（寒假）人教版数学七年级寒假精讲精练11 实数综合复习+随堂检测（教师版）

第第页10实数综合复习考向一实数的运算1．计算：（1）−12+3−27【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；（2）先化简各式，然后再进行计算即可解答．【解答】解：（1）−12+3−27−2×9＝﹣1+（﹣3）﹣（2）2(3−1)−|3−2|−3−64＝23−2﹣2+3−（﹣2．计算：（1）−12018+25−|1−【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；（2）先化简绝对值，然后再进行计算即可解答．【解答】解：（1）−12018+25−|1−2|+3−8−(−3)（2）3+|2−3|=3.计算：（1）38−|1−16|；（2）−1916+(−5)2；（3）【分析】（1）先算开方，再去绝对值符号，再进行计算即可；（2）先开方，再算加减即可；（3）先算乘方，开方，再算乘法，最后算加减即可．【解答】解：（1）原式＝2﹣|1﹣4|＝2﹣3＝﹣1；（2）原式=−54+（3）原式＝﹣6+（﹣3）×10﹣4＝﹣6﹣30﹣4＝﹣40．4.计算：（1）（﹣3）2+2×（2−1）﹣|﹣22|；（2）3−8−1−16【分析】（1）先算乘方，化简绝对值，去括号，然后再算加减；（2）先化简立方根，算术平方根，绝对值，然后再计算．【解答】解：（1）原式＝9+22−2﹣22（2）原式＝﹣2−925+5−2+4＝﹣考向二利用平方根立方根解方程1．求下列各式中的x（1）（x+1）2＝3；（2）9（1+x）2＝16；（3）﹣8（1﹣x）3＝27．【分析】（1）利用平方根的定义求解即可；（2）利用平方根的定义求解即可；（3）利用立方根的定义求解即可；【解答】解：（1）∵（x+1）2＝3，∴x+1＝±3，∴x1=3−1，x2（2）∵9（1+x）2＝16，∴（1+x）2=169，∴1+x＝±169，即1+x＝±43，∴x1=（3）∵﹣8（1﹣x）3＝27，∴（1﹣x）3=−278，∴1﹣x=3−278，即1﹣x2.计算下列各式中x的值：（1）16x2﹣49＝0；（2）27（x+1）3+8＝0．【分析】（1）先移项，再系数化为1，根据平方根定义求得；（2）先移项，再系数化为1，根据立方根定义求得．【解答】解：（1）移项得，16x2＝49，两边同时除以16得，x2=49∵x是4916的平方根，∴x=±4916，∴x＝±74，∴x（2）移项得，27（x+1）3＝﹣8，两边同时除以27得，（x+1）3=−8∵x+1是−827的立方根，∴x+1=3−827即x+12.解方程：（1）12(x−2)2=8【分析】（1）利用开平方的方法将一元二次方程转化为一元一次方程求解即可；（2）利用开立方得方法转化为一元一次方程求解即可．【解答】解：（1）12(x−2)2=8两边开方得，x﹣2＝4或x﹣2＝﹣4，解得x＝6或x＝﹣2，即x1＝6，x2＝﹣2；（2）(x+1)3−1=−78，移项得，（x+1）3＝1两边开立方得，x+1=12，移项合并同类项得，x4.解方程：（1）4(x+12)2=81【分析】（1）先把方程化为(x+1（2）先把方程化为(x−1)【解答】解：（1）∵4(x+12)2∴x+12是814的平方根，∴x+12（2）∵2(x−1)3=−1254，∴(x−1)考向三有关平方根及立方根综合问题1.已知x+1的平方根是±2，2x+y﹣2的立方根是2，求x2+y2的算术平方根．【分析】根据平方根、立方根的定义即可得到x、y的值，最后代入代数式求解即可．【解答】解：∵x+1的平方根是±2，∴x+1＝4，∴x＝3，∵2x+y﹣2的立方根是2，∴2x+y﹣2＝8，把x的值代入解得：y＝4，∴x2+y2＝25，∴x2+y2的算术平方根为5．2.（1）已知x﹣2的一个平方根是﹣2，2x+y﹣l的立方根是3，求x+y的算术平方根．（2）一个正数m的平方根是2a﹣3与5﹣a，求a和m．【分析】（1）根据平方根、立方根的定义进行计算即可；（2）根据平方根的定义求出a的值，再得出正数m的两个平方根，进而得出m的值．【解答】解：（1）∵x﹣2的一个平方根是﹣2，∴x﹣2＝4，解得x＝6，又∵2x+y﹣l的立方根是3，∴2x+y﹣1＝27，而x＝6，∴y＝16，∴x+y＝22，∴x+y的算术平方根为22；（2）∵一个正数m的平方根是2a﹣3与5﹣a，∴2a﹣3+5﹣a＝0，解得a＝﹣2，当a＝﹣2时，2a﹣3＝﹣7，5﹣a＝7，∴m＝49，答：a＝﹣2，m＝49．3.已知a+bM是M的立方根，而3b−6是a+bM（1）求a与b的值；（2）设x=a+bM，【分析】（1）根据立方根得出a+b＝3，M＝6﹣b，再根据已知条件求出答案即可；（2）求出x、y的值，再求出x2+y2的值，最后求出答案即可．