八年级数学培优及竞赛讲义附竞赛题及详细答案（大容量）

八年级数学培优及竞赛讲义附竞赛题及详细答案（大容量）

L用提公因式法把多项式进行因式分解

【知识点梳理】

如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括号

外面，将多项式写成因式乘积的形式。

提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。它的理论依据就是乘法分配律。

多项式的公因式的确定方法是：

（1）当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次累。

（2）系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。

下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解

【典型例题解析】

1.把下列各式因式分解

（1）

（2）

分析：（1）若多项式的第一项系数是负数，一般要提出“一”号，使括号内的第一项

系数是正数，在提出“一”号后，多项式的各项都要变号。

解：

（2）有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，如：当n为自然数

时，是在因式分解过程中常用的因式变

换。

解:

=a{a-b)y+2〃2一力/+2ab(a-b)

=a(a-/?)[(a-bf+2a(a-/?)+2b]

=a(a-b)(3a2-4ab+b2+2b)

2.利用提公因式法简化计算过程

987987987-987

例：计算123x——+268x——+456x+521x----

1368136813681368

分析：算式中每一项都含有，可以把它看成公因式提取出来，再算出结果。

987

解：原式=二一x(123+268+456+521)

1368

3.在多项式恒等变形中的应用

例：不解方程组，求代数式的值。

分析：不要求解方程组，我们可以把和看成整体，它们的值分别是3

和，观察代数式，发现每一项都含有，利用是公因式法把代数式恒等变形，化为

含有和的式子，即可求出结果。

解：

把和分别为3和带入上式，求得代数式的值是0

4.在代数证明题中的应用

例：证明：对于任意自然数n,一定是10的倍数。

分析：首先利用因式分解把代数式恒等变形，接着只需证明每一项都是10的倍数即可。

对任意自然数n,和都是10的倍数。

一定是10的倍数

5.中考点拨：

例L因式分解

解：

说明：因式分解时，应先观察有没有公因式，若没有，看是否能通过变形转换得到。

例2.分解因式：

解：

说明：在用提公因式法分解因式前，必须对原式进行变形得到公因式，同时一定要注意

符号，提取公因式后，剩下的因式应注意化简。

典型例题呈现：

例1.计算：

精析与解答：

设，贝IJ

说明：此题是一个有规律的大数字的运算，若直接计算，运算量必然很大。其中2000

2001重复出现，又有的特点，可通过设未知数，将复杂数字间的运算

转化为代数式，再利用多项式的因式分解化简求值，从而简化计算。

例2.已知：（b、c为整数）是及的公

因式，求b、c的值。

分析：常规解法是分别将两个多项式分解因式，求得公因式后可求b、c,但比较麻烦。

注意到是及的因式。因而也是

口勺因式，所求问题即可转化为求这个多项式的二次因式。

解：是及的公因式

也是多项式的二次因式

而

b、c为整数

得：

说明：这是对原命题进行演绎推理后，转化为解多项式，从而简便求

得

例3.设x为整数，试判断是质数还是合数，请说明理由。

解：

都是大于1的自然数

是合数

说明：在大于1的正数中，除了1和这个数本身，还能被其它正整数整除的数叫合数。

只能被1和本身整除的数叫质数。

【实战模拟】

1.分解因式：

(1)

(2)(n为正整数)

(3)

2.计算：的结果是()

A.B.C.D.

3.已知x、y都是正整数，且求x、y。

4.证明：能被45整除。

5.化简：且当时，求原式的值。

【典型例题答案】

1.分析与解答:

(1)

(2)

(3)原式

注意：结果多项因式要化简，同时要分解彻底。

2.B

3.

是正整数

分解成

又与奇偶性相同，且

说明：求不定方程的整数解，经常运用因式分解来解决。

4.证明:

能被45整除

5.解：逐次分解：原式

当时，原式

2.运用公式法进行因式分解

【知识点梳理】把乘法公式反过来，就可以得到因式分解的公式。

主要有：平方差公式

完全平方公式

立方和、立方差公式

补充：欧拉公式：

特别地：（1）当时，有

（2）当时，欧拉公式变为两数立方和公式。

运用公式法分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，熟练地掌握公式。但有时

需要经过适当的组合、变形后，方可使用公式。

用公式法因式分解在求代数式的值，解方程、几何综合题中也有广泛的应用。因此，正

确掌握公式法因式分解，熟练灵活地运用它，对今后的学习很有帮助。

下面我们就来学习用公式法进行因式分解

【典型例题解析】

1.把分解因式的结果是（）

A.B.

c.D.

