八年级数学下册专题10一次函数几何压轴(十九种题型)(原卷版+解析)

专题10一次函数几何压轴（十九种题型）

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模型1:一次函数求三角形面积问题（铅锤法）

模型2：一次函数已知面积求动点坐标

模型3：一次函数己知面积相等求动点坐标

模型4：一次函数存在等腰三角形求动点坐标

模型5：一次函数存在直角三角形求动点坐标

模型6：一次函数存在全等三角形求动点坐标

模型7：一次函数存在45°求动点坐标

模型8：一次函数存在等角求动点坐标

模型9：一次函数存在2倍角求动点坐标

模型10：一次函数存在等腰直角三角形求动点坐标

模型11:一次函数过定点问题

模型12：一次函数与线段结合求动点问题

模型13：一次函数与动点线段比例问题

模型14：一次函数存在线段和最小值求动点坐标

模型15：一次函数求点到直线距离最小值问题

模型16：一次函数存在平行四边形求动点坐标

模型17：一次函数存在矩形求动点坐标

模型18:一次函数存在菱形求动点坐标

模型19：一次函数存在正方形求动点坐标

模型解密

【技巧点睛1］铅锤法求三角形面积

【技巧点睛2】处理与一次函数相关的面积问题，有三条主要的转化途径：

①知底求高、转化线段；

②图形割补、面积和差；

③平行交轨、等积变换。

【技巧点睛3】处理线段问题

（1）在平面直角坐标系中，若线段与y轴平行，线段的长度时端点纵坐标之差（上减下，

不确定时相减后加绝对值），若线段与x轴平行，线段的长度时端点横坐标之差（右减左，

不确定时相减后加绝对值）：

（2）线段相关计算注意但用“化斜为直”思想。

【技巧点睛4】角度问题

（1）若有角度等量关系，不能直接用时，我们要学会角度转化，比如借助余角、补角、外

角等相关角来表示，进行一些角度的和差和角度的代换等，直到转化为可用的角度关系。

（2）遇450角要学会先构造等腰直角三角形，然后构造“三垂直”全等模型，一般情况下

是以已知点作为等腰直角三角形的直角顶点。

【技巧点睛5】最值问题

（1）求线段和最值，可以从“两点之间线段最短”“垂线段最短”“三角形两边之和大于第

三边，两边之差小于第三边”的模型去考虑；

（2）注意“转化思想”的运用，将不可用线段进行转化，变成我们熟悉的模型

【技巧点睛6】特殊三角形存在问题

等腰三角形存在性问题

I、找点方法：

①以AB为半径，点A为圆心做圆，

此时，圆上的点（除D点外）与A、B

构成以A为顶点的等腰三角形

（原理：圆上半径相等）

②以AB为半径，点B为圆心做圆,

此时，圆上的点（除E点外）与A、B

构成以B为顶点的等腰三角形

（原理：圆上半径相等）

③做AB的垂直平分线，此时，直线上的点（除F点外）与A、B构成以C为顶点的

等腰三

角形（原理：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）

2、求点方法：

222

（1）列出PA?、PB\AB?表达式（运用两点距离公式：AB=（XA-xB）+（yA-yB））

（2）分类讨论:当A为顶点时:PA2=AB2

当B为顶点时：PB2=AB2

当P为顶点时:PA』PB2

二、直角三角形存在性问题

若AABC是直角三角形，则分三种情况分类讨论：ZA=90°,ZB=90°,ZC=90°,然

后利用勾股定理解题。

【技巧点睛6】四边形存在问题

1.坐标系中的平行四边形：

（1）对边平行且相等：

+%―工8+

~~2~~~2-

（2）对角线互相平分:即力、C中点与B、D中点重合.

》+汽_%+为

22

以上两条可统一为:

xA+xc=xB+xD

X+XX+X

bfafx^xc=xD+xB2-21,C=BD

=%一%H+Nc_%+为1"+%=%+%

2~2

总结：平面直角坐标系中，平行四边形两组相对顶点的横坐标之和相等，纵坐标之和相等

模型2：一次函数已知面积求动点坐标

【典例2】如图1,在平面直角坐标系屹v中，直线产h+A分别与x轴，y轴交于点A(-

1,0),B(0,2),过点C(2,0)作x轴的垂线，与直线交于点。.

图1图2

(1)求点。的坐标；

(2)点E是线段CO上一动点，直线B七与x轴交于点凡若△4。口的面积为8,求点尸

的坐标；

【变式1】如图①，直线)=依+〃与x轴交于点4(4,0),与丁轴交于点8,与直线)，=・

2x交于点C(a,-4).