【解答】解：（1）∵a+bM是M的立方根，而3b−6是∴a+b＝3，M＝6﹣b，∵M＝3a﹣7，∴6﹣b＝3a﹣7，解得：a＝5，b＝﹣2；（2）∵a＝5，b＝﹣2，M＝6﹣（﹣2）＝8，∴x=a+bM=∴x2+y2＝22+（﹣2）2＝8，∴x与y平方和的立方根是384.在1，﹣2，3，﹣4，5中任取两个数相乘，最大的积是a，最小的积是b．（1）分别求出a和b的值；（2）若|x−a|+y+b【分析】（1）根据有理数的乘法法则得出a，b的值；（2）将a，b的值代入|x−a|+y+b【解答】解：（1）根据题意知a＝3×5＝15，b＝5×（﹣4）＝﹣20；（2）由题意知|x﹣15|+y−20∵|x﹣15|≥0，y−20≥0，∴x﹣15＝0，y﹣20＝0，解得x＝15，y＝20，∴考向四实数的应用1．某新建学校计划在一块面积为256m2的正方形空地上建一个面积为150m2的长方形花园（长方形花园的边与正方形空地的边平行），要求长方形花园的长是宽的2倍．请你通过计算说明该学校能否实现这个计划．【分析】分别求出长方形的长，正方形的边长比较即可判断．【解答】解：长方形花坛的宽为xm，长为2xm．∵建一个面积为150m2的长方形花园，∴2x•x＝150，∴x2＝75，∵x＞0，∴x＝53，2x＝103，∵正方形的面积为256m2，∴正方形的边长为16m，∵103＞16，∴2．小李同学想用一块面积为400cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为2：3，他不知道能否裁得出来，正在发愁，这时小于同学见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片．”（1）长方形纸片的长和宽是分别多少cm？（2）你是否同意小于同学的说法？说明理由．【分析】（1）设面积为300平方厘米的长方形的长宽分为3x厘米，2x厘米，则3x•2x＝300，x2＝50，解得x＝52，而面积为400平方厘米的正方形的边长为20厘米，由于152＞（2）根据（1）中的长方形纸片的长和宽即可得出结论．【解答】解：（1）解：设长方形纸片的长为3x（x＞0）cm，则宽为2x cm，依题意得，3x•2x＝300，6x2＝300，x2＝50，∵x＞0，∴x=50=52，∴长方形纸片的长为15答：长方形纸片的长是152cm，宽是102cm；（2）不同意小于同学的说法．理由：∵50＞49，∴52＞7，∴152∴长方形纸片的长大于20cm，由正方形纸片的面积为400cm2，可知其边长为20cm，∴长方形纸片的长大于正方形纸片的边长，∴不能用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片．3.2022年5月10日，庆祝中国共产主义青年团成立100周年大会在北京人民大会堂隆重举行．习近平总书记指出，青春孕育无限希望，青年创造美好明天．一个民族只有寄望青春、永葆青春，才能兴旺发达．为了全面贯彻总书记的讲话精神，某市决定在一块面积为1100m2的正方形空地上建一个足球场以供全民健身．已知足球场的面积为540m2，其中长是宽的53倍，足球场的四周必须留出1m【分析】求出足球场的长、宽，再求出正方形的边长，比较长方形的长加1，即（长+2）与正方形边长的大小关系即可．【解答】解：设足球场的宽为xm，则长为53xm，由题意得，53又∵正方形空地的面积为1100m2，∴正方形的边长为1100m，∵332＝1089，342＝1156，∴33＜1100又∵30+2＜33，∴可以建一个符合规定的足球场．4.数学活动课上，小新和小葵各自拿着不同的长方形纸片在做数学问题探究．（1）小新经过测量和计算得到长方形纸片的长宽之比为3：2，面积为30，请求出该长方形纸片的长和宽；（2）小葵在长方形内画出边长为a，b的两个正方形（如图所示），其中小正方形的一条边在大正方形的一条边上，她经过测量和计算得到长方形纸片的周长为50，阴影部分两个长方形的周长之和为30，由此她判断大正方形的面积为100，间小葵的判断正确吗？请说明理由．【分析】（1）设长为3x，宽为2x，根据长方形的面积为30列方程，解方程即可；（2）根据长方形纸片的周长为50，阴影部分两个长方形的周长之和为30列方程组，解方程组求出a即可得到大正方形的面积．【解答】解：（1）设长为3x，宽为2x，则：3x•2x＝30，∴x=5∴3x＝35，2x＝25，答：这个长方形纸片的长为35，宽为25；（2）正确．理由如下：根据题意得：2[(a+b)+a]=504b+2(a−b)=30，解得：a=10∴大正方形的面积为102＝100．5.如图，把图（1）中两个小正方形纸片分别沿对角线剪开，拼成一个面积为16cm2的大正方形纸片如图（2）．（1）原小正方形的边长为22cm；（2）若沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形的长宽之比为2：1，且面积为12cm2？