八年级数学112个角度命题例题及变式题

讲次01三角形的基础

三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形。

三角形特性

（1）三角形有三条线段

（2）三条线段不在同一直线上f三角形是封闭图形

（3）首尾顺次相接」

三角形用符号“4”表示，顶点是4、B、C的三角形记作“4A8C”，读作“三角形ABC”。

三角形按边分类：

等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫

做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角。

等边三角形：底边与腰相等的等腰三角形叫做等边三角形，即三边都相等。

三角形三边的关系（重点

（1）三角形的任意两边之和大于第三边。

三角形的任意两边之差小于第三边。（这两个条件满足其中一个即可）

用数学表达式表达就是：记三角形三边长分别是小b,c,则a+b>c或c-bVm

（2）已知三角形两边的长度分别为a,b,求第三边长度的范围：|a—b|VcVa+b

三角形的分类：

三角形按边的关系分类如下：

［不等边三角形

三角形i底和腰不相等的等腰三角形

I等腰三角形

等边三角形

三角形按角的关系分类如下：

直角三角形（有一个角为直角的三角形）

三角形,锐角三角形（三个角都是锐角的三角形）

钝角三角形（有一个角为钝角的三角形）

三角形的稳定性，四边形及多边形不具有稳定性

要使多边形具有稳定性，方法是将多边形分成多个三角形，这样多边形就具有稳定性了。

命题角度一三角形的个数问题

例题1.如图所示，其中三角形的个数是（）

4.2个8.3个C.4个65个

【分析】根据三角形的定义解答即可，由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的

图形叫做三角形.

【解析】图中的三角形有：△ABC,△BCD,ABCE,△COE共5个，选D

【小结】本题考查了三角形的概念，由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图

形叫做三角形.组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻边的公共端点叫做三角形的顶点.相

邻两条边组成的角，叫做三角形的内角，简称为三角形的角.

变式1.图中三角形的个数是（）

A.3个

【解析】

图中的三角形有：△ABD,△ADE,△AEC,△ABE,△ADC,△ABC,共6个，选。

变式2.图中三角形的个数是（）

A.4个8.6个C.8个D.10个

【分析】根据三角形的定义即可得.

【解析】图中三角形是△ABGAABE,△月8个，选C

【小结】本题考查了三角形的定义，掌握理解三角形的概念是解题关键.

变式3.如图，图中三角形的个数有（）

A.6个D.12个

【解析】以。为一个顶点的有ACBO、△80、“80、△A。。，不以。为顶点的三角形有

△CAO、4CBA、>BCD、ABAD,共有8个。选8.

命题角度二三角形的分类

例题2.在△ABC中，4=20。，4=60。，则AABC的形状是（）

4.等边三角形B.锐角三角形

C.直角三角形D.钝角三角形

【解析】根据三角形的内角和定理求出NC,即可判定AABC的形状.

:4=20。，々=60°,

,NC=180°-Zh-^B=180°-20°-60°=100°,

・•・△ABC是钝角三角形.

选£>.

变式1.一个三角形三个内角的度数之比为1：2：3,则这个三角形一定是（）

A.锐角三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.等腰直角三角形

【解析】根据三角形的内角和为180。，可知最大角为90。，因式这个三角形是直角三角形.

选8.

变式2.在AABC中，若/4：4=1：3：5,则△ABC是（）

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.形状不确定

【分析】根据上4：N&NC=1：3：5,可设/4=x。，/B=3X。，/C=5X°,再根据三角形

内角和为180。可得方程x+3x+5.v=l80,解方程算出x的值，即可判断出△ABC的形状.

【解析】'：ZhzNB：4>1：3：5,

・••设4=x°,Z^=3x°,NC=5x0,

.\x+3x+5x=180,

解得：尸20,

・•・NC=5x20°=100°,

•••△ABC是钝角三角形.

选C

【小结】本题考查三角形内角和定理，关键是利用方程思想列出三个角的关系式.

变式3.下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能确定三角形类型的是（）

4从C.D.

【分析】根据三角形按角分类的方法一一判断即可.

【解析】观察图象可知：选项B,。的三角形是钝角三角形，选项。中的三角形是锐角三角

形，选项A中的三角形无法判定三角形的类型.

选A.

【小结】本题考查三角形的分类，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考命题角度.