分析：。

再利用平方差公式进行分解，最后得到，故选择B。

说明：解这类题目时，一般先观察现有项的特征，通过添加项凑成符合公式的形式。

同时要注意分解一定要彻底。

2.在简便计算求代数式的值解方程判断多项式的整除等方面的应用

例：已知多项式有一个因式是，求的值。

分析：由整式的乘法与因式分解互为逆运算，可假设另一个因式，再用待定系数法即可

求出的值。

解：根据已知条件，设

则

由此可得

由(1)得

把代入(2),得

把代入⑶，得

3.在几何题中的应用。

例：已知是的三条边，且满足，试判

断的形状。

分析：因为题中有考虑到要用完全平方公式，首先要把转成

。所以两边同乘以2,然后拆开搭配得完全平方公式之和为0,从而得解。

为等边三角形。

4.在代数证明题中应用

例：两个连续奇数的平方差一定是8的倍数。

分析：先根据已知条件把奇数表示出来，然后进行变形和讨论。

解：设这两个连续奇数分别为（为整数）

则

由此可见，一定是8的倍数。

5.中考点拨：

例1：因式分解：。

解：

说明：因式分解时，先看有没有公因式。此题应先提取公因式，再用平方差公式分解彻

底。

例2：分解因式：o

解：

说明：先提取公因式，再用完全平方公式分解彻底.

典型例题呈现：

例1.已知：

求的值。

原式

说明：本题属于条件求值问题，解题时没有把条件直接代入代数式求值，而是把代数式

因式分解，变形后再把条件带入，从而简化计算过程。

例2.已知

求证:

证明:

把代入上式

可得，即或或

若，则

若或，同理也有

说明：利用补充公式确定的值，命题得证。

例3.若,求的值。

解：

且

=3,x2+2xy+y2=9(1)

又

两式相减得

所以

说明：按常规需求出的值，此路行不通。用因式分解变形已知条件，简化计算过

程。

【实战模拟】

1.分解因式：

(1)

(2)

(3)

2.已知：，求的值。

3.若是三角形的三条边，求证：

4.已知：，求的值。

5.已知是不全相等的实数，且，试求

（1）的值；（2）的值。

【典型例题答案】

1.（I）解：原式

说明：把看成整体，利用平方差公式分解。

（2）解：原式

（3）解：原式

2.解：

3.分析与解答：由于对三角形而言，需满足两边之差小于第三边，因此要证明结论就需

要把问题转化为两边差小于第三边求得证明。

证明：

是三角形三边

且

即

4.解

,即

5.分析与解答：（1）由因式分解可知

故需考虑值的情况，（2）所求代数式较复杂，考虑恒等变

形。

解：⑴

又

而

不全相等

（2）

原式

而即

原式

说明：因式分解与配方法是在代数式的化简与求值中常用的方法。

3.三角形及其有关概念

【知识点梳理】

1.三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角

形。

2.三角形中的几条重要线段：

（1）三角形的角平分线（三条角平分线的交点叫做内心）

（2）三角形的中线1三条中线的交点叫重心）

（3）三角形的高（三条高线的交点叫垂心）

3.三角形的主要性质

（1）三角形的任何两边之和大于第三边，任何两边之差小于第三边；

（2）三角形的内角之和等于180°

（3）三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角，等于和它不相邻的两个内角的和;

（4）三角形中，等角对等边，等边对等角，大角对大边，大边对大角；

（5）三角形具有稳定性。

4.补充性质：在中，D是BC边上任意一点，E是AD上任意一点，则

三角形是最常见的几何图形之在工农业生产和日常生活中都有广泛的应用。三角形

又是多边膨的一种，而且是最简单的多边形，在几何里，常常把多边形分割成若干个三角形

利用三角形的性质去研究多边形。实际上对于一些曲线，也可以利用一系列的三角形去逼近

它，从而利用三角形的性质去研究它们。因此，学好本章知识，能为以后的学习打下坚实的

基础。

5.三角形边角关系、性质的应用

【典型例题解析】

例1.锐角三角形ABC中，NC=2NB,则NB的范围是（）

A.B.