若能，试求出剪出的长方形纸片的长宽；若不能，试说明理由．（3）如图（3）是由5个边长为1的小正方形组成的纸片，能否把它剪开并拼成一个大正方形？若能，请画出示意图，并写出边的长度，若不能，请说明理由．【分析】（1）根据大正方形纸片的面积求出小正方形纸片的面积，再进一步求出小正方形纸片的边长；（2）根据剪出的长方形面积为12cm2，列方程求出长方形的长，然后与大正方形纸片的边长比较进行判断即可；（3）根据大正方形的面积等于5个小正方形的面积确定大正方形的边长，然后根据图（3）的纸片确定大正方形即可．【解答】解：（1）∴小正方形的面积是大正方形面积的一半，∴小正方形的面积为16÷2＝8（cm2），设小正方形的边长为a，则a2＝8，∴a＝±22（舍去负值），∴a＝22∴小正方形的边长为22cm，故答案为：22（2）不能剪出符合要求的长方形纸片，理由如下：设剪出来的长方形长为2xcm，宽为xcm，依题意得2x•x＝12，∴x=6或x=−6（舍去），∴长为2∴不能剪出符合要求的长方形纸片；（3）∵一共有5个小正方形，那么组成的大正方形的面积为5，边长为5，画出示意图如图，6.某农场有一块用铁栅栏围墙围成面积为700平方米的长方形空地，长方形长宽之比为7：4．（1）求该长方形的长宽各为多少？（2）农场打算把长方形空地沿边的方向改造出两块不相连的正方形试验田，两个小正方形的边长比为4：3，面积之和为600平方米，并把原来长方形空地的铁栅栏围墙全部用来围两个小正方形试验田，请问能改造出这样的两块不相连的正方形试验田吗，如果能，原来的铁栅栏围墙够用吗？【分析】（1）按照设计的花坛长宽之比为7：4设长为7x米，宽为4x米，以面积为700平方米作等量关系列方程．用求算术平方根方法解得x的值．（2）设大正方形的边长为4y米，则小正方形的边长为3y米，根据面积之和为600m2，列出方程求出y，得到大正方形的边长和小正方形的边长，即可求解．【解答】解：（1）设该长方形花坛长为7x米，宽为4x米，依题意得：7x×4x＝700，x2＝25，∴x＝5（﹣5不合题意舍去）∴7x＝35，4x＝20，答：该长方形的长35米，宽20米；（2）设大正方形的边长为4y米，则小正方形的边长为3y米，依题意有（4y）2+（3y）2＝600，25y2＝600，y2＝24，y=26，4y=86，∵86+66∴能改造出这样的两块不相连的正方形试验田；146×4=566∵566＞110，10实数综合复习随堂检测1.解方程：（1）25x2﹣169＝0；（2）8（x+1）3＝﹣125．【分析】（1）直接利用平方根的定义得出答案；（2）直接利用立方根的定义得出答案．【解答】解：（1）25x2﹣169＝0，则x2=16925，解得：x＝±（2）8（x+1）3＝﹣125，则（x+1）3=−1258，解得：x2.计算：（1）25−364−（﹣1）2023【分析】（1）根据算术平方根，立方根和有理数的乘方运算可解答；（2）根据绝对值，算术平方根，立方根运算可解答．【解答】解：（1）25−364−（﹣1）（2）|3−2|−(−3)2−3.计算：（1）(2+3)−2；（2）(【分析】（1）先去括号，再合并同类二次根式；（2）先计算绝对值、去括号，再合并同类二次根式；（3）先计算平方根和立方根，再计算加减．【解答】解：（1）(2+3（2）(2−1)+3+|1−2|=2（3）4+3−8−14.已知2a﹣1的算术平方根是3，3a+b﹣1的立方根是2，求a﹣2b的平方根．【分析】利用算术平方根，以及立方根定义求出a与b的值，即可求出所求．【解答】解：由题意得：2a﹣1＝9，3a+b﹣1＝8，解得：a＝5，b＝﹣6，则a﹣2b＝5+12＝17，17的平方根是±17．5.已知（a﹣2）的平方根是±2，（2a+b+7）的立方根是3，求（a2+b2）的算术平方根．【分析】根据平方根、立方根的定义和已知条件可知a﹣2＝4，2a+b+7＝27，列方程解出a、b，最后代入代数式求解即可．【解答】解：∵a﹣2的平方根是±2，∴a﹣2＝4，∴a＝6，∵2a+b+7的立方根是3，∴2a+b+7＝27．把a的值代入解得：b＝8，∴a2+b2＝36+64＝100，∵100的算术平方根为10，∴（a2+b2）的算术平方根为10．6.（1）若x，y为实数，且x=2y−6+3−y+4，求（x（2）已知x﹣2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3，求x2+y2的算术平方根．【分析】（1）根据被开方数是非负数，可得x的值，根据开平方，可得答案；（2）根据平方根的意义、立方根的意义，可得答案．【解答】解：（1）由题意得：2y−6≥03−y≥0，解得y＝3，∴∴（x﹣y）2＝1，∴（x﹣y）2的平方根是±1．（2）由x﹣2的平