（寒假）人教版数学七年级寒假精讲精练08 平方根+随堂检测（原卷版）

第页08平方根知识点一知识点一算术平方根的定义和性质◆1、算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根.a的算术平方根记作：，读作:“根号a”.即x2=a(x>0)

x叫做a的算术平方根，记作：x=.规定：0的算术平方根是0.记作:=0.◆2、算术平方根的性质：算术平方根具有双重非负性.①被开方数一定是非负数，即a≥0.②一个非负数的算术平方根也是非负数，即≥0.◆3、求一个正数的算术平方根与求一个正数的平方恰好是互逆的两种运算，◆4、被开方数越大，对应的算术平方根也越大.读作：“二次根号a”.知识点二知识点二算术平方根的估算◆求一个正数（非完全平方数）的算术平方根的近似值，一般采用逼近法，是指从两边确定取值范围，一点一点加强限制，使其所处范围越来越小，从而达到理想的精确程度.知识点三知识点三用计算器求算术平方根◆1、在求某些数的算术平方根时，有些数很大或很小，或不易求出算术平方根，为了提高计算速度，我们可以利用计算器，按照一定的按键顺序直接快速地求出这个数的算术平方根.◆2、大多数计算器都有键，用它可以求出一个正有理数的算术平方根(或其近似值).知识点四知识点四平方根的定义和性质◆1、平方根的定义：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根.这就是说，如果x2=a，那么x叫做a的平方根.◆2、开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.开平方与平方互为逆运算，运用这种关系可以求一个数的平方根.◆3、平方根的表示方法：正数a的算术平方根可以表示为，正数a的负的平方根，可以表示为-.

正数a的平方根可以用±表示，读作“正、负根号a”．◆4、算术平方根与平方根的联系和区别：联系：（1）包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种.（2）只有非负数才有平方根和算术平方根.（3）0的平方根是0，算术平方根也是0.区别：（1）个数不同：一个正数有两个平方根，但正数算术平方根只有一个.（2）表示方法不同：正数a的算术平方根表示为，正数a的平方根表示为；◆5、平方根的性质：①正数有两个平方根，它们互为相反数；②0的平方根是0；③负数没有平方根.题型一求一个数的算术平方根题型一求一个数的算术平方根【例题1】求下列各数的算术平方根：（1）144；（2）0.49；（3）614；（4）（−32解题技巧提炼根据算术平方根的概念求一个数的算术平方根，（1）当遇到求带分数的算术平方根的题目时，应先将带分数化成假分数再进行计算；（2）求一个数的算术平方根是多少，首先要知道哪个非负数的平方等于这个数.【变式1-1】9的值等于（）A．3 B．﹣3 C．±3 D．5【变式1-2】16的算术平方根是（）A．4 B．2 C．±4 D．±2【变式1-3】36的算术平方根是（）A．±6 B．6 C．±6 D．【变式1-4】若a=5，则aA．10 B．5 C．25 D．±25【变式1-5】设x＝﹣22，y=(−3)2A．12 B．﹣12 C．6 D．﹣6【变式1-6】求下列各式的值：（1）144；（2）2549；（3）10000；（4）0.0049题型二算术平方根的非负性题型二算术平方根的非负性【例题2】已知a，b满足（a﹣1）2+b+2=0，则a+A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．0解题技巧提炼算术平方根a具有双重非负性,即被开方数a≥0且a≥0，a中隐含条件a≥0要灵活运用.2、几个非负数的和为0，其中的每一个非负数都必须等于0.【变式2-1】若m+2+(n−3)2=0，则mn的值是【变式2-2】已知实数x，y满足|x+3|+y−2=0，则代数式（x+y）A．1 B．﹣1 C．2018 D．﹣2018【变式2-3】已知a，b为实数，且1+a+1−b=0，则a2022﹣b2023＝【变式2-4】若a−1与|b+2|互为相反数，则a+bA．1−2 B．2−1 C．