C.D.

分析：

因为为锐角三角形，所以

又NC=2NB,

又・・・/A为锐角,为锐角

,即

，故选择C。

例2.选择题：已知三角形的一个外角等于160°,另两个外角的比为2:3,则这个三角形

的形状是（）

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法确定

分析：由于三角形的外角和等于360°,其中一个角已知，另两个角的比也知道，因此

三个外角的度数就可以求出，进而可求出三个内角的度数，从而可判断三角形的形状。

解：•・,三角形的一个外角等于160°

・•・另两个外角的和等于200°

设这两个外角的度数为2x,3x

解得：

与80°相邻的内角为100°

・•・这个三角形为钝角三角形

应选C

例3.如图，已知：在中,,求证:

分析:欲证，可作NABC的平分线BE交AC于E,只要证

即可。为与题设联系，又作AF//BE交CB的延长线于F。

显然NEBC=NF,只要证即可。由可得证。

证明：作NABC的角平分线BE交AC于E,过点A作AF//BE交CB的延长线于F

又〈BE平分NABC,AZEBC=ZABE

・・・NF=NFAB,・・・AB=BF

XVAB+FB>AF,即2AB>AF

又,:

,又•・'

例4.已知：三角形的一边是另一边的两倍。求证：它的最小边在它的周长的与之间。

分析：首先应根据已知条件，运用边的不等关系，找出最小边，然后由周长与边的关系

加以证明。

证明：如图，设的三边为a、b、c,其中

因此，c是最小边,

因此,,即

故最小边在周长的与之间。

中考点拨：

例1.选择题：如图是一个任意的五角星,它的五个顶角的和是（）

A.50B.100C.180D.200

分析：由于我们学习了三弟形的内角、外角的知识，所以需要我们把问题转化为三角形角的

问题。

解:

所以选择c

例2.选择题：已知三角形的两边分别为5和7,则第三边x的范围是（）

A.大于2B.小于12C.大于2小于12D.不能确定

分析：根据三角形三边关系应有，即

所以应选C

例3.已知：P为边长为I的等边内任一点。

求证:

证明：过P点作EF//BC,分别交AB于E,交AC于F

则NAEP=NABC=60°

是等边三角形

典型例题呈现：

例1.已知：如图，在中D是BC上任意一点，E是AD上任意一点。求证:

(1)ZBEOZBAC；

(2)AB+AOBE+ECo

分析：在(1)中，利用三角形内角和定理的推论即可证出在(2〉中，添加一条辅助线，转

化到另一个三角形中，利用边的关系定理即可证出。

证明：(1);NBED是的一个外角

同理，

即

(2)延长BE交AC于F点

即

例2.求证：直角三角形的两个锐角的相邻外角的平分线所夹的角等于45°。

己知：如图，在中,是的外角，AF、BF

分别平分NEAB及NABD。

求证：ZAFB=45°

c

分析：欲证须证

•・•AF、BF分别平分/EAB及NABD

，要转证NEAB+NABD=270°

又•・・NC=90°三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角之和

・••问题得证

证明：VZEAB=ZABC+ZC

ZABD=ZCAB+ZC

ZABC+ZC+ZCAB=180°,ZC=90c

VAF>BF分别平分/EAB及NABD

在中，

【实战模拟】

1.已知：三角形的三边长为3,8,,求x的取值范围。

2.已知：中，，D点在BC的延长线上使

求Q和B间的关系为？

3.如图，中，的平分线交于P点,则

()

A.68°B.80°C.88°D.46°

P

B

4.己知：如图，AD是的BC边上高，AE平分

求证:

5.求证：三角形的两个外角平分线所成的角等于第三个外角的一半。

【典型例题答案】

1.

分析：本题是三边关系的应用问题，只需用三边关系确定第三边的取值范围即可。

解：•・,三边长分别为3,8,由三边关系定理得：

解：

又

，又•・,

根据三角形内角和，得:

解:

XVBP.CP为/B、NC的平分线

4.

