点睛】本题考查了折叠问题、空间角、数形结合方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.3.B【解析】
先利用对称得,根据可得,由几何性质可得,即,从而解得渐近线方程.【详解】如图所示:由对称性可得:为的中点,且,所以,因为,所以,故而由几何性质可得,即,故渐近线方程为,故选B.【点睛】本题考查了点关于直线对称点的知识,考查了双曲线渐近线方程,由题意得出是解题的关键,属于中档题.4.C【解析】
将复数化成标准形式,由题意可得实部大于零,虚部等于零,即可得到答案.【详解】因为为正实数,所以且,解得.故选:C【点睛】本题考查复数的基本定义,属基础题.5.C【解析】
直接求交集得到答案.【详解】集合,则.故选:.【点睛】本题考查了交集运算,属于简单题.6.D【解析】
利用辅助角公式化简的解析式,再根据正弦函数的最值,求得在函数取得最小值时的值.【详解】解:,其中,,,故当,即时,函数取最小值,所以,故选:D【点睛】本题主要考查辅助角公式,正弦函数的最值的应用,属于基础题.7.D【解析】
设,在中,由余弦定理得,从而求得,再由由正弦定理得,求得,然后在中,用余弦定理求解.【详解】设,在中,由余弦定理得,则,从而,由正弦定理得,即,从而,在中,由余弦定理得:,则.故选:D【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用,还考查了数形结合的思想和运算求解的能力,属于中档题.8.C【解析】
作出不等式组表示的平面区域,作出目标函数对应的直线,结合图象知当直线过点时,取得最大值.【详解】解:作出约束条件表示的可行域是以为顶点的三角形及其内部,如下图表示:当目标函数经过点时,取得最大值,最大值为.故选:C.【点睛】本题主要考查线性规划等基础知识;考查运算求解能力,数形结合思想,应用意识,属于中档题.9.D【解析】
根据抛物线的定义求得,由此求得的长.【详解】过作,垂足为,设与轴的交点为.根据抛物线的定义可知.由于,所以,所以,所以,所以.故选:D【点睛】本小题主要考查抛物线的定义,考查数形结合的数学思想方法,属于基础题.10.C【解析】
根据程序框图程序运算即可得.【详解】依程序运算可得:,故选:C【点睛】本题主要考查了程序框图的计算,解题的关键是理解程序框图运行的过程.11.A【解析】
利用的值域为,求出m,再变形,利用1的代换,即可求出的最小值.【详解】解:∵的值域为,∴,∴,∴,当且仅当时取等号,∴的最小值为.故选:A.【点睛】本题主要考查了对数复合函数的值域运用,同时也考查了基本不等式中“1的运用”,属于中档题.12.C【解析】
根据程序框图的模拟过程,写出每执行一次的运行结果,属于基础题.【详解】初始值,第一次循环:,;第二次循环:,;第三次循环:,;第四次循环:,;第五次循环:,;第六次循环:,;第七次循环:,;第九次循环:,;第十次循环:,;所以输出.故选:C【点睛】本题考查了循环结构的程序框图的读取以及运行结果,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】
试题分析:作出不等式组所表示的平面区域如图,当直线过点时,最大,且考点:线性规划.14.【解析】
结合题意先画出直角坐标系,点出所有可能组成等腰直角三角形的点,采用排除法最终可确定为点,再由函数性质进一步求解参数即可【详解】等腰直角三角形的第三个顶点可能的位置如下图中的点,其中点与已有的两个顶点横坐标重复,舍去;若为点则点与点的中间位置的点的纵坐标必然大于或小于,不可能为,因此点也舍去,只有点满足题意.此时点为最大值点,所以,又,则,所以点,之间的图像单调,将,代入的表达式有由知,因此.故答案为:【点睛】本题考查由三角函数图像求解解析式,数形结合思想,属于中档题15.【解析】
求出专业人数在、、、四个专业总人数的比例后可得.【详解】由题意、、、四个不同的专业人数的比例为,故专业应抽取的人数为.故答案为:1.【点睛】本题考查分层抽样,根据分层抽样的定义,在各层抽取样本数量是按比例抽取的.16.【解析】