命题角度三构成三角形的条件

例题3.下列各组线段不能组成三角形的是（）

A.4cm>4cm、5cmB.4cm、6cm、11cm

C.4c，n、5cm>6ctnD.5cm、12cm>13cm

【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三边对各选项提示判断后利用排除法求解.

［解析］A、4+4=8>5,4cmAcni>5cm能组成三角形，故本选项错误；

B、4+6=10<11,••.4。?1、6。《、11。〃2不能组成三角形，故本选项正确；

C、5+4=9>6,，4。爪5cm、6a九能组成三角形，故本选项错误；

D、5+12=17>13,「.5c〃2、12c/n、13oM能组成三角形，故本选项错误.

选B.

【小结】本题考查了三角形的三边关系，是基础题，熟记三边关系是解题的关键.

变式L等腰三角形的两边长分别为3和6,则这个等腰三角形的周长为（）

A.12B.15C.12或15D.18

【解析】根据题意，要分情况讨论：①、3是腰；②、3是底.必须符合三角形三边的关系,

任意两边之和大于第三边.

①若3是腰，则另一腰也是3,底是6,但是3+3=6,・••不构成三角形，舍去.

②若3是底，则腰是6,6.3+6>6,符合条件.成立.・・・C=3+6+6=15.选B.

变式2.等腰三角形的一边长为4,另一边长为9,则这个三角形的底长为（）

A.22B.17C.13D.17或22

【分析】分4是腰长和底边两种情况讨论求解即可.

【解析】4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、9,

74+4=8<9,.••不能组成三角形，

4是底边时，三角形的三边分别为4、9、9,能组成三角形，周长=4冉+9=22,

综上所述，该等腰三角形的周长为22.

选A.

【小结】本题主要考查了三角形三边关系，难点在于分情况讨论并利用三角形的三边关系判

断是否能组成三角形.

变式3.下列长度的四根木棒中，能与4cm,9c机长的两根木棒首尾相接成一个三角形的是

()

A.4cmB.5cmC.9cmD.13cm

【分析】根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，逐一判断选项，即可.

【解析】V4+4<9,

・・・4。〃，4cm,9c机长的木棒首尾相接，不能组成三角形，・•洛错误；

75+4=9,

A5cm,40M,9C〃2长的木棒首尾相接，不能组成三角形，，合错误；

V9+4>9,

/.9cm,4cm,9cm长的木棒能组成三角形，・・・C正确；

74+9=13,

/.\3cm,4CTW,9CTH长的木棒，不能组成三角形，错误；

选C.

【小结】本题主要考查三角形的三边关系，掌握“三角形任意两边之和大于第三边”，是解

题的关键.

变式4.若实数〃?，〃满足|〃7—2|十6=4=0,且小，〃恰好是等腰△ABC的两条边的边长,

则△A8C的周长是()

4.12B.8C.10D.10或8

【分析】根据非负数的忤质求出用，〃的值.根据等腰三角形的性质求解即可.

【解析】忸-2|+J〃-4=0

m=2,n=4,

当三角形的腰长为2时，2+2=4,构不成三角形；

当三角形的腰长为4时，三角形的周长为：4+4+2=10.

选C

【小结】考查非负数的性质以及等腰三角形的性质，掌握三角形的三边关系是解题的关键.

命题角度四三角形第三边的取值范围

例题4.已知三角形两边的长分别是3和7,则此三角形第三边的长可能是（）

A.IB.2C.8D.11

【分析】根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可确定出第三边的范围，据

此根据选项即可判断.

【解析】设第三边长为x,则有7.3々<7+3,

即4<x<10,

观察只有。选项符合，

选C

【小结】本题考查了三角形三边的关系，熟练掌握三角形三边之间的关系是解题的关键.

变式1.若长度分别为〃,3,5的三条线段能组成一个三角形，则。的值可以是（）

A.1B.2C.30.8

【分析】根据三角形三边关系可得5-3<aV5+3,解不等式即可求解.

【解析】由三角形三边关系定理得：5-3V4V5+3,

即2V〃V8,由此可得，符合条件的只有选项C,

选C

【小结】本题考查了三角形三边关系，能根据三角形的三边关系定理得出5-3VaV5+3是

解此题的关键，注意：三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边.

变式2.已知三角形三边长分别为2,x,13,若x为正整数，则这样的三角形个数为

A.2B.3C.5D.13

【分析】根据“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，可得x的取值范围，

一一判断可得答案.