证明:

：AE平分NBAC,

又・・・AD_LBC,

又

5.

证明：如图，设的/BAC和NABC的外角平分线交于点D

则

又

4.用分组分解法进行因式分解

【知识点梳理】分组分解法的原则是分组后可以直接提公因式，或者可以直接运用公式。

使用这种方法的关键在于分组适当，而在分组时，必须有预见性。能预见到卜一步能继续分

解。而“预见”源于细致的“观察”，分析多项式的特点，恰当的分组是分组分解法的关键。

应用分组分解法因式分解，不仅可以考察提公因式法，公式法，同时它在代数式的化简

求值及一元二次方程，函数等学习中也有重要作用。

下面我们就来学习用分组分解法进行因式分解。

【典型例题解析】

1.在数学计算、化简证明题中的应用

例1.把多项式分解因式，所得的结果为（）

分析：先去括号，合并同类项，然后分组搭配，继续用公式法分解彻底。

解：原式

故选择c

例2.分解因式

分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把分

别看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；此题也可把

分别看作•组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。

解法1：

解法2：

2.在几何学中的应用

例：已知三条线段长分别为a、b、c,且满足

证明：以a、b、c为三边能构成三角形

分析：构成三角形的条件，即三边关系定理，是“两边之和大于第三边，两边之差小于

第三边”

证明：

3.在方程中的应用

例：求方程的整数解

分析：这是一道求不定方程的整数解问题，直接求解有困难，因等式两边都含有x与y

故可考虑借助因式分解求解

解：

4、中考点拨

例1.分解因式:

解：

说明：观察此题是四项式，应采用分组分解法，中间两项虽符合平方差公式，但搭配在

一起不能分解到底，应把后三项结合在一起，再应用完全平方公式和平方差公式。

例2.分解因式：

解：

说明：前两项符合平方差公式，把后两项结合，看成整体提取公因式。

例3.分解因式：

解：

说明：分组的目的是能够继续分解。

5、典型例题呈现：

例1.分解因式：

解：

说明：观察此题，直接分解比较困难，不妨先去括号，再分组，把4mn分成2mn和2mn

配成完全平方和平方差公式。

例2.己知：，求ab+cd的值。

解：ab+cd=

说明：首先要充分利用已知条件中的1（任何数乘以1,其值

不变），其次利用分解因式将式子变形成含有ac+bd因式乘积的形式，由ac+bd=O可算出结

果。

例3.分解因式：

分析：此题无法用常规思路分解，需拆添项。观察专项式发现当x=l时，它的值为0

这就意味着的一个因式，因此变形的目的是凑这个因式。

解一（拆项）：

解二（添项）：

说明：拆添项法也是分解因式的一种常见方法，请同学们试拆一次项和常数项，看看是

否可解？

【实战模拟】

I.填空题：

2.已知：

3.分解因式：a5+a+i

4.已知：试

求A的表达式。

5.证明：

【典型例题答案】

1.（1）解：

(2)解:

(3)解:

2.解：

=(a2-ab+b2)(a+Z?+c)

说明：因式分解是一种重要的恒等变形，在代数式求值中有很大作用。

3.解:

4.解:

5.证明:

5.用十字相乘法把二次三项式分解因式

【知识点梳理】对于首项系数是1的二次三项式的十字相乘法，重点是运用公式

进行因式分解。掌握这种方法的关键是确定适合条件的

两个数，即把常数项分解成两个数的积，且其和等于一次项系数。

对于二次三项（a、b、c都是整数，且）来说，如果存在四个整数

满足并且那么二次三项式

即可以分解为。这里要确

定四个常数，分析和尝试都要比首项系数是1的类型复杂，因此一般要借

助画十字交叉线的办法来确定。

卜面我们一起来学习用十字相乘法因式分解。

【典型例题解析】

1.在方程、不等式中的应用

例1.已知：，求x的取值范围。

分析：本题为二次不等式，可以应用因式分解化二次为一次，即可求解。

解：

例2.如果能分解成两个整数系数的二次因式的积，试求m的值

并把这个多项式分解因式，

分析：应当把分成而对于常数项-2,可能分解成，或者分解成

,由此分为两种情况进行讨论。

解：(1)设原式分解为，其中a、b为整数，去括号，得:

将它与原式的各项系数进行对比，得：

解得：

此时，原式

(2)设原式分解为，其中c、d为整数，去括号，得：

将它与原式的各项系数进行对比，得：

解得：

此时，原式

2.在几何学中的应用

例.已知：长方形的长、宽为x、y,周长为16cm，且满足

,求长方形的面积。

分析：要求长方形的面积，需借助题目中的条件求出长方形的长和宽。

解：

或

又

解得:或

，长方形的面积为IfcirP或

3、在代数证明题中的应用

例.证明：若是7的倍数，其中x,y都是整数，则是49的倍

数。

分析：要证明原式是49的倍数，必将原式分解成49与一个整数的乘积的形式。

证明一：

・・•是7的倍数，7y也是7的倍数（y是整数）

・•・是7的倍数

而2与7互质，因此，是7的倍数，所以是49的倍数。

证明二：丁是7的倍数，设（m是整数）

则

又•・•

Vx,m是整数，・•・也是整数

所以，是49的倍数。

4、中考点拨

例1.把4/y2—9,2分解因式的结果是

解：4x4/-5x2y2-9y2

说明：多项式有公因式，提取后乂符合十字相乘法和公式法，继续分解彻底。

例2.

因式分解：________________

解：

说明：分解系数时一定要注意符号，否则由于不慎珞造成错误。

5、典型例题呈现

例1.若能分解为两个一次因式的积，则m的值为（）

A.1B.-lC.D.2

解：

-6可分解成或,因此，存在两种情况:

由（1）可得：，由（1）可得：

故选择C。

说明：对二元二次多项式分解因式时，要先观察其二次项能否分解成两个一次式乘积再

通过待定系数法确定其系数，这是一种常用的方法。

例2.已知：a、b、c为互不相等的数，且满足。

求证：

证明：

说明：抓住已知条件，应用因式分解使命题得证。

例3.若有一因式。求a,并将原式因式分解。

解:有一因式

・••当,即时,

说明；由条件知，时多项式的值为零，代入求得a,再利用原式有一个因式是

,分解时尽量出现,从而分解彻底。

【实战模拟】

1.分解因式:

(1)

(3)

2.在多项式，哪些是多项

式的因式？

3.已知多项式有一个因式，求k的值，并把原式分解因式。

4.分解因式：

5.已知：，求的值。

【典型例题答案】

1.

（1）解：原式

（2）解：原式

（3）解：原式

2.

解:

・•・其中是多项式

的因式。

说明：先正确分解，再判断。

3.

解：设

贝IJ

解得：

且

说明：待定系数法是处理多项式问题的一个重要办法，所给多项式是三次式，已知有一

个一次因式，则另一个因式为二次式，由多项式乘法法则可知其二次项系数为1。

4.

解：简析：由于项数多，直接分解的难度较大，可利用待定系数法。

设

比较同类项系数，得:

解得:

5.

解:

说明：用因式分解可简化计算。

6.全等三角形及其应用

【知识点梳理】i.全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形；两

个全等三角形中，互相重合的顶点叫做对应顶点。互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫

对应角。

2.全等三角形的表示方法：若4ABC和4A'B'C'是全等的三角形，记作“△ABC0

△A'C'其中，“金”读作“全等于，记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字

母写在对应的位置上。

3.全等三角形的的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等；

4.寻找对应元素的方法

（1）根据对应顶点找

如果两个三角形全等，那么，以对应顶点为顶点的角是对应角；以对应顶点为端点的边

是对应边。通常情况下，两个三角形全等时，对应顶点的字母都写在对应的位置上，因此由

全等三角形的记法便可写出对应的元素。

（2）根据已知的对应元素寻找

全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；

（3）通过观察，想象图形的运动变化状况，确定对■应关系。

通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析，可以看出其中一个是由另一个

经过下列各种运动而形成的。

①翻折

如图（1）,ABOC^AEOD,ABOC可以看成是由AEOD沿直线A0翻折180。得到的;