(1)求点。的坐标及直线AB的表达式：

(2)点。在)，轴上，若△P8C的面积为6,求点。的坐标；

模型3：一次函数已知面积相等求动点坐标

【典例3】如图，在平面直角坐标系中，直线/与x轴交于点A(・4,0),与)，轴交于点8

(0,2),已知点C(・2,0).

(1)求直线/的表达式；

(2)点P是直线/上一动点，且和△COP的面积相等，求点P坐标；

【变式1】如图，直线人的解析式为)，=-3/3,且/I与/轴交于点。，直线/2经过点4(4,

0)、B(3,R),直线A、b交于点C.

2

(1)求直线/2的解析式；

(2)求△4。。的面积；

(3)试问：在直线也上是否存在异于点C的另一点P,使得△4QP与△4QC的面积相

等？若存在，请直接写出点。的坐标；若不存在，请说明理由.

【变式2】(2023秋•东港市期中)如图1,在平面直角坐标系中，已知一次函数的

图象交y轴于点A(0,3),交，轴于点B(-4,0).(1)求直线AB的函数表达式；

(2)直线。垂直平分08交48于点Q,交工轴于点E,点P是直线。上一动点，且在

点D的上方,设点P的纵坐标为m.

①利用图1位置，用含〃，的代数式表示△A6P的面积S；

②当的面积为7时，求点。的坐标；

③在②的条件下，在y轴上找到点Q,使得△A8Q与AABP面积相等，求出点Q的坐标；

④连接OP,与A3交于点H,当△AOH与△PBH的面积相等时，请直接写出点P坐标.

【变式3】如图，直线/与x轴、y轴分别交于点A(3,0)、点、B(0,2),以线段为直

角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC,NB4C=90°,点P（0,。）为y轴上一个

动点.

（1）求直线/的表达式；

（2）求出△A3C的面积；

（3）当△ABC与△A8P面积相等时，求实数。的值.

模型4：一次函数存在等腰三角形求动点坐标

【典例4】如图，直线）=五+3经过点8（-1,4）和点4（5,机），与x轴交于点C.

（1）求怎m的值；

（2）求△A08的面积；

（3）若点P在x轴上，当△尸为等腰三角形时，直接写出此时点P的坐标.

【变式1】如图，在平面直角坐标系xO.y中，一次函数＞，=h+4的图象分别与％轴、），轴交

于A（2,0）,8两点，且经过点C（1,m）.

（1）求的值；

（2）若点A关轴的对称点4,求△%'的面积；

（3）在k轴上，是否存在点P,使为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐

标；若不存在，请说明理由.

【变式2】如图，直线y=」x+4的图象与X轴和）'轴分别交于点A和点9的垂直平分

2

线/与入轴交于点C,与AB交于点D,连接BC.

（1）求0C的长；

（2）若点E在x轴上，且△8E。的面积为10,求点E的坐标；

（3）已知y轴上有一点P,若以点8、C、。为顶点的三角形是等腰三角形，直接写出所

有满足条件的点P的坐标.

模型5：一次函数存在直角三角形求动点坐标

【典例5】如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=Ax+4的图象与X轴交于点4,与）'轴

3

交于点线段OB上有一点C,点B关于直线AC的对称点片在1轴上.

(1)求△AOB的面积；

(2)求直线AC的解析式；

(3)点P是直线AC二一点，当△A8P为直角三角形时，求点尸的坐标.

【变式I】如图，在平面直角坐标系中，一次函数)，="+匕。#0)的图象经过人(-1,0),

B(0,2),。三点，点。在x轴上方，点C在x轴正半轴上，且OC=5Q4,连接8C,

CD,已知S/\ADC=2SMHC>

(1)求直线AB的表达式；

(2)求△AOC的面积；

(3)在x轴上是否存在一点使得是直角三角形？若存在，请求出点〃的坐

标；若不存在，请说明理由.

模型6：一次函数存在全等三角形求动点坐标

【典例6】如图，一次函数)，=-x+4的图象与>轴交于点4,与工轴交于点B,过48中点

。的直线CO交工轴于点C,且经过第一象限的点E(6,4).

(1)求A,3两点的坐标及直线CQ的函数表达式；

(2)连接/俎，求AOBE的面积：

（3）连接DO,在坐标平面内找一点F,使得以点C,0,f为顶点的三角形与△C。。

全等，请直接写出点尸的坐标.