【解析】根据“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”可得:13-2<rvl3+2,即

114Vl5,因为取正整数，故x的取值为12、13、14,即这样的三角形共有3个.

选A

【小结】本题主要考查构成三角形的三边的关系.

变式3.一个三角形的两边长为3和8,第三边长为奇数，则第三边长为（）

A.5或77或9C.7D.9

【解析】根据三角形三边关系可得：5V第三边VII,根据第三边长为奇数，则第三边长为

7或9.选8.

命题角度五三角形三边关系的应用

例题5.已知三角形的两边分别为1和4,第三边长为整数，则该三角形的周长为（）

4.7B.8C.9D.10

【分析】根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和“，求得第三边的取

值范围；再根据第三边是整数，从而求得周长.

【解析】设第三边为X,

根据三角形的三边关系，得：4-1<X<4+1,

即3Vx<5,

•・"为整数，

:・x的值为4.

三角形的周长为1+4+4=9.

选C

【小结】此题考查了三角形的三边关系.关键是正确确定第三边的取值范围.

变式1.已知〃、b、c是AABC的三边长，化简k+b—d—k一〃一d的值是（）

A.-2cB.2b-2cC.la-2cD.2a-2b

【分析】根据三角形的三边关系”任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边“，得

至b-a-c<0,再根据绝对值的性质进行化简计算.

【解析】根据三角形的三边关系，得

a+b-c>0,b-a-c<0.

:.原式=a+b-c-（a+c-b）=2b—2c.选择B项.

【小结】本题考查三角形三边关系和绝对值，解题的关键是熟练掌握三角形三边关系.

变式2.如图，为估计池塘岸边4,8的距离，小明在池塘的•侧选取一点O,测得0A=15

米，OB=IO米，A,B间的距离可能是（）

A.30米B.25米C.20米»5米

【解析】设A,B间的距离为x.

根据三角形的三边关系定理，得：15-10VXV15+10,解得：5VxV25,

所以，A,8之间的距离可能是20m.选C.

变式3.若（。-3）2+/-6|一0,则以出力为边长的等腰三角形的周长为（）

A.12B.15C.12或15D.18

【分析】根据非负数的和为零，可得每个非负数同时为零，可得。、b的值，根据等腰三角

形的判定，可得三角形的腰，根据三角形的周长公式，可得答案.

【解析】由（。-3）2+|^-6|=0,得a・3=0,力-6=0.

则以。、。为边长的等腰三角形的接长为6,底边长为3,

周长为6+6+3=15,选8.

【小结】本题考查非负数的性质，利用非负数的和为零得出每个非负数同时为零是解题关键.

变式4.如果一等腰三角形的周长为27•旦两边的差为12,则这个等腰二角形的腰长为（）

A.13B.5C5或13D.1

【解析】设等腰三角形的腰长为人则底边长为x-12或x+12,

当底边长为x-12时，根据题意，2x+x-12=27,解得x=13,

・•・腰长为13;

当底边长为x+12时，根据题意，2x+x+12=27,解得x=5,

因为5+5V17,所以构不成三角形，

故这个等腰三角形的腰的长为13,

选A.

命题角度六三角形的稳定性

例题6.下列图形具有稳定性的是（）

【分析】根据一角形具有稳定性，四边形具有不稳定性进行判断即可得.

【解析】A、具有稳定性，符合题意；8、不具有稳定性，故不符合题意；

C、不具有稳定性，故不符合题意；。、不具有稳定性，故不符合题意，

选A.

【小结】本题考查三角形的稳定性和四边形的不稳定性，正确掌握三角形的性质是解题关键.

变式1.为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背面加钉了一根木条，这样做的道理

是（）

A.两点之间，线段最短B.垂线段最短

C.三角形具有稳定性D.两直线平行，内错角相等

【解析】三角形具有稳定性，其它多边形不具有稳定性，把多边形分割成三角形则多边形的

形状就不会改变，这样做的道理是三角形具有稳定性，选C

变式2.王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，如图.要使这个木契不变形，他至少还要

再钉上几根木条？（）.

A.0根艮1根江3根

【解析】三角形具有稳定性，连接一条对角线，即可得到两个三角形，选8

变式3.如图，窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，其所运用的几何原理是（）

A.三角形的稳定性B.垂线段最短

C.两点确定一条直线D.两点之间，线段最短

【分析】根据点A、8、。组成一个三角形，利用三角形的稳定性解答.