②旋转

如图（2）,ACOD^ABOA,ACOD可以看成是由ABOA绕着点O旋转180。得到的;

cD

0

A

③平移

如图（3）,ADEF^AACB,ADEF可以看成是由AACB沿CB方向平行移动而得到的。

5.判定三角形全等的方法：

（1）边角边公理、角边角公理、边边边公理、斜边直角边公理

（2）推论：角角边定理

6.注意问题：

（1）在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等；

（2）不能证明两个三角形全等的是，a:三个角对应相等，即AAA；b:有两边和其中一

角对应相等，即SSA。

全等三角形是研究两个封闭图形之间的基本工具，同时也是移动图形位置的工具。在平

面几何知识应用中，若证明线段相等或角相等，或需要移动图形或移动图形元素的位置，常

常需要借助全等三角形的知识。

【典型例题解析】全等二角形知识的应用

（1）证明线段（或角）相等

例1：如图，已知AD=AE,AB=AC.求证：BF=FC

分析：由已知条件可证出AACD0AABE,而BF和FC分别位于ADBF和AEFC中因

此先证明AACDgAABE,再证明△DBFg△ECF,既可以得到BF=FC.

证明：在AACD和AABE中,

rAE二AD

{ZA=ZA

IAB=AC.

...AACD@AABE(SAS)

・•・ZB=ZC（全等三角形对应角相等）

又•・,AD=AE,AB=AC.

・•・AB-AD=AC-AE

即BD=CE

在ADBF和AECF中

rZB=ZC

-ZBFD=ZCFE（对顶角相等）

4D=CE

・•・ADBFgAECF（AAS）

:.BF=FC（全等三角形对应边相等）

（2）证明线段平行

例2：己知：如图，DE_LAC,BF_LAC,垂足分别为E、F,DE=BF,AF二CE.求证:

AB〃CD

分析：要证AB〃CD：需证NC=NA,而要证NC=NA,又需证△ABFgACDE.由已

知BF_LAC,DE±AC,知NDEC=NBFA=90°,且己知DE=BF,AF=CE.显然证明△ABF

gACDE条件已具备，故可先证两个三角形全等，再证NC=NA,进一步证明AB〃CD.

证明：DE1AC,BF_LAC（已知）

:.ZDEC=ZBFA=90°（垂直的定义）

在AABF与ACDE中，

rAF=CE（已知）

vZDEC=ZBFA（已证）

IDE=BF（己知）

/.AABF^ACDE（SAS）

・•・ZC=ZA（全等三角形对应角相等）

・・・AB〃CD（内错角相等，两直线平行）

（3）证明线段的倍半关系，可利用加倍法或折半法将问题转化为证明两条线段相等

例3：如图，在aABC中，AB=AC,延长AB到D,使BD二AB,取AB的中点E连

接CD和CE.求证：CD=2CE

分析：

（i）折半法：取CD中点F,连接BF,再证ACEBg4CFB.这里注意利用BF是AACD

中位线这个条件。

证明：取CD中点F,连接BF

・•・BF=1AC，且BF〃AC（三角形中位线定理）

・•・ZACB=Z2（两直线平行内错角相等）

又•・•AB=AC

:.ZACB=Z3（等边对等角）

:.Z3=Z2

在ACEB与ACFB中

BF=BE

N3=N2

CB=CB

；・△CEB丝ACFB（SAS）

ACE=CF=1CD（全等三角形对应边相等）

即CD=2CE

（ii）加倍法

证明：延长CE到F,使EF二CE,连BF.

在AAEC与△BEF中

rAE=BE

vZI=Z2（对顶角相等）

-CE=FE

；・AAESABEF（SAS）

:.AC=BF,Z4=Z3（全等三角形对应边、对应角相等）

・•・BF〃AC（内错角相等两直线平行）

<ZACB+ZCBF=180°

ZABC+ZCBD=180°

又AB=AC/.ZACB=ZABC

AZCBF=ZCBD•等角的补角相等）

在ACFB与ACDB中

CB=CB

JZCBF=ZCBD

_BF二BD

JACFB^ACDB（SAS）

:.CF=CD

即CD=2CE

说明：关于折半法有时不在原线段上截取一半，而利用三角形中位线得到原线段一半的

线段。例如上面折道理题也可这样处理，取AC中点F,连BF（如图）（B为AD中点是利用

这个办法的重要前提)，然后证CE二BF.