【变式I]（2023秋•碑林区校级期末）如图，直线丫=-1乂+卢x轴，轴分别交于•*B

3

两点，点C的坐标为1-3,0）,连结BC,过点。作OOJ_AB于点。，点Q为线段8c

上一个动点.

（1）的长为5,OD的长为22；

一5一

（2）在线段BO上是否存在一点P,使得尸Q与△OA。全等？若存在，请求出点Q

的坐标；若不存在，请说明理由.

模型7：一次函数存在45°求动点坐标

【典例7]如图，在平面直角坐标系中，直线I-y=-3x+b与）'轴交于点A，与直线

2

1_：尸2犬交于点B（3,加）.

Wy3

yjk

(I)求m和b的值;

求证：△OAB是直角三角形;

（3）直线人上是否存在点。，使得/。。8=45°,若存在，请求出点。的坐标；若不

存在，请说明理由.

【变式1］己知，在平面直角坐标系中，直线A3分别交尤轴、），轴于A（相，0）,B（0,〃）,

小、〃满足m2+n2+2m-4〃+5=0,点P是坐标平面内任意一点.

⑴求m、n的值;

（2）如图I,若点P在），轴上，当/B%=45°时，求点尸的坐标；

图1备用图备用图

【变式2］如图I,在平面直角坐标系中，直线L：y=-3x+b与A-轴交于点A,与直线

14

1：y4x交于点“（3,/n）.

23

y,y

图1图2

(1)求〃7的值;

(2)点。是直线/i上一动点.

①如图2,当点。恰好在NAOB的角平分线上时，求直线。。的函数表达式;

②是否存在点。，使得NOOB=45°,若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明

理由.

模型8：一次函数存在等角求动点坐标

【典例8］如图，已知函数y二二X+2与x轴交于点C，与)，轴交于点8,点c与点A关于

2

y轴对称.

(1)直接写出A、8、。的坐标：A(・4,0)、B(0,2)、C(4,0)：

(2)求直线A8的函教解析式；

(3)设点M是x轴上的负半轴一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线43于点P,

交直线BC于点、Q.

①若△尸的面积为2,求点。的坐标；

②点M在线段4。上运动的过程中，连接BM,若/BMP=NBAC,求点P的坐标.

【变式1】如图1,已知函数)，=/x+3与x轴交于点A,与)，轴交于点小点C与点4关于

y轴对称.

(I)求直线的函数解析式；

(2)设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线48于点P,交直线

BC于点Q.

①若△PQB的面积为二，求点Q的坐标；

2

②点M在线段AC上，连接BM,如图2,若/BMP=/BAC,直接写出户的坐标.

【变式2】如图①，已知函数丁=工+3与工轴交于点A,与y轴交于点从点。点A关于3，

2.

轴对称.

(1)求8c的长.

(2)设点M是k轴上一动点，过点M作y轴的平行线，交直线于P,交直线BC于

点Q.

①若△PQB的面积为9,求点M的坐标.

4

②连接8M,如图②，若NBMP=NB4C.直接写出点P的坐标.

模型9：一次函数存在2倍角求动点坐标

【典例9】（2023秋•槐荫区期末）如图，直线1/y」x+2和直线〃与x轴分别相交于A，

8两点，且两直线相交于点C,直线/2与y轴相交于点。（0,-4）,04=208.

（1）求出直线左的函数表达式;

（2）石是x轴上一点，若SMBC=2SdBCE,求点E的坐标；

（3）若/是直线/|上方且位于），轴上一点，ZACF=2ZCAO,判断ABC/的形状并说

模型10：一次函数存在等腰直角三角形求动点坐标

【典例10】（2023秋•新都区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线/与x轴交于点A（-

4,0）,与），轴交于点B（0,2）,已知点C（・2,0）.

（1）求直线/的表达式：

（2）点。是直线/上一动点，且△4OP和△CO。的面积相等，求点P坐标；

（3）在平面内是否存在点Q,使得△人8Q是以人8为底的等腰直角三角形？若存在，请

求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

【变式I】（2023秋•成华区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线”与x轴交于点人（-

4,0）,与），轴交于点B,且与直线/2：y得%交于点C,点C的横坐标为2.

（1）求直线/I的解析式；

（2）在x轴上取点M,过点”作x轴的垂线交直线h于点。，交直线也于点£若DE

=2,求点M的坐标：

（2）在第二象限内，是否存在点。便得△Q/W为等腰百角三角形？若存在，请百接写

出点Q坐标；若不存在，请说明理由.