【解析】一扇窗户打开后，用窗钩将其固定，正好形成三角形的形状，所以，主要运用的几

何原理是三角形的稳定性，选A.

【小结】本题考查三角形稳定性的实际应用.三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用

变式4.如图，工人师傅砌门时，常用木条E/固定长方形门框ABC。，使其不变形，这样

做的根据是（）

A.两点之间的线段最短氏长方形的四个角都是直角

C.三角形有稳定性D.长方形是轴对称图形

【解析】用木条E尸固定长方形门框ABCZ）,使其不变形的根据是三角形具有稳定性，选。

【小结】本题考查了三角形具有稳定性在实际生活中的应用，是基础题.

变式5.人字梯中间-•般会设计''拉杆〃，这样做的道理是（）

人两点之间，线段最短B.垂线段最短

C.两直线平行，内错角相等D.三角形具有稳定性

【分析】根据三角形的稳定性解答即可.

【解析】人字梯中间一般会设计一“拉杆”，是为了形成三角形，利用三角形具有稳定性来增

加其稳定性，

选D

【小结】此题考查三角形的性质，关键是根据三角形的稳定性解答.

讲次02三角形的高、中线、角平分线

考点一三角形的高

概念：从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简

称一角形的高）

高在三角形内部

的数量

高之间是否相交相交相交不相交

高所在的宜线是

否相交相交相交相交

三条高所在直线

的交点的位黄三角形内部宜角顶点三角形外部

考点二三角形的中线

概念：在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。

性质：三角形三条中线的交于一点，这一点叫做“三角形的重心”。

重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。

三角形的中线可以将三角形分为面积相等的两个小三角形。

考点三三角形的角平分线

概念：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三

角形的角平分线。

名称基本图形画法性质

用边的垂线三角三条高线相交于三角

高板画顶点到对段形内部、外部或边上

令C一点

4c用直尺画两点之三条中线相交于三角

中线间的线段形内一点，且把三角

形分成面积相等的两

部分

利用量角器画角三条角平分线相交于

角平分的平分线的一部三角形内一点

线分

BDC

命题角度一画三角形的高

例题1.如图，过A49。的顶点4件边上的高，以下作法正确的是（）

【分析】经过一个顶点作对边所在的直线的垂线段，叫做三角形的高，根据概念即可得出.

【解析】根据定义可得A是作8C边上的高，。是作A8边上的高，。是作AC边上的高.

选A.

变式1.在数学课上，同学们在练习过点8作线段AC所在直线的垂线段时，有•部分同学

画出下列四种图形，请你数一数，错误的个数为（）

【解析】试题解析：从左向右第一个图形中，BE不是线段，故错误;

第二个图形中，BE不垂直AC,所以错误;

第三个图形中，是过点E作的4C的垂线，所以错误;

第四个图形中，过点。作的BE的垂线，也错误.

选。.

【解析】三角形的高必须是从三角形的一个顶点向对边或对边的延长线作的垂线段.

可以判断4B,C虽然都是从三角形的一个顶点出发的，但是没有垂直对边或对边的延长线.

选。.

变式3.如图，N4CB>90。，ADLBC,BE1AC,CF1AB,垂足分别为点。、点E、点

【解析】根据图形，8E是AABC中AC边上的高.选艮

变式4.如图A»_L8C于点£>,那么图中以A。为高的三角形的个数有（）

A

【解析】结合三角形高的定义可知，以A。为高的三角形有：

△AB。，^ABE,"8C,MOE,AAOC,AAEC,共6个，选。

命题角度二与三角形高有关的计算

例题2.如图，在直角三角形A3C中，点8沿C8所在直线远离C点移动，下列说法错误的

是（）

A

CBB'

A.三角形面积随之增大B.NCA8的度数随之增大

C.8C边上的高随之增大D.边AB的长度随之增大

【分析】根据三角形的面积公式、角和线段大小的比较以及三角形高的定义进行解答即可.

【解析】A、在直角三角形ABC"』，S"8GLsc・AC,点5沿C5所在直线远离C点移动时

2

8c增大，则该三角形的面积越大.故A正确；

B、如图，随着点8的移动，NCAB的度数随之增大.故8正确；

C、边上的高是AG线段AC的长度是不变的.故C错误.

D、如图，随着点8的移动，边AB的长度随之增大.故。正确；

选C.

【小结】本题考查了三角形的面积，角和线段大小的比较以及三角形高的定义，解题时要注

意“数形结合''数学思想的应用.

