(寒假)人教版数学八年级寒假讲义11 菱形的性质与判定+随堂检测（教师版）

第页12菱形的性质和判定知识点一知识点一菱形的定义●●定义：有一组邻边相等的平行的四边形叫做菱形.◆1、菱形必须满足两个条件：一是平行四边形；二是一组邻边相等，二者必须同时具备，缺一不可.◆2、菱形的定义既是菱形的性质，也是菱形的基本判定方法.知识点二知识点二菱形的性质◆1、菱形的性质①菱形具有平行四边形的一切性质.②菱形的四条边都相等.③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线.⑤利用菱形的性质可证线段线段，角相等.性质定理应用格式：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，AC⊥BD；

AC平分∠BAD，AC平分∠BCD；

BD平分∠ABC，BD平分∠ADC；◆2、菱形的面积计算①利用平行四边形的面积公式=底×高．②菱形面积＝ab．（a、b是两条对角线的长度）③四个小直角三角形的面积之和(或一个小直角三角形面积的4倍)；知识点三菱形的判定知识点三菱形的判定●●菱形的判定方法：◆1、定义法：有一组邻边相等的平行的四边形叫做菱形.◆2、判定定理1（从对角线）：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.定理1应用格式：∵四边形ABCD是平行四边形，且AC⊥BD，

∴四边形ABCD是菱形.◆3、判定定理2（从边）：四条边相等四边形是菱形.定理2应用格式：∵AB=BC=CD=AD,

∴四边形ABCD是菱形.【要点解析】（1）判断菱形时，一定要明确前提条件是从“四边形”出发的，还是从“平行四边形”出发的；（2）①若从“四边形”出发的，则还需四条边相等.②若从“平行四边形”出发的，则还需一组邻边相等或对角线互相垂直.（3）①若用对角线进行判定：先证明四边形是平行四边形，再证明对角线互相垂直，或直接证明四边形的对角线互相垂直平分；②若用边进行判定：先证明四边形是平行四边形，再证明一组邻边相等，或直接证明四边形的四条边都相等.题型一利用菱形的性质求角度题型一利用菱形的性质求角度【例题1】如图，AC为菱形ABCD的对角线，已知∠ADC＝140°，则∠BCA等于（）A．40° B．30° C．20° D．15°【分析】直接利用菱形的性质可得∠BCD的度数，利用角平分线的性质进而得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴∠D+∠BCD＝180°，∠DCA＝∠BCA，∵∠ADC＝140°，∴∠BCD＝40°，∴∠BCA＝∠DCA=12∠解题技巧提炼在求有关菱形的角的问题时，由于菱形的对角线互相垂直且平分一组对角，因此常通过连接对角线，把四边形的问题转化为特殊三角形（等边三角形、直角三角形）问题来解答.【变式1-1】如图，菱形ABCD中对角线相交于点O，AB＝AC，则∠ADB的度数是（）A．30° B．40° C．50° D．60°【分析】根据菱形的性质，可得△ABC是等边三角形，进一步可得∠ADC＝60°，根据菱形的性质可得∠ADB的度数．【解答】解：在菱形ABCD中，AB＝BC，∠ADC＝∠ABC，∵AB＝AC，∴AB＝BC＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ADC＝60°，在菱形ABCD中，∠ADB＝∠CDB，∴∠ADB＝30°，故选：A．【变式1-2】如图，菱形ABCD的周长是40cm，对角线AC为10cm，则菱形相邻两内角的度数分别为．【分析】证明△ACD是等边三角形，则∠D＝60°，即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD=404=10（cm），AB∥CD，∴∠D+∠又∵AC＝10cm，∴AD＝CD＝AC，∴△ACD是等边三角形，∴∠D＝60°，∴∠DAB＝120°，故答案为：60°，120°．【变式1-3】如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD＝20°，则∠DHO的度数是（）A．20° B．25° C．30° D．35°【分析】先根据菱形的性质得OD＝OB，AB∥CD，BD⊥AC，则利用DH⊥AB得到DH⊥CD，∠DHB＝90°，所以OH为Rt△DHB的斜边DB上的中线，得到OH＝OD＝OB，利用等腰三角形的性质得∠1＝∠DHO，然后利用等角的余角相等即可求出∠DHO的度数【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴OD＝OB，AB∥CD，BD⊥AC，∵DH⊥AB，∴DH⊥CD，∠DHB＝90°，∴OH为Rt△DHB的斜边DB上的中线，∴OH＝OD＝OB，∴∠1＝∠DHO，∵DH⊥CD，∴∠1+∠2＝90°，∵BD⊥AC，∴∠2+∠DCO＝90°，∴∠1＝∠DCO，∴∠DHO＝∠DCA，∵四边形ABCD是菱形，∴DA＝DC，∴∠CAD＝∠DCA＝20°，∴∠DHO＝20°，故选：A．