【变式2】（2023秋•温江区期末）如图1,直线44的解析式为）=履+3,。点坐标为（4,

（2）如图2,在x轴上是否存在点F,使SAAB尸=2&ABC,若存在求出厂点坐标，若不

存在，请说明理由；

（3）点尸是直线二方第一象限内的动点.如图3,当△A8P为等腰直角三角形时，

求点P的坐标.

【变式3］（2023秋•榆次区期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数yJx-g的图象

2

分别交X轴，y轴于4,8两点，一次函数y=・x+b的图象经过点B,并与x轴交于点C.

（1）求A,3两点的坐标；

（2）求△/16c的面枳：

（3）在平面内是否存在点P，使得是以点8为直角顶点的等腰宜角三角形？若存

在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由.

模型11:一次函数过定点问题

【典例11］（2023春•仓山区校级期末）无论〃?取任何非零实数，一次函数（3川+2）

的图象过定点（）

A.（3,2）B.（3,-2）C.（-3,2）D.（-3,-2）

2.（2023秋•庐阳区期末）已知函数），=（k-3）x+k.

（!）该函数图象经过定点.

（2）如果直线），=（h3）工+我不经过第三象限，则上的范围是.

【变式1］（2023春•都昌县期中）对于一次函数y=H-4+4的图象，无论A为何值，都过

一个定点，则这个点的坐标是.

【变式2】（2023春•枣阳市期中）一次函数y=-3A+/7U.--m的图象经过定点A,则点4的

坐标是.

模型12：一次函数与线段结合求动点问题

【典例12]（2023秋•蜀山区校级期中）如图，直线），=-x+3与坐标轴交于点A、B两点,

直线CP与直线A3相交于点P（-2，。）,交x轴于点C,且的面积为在.

33

（1）则A点的坐标为；a=；

（2）求直线PC的解析式；

（3）若点。是线段上一动点，过点短作DE〃式轴交直线PC于点上，若DE=2,求

点。的坐标.

模型13：一次函数与动点线段比例问题

【典例13]（2023春•崂山区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数），=止”的

图象经过点A（-2,9）,且与x轴相交点从与），羯交于点。，与正比例函数y=3x的

图象相交于点C,点C的横坐标为I.

（1）不等式kx+b-3x<0的解集是；

（2）求一次函数的函数解析式；

（3）M为直线A8上一点，过点M作y轴的平行线交y=3x于点M当MN=2。。时,

求点:M的坐标.

【变式I](2023秋•淮安期末)如图1,平面直角坐标系中，一次函数y=x+l的图象分别

交x轴、y轴于点A、B,一次函数)，="+力的图象经过点从并与x轴交于点C(3,0),

点D是直线AB上的一个动点.

(1)k=,b=；

(2)如图2,当点。在第一象限时，过点。作)，轴的垂线，垂足为点E交直线BC于

点、F.若DF」AC，求点。的坐标；

2

模型14：一次函数存在线段和最小值求动点坐标

【典例14]如图,直线阿)，=%%+〃与工轴，y轴分别交于点A(-3,0),B(0,3),直

线/2：y=to与直线1\相交于点C(—»n).

4

(1)求直线人和/2的解析式；

(2)求△8C。的面积；

(3)点M为)，轴上的一动点，连接MA,MC.当M4+MC的值最小时，则点M的坐标

是

【变式1】平面直角坐标系xOy中，直线八：y=x+l分别与x轴，y轴交于点A,B,点。

在直线八上，且点。的横坐标为3.直线/2经过点C（l,0）,。两点，与），轴交于点£

（1）求点。的坐标和直线/2的函数表达式；

（2）在x轴上找一点P使得P8+P。的值最小，最小值为多少？

【变式2】如图，直线48：y=7+2与x轴交于点4,与），轴交于点用直线CDy=k.K+b

经过点C（7,。），D（0,―y与直线A6交于点儿

3

（1）求直线。。的函数关系式；

（2）连接8C求aBCE的面积：

（3）设点。的坐标为（〃?，2）,求机的值使得QA+QE值最小.