变式1.如图，AABC中，D,七分别是两点，且BD=DE=EC,则图中面积相等的三

角形有（）

4.4对B.5对C.6对D.7对

【分析】根据三角形的面积公式，知：只要同底等高，则两个三角形的面积相等，据此可得

面积相等的三角形.

【解析】由已知条件.得“B。，△AQE.A4CE,3个二角形的面积都相等,组成了3对，

还有AASE和AACO的面积相等，共4对.

选A.

【小结】本题考查了三角形的相关知识，解题的关键是熟练的掌握三角形面积公式与运用.

变式2.如图,AO,CE是△ABC的两条高，已知AD=10,CE=9,AB=12,则BC的长是（）

A.10B.D.15

【解析】VAD,CE是"8C的两条高，AD=10,CE=9,AB=12,

：.2ABe的面积」xl2x9=-BGAD=54,

22

即128cl0=54,解得BC=10.8.

选B.

变式3.如图所示，AD.CE、8尸是AA8C的三条高，AB=6,BC=5,=4,则

CE=()

【分析】根据二角形的面积公式解答即可.

【解析】因为A。、CE、8尸是△ABC的三条高，48=6,BC=5fAO=4,

11

所以可得:-BC・AD=-AB・CE,

22

BC-AD5x410

可得:CE=--------=-----=—

AB63

选C

【小结】此题考查三角形的面积，关键是根据同•三角形面积相等来提示.

变式4.（2018•烟台市期末）如图，在△ABC中，CD、BE分别是A&AC边上的高，并且

CD,2石交于点P,若4=50°，则NBPC等于（)

A.90°B.D.315°

【解析】根据/4=50。可得/48C+N4cB=130。，根据CD_LAB,BE_LAC可得/48E=40。,

^4CD=40°,贝lJ/8C+/C8=130°—40°—40°=50°,贝lj〃PC180°—50°=130°.

选A

变式5.如图，三角形ABC,“4090°，AD是三角形ABC的高，图中相等的是（）.

4.NB=/CD.NDAC=NC

【分析】根据直角三角形的性质可得NB+/C=90°，由A。是三角形ABC的高，可得4D4二

/WC=9（）°，再运用三角形内角和定理依次判断即可.

【解析】・・・/R4C=90°，・・・登+々＞90°，选项A错误;

•••4。是三角形ABC的高，J々04=90°，・・・/BAO+N8=90°，选项B错误；

•・・/4C=90°，^BAD+"4C=90°，

又•・・^ADC=90n，,^DAC+NC=90°，

:.NO/BAD,选项C正确，选项。错误.

选C

【小结】本题考查了三角形的高线以及三角形的内角和定理，属于基础命题角度.

变式6.如图A4BC中，分别延长边48,BC,CA,使得8O=AB,CE=2BC,AF=3CA,

若AAAC的面积为1,则4QE尸的面积为()

A.12B.14C.16D.18

【分析】连接AE和CD,要求三角形DE下的面积，可以分成三部分(△FCD+4FCE+ZXOCE)

来分别计算，三角形48c是一个重要的条件，抓住图形中与它同高的三角形进行提示计算,

即可解得△。石万的面积.

【解析】连接4七和8,

'：BD=AB,

••SMBC=S&BCCf=1»SAACD=1+1=2,

9

：AF=3ACt

：.FC=4ACt

**•S△产CD=4S&ACD=4X2=8,

同理可以求得：SAAC£=2SAABC=2,贝!JS△尸C£=4S&ACC=4X2=8；

SAZ)CE=2SABCD=2X1=2；

:.SADE尸SAFCD+S△/CE+S『.DCE=8+8+2=18.

选。.

【小结】本题考查三角形面积及等积变换的知识，注意高相等时三角形的面积与底成正比的

关系，并在实际问题中的灵活应用，有一定难度.

命题角度三三角形中线有关的长度计算

例题3.如图，是ABC的中线，已知EC-4,DE=2,则8。的长为(

A.2B.D.6

【解析】・・・AE是△ABC的中线，EC=4,

：.BE=EC=4,

VDE=2,

：.BD=BE-DE=4-2=2.

选A.

变式L已知A。是△ABC的中线，且△A8D比△AC。的周长大3“〃,则A8与AC的差为()

A.2cmB.3cmC.4cmD.6cm

【分析】根据三角形中线定义可得BD=CD,然后根据三角形的周长公式列式计算即可得解.