分三步来考查,先从到,再从到,最后从到,分别计算出三个步骤中对应的走法种数,然后利用分步乘法计数原理可得出结果.【详解】分三步来考查:①从到,则亮亮要移动两步,一步是向右移动一个单位,一步是向上移动一个单位,此时有种走法;②从到,则亮亮要移动六步,其中三步是向右移动一个单位,三步是向上移动一个单位,此时有种走法;③从到,由①可知有种走法.由分步乘法计数原理可知,共有种不同的走法.故答案为:.【点睛】本题考查格点问题的处理,考查分步乘法计数原理和组合计数原理的应用,属于中等题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1);(2)或【解析】
(1)利用平面向量数量积的坐标运算可得,利用正弦函数的周期性即可求解;(2)由(1)可求,结合范围,可求的值,由余弦定理可求的值,进而根据三角形的面积公式即可求解.【详解】(1)∴最小正周期.(2)由(1)知,∴∴,又∴或.解得或当时,由余弦定理得即,解得.此时.当时,由余弦定理得.即,解得.此时.【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的坐标运算、正弦函数的周期性,考查余弦定理、三角形的面积公式在解三角形中的综合应用,考查了转化思想和分类讨论思想,属于基础题.18.(1);(2).【解析】
(1)在已知极坐标方程两边同时乘以ρ后,利用ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ2=x2+y2可得曲线C的直角坐标方程;(2)联立直线l的参数方程与x2=4y由韦达定理以及参数的几何意义和弦长公式可得弦长与已知弦长相等可解得.【详解】解:(1)在ρ+ρcos2θ=8sinθ中两边同时乘以ρ得ρ2+ρ2(cos2θ﹣sin2θ)=8ρsinθ,∴x2+y2+x2﹣y2=8y,即x2=4y,所以曲线C的直角坐标方程为:x2=4y.(2)联立直线l的参数方程与x2=4y得:(cosα)2t2﹣4(sinα)t+4=0,设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,由△=16sin2α﹣16cos2α>0,得sinα>,t1+t2=,由|PM|=,所以20sin2α+9sinα﹣20=0,解得sinα=或sinα=﹣(舍去),所以sinα=.【点睛】本题考查了简单曲线的极坐标方程,属中档题.19.(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】
(Ⅰ)由正弦定理边化角,再结合转化即可求解;(Ⅱ)可设,由,再由余弦定理解得,对中,由余弦定理有,通过勾股定理逆定理可得,进而得解【详解】(Ⅰ)由正弦定理得.而.由以上两式得,即.由于,所以,又由于,得.(Ⅱ)设,在中,由正弦定理有.由余弦定理有,整理得,由于,所以.在中,由余弦定理有.所以,所以.【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理的综合运用,属于中档题20.(1)见解析(2)【解析】
(1)先求导,再对m分类讨论,求出的单调性;(2)对m分三种情况讨论求函数在区间上的最小值即得解.【详解】(1)若,当时,;当时.,所以在上单调递增,在上单调递减若.在R上单调递增若,当时,;当时.,所以在上单调递增,在上单调递减(2)由(1)可知,当时,在上单调递增,则.则不合题意当时,在上单调递减,在上单调递增.则,即又因为单调递增,且,故综上,【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.21.(1)当时,递增区间时,无递减区间,当时,递增区间时,递减区间时;(2)或.【解析】
(1)求出,对分类讨论,先考虑(或)恒成立的范围,并以此作为的分类标准,若不恒成立,求解,即可得出结论;(2)有解,即,令,转化求函数只有一个实数解,根据(1)中的结论,即可求解.【详解】(1),当时,恒成立,当时,,综上,当时,递增区间时,无递减区间,当时,递增区间时,递减区间时;(2),令,原方程只有一个解,只需只有一个解,即求只有一个零点时,的取值范围,由(1)得当时,在单调递增,且,函数只有一个零点,原方程只有一个解,当时,由(1)得在出取得极小值,也是最小值,当时,,此时函数只有一个零点,原方程只有一个解,当且递增区间时,递减区间时;,当,有两个零点,即原方程有两个解,不合题意
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