模型15:一次函数求点到直线距离最小值问题

【典例15](2020春•海淀区校级期末)已知直线/：y=k.x+b(A->0)过点(-4§,0)且

与x轴相交夹角为30°,尸为直线/上的动点，A(V3,0)、B(373.0)为x轴上两

点，当PA+PB时取到最小值时P点坐标为()

A.(«,2)R.(1.A/3)C.(5.3)D.(2,V3)

【变式I】(2023•涧西区一模)如图，点4的坐标为(-2,0),直线y=x-5与x轴交于

点3,与)，轴交于点C,点。在直线y=x-5上运动.当线段A。取得最小值时，点。

C.(1,-工)D.(0,-4)

3

模型16：一次函数存在平行四边形求动点坐标

【典例16]如图,直线八过点A(0,2)、8(2,0),直线/i和直线/2交于点C(3,a),

直线/2与)，轴交于点O(0,-7).

(1)求直线力和直线/2对应的函数解析式；

(2)直线人上有一动WP,使得△CQP的面积为12,求点P的坐标:

（3）1y轴上有一动点直线/2上有一动点N,使以M、N、A、B为顶点的四边形是平

行四边形，求出点M的坐标.

【变式1】（2024春•崇川区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，矩形048c的顶点4

在,v轴的正半轴上，点C在x轴的正半轴上，线段。4,OC的长分别是小，〃且满足

（111-6）2+\府反=（?点。是线段℃上一点，将△,4°。沿直线AE翻折，点。落在矩

形的对角线AC上的点E处.

（1）求。。的长：

（2）求点E的坐标;

（3）Q七所在直线与AB相交于点M,在x轴的正半轴上是否存在点M使以M、A、N、

。为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明

模型17：一次函数存在矩形求动点坐标

【典例17】（2023秋•开原市月考）如图，在平面直角坐标系中，函数），=2壮18的图象分别

交x轴、），轴于A、B两点，过点A作直线交,，轴正半轴于点M,且点M为线段06的中

点.

（1）求直线AM的解析式;

（2）将△AM5沿着翻折，点4落在点处，连接（Mi,则四边形AM61。的形状

为平行四边形；

（3）若点”是直线AM上的动点，在坐标平面内是否存在这样的点。使以A、B、Q、

〃为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点。的坐标，若不存在，请说明理由.

【变式I】（2023春•离石区期末）综合与探究

如图，在平面直角坐标系中，直线/I：），=2r-1与x轴，），轴分别交于点A,B,直线/2：

），=依+〃与x轴，y轴分别交于点P,C（0,1）,连接AC,直线八/2交于点。，且点。

的横坐标为

5

（I）求直线/2的函数解析式；

（2）求△ACO的面积；

（3）若点E在直线/|上，尸为坐标平面内任意一点，试探究：是否存在以点氏C,E,

“为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点尸的坐标：若不存在，请说明理由.

【变式2】（2023春•九龙坡区期末）如图1,在平面直角坐标系中，一次函数产2A-+4的图

象分别交x轴，y轴于A,B两点,将aAOB绕点。顺时针旋转90°得△CO。（点A与

点C对应，点B与点。对应）.

（1）直接写出直线CZ）的解析式；

（2）点E为线段CD上一点，过点七'作EF//y轴交直线AB于点3作EG//X轴交直线

AB于点G,当EF+EG=AZ）时，求点E的坐标；

（3）如图2,若点M为线段AB的中点，点N为直线CD上一点，点尸为坐标系内一点.且

以O,M,N,尸为顶点的四边形为矩形，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写

出其中一种求解点N坐标的过程.

模型18：一次函数存在菱形求动点坐标

【典例18］已知：在平面直角坐标系中，直线八：），=-x+2与x轴、1y轴分别交于人、B两

点，直线/2经过点A,与y轴交于点C（0,-4）.

（1）求直线〃的解析式；

（2）如图1,点P为直线人上的一个动点，若△布C的面积等于9时，请求出点P的坐

标；

(3)如图2,将△4BC沿着x轴平移，平移过程中的△AEC记为△48iCi.请问在平面

内是否存在点。，使得以4、。、C、。为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点。

的坐标.

【变式1］如图,在平面直角坐标系xOy中，直线AB：y=—3与直线CD：y=hx-2

2x+

相交于点M(4,〃)，分别交坐标轴于点A,B,C,D.

yk

(i)求直线CD的解析表达式；

(2)如图，点P是直线。。上的一个动点，当的面积为20时，求点尸的坐标；

(3)直线上有一点F,在平面直角坐标系内找一点N,使得以为一边，以点8,

D,F,N为顶点的四边形是菱形，请直接写出符合条件的点N的坐标.

【变式2】在平面直角坐标系中，直线y=-3x-趣交x轴于点4,交y轴于点B,直线)=

■3/3交x轴于点C,交y轴于点D.