【解析】・・・AD是“BC的中线,

:・BD=DC,

与AACD的周长之差=(AB+AD+BD)-(AC+AD+CD)=AB-AC,

,//\ABD比△AC£)的周长大3cm,

与AC的差为3cm.

选艮

【小结】本题考查三角形中线，熟记概念并求出两三角形周长的差等于AB/C是解题关键.

变式2.如图，三角形ABC中，。为8C上的一点，且尸SDDC,则AD为（）

A.|RJB.角平分线C.中线D.不能确定

【解析】设BC边上的高为儿

•SAADC♦

•*4XhXBD二,XhXCD，

乙乙

故BD=CD,即40是中线.选C.

变式3.如图，在"BC中，40是BC边上的中线，MOC的周长比"5。的周长多5c巾,

A5与AC的和为13ca,那么AC的长为（）

A.8cmB.D.llcm

【分析】根据中线的定义知CD=BD.结合三角形周长公式知AC-AB=5cm；又AC+AB=13cm.易

求AC的长度.

【解析】・・・人。是8。边上的中线,

，。为BC的中点，CD=BD.

•・•△ADC的周长-的周长=5cm.

.\AC-AB=5cm.

又AB+AC=13cw,

»\AC=9crn.

即AC的长度是9c,〃?.

选B.

【小结】本题考查了三角形的中线，根据周长的差表示出ACAB=5CM是解题的关键.

命题角度四三角形中线有关的面积计算

例题4.如图，在&4AC中，已知点£>,E,尸分别为边区C,AD,CE的中点,且△人“。的

面积为4cm2,则△砌沙的面积等于（）

A.2cm2

【分析】依据三角形的面积公式及点。、E、尸分别为边8C,A。，CE的中点，推出

S8防二^SMBC从而求得〃的面积・

【解析】丁点。、E、F分别为边3C,AD,CE的中点，

•••△48。的面积是4,・・・5"石产1.选8

【小结】本题主要考查了与三角形的中线有关的三角形面积问题，关键是根据三角形的面积

公式S=gX底X高，得出等底同高的两个三角形的面积相等.

2

变式1.△ABC的面积为12c“2,点。在BC边上，石是A。的中点，则ZXBCE的面积是（）

A.4cm2B.6cm2C.8cm2D.6cm2

【解析】•••七是八£）的中点，，$&80u；7508，），SAQEU^SAADC，

22

，△BCE的面积=SAB。针（SAA8/）+SAADC）=二x^ABC的面积=6,选8.

22

【小结】本题考查的是三角形的面积的计算，掌握三角形的一条中线把三角形分为面积相等

的两部分是解题的关键.

变式2.如图，D,E,尸分别是边BCAD,AC上的中点，若S阴影的面积为3,则△ABC

【分析】利用三角形中线将三角形分成面积相等的两部分，

==9

SABDSACDABD5ADF=]Sadc,再得到

11Q

S|f，"二万SA5C，所以SA6C=5S阴影部分即可得出.

4o3

【解析】•・•。为8C的中点

•**SA8c=§S阴影部分=§x3=8

选。

【小结】三角形的中线将三角形分成两个面积相等的三角形，根据中线找出图中三角形的面

积关系是解决本题的关键.

变式3.如图，在△ABC中，点。是BC边上的一点，E,尸分别是4D,8E的中点，连结

CE,CF,若S«EF=5,则△ABC的面积为（）

A.15B.20C.25D.30

【分析】根据题意，利用中线分的三角形的两个图形面积相等，便可找到答案

【解析】根据等底同高的三角形面积相等，可得

•••尸是BE的中点，

S^CFE=SKFB=5，

S^CEB=SACE计SMBF=10>

・・,E是AD的中点,

•*»S^AEB=S^DBEtS^AEC=S^DECt

*/SACEB=S,\BDE+S^CDE

*,•S/xBDE^-S^CDE=10

,SAAEB+SAAEC=10

•二SAA8C=SABDE+SdCD外S&AEB+SdAEC=20

选&

【小结】熟悉三角形中线的拓展性质：分其两个三角形的面积是相等的，这样便可在实际问

题当中家以应用.

命题角度五三角形重心的有关性质

例题5.如图，小明用铅笔可以支起一张质地均匀的三角形卡片，则他支起的这个点应是三

角形的（）

A.三边高的交点B.三条角平分线的交点

C.三边垂直平分线的交点D.三边中线的交点

【分析】根据题意：支撑点应是三角形的重心.根据三角形的重心是三角形三边中线的交点.