2+1【变式2-5】若x，y满足(x−5)2+y+2=0，则x【变式2-6】已知a、b、c都是实数，若a−2+|2b−12A．1 B．−23 C．2 D．题型三估算算术平方根题型三估算算术平方根【例题3】已知：x＜21＜y（x，y是两个连续整数），则x，A．x＝2，y＝3 B．x＝3，y＝4 C．x＝4，y＝5 D．x＝5，y＝6解题技巧提炼估算a（a≥0）时，首先要确定a的整数部分，根据算术平方根的定义，得出a在哪两个连续的整数之间，从而确定a的整数部分和小数部分.【变式3-1】估计40的值应在（）A．4与5之间 B．5与6之间 C．6与7之间 D．7与8之间【变式3-2】如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个面积为18的大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是（）A．4 B．5 C．6 D．7【变式3-3】若x、y为两个连续的整数，且x＜39＜y，则x+y＝【变式3-4】已知x，y为两个连续的整数，且x＜20＜y，则5x+y的值为题型四利用估算比较大小题型四利用估算比较大小【例题4】通过估算，比较下列各组数的大小：（1）635；（2）810；（3）5−121；（4）3+12解题技巧提炼利用估算比较大小的常用方法有：（1）平方法：两数平方后再比较大小；（2）作差法：通过相减判断得到的差的正负来比较大小；（3）用中间量法比较大小，先找个中间量帮助比较出两个同分母的分数的分子的大小，从而确定它们的大小.【变式4-1】比较下列各组数的大小：（1）120与11．（2）5+1【变式4-2】比较下列各组数的大小（1）8与10；（2）65与8；（3）5−12与0.5；（4）题型五利用计算器进行规律探究题型五利用计算器进行规律探究【例题5】若51.11≈7.149，511.1≈22.608，则A．71.49 B．226.08 C．714.9 D．2260.8解题技巧提炼1、利用计算器探究发现，被开方数的小数点向左（右）移动两位，其算术平方根的小数点相应向左（右）移动一位.2、解决此类规律题，需从两个方向进行比较，即把被开方数进行比较，把它们的结果进行比较，从中发现规律.【变式5-1】已知2≈1.414，20≈4.472，那么A．44.72 B．14.14 C．141.4 D．447.2【变式5-2】已知2021≈44.96，202.1≈14.22A．4.496 B．1.422 C．449.6 D．142.2【变式5-3】已知4.3≈2.0736，43A．0.43≈0.65574 B．430≈C．4300≈20.736 D．43000【变式5-4】（1）观察各式：0.03≈0.1732，3≈1.732，300发现规律：被开方数的小数点每向右移动位，其算术平方根的小数点向移动位；（2）应用：已知5≈2.236，则0.05≈，500≈（3）拓展：已知6≈2.449，60≈7.746，计算240和【变式5-5】根据下表回答下列问题：x1616.116.216.316.416.516.616.716.816.917x2256259.21262.44265.69268.96272.25275.56278.89282.24285.61289（1）289的算术平方根是，268.96=（2）±256=，275.56的平方根是（3）1.5921=，28224=（4）若x=a（x＞0），则100x=（用含题型六算术平方根的实际应用题型六算术平方根的实际应用【例题6】某学校有一块长、宽分别为38m和16m的长方形空地，计划沿边建造一个长宽之比为5：3且面积为540m2的长方形标准篮球场，请判断该学校能否用这块长方形空地建造符合要求的篮球场？并说明理由．解题技巧提炼算术平方根在计算几何图形的面积问题中应用比较频繁，利用图形结合有关公式或者数量关系列出算式，求出算术平方根，由所得结果进行说明.【变式6-1】交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，他们总结了一个经验公式：v＝16df，其中v表示车速（单位：千米/时），d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），f表示摩擦因数，在某次交通事故调查中，测得d＝25米，f＝1.44，而该路段的限速为80千米/时，肇事汽车当时的车速大约是多少？