4

(1)如图1,连接8C,求△8C。的面积：

(2)如图2,在直线j=-总计3上存在点E,使得/ABE=45°,求点七的坐标；

(3)如图3,在(2)的条件下，连接。E,过点E作C。的垂线交)，轴于点尸，点P在

直线方上，在平面中存在一点Q,使得以OE为一边，O,E,P,。为顶点的四边形为

菱形，请直接写出点。的坐标.

模型19：一次函数存在正方形求动点坐标

【典例19](2023秋•顺德区月考)如图，一次函数的图象与坐标轴交于A(0,5),B(10,

0）两点.

（1）求一次函数的解析式；

（2）点E是线段04上的一个动点（点E不与点O,3重合），过点3作垂足

为立以Eb为边作正方形当点M落在坐标轴上时，求点E的坐标.

【变式1］（2023春•耶阳区期末）直线丁=2丫+4与x轴交于点A,与y轴交于点儿点。在

x轴的正半轴.匕△A6C面积为11.

（1）求出点。的坐标：

（2）如图1,过点C的直线CO交1y轴于点D,若NOCD=NOBC,求点D的坐标；

（3）如图2,r为线段48的中点，点G在），轴上，以FG为边,向右作正方形尸GQP,

点。落在直线8c上，求点G的坐标.

【变式2】（2023春•天桥区期末）已知一次函数的图象尸・鲁+6与x轴，y轴分别交于点

A,点8,与直线)，=思交于点C,过点3作x轴的平行线/,点P是直线/上的一个动

4

点♦

(1)求点A,点B的坐标.

(2)若SMOC=S△BCP,求点尸的坐标.

(3)若点E是直线上的一个动点，在平面内是否存在点F,使四边形4PE尸是正

专题10一次函数几何压轴（十九种题型）

船网模型速览

模型1:一次函数求三角形面积问题（铅锤法）

模型2：一次函数已知面积求动点坐标

模型3：一次函数已知面积相等求动点坐标

模型4：一次函数存在等腰三角形求动点坐标

模型5：一次函数存在直角三角形求动点坐标

模型6：一次函数存在全等三角形求动点坐标

模型7：一次函数存在45°求动点坐标

模型8：一次函数存在等角求动点坐标

模型9：一次函数存在2倍角求动点坐标

模型10：一次函数存在等腰直角三角形求动点坐标

模型11:一次函数过定点问题

模型12：一次函数与线段结合求动点问题

模型13：一次函数与动点线段比例问题

模型14：一次函数存在线段和最小值求动点坐标

模型15：一次函数求点到直线距离最小值问题

模型16:一次函数存在平行四边形求动点坐标

模型17:一次函数存在矩形求动点坐标

模型18：一次函数存在菱形求动点坐标

模型19：一次函数存在正方形求动点坐标

模型解密

【技巧点睛1】铅锤法求三角形面积

【技巧点睛2】处理与一次函数相关的面积问题，有三条主要的转化途径：

①知底求高、转化线段；

②图形割补、面积和差；

③平行交轨、等积变换。

【技巧点睛3】处理线段问题

（1）在平面直角坐标系中，若线段与y轴平行，线段的长度时端点纵坐标之差（上减下，

不确定时相减后加绝对值），若线段与x轴平行，线段的长度时端点横坐标之差（右减左，

不确定时相减后加绝对值）；

（2）线段相关计算注意使用”化斜为直〃思想。

【技巧点睛4】角度问题

（1）若有角度等量关系，不能直接用时，我们要学会角度转化，比如借助余角、补角、外

角等相关角来表示，进行一些角度的和差和角度的代换等，宜到转化为可用的角度关系。

（2）遇450角要学会先构造等腰直角三角形，然后构造“三垂直”全等模型，一般情况下

是以已知点作为等腰直角三角形的直角顶点。

【技巧点睛5】最值问题

（1）求线段和最值，可以从“两点之间线段最短”“垂线段最短”“三角形两边之和大『第

三边，两边之差小于第三边”的模型去考虑；

（2）注意“转化思想”的运用，将不可用线段进行转化，变成我们熟悉的模型

【技巧点睛6】特殊三角形存在问题

等腰三角形存在性问题

1、找点方法：

①以AB为半径，点A为圆心做圆，

此时，圆上的点（除D点外）与A、B

构成以A为顶点的等腰三角形

（原理：圆上半径相等）

②以AB为半径，点B为圆心做圆,

此时，圆上的点(除E点外)与A、B

构成以B为顶点的等腰三角形

(原理：圆上半径相等)