【解析】:支撑点应是三角形的重心，

，三角形的重心是三角形三边中线的交点，

选D

【小结】考查了三角形的重心的概念和性质.注意数学知识在实际生活中的运用.

变式1.如图，在△ABC中，D,E分别是8C,AC的中点，AD和BE相交于点G,若AD=6,

则AG的长度为（）

【分析】根据。、E分别是边8C,4c的中点，AD,相交于G,即可得出G为三角形的

重心，利用重心的性质得出AG的长即可.

【解析】：。、E分别是边BC,47的中点，A。、8尸相交于G

JG为△A8C的重心

：.AG=2DG

VAD=6

：.AG=4

选C

【小结】本题考查的是三角形的重心性质，能够判断出点G是三角形的重心是解题的关键.

命题角度六三角形的角平分线

例题6.如图，。中,4。为△ABC的角平分线为△ABC的高，NC=70°,/4BC=48°,

那么，3是（）

B

A.59°B.60°C.56。D.22。

【解析】根据题意可得，在△ABC中,ZC=70°,ZABC=48°，则NCAB=62°，

又为AABC的角平分线，.•./1==N2=62°+2=31°

又•・,在△AEF中，BE为AABC的高AZEFA=9O°-Z1=59°Z3=ZEFA=59°

变式1.如图，己知AE是A4BC的角平分线,AO是边.上的高.若/A8C=34。，ZACB=MQ,

则S4E的大小是（）

4.5°B.13°C.15°D.20°

【分析】根据三角形的内角和定理，可求的C=82。，又由4E是/BAC的平分线，可求一

BAE=41。,再由4。是BC边上的高，可知/4。8=90。，可求”4止56。，所以NDAE=NBAD-

NBAE,问题得解.

【解析】在△川（；中，•・・/48C=34。，/4CB=64。，

工440180°-zB-z^C=82°,

・・・4E是NBA。的平分线，：.ZBAE=ZCAE=41°.

又・・・A。是8C边上的高，,•・408=90。，

•・•在△A8O中/84>90。-4二56。，

JXDAE=/BAD-ZBAE=15°.

【小结】在本题中，我们需要注意到已知条件中已经告诉三角形的两个角，所以利用内角和

定理可以求出第三个角，再有已知条件中提到角平分线和高线，所以我们可以利用角平分线

和高线的性质计算出相关角，从而利用角的和差求解，在做几何证明题时需注意已知条件衍

生的结论.

变式2.如图，“BC中,AO是角平分线，。从LA8于点E,AABC的面积为7,AB=4,£>E=2,

则AC的长是（）

A.4B.3C.6D.5

【解析】过点。作。产_LAC于F,

A

C

TA。是△48。的角平分线，DE1AB,

：.DE=DF=2,

:.S^ABC=1X4X2+Lex2=7,

22

解得4C=3.

选B.

变式3.如图所示，AD.AE分别是“8C的高和角平分线，且4=76。，4>36。，则NDAE

等于（）

A.20°C.45°D.30°

【分析】根据高线的定义以及角平分线的定义分别得出“助。=14。，^CAD=54°,进而

得出N2ME的度数，进而得出答案.

【解析】VAD,AE分别是的高和角平分线，且NB=76。，NC=36。，

AZBAD=\4°t/CAO=54。，

11

・•・/BAE=-NBAC=-x68°=34°,

22

.'・"AE=34°-14°=20°.

选A.

【小结】此题主要考查了高线以及角平分线的性质，得出"AE的度数是解题关键.

变式4.如图，BE、。尸是A4BC的角平分线，^4=50°,BE、CF相交于。，则NBDC的度

数是()

【分析】由于/4=50。，根据三角形的内角和定理，得/4BC与4cB的度数和，再由角平

分线的定义，得“8C+NPCB的度数，进而求出NBDC的度数.

【解析】V^4=50°,A^45C+ZACB=180°-50°=130°,

YBE、CF是△480的角平分线，J.NEBC=』/ABC,ZFCB=-ZACB,

22

・・・NE3C+NFCB=gx(NABC+N4C8)=65°,・・.COC=180°-65°=115°,选A.

【小结】考查三角形内角和定理以及角平分线性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键.