【变式1-4】已知，在菱形ABCD中，∠ABC＝100°，对角线AC和BD相交于点O，在AC上取点P，连接PB、PD，若∠PBD＝20°，则∠PDC的度数为．【分析】根据题意画出图形，然后根据垂直平分线的性质以及菱形的性质：对角线互相垂直平分，对角线平分对角进行分情况讨论即可．【解答】解：∵在菱形ABCD中，∠ABC＝100°，对角线AC和BD相交于点O，∴AC，BD互相垂直平分，∵∠ABC＝∠ADC＝100°，∴∠ABO=∠CBO=∠ADO=∠CDO=1∵PB＝PD，∴∠PBD＝∠PDB＝20°，∴∠PDC＝50°﹣20°＝30°；当点P如下图P′点所在位置时：∵P'B＝P'D，∴∠P'BD＝∠P'DB＝20°，∴∠P'DC＝∠P'DB+∠CDO＝70°；综上：∠PDC的度数为30°或70°，故答案为：30°或70°．题型二利用菱形的性质求线段长题型二利用菱形的性质求线段长【例题2】如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点E为AD的中点，连接OE，∠ABC＝60°，BD＝43，则OE＝．【分析】根据菱形的性质可得，∠ABO＝30°，AC⊥BD，则BO＝23，再利用含30°角的直角三角形的性质可得答案．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴BO＝DO，∠ABO＝30°，AC⊥BD，AB＝AD，∴BO＝23，∴AO=33BO＝2，∵E为AD的中点，∠AOD＝90°，∴OE=1解题技巧提炼由于菱形的对角线互相垂直平分，所以对于菱形的两条对角线及边这三个元素中知道任意两个的长度，都能根据勾股定理求出第三个.【变式2-1】如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝8，S菱形ABCD＝64，则OH的长为（）A．45 B．8 C．4 D．【分析】由菱形的性质得出OA＝OC＝8，OB＝OD，AC⊥BD，则AC＝16，由直角三角形斜边上的中线性质得出OH=1【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC＝6，OB＝OD，AC⊥BD，∴AC＝16，∵DH⊥AB，∴∠BHD＝90°，∴OH=1∵菱形ABCD的面积=12×AC×BD=12×16×BD=64【变式2-2】如图，四边形ABCD是菱形，AB＝10，AC：BD＝3：4，DH⊥AB于H，则DH等于（）A．245 B．485 C．5【分析】设OA＝3a，则OB＝4a，由勾股定理求出OA、OB的长，得出AC、BD的长，再由菱形面积的计算方法即可求解．【解答】解：设AC与BD交于点O，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴OA=12AC，OB=12BD，AC⊥BD，∵AC：BD＝3：4，∴OA：OB＝3：4，设OA＝3a，则OB＝4a，在Rt△AOB中，由勾股定理得：（3a）2+（4a）2＝102，解得：a＝2（负值已舍去），∴OA＝6，OB＝8，∴AC＝2OA＝12，BD＝2OB＝16，∵菱形ABCD的面积＝AB•DH=12AC•BD=12×12×【变式2-3】如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E在线段BO上，连接AE，若CD＝3BE，∠DAE＝∠DEA，EO＝1，则线段AE的长为6．【分析】设BE＝x，则CD＝3x，根据菱形的性质得AB＝AD＝CD＝3x，OB＝OD，AC⊥BD，再证明DE＝DA＝3x，所以1+x＝2x，解得x＝1，然后利用勾股定理计算OA，再计算AE的长．【解答】解：设BE＝x，则CD＝3x，∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝AD＝CD＝3x，OB＝OD，AC⊥BD，∵∠DAE＝∠DEA，∴DE＝DA＝3x，∴BD＝4x，∴OB＝OD＝2x，∵OE+BE＝BO，∴1+x＝2x，解得x＝1，即AB＝3，OB＝2，在Rt△AOB中，OA=A在Rt△AOE中，AE=AO2【变式2-4】如图，菱形ABCD的周长为20，面积为24，P是对角线BD上一点，分别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF，则PE+PF等于．