③做AB的垂直平分线，此时，直线上的点(除F点外)与A、B构成以C为顶点的

等腰三

角形(原理：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等)

2、求点方法：

222

(1)列出PA?、PB\AB?表达式(运用两点距离公式：AB=(XA-xB)+(yA-yB))

(2)分类讨论:当A为顶点时:PA2=AB2

当B为顶点时：PB2=AB2

当P为顶点时:PA』PB2

三、直角三角形存在性问题

若AABC是直角三角形，则分三种情况分类讨论：ZA=90°,NB=90°,ZC=90°,然

后利用勾股定理解题。

【技巧点睛6】四边形存在问题

1.坐标系中的平行四边形：

(1)对边平行且相等：

+%―工8+

~~2~~~2-

(2)对角线互相平分:即力、C中点与B、D中点重合.

》+汽_%+为

22

以上两条可统一为:

xA+xc=xB+xD

X+XX+X

bfafx^xc=xD+xB2-21,C=BD

=%一%H+Nc_%+为1"+%=%+%

2~2

总结：平面直角坐标系中，平行四边形两组相对顶点的横坐标之和相等，纵坐标之和相等

方法归纳：1、列出四个点坐标2、分三组对角线讨论列方程组，解方程组3、验证点是

否符合题意

亶|典例精讲

模型1：一次函数求三角形面积问题(铅锤法)

【典例1】在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板A8C放在第一象限，斜靠在两条

坐标轴上，NACB=90°,且A(0,4),点C(2,0),轴于点E,一次函数)=

x+b经过点B,交y轴于点£>.

(1)求证：△AOg^CEB：

(2)求△A4。的面枳.

【答案】见试题解答内容

【解答】(1)证明：•••△A8C是等腰直角三角形

/.ZACB=90°,AC=BC

・•・NACO+N8CE=90°

BELCE,：.ZBCE+ZCBE=90°

・•・NACO=NCBE

△NOC9XCEB

(2)解：,:△AOgXCEB

：,BE=OC=2,CE=OA=4

・••点8的坐标为(6,2)

又一次函数经过点4(6,2)

：,2=6+b

：.b=-4

・••点。的坐标为（0，-4）

・・・|4。|=4+4=8

在△A8。中，AD边上高的长度就是4点纵坐标的绝对值.

.•.SA/WQ=』X8X6=24

2

・•・4ABD的面枳为24.

【变式1]（2023秋•开江县期末）如图，在平面直角坐标系中，直线小y=kx+\交），轴于

点A,交x轴于点8（4,0）,过点E（2,（））的直线6平行于y轴，交直线人于点。，

点P是直线6上一动点（异于点。），连接附、PB.

（1）求直线G的解析式:

（2）设。（2,〃?），求△A8P的面积S的表达式（用含机的代数式表示）；

（2）当6•时，S=2/〃-1：当mV小时，S=1-2m；

22

【解答】解：⑴♦.•直线八：y=kx+\交x轴于点8（4,0）,

・・・0=软+1.

；・直线八：y=-—x+1；

4

_11x=2

⑵由产工"1得：1，

x=2y=7

：,D(2,—).

2

•:P(2,m),

；.S=AX|4-OpPD=—X|/W-A|X4=|2W-1|.

222

当〃？>[|寸，s=2m-1；

2

当〃?V』时，S=1-2fn；

2

模型2：一次函数已知面积求动点坐标

【典例2】如图1,在平直直角坐标系戈0y中，直线y=b+b分别与x轴，y轴交于点A(-

L0),B(0,2),过点C(2,0)作x轴的垂线，与直线48交于点£>.

图1图2

(1)求点D的坐标；

(2)点E是线段C。上一动点，直线8E与工轴交于点F.若^B。尸的面积为8,求点F

的坐标；

【答案】(1)(2,6)；

\(2)F(-5,0)或(3,0).

【解答】解：(1)I•点A(-1,0),B(0,2),

，直线AB的解析式为y=2x+2,

VCDlxffl,

・••点。的横坐标为2,

；・y=6,

・••点。的坐标为：(2,6)；

(2)设尸(加,0)有两种情况;

①当尸在C点右侧时，

VD(2,6),A(-1,0),B(0,2),OC_Lx轴.

/.S^ADF=­AF*DC=—(〃?+l)X6=3(w+1),SAABF=-AF*OB=—(/n+l)X2=

2222

m+/.