此车是否超速行驶？【变式6-2】球从空中落到地面所用的时间t（秒）和球的起始高度h（米）之间有关系式，t=ℎA．3秒 B．4秒 C．5秒 D．6秒【变式6-3】将尺寸如图的4块完全相同的长方形薄木块（厚度忽略不计）进行拼摆，恰好可以不重叠地摆放在如图的甲、乙两个方框内．已知小木块的宽为2，图甲中阴影部分面积为19，则图乙中AD的长为（）A．219+2 B．19+4 C．2【变式6-4】如图，用两个边长为18cm的小正方形纸片剪拼成一个大的正方形，（1）则大正方形的边长是cm；（2）若将此大正方形纸片的局部剪掉，能否剩下一个长宽之比为3：2且面积为30cm2的长方形纸片，若能，求出剩下的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由．【变式6-5】阅读下面对话，然后解答问题：你同意小明的说法吗？小丽能否用这块纸片裁出符合要求的纸片呢？请你通过计算说明．题型七平方根及算术平方根的认识题型七平方根及算术平方根的认识【例题7】下列说法正确的是（）A．125的平方根是15 B．﹣C．（﹣5）2的平方根是﹣5 D．0的平方根和算术平方根都是0解题技巧提炼±a（a≥0）表示非负数的a的平方根，a（a≥0）表示非负数a的算术平方根.【变式7-1】144的平方根是±12的数学表达式是（）A．144=12 B．144=±12 C．±144【变式7-2】下列语句中，错误的是（）A．14的平方根是±12 B．9的平方根是C．−12是14的一个平方根 【变式7-3】平方根是±13A．13 B．16 C．19 【变式7-4】（﹣6）2的平方根是（）A．6 B．±6 C．±6 【变式7-5】若x+4是4的一个平方根，则x的值为（）A．﹣2 B．﹣2或﹣6 C．﹣3 D．±2【变式7-6】一个自然数的一个平方根是a，则与它相邻的上一个自然数的平方根是（）A．±a−1 B．a﹣1 C．a2﹣1 D．±a题型八求一个数的平方根题型八求一个数的平方根【例题8】求下列各数的平方根：（1）2549（2）0.36（3）（﹣9）2（4）解题技巧提炼本题运用了定义法，求一个数的平方根，先把被开方数化成x2=a的形式，再根据定义即可求出它的平方根.【变式8-1】求下列各数的平方根：（1）121；（2）279；（3）（﹣13）2；（4）﹣（﹣4）【变式8-2】求下列各式的值：（1）−196；（2）±254；（3）2−1.75；（4）±题型九利用平方根或算术平方根的定义求值题型九利用平方根或算术平方根的定义求值【例题9】若a是（﹣4）2的平方根，b的一个平方根是2，则代数式a+b的值为（）A．8 B．0 C．8或0 D．4或﹣4解题技巧提炼运用平方根及算术平方根的定义列方程求解，运用方程的思想求相关待定字母的值是数学中常用的方法.【变式9-1】已知a的平方根是2m﹣2和4﹣m，a是（）A．36 B．4 C．36或4 D．2【变式9-2】若﹣3xmy和5x3yn的和是单项式，则（m+n）3的平方根是（）A．8 B．﹣8 C．±4 D．±8【变式9-3】已知2a﹣1的平方根是±3，b，c满足|b﹣1|+c+4=0，求a+3b+【变式9-4】若x，y均为实数，且x−1+1−x+2y﹣【变式9-5】已知3b+3的平方根为±3，3a+b的算术平方根为5．（1）求a，b的值；（2）求4a﹣6b的平方根．【变式9-6】已知a+b﹣2的平方根是±17，3a+b﹣1的算术平方根是6，求a+4b题型十利用平方根解方程题型十利用平方根解方程【例题10】求下列各式中x的值．（1）169x2＝100；（2）（x+1）2＝81．解题技巧提炼先将方程化为ax2=b的形式，再利用平方根的定义求未知数的值.【变式10-1】求下列各式中的x的值：（1）9x2﹣25＝0；（2）（x﹣1）2+8＝72；（3）3（x+2）2﹣27＝0；（4）12（x﹣5）2【变式10-2】求下列式子中的x：（1）25（x−35）2＝49；（2）12（x【变式10-3】已知a，b满足|a﹣4|+b−7=0，解关于x的方程（a﹣3）x2﹣1＝508平方根随堂检测1．3的平方根是（）A．±3 B．±3 C．3