【分析】直接利用菱形的性质得出AB＝AD＝10，S△ABD＝12.5，进而利用三角形面积求法得出答案．【解答】解：∵菱形ABCD的周长为40，面积为24，∴AB＝AD＝5，S△ABD＝12，∵分别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF，∴12×AB×PE+12×PF×AD＝12，∴1【变式2-5】如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD＝60°，过点B作BE⊥AB交CD于点E，连接AE，F为AE的中点，H为BE的中点，连接FH和CF，CF交BE于点G，则GF的长为（）A．3 B．5 C．23 D．19【分析】由菱形的性质得AB＝BC＝CD＝4，AB∥CD，∠BAD＝∠BCE＝60°，再由三角形中位线定理得FH=12AB＝2，FH∥AB，然后证△FHG≌△CEG（AAS），得EG＝GH=1【解答】解：∵菱形ABCD的边长为4，∠BAD＝60°，∴AB＝BC＝CD＝4，AB∥CD，∠BAD＝∠BCE＝60°，∵F为AE的中点，H为BE的中点，∴EH=12BE，FH是∴FH=12AB＝2，FH∥AB，∴FH∥AB∵BE⊥AB，∴FH⊥BE，CD⊥BE，∴∠FHE＝∠BEC＝90°，∴∠CBE＝90°﹣60°＝30°，∴CE=12BC＝2，∴BE=BC2−CE2=42在△FHG和△CEG中，∠FHG=∠CEG∠FGH=∠CGEFH=CE，∴△FHG≌△CEG（AAS），∴EG＝GH=1在Rt△FHG中，由勾股定理得：GF=F题型三利用菱形的性质求周长或面积题型三利用菱形的性质求周长或面积【例题3】如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若∠BAD＝60°，AC＝23，则菱形ABCD的周长为（）A．8 B．43 C．6 【分析】根据菱形的性质得到AC⊥BD，AO=12AC=3，【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO=1∵∠BAD＝60°，∴∠DAO＝30°，∴AD＝2OD，在Rt△AOD中，由勾股定理得：AD2＝OD2+AO2，∴AD2=14解题技巧提炼因为菱形的四边都相等，所以菱形的周长等于边长×4；菱形的面积计算公式：（1）底×高；（2）对角线乘积的一半.【变式3-1】在菱形ABCD中，若对角线AC=2，BD＝8，则菱形ABCD的面积是【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可．【解答】解：菱形ABCD中，AC=2，BD＝8，∴AC⊥∴菱形ABCD的面积=12AC•BD＝42，故答案为：4【变式3-2】如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为CD的中点．若OE＝4，则菱形ABCD的周长为（）A．48 B．32 C．24 D．16【分析】由菱形的性质可得出AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝DA，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出CD的长，结合菱形的周长公式即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝DA，∴△COD为直角三角形．∵OE＝4，点E为线段CD的中点，∴CD＝2OE＝8．∴C菱形ABCD＝4CD＝4×8＝32．故选：B．【变式3-3】如图，菱形ABCD的对角线AC、BC相交于点O，E、F分别是AB、BC边上的中点，连接EF，着EF=3，BD＝4，则菱形ABCDA．4 B．46 C．47 D．28【分析】首先利用三角形的中位线定理得出AC，进一步利用菱形的性质和勾股定理求得边长，得出周长即可．【解答】解：∵E，F分别是AB，BC边上的中点，EF=3，∴AC＝2EF＝23∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA=12AC=3∴AB=OA2+OB【变式3-4】如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为（）A．48 B．24 C．12 D．6【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求出面积，再根据中心对称的性质判断出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半解答．