,**SdBDF=8,

:.SMDF=S&ABF+S2BF，HP：3(m+1)=m+1+8

.•.〃?=3.

：,F(3,0)；

②当尸点在。点左侧时，

•・•点A(-1,0),B(0,2),C(2,0),D(2,6).

：.S/\ADF=-AFXCD=—(-I-w)X6=-3-3川，S^ABF=—AFXOB=—(-1

2222

-〃?)X2-=-1-m,

S^BDF=S^ADF~SA.ABF=8,

/.-(-3-3〃z)-(-1-/n)=8,解得：m=-5,

:・F(-5,0)；

综上所述：F(-5,0)或(3,0).

【变式1】如图①，直线y=h+〃与x轴交于点A(4,0),与)，轴交于点B,与直线y=-

2x交于点C(〃，-4).

(1)求点C的坐标及直线AB的表达式：

(2)点尸在)，轴匕若△P8C的面积为6,求点P的坐标；

【答案】(1)C(2,-4)；y=2.v-8：

(2)点P的坐标为(0,-2)或(0,-14)；

【解答】解：(1)•・•点C(a,-4)在直线y=上,

/.-2a=-4,

解得a=2,

：.C(2,-4),

将4(4,0),C(2,-4)代入直线丁=日+小得：

解得。=2,

b=-8

・•・直线A8的解析式为：)，=2x-8；

(2)设点P的坐标为(0,〃)，

•・•直线A8的解析式为：)，=2x-8,

；・B(0,-8),

・・・8P=|p+8],

•••△P5C的面积为6,C(2,-4),

；・S△尸8。=4乂2|〃+8|=6,

2

：,p=-2或-14,

・•・点尸的坐标为(0,-2)或(0,-14)；

模型3：一次函数已知面积相等求动点坐标

【典例3】如图，在平面直角坐标系中，直线/与x轴交于点A（・4,0）,与），轴交于点8

(0,2),已知点C(-2,0).

(1)求直线/的表达式:

且△4OP和△COP的面积相等，求点P坐标;

（2）点。坐标为（4,4）或（-4,4

33

【解答】解：（1）设直线/的解析式为＞＞，="+4把八、B两点坐标代入得到,

解得，乙，

b=2

，直线I的表达式为），=薮计2；

已知点C(-2,0).

：・OB=2,OC=2,

设「(p,2〃+2),

2

・・・S"8=得X2X|〃|=|p|,

S^COP=—X2X|—p+2|=|-^-p+2|.

,/ABOP和△COP的面积相等，

・・・k1p+2|=|p|,解得p=4或-

No

，点尸坐标为(4,4)或(•生—)；

33

【变式1】如图，直线1\的解析式为y=-3x+3,且人与1轴交于点。，直线/2经过点A(4,

0)、8(3,R),直线八、/2交于点C.

2

(1)求直线/2的解析式：

(2)求△A。。的面积；

(3)试问：在直线/2上是否存在异于点C的另一点P,使得△A。。与△AOC的面积相

等？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：⑴设直线/2的解析式是尸质+从

4k+b=0

根据题意得:3

3k+b=--

乙

k=f

解得：，

b=-6

则直线/2的解析式是尸步6；

(2)在)，=・3；1+3中，令y=0,解得：x=l.

则。的坐标是(1,0).

根据题意得：，y=7x-6,

y=-3x+3

解得：，

则C的坐标是(2,-3),

则AD=4-1=3,

1Q

S_M/)r=±AOX3=N：

22

（3）点。的纵坐标是3,把y=3代入y=2・6,得x=6.

2

则。的坐标是（6,3）.

【变式2】（2023秋•东港市期中）如图1,在平面宜角坐标系中，已知一次函数），=丘+力的

图象交y轴于点4（0,3）,交x轴于点8（-4,0）.（1）求直线4B的函数表达式；

（2）直线〃垂直平分OB交AB于点Q,交x轴于点E,点P是直线〃上一动点，且在

点。的上方，设点P的纵坐标为〃?.

①利用图1位置,用含m的代数式表示AABP的面积S；

②当的面积为7时，求点。的坐标；

③在②的条件下，在y轴上找到点Q,使得△A8Q与△/IBP面积相等，求出点Q的坐标：

④连接OP,与交于点，，当△AO"与的面积相等时，请直接写出点P坐标.

(2)①2〃?-3；

②（-2,5）；

③。（0,学）（0,J），

乙乙