变式5.如图，点。在48c内，且到三边的距离相等，若/4=60。，则NBOC的大小为()

【分析】由条件可知O为三角形三个内角的角平分线的交点，则可知NO8C+/OCB=;(/

ABC+XACB)=-(180。-/4),在ABOC中利用三角形的内角和定理可求得/BOC.

2

【解析】・・・。到三边的距离相等・・・BO平分/ABC,CO平分N4CB

11

，NOBC+/OCB=-(z^ABC+^ACB)=-(180°-4)

22

,/力=60。，

:.ZOBC+NOC8=60。,:.ZBOC=180°-(NOBC+/OCB)=180°-60°=120°,选B.

【小结】考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线把一个角分成两个相等的角是解题的关键

讲次03三角形有关的角

考点一三角形的内角

内角和定理：三角形三个内角和等于180°。

推论：

①直角三角形的两个锐角互余。

②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。

③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

【备注】

1.在同一个三角形中：等角对等边；

2.等边对等角：大角对大边；

3.大边对大角。

4.等角的补角相等，等角的余角相等。

三角形的内角构成：

构成

二锐角三角形|三个都是锐角

角直角三角形|一个直角+两个锐角

形钝角三角形|一个钝角+两个锐角

考点二三角形的外角

概念：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角

性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。三角形的一个外角大于与它不

相邻的任何一个内角。

三角形的外角与内角的关系：

1、三角形的一个外角与它相邻的内角互处；

2、三角形的一个外角笠王与它不相邻的两个内角的和；

3、三角形的一个外角珏任何一个与它不相邻的内角。

命题角度一三角形内角和定理

例题1.在三角形中，最大的内角不小于（）

A.30。B.45°C.60°D.90。

【解析】,・•三角形的内角和等于180。，180。+3=60。，・••最大的角不小于60。.

选C.

变式1.三角形的三个内角（）

A.至少有两个锐角B.至少有一个直角

C.至多有两个钝角D.至少有一个钝角

【分析】根据三角形的内角和是180。判断即可.

【解析】根据三角形的内角和是1803知：三个内角可以都是60。排除6；

三个内角可以都是锐角，排除C和。；

三角形的三个内角中至少有两个锐角，不可能有两个钝角或两个直角，

选A.

【小结】本题考查了三角形的内角和定理：三角形的三个内角和是180°.

变式2.如图，点。在内，且NBOL120。，/1+/2=55。，则的度数为（）

A.50°B.60°C.65°D.75°

【分析】根据三角形的内角和即可求出.

【解析】在△BC。中，NBOC=120°,ZDBC+ZDCB=180°-^BDC=60°,

,/-1+N2=55。，Z4BC+^ACB=/I+N2+ZDBC+ZDCB=115°,

Az^=180°-（^ABC+XACB）=65°,

选C

【小结】此题主要考查三角形的内角和，解题的关键是熟知三角形的内角和的性质.

变式3.等腰三角形的一个内角为50。，它的顶角的度数是()

A.40°B.50°C.50。或40。D.50。或80。

【分析】根据50°是顶角的度数或底角的度数分类讨论，然后结合三角形的内角和定理即

可得出结论.

【解析】①若顶角的度数为50°时，此时符合题意；

②若底角的度数为50°时，

则等腰三角形的顶角为：180。-50°-50°=80°

综上所述：它的顶角的度数是50c或80。

选。.

【小结】此题考查的是等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，掌握等边对等角和分类讨

论的数学思想是解决此题的关键.

变式4.如图，在△ABC中，4=70。，沿图中虚线截去NC,则Nl+N2=()

A

A.360°B.250°D.140°

【分析】根据三角形内角和定理得出/4+/B=U0°，进而利用四边形内角和定理得出答案.

【解析】:△ABC中，NC=70。,

力+4=180°-/C=110。.

/,-1+Z2=36O°-I10°=250°,

选3.

【小结】本题主要考查了多边形内角和定理，根据题意得出/4+NB的度数是解题关键.

命题角度二与平行线有关的三角形内角和问题

例题2.如图，AB//CD,点E在线段BC上，CD=CE,若^ABC=30°，则N0为（）

A.85°B.D.30°

【解析】、：ABH3,

，NG力BC=30。,

又,：C*CE,:.ND=/CED,

*：4+/D+NCED=180°,即30。+2ND=\80°,

・•・ND=75°.

选艮

变式1.如图，在AABC中，NC=90。，点。在AC上，D