【解答】解：∵菱形的两条对角线的长分别为12和8，∴菱形的面积=12×∵O是菱形两条对角线的交点，∴阴影部分的面积=1题型四利用菱形的性质进行证明题型四利用菱形的性质进行证明【例题4】已知：如图，在菱形ABCD中，E、F分别是边AB和BC上的点，且∠ADE＝∠CDF，求证：BE＝BF．【分析】证△ADE≌△CDF（ASA），得AE＝CF，则AB﹣AE＝BC﹣CF，即可得出结论．【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠A＝∠C，在△ADE和△CDF中，∠A=∠CAD=CD∴△ADE≌△CDF（ASA），∴AE＝CF，∴AB﹣AE＝BC﹣CF，即BE＝BF．解题技巧提炼菱形的一条对角线把菱形分成两个全等的等腰三角形（特殊时为两个全等的等边三角形），两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形，所以有关菱形的一些证明与计算问题常常与特殊三角形的有关问题综合在一起.【变式4-1】如图，在菱形ABCD中，E是对角线AC上的一点．连BE，DE，求证：BE＝DE．【分析】根据菱形的性质和全等三角形的判定即可证明．【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝CD，∵AC是菱形ABCD的对角线，∴∠BCA＝∠DCA，∵BC＝CD，∠BCA＝∠DCA，CE＝CE，∴△CDE≌△CBE（SAS），∴DE＝BE，【变式4-2】如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F在对角线BD上，且BF＝DE，连接AE，AF．求证：AE＝AF．【分析】由菱形的性质得到OB＝OD，AC⊥BD，由BF＝DE得到OF＝OE，根据线段垂直平分线的性质即可得到AE＝AF．【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴OB＝OD，AC⊥BD，∵BF＝DE，∴BF﹣OB＝DE﹣OD，∴OF＝OE，∴AE＝AF．【变式4-3】如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，AE＝CF，DE，DF分别与AC交于点M，N．求证：DM＝DN．【分析】根据菱形的性质和全等三角形的判定SAS，可以证明△ADE≌△CDF，再利用等腰三角形的性质，可以得到DE＝DF，DM＝DN．【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴DA＝DC，∠DAE＝∠DCF，AB＝CB，∵BE＝BF，∴AE＝CF，在△ADE和△CDF中，DA=DC∠DAE=∠DCF∴△ADE≌△CDF（SAS）；∴∠ADM＝∠CDN，DE＝DF，∵四边形ABCD是菱形，∴∠DAM＝∠DCN，∵∠ADM＝∠CDN，∴∠DMA＝∠DNC，∴∠DMN＝∠DNM，∴DM＝DN．【变式4-4】如图，四边形ABCD是菱形，AC，BD交于点O，DH⊥AB于点H．（1）若对角线AC＝8cm，BD＝6cm，求DH的长；（2）连HO，求证：∠BOH＝∠DAH．【分析】（1）由勾股定理求出AB＝5cm，根据菱形的面积公式可得出答案；（2）由菱形的性质及三角形内角和定理可得出答案．【解答】（1）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，∵AC＝8cm，BD＝6cm，∴OA=12AC=∴AB=OA2+OB2=42+∴DH=1（2）证明：∵∠DHB＝90°，OB＝OD，∴OH＝OB，∴∠OHB＝∠OBH，∴∠BOH＝180°﹣2∠OBH，∵四边形ABCD是菱形，∴∠BAC＝∠DAC，∴∠DAH＝2∠OAB，∵∠OAB＝90°﹣∠OBH，∴∠DAH＝180°﹣2∠OBH，∴∠BOH＝∠DAH．题型五菱形判定的条件题型五菱形判定的条件【例题5】如图▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列说法正确的是（）A．若OB＝OD，则▱ABCD是菱形 B．若AC＝BD，则▱ABCD是菱形 C．若OA＝OD，则▱ABCD是菱形 D．若AC⊥BD，则▱ABCD是菱形【分析】由矩形的判定和菱形的判定分别对各个选项进行判断即可．【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，故选项A不符合题意；B、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，∴▱ABCD是矩形，故选项B不符合题意；C、∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC=12AC，OB＝OD∵OA＝OD，∴AC＝BD，∴▱ABCD是矩形，故选项C不符合题意；D、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴▱ABCD是菱形，故选项D符合题意；故选：D．