(4)证明线段相互垂直

例4：已知：如图，A、D、B三点在同一条直线上，AADCsABDO为等腰三角形

AO、BC的大小关系和位置关系分别如何？证明你的结论。

分析：本题没有直接给出待证的结论，而是让同学们先根据已知条件推断出结论，然后

再证明所得出的结论正确，通过观察，可以猜测：AO=BC,AO1BC.

证明：延长AO交BC于E,在AADO和4CDB中

rAD二DC

'ZADO=ZCDB=90°

IOD=DB

・•・AADO^ACDB(SAS)

AO=BC,ZOAD=ZBCD(全等三角形对应边、对应角相等)

•・,ZAOD=ZCOE(对顶角相等)

・•・ZCOE+ZOCE=9(y,

・•・AO1BC

5、中考点拨：

例1.如图，在△A8C中，AB=AC,E是A8的中点，以点E为圆心，£8为半径画弧，交

BC于点D,连结石。，并延长石£＞到点凡UDF=DE,连结尸C.

求证：ZF=Z.A.

分析：证明两个角相等，常证明这两个角所在的两个三角形全等，在已知图形中NA

//不在全等的两个三角形中，但由已知可证得E尸〃AC,因此把/A通过同位角转到

△BDE中的/BED,只要证△EBDBAECO即可.

证明：*：AB=AC

*：EB=ED

：,NACB=NEDB.

：.ED//AC.

；・NBED=NA.

\'BE=EA.

：,BD=CD.

XDE=DF,4BDE=NCDF

:•△BDEWACDF

：・NBED=NF.

：.ZF=ZA.

说明：证明角（或线段）相等可以从证明角（或线段）所在的三角形全等入手，在寻求

全等条件时，要注意结合图形，挖掘图中存在的对项角、公共角、公共边、平行线的同位角

内错角等相等的关系。

例2如图，已知△ABC为等边三角形，延长BC到D,延长BA到E,并且使AE二ED连

接CE、DE.求证：EC二ED

分析：把已知条件标注在图上，需构造和△AEC全等的三角形，因此过D点作DF/AC

交BE于F点，证明△AECgAFED即可。

证明：过D点作DF〃AC交BE于F点

•・•△ABC为等边三角形

・•・ZXBFD为等边三角形

:.BF=BD=FD

,:AE=BD

・•・AE=BF=FD

AE-AF=BF-AF即EF=AB

・•・EF=AC

在aACE和4DFE中

rEF=AC（已证）

\NEAC=NEDF（两宜线平行，同位角相等）

[AE=FD（已证）

JAAEC^AFED（SAS）

:.EC=ED（全等三角形对应边相等）

典型例题呈现：

例1如图，△ABC中，ZC=2ZB,Zl=Z2o求证：A8=AC+CO.

分析•：在48」：截取A£=AC,构造全等三角形，ZUE。注得QE=QC,只需

证。E=BE问题便可以解决.

证明：在4B上截取AE=AC,连结DE.

•・•AE=AC,Z1=Z2,AD=AD

AAED^AACD

：.DE=DC,ZAED=ZC.

•・•NAED=NB+NEDB,ZC=2ZB

工2NB=NB+NEDB.

即4B=4EDB.

・•・EB=ED,BPED=DC

JAB=AC~\~DC.

剖析：证明一条线段等于另外两条线段之和的常用方法有两种，一种是截长法（即在长

线段上截取一段等于两条短线段的一条，再证余下的部分等于另一条短线段）：如作4E=

AC是利用了角平分线是角的对称轴的特性，构造全等三角形，另一种方法是补短法（即延

长一条短线段等于长线段，再证明延长的部分与另一条短线段相等），其目的是把证明线段

的和差转化为证明线段相等的问题，实际上仍是构造全等三角形，这种转化图形的能力是中

考命题的重点考查的内容.

【实战模拟】

1.下列判断正确的是（）

（A）有两边和其中•边的对角对应相等的两个三角形全等

（B）有两边对应相等，且有一角为30°的两个等腰三角形全等

（C）有一角和一边对应相等的两个直角三角形仝等

（D）有两角和一边对应相等的两个三角形全等

2.已知：如图，CO_L4B于点D,BELAC于点E,BE、CD交于点O,且40平分NB4c.求

证：OB=OC.