解题技巧提炼①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）；②四条边都相等的四边形是菱形．③【变式5-1】中，对角线AC、BD相交于点O，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件，使平行四边形ABCD是菱形．【分析】根据菱形的判定方法即可得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴当AB＝BC或AC⊥BD或AC平分∠DAB时，四边形ABCD为菱形．故答案为：AB＝BC（答案不唯一）．【变式5-2】如图，已知AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，请你添加一个条件，使四边形AEDF是菱形．【分析】根据DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，可以判断四边形AEDF是平行四边形，再根据角平分线的性质和平行线的性质即可证明结论成立．【解答】解：DF∥AB，理由如下：∵DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，∴四边形AEDF是平行四边形，∠EAD＝∠ADF，∵AD是△ABC的角平分线，∴∠EAD＝∠FAD，∴∠ADF＝∠FAD，∴FA＝FD，∴四边形AEDF是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）．【变式5-3】如图，将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF，只需添加一个条件即可证明四边形ABED是菱形，这个条件可以是．（写出一个即可）【分析】由平移的性质得AB∥DE，AB＝DE，则四边形ABED是平行四边形，再由菱形的判定即可得出结论．【解答】解：这个条件可以是AB＝AD，理由如下：由平移的性质得：AB∥DE，AB＝DE，∴四边形ABED是平行四边形，又∵AB＝AD，∴平行四边形ABED是菱形，故答案为：AB＝AD（答案不唯一）．【变式5-4】在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．现存在以下四个条件：①AB∥CD；②AO＝OC；③AB＝AD；④AC平分∠DAB．从中选取三个条件，可以判定四边形ABCD为菱形．则可以选择的条件序号是（写出所有可能的情况）．【分析】根据角平分线定义得到∠DAO＝∠BAO，根据全等三角形的性质得到DO＝CB，根据平行四边形的性质得到四边形ABCD是平行四边形，根据菱形的判定定理即可得到结论．【解答】解：如：若②AO＝OC；③AB＝AD；④AC平分∠DAB，则四边形ABCD是菱形，证明：∵AC平分∠DAB，∴∠DAO＝∠BAO，在△AOD和△AOB中，AD=AB∠DAO=∠BAOAO=AO，∴△AOD≌△AOB（ASA），∵AO＝OC，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形，若①AB∥CD；②AO＝OC；④AC平分∠DAB或①AB∥CD；③AB＝AD；④AC平分∠DAB或②AO＝OC；③AB＝AD；④AC平分∠DAB．都可以判定四边形ABCD为菱形．故答案为：①②③或②③④或①②④或①③④．【变式5-5】如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，E，F分别是AB，AC的中点，连接DE，DF，当△ABC满足下列哪个条件时，四边形AEDF为菱形（）A．AB＝AC B．∠B＝∠A C．BD＝DF D．DE⊥DF【分析】可根据三角形的中位线定理、等腰三角形的性质、菱形的判定，分析得出当△ABC满足条件AB＝AC或∠B＝∠C时，四边形AEDF是菱形．【解答】解：要使四边形AEDF是菱形，则应有DE＝DF＝AE＝AF，∵E，F分别为AC，BC的中点，∴AE＝BE，AF＝FC，∴DE＝BE，DF＝CF，∴△BDE≌△CDF（SSS），∴BD＝CD，∴当点D应是BC的中点，而AD⊥BC，∴△ABC应是等腰三角形，∴应添加条件：AB＝AC或∠B＝∠C．则当△ABC满足条件AB＝AC或∠B＝∠C时，四边形AEDF是菱形．故选：A．题型六菱形的判定的证明题型六菱形的判定的证明【例题6】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，点D为AB的中点，连接CD，过点D作DE∥BC，且DE＝BC，连接BE，求证：四边形BCDE是菱形．【分析】先证明四边形BCDE是平行四边形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到CD=BD=12AB【解答】证明：∵DE∥BC，且DE＝BC，∴四边形BCDE是平行四边形．∵CD为Rt△ABC的斜边AB上的中线，∴CD=BD=1∵∠ABC＝60°，∴△BCD为等边三角形，∴BC＝CD，∴四边形BCDE是菱形．解题技巧提炼证明一个图形是菱形时，关键是看已知条件，若是一般的四边形，则考虑证明四条边相等或对角线互相垂直平分；若是平行四边形，则考虑证明一组邻边相等或对角线互相垂直.【变式6-1】如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，M为AC中点，MN⊥BD于点O，BN∥DM，求证：BNDM为菱形．【分析】根据直角三角形的性质得到BM＝DM=12AC，根据等腰三角形的性质得到∠BMN＝∠DMN，由平行线的性质得到∠BNM＝∠DMN，等量代换得到∠BMN＝【解答】证明：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，M为对角线AC的中点，∴BM＝DM=1∵MN⊥BD，∴∠BMN＝∠DMN，∵BN∥DM，∴∠BNM＝∠DMN，∴∠BMN＝∠BNM，∴BM＝BN，∴BN＝DM＝BM＝DN，∴四边形BNDM是菱形．【变式6-2】如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，且BE＝DF．（1）求证：△ADF≌△CBE；（2）不添加辅助线，请你补充一个条件，使得四边形AECF是菱形；并给予证明．【分析】（1）由平行四边形的性质知，AD＝BC，AD∥BC，得到∠ADF＝∠CBE，又有BE＝DF，故由SAS证得△ADF≌△CBE；（2）平行四边形的性质知，AO＝CO，BO＝DO，由BE＝DF可求得OE＝OF，根据平行四边形的判定得到四边形AECF是平行四边形，由AC⊥EF可得平行四边形AECF是菱形．【解答】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠ADF＝∠CBE，在△ADF和△CBE中，AD=CB∠ADF=∠CBE∴△ADF≌△CBE（SAS）；（2）解：补充的条件是：AC⊥BD．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵BE＝DF，∴OE＝OF，∴四边形AECF是平行四边形，又∵AC⊥BD，∴四边形AECF是菱形．【变式6-3】如图，在△AFC中，∠FAC＝90°，B、E分别是FC、AB的中点，过点A作AD∥FC交FE的延长线于点D．（1）求证：BF＝AD；（2）求证：四边形ABCD是菱形．【分析】（1）证明△AED≌△BEF（AAS），由全等三角形的性质得出AD＝BF；（2）由直角三角形的性质得出AB＝BF＝BC，证出AD＝BC，得出四边形ABCD为平行四边形，由菱形的判定可得出结论．【解答】（1）证明：∵AD∥FC，∴∠ADE＝∠BFE，∵E为AB的中点，∴AE＝BE，又∵∠AED＝∠BEF，∴△AED≌△BEF（AAS），∴AD＝BF；（2）证明：∵∠FAC＝90°，B为CF的中点，∴AB＝BF＝BC，∵AD＝BF，∴AD＝BC，又∵AD∥BC，∴四边形ABCD为平行四边形，又∵AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形．题型七菱形的性质与判定的综合应用题型七菱形的性质与判定的综合应用【例题7】如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上一点，且CD＝DE，连接BE，分别交AC，AD于点F、G，连接OG、AE，则下列结论：①OG=12②四边形ABDE是菱形；③四边形ODEG与四边形OBAG面积相等．其中正确的有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【分析】①由AAS证明△ABG≌△DEG，得出AG＝DG，证出OG是△ACD的中位线，得出OG=12CD=1②先证四边形ABDE是平行四边形，再证△ABD、△BCD是等边三角形，得AB＝BD＝AD，因此OD＝AG，则四边形ABDE是菱形，②正确；③由菱形的性质得△ABG≌△BDG≌△DEG，再由SAS证明△BGA≌△COD，得△AOB≌△COB≌△COD≌△