3.如图，已知C为线段AB上的一点，AACM和ACBN都是等边三角形，AN和CM相

交于F点，BM和CN交于E点。求证：ACEF是等边三角形。

N

M

FE

ACB

4.如图，在AABC中，AD为BC边上的中线.求证：AD<1(AB+AC)

6.如图，在等腰RtZkABC中，ZC=90°,。是斜边上4B上任一点，AE±CDTE

交CD的延长线于尸，CHLAB于H点、,交AE于G.

求证：BD=CG.

【典型例题答案】

l.D

2.证明：

•・•AO平分/0。8,CZ)J_A8于点。,BELAC于点E,BE、CE交于点O

・•・OD=OE,ZODB=ZOEC=90°,/BOD=NCOE.

・•・^BOD^/^COE(ASA).

・•・08=OC

3.分析由/ACM=NBCN=6（）。，知NECF=60。，欲证ACEF是等边三角形，只要证明ACEF

是等腰三角形。先证ACAN丝AMCB,得/1=/2.再证ACFN/ACEB,即可推得ACEF是等边

三角形的结论。

证明：在ACAN和AMCB

VAC=MC,CN=CB

ZCAN=ZMCB=120°

AAACN^AMCB中

JZFCB和4CEB中

VZFCN=ZECB=60°,Z1=Z2,CN=CB

•••△CFN也ACEB,?.CF=CE

XVZECF=60°,

•••△CEF是等边三角形.

4.分析：美于线段不等的问题，一般利用在同一个二角形中二边关系来讨论，由于AB

AC、AD不在同一个三角形，应设法将这三条线段转化在同一个三角形中，也就是将线段

相等地转化，而转化的通常方法利用三角形全等来完成，注意AD是BC边上的中线，延长

AD至E,使DE=AD,即可得至ACDgZ\EBD.

证明：延长AD到E,使DE=AD,连结BE

在AACD与AEBD中

‘AD=ED（作法）

NADC=NEDB（对顶角相等）

CD=BD（已知）

JAACD^AEBD（SAS）

••・AC=EB（全等三角形对应边相等）

在AABE中，AB+EB>AE（三角形两边之和大于第三边）

:.AB+AO2AD（等量代换）

即ABC」（AB+AC）

2

说明：一般在有中点的条件时，考虑延长中线来构造全等三角形。

5.分析：由于BQ与CG分别在两个三角形中，欲证3。与CG相等，设法证

BDF.由于全等条件不充分，可先证△AEC也△CF8

证明：在RtAA£C与RtAC/'B中

\-AC=CB,AE_LCO于E,8F_LC交C。的延长线于产

・•・Z/\EC=ZCFB=90°

又N4C®=900

NCAE=90°-ZACE=ZBCF

：.Rt^AEC^Ri/^CFB

：.CE=BF

在RiZ\8F。与RtZXCEG中，ZF=ZGEC=90°,CE=BF,由NFBO=900-ZFDB

=90°~ZCDH=ZECG

••・RlAfiFD^RiACEG

，BD=CG

7.因式分解小结

【知识点梳理】因式分解是把一个多项式分解成几人整式乘积的形式，它和整式乘法互

为逆运算，在初中代数中占有重要的地位和作用，在其它学科中也有广泛应用，学习本章知

识时，应注意以下几点。

1.因式分解的对象是多项式；

2.因式分解的结果一定是整式乘枳的形式：

3.分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止；

4.公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式；

5.结果如有相同因式，应写成鼎的形式；

6.题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解；

7.因式分解的一般步骤是：

（1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、W“变”的步骤。即首先看有无公因

式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组

的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解：

（2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项

（添项）等方法：

下面我们〜起来回顾本章所学的内容。

【典型例题解析】

1.通过基本思路达到分解多项式的目的

例1.分解因式

分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把分

别看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；也可把

分别看成一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。

解一：原式

解二：原式=

2.通过变形达到分解的目的

例1,分解因式

解一：将拆成，则右

解二：将常数拆成，则有

3.在证明题中的应用

例：求证：多项式的值一定是非负数

分析：现阶段我们学习了两个非负数，它们是完全平方数、绝对值。本题要证明这个多

项式是非负数，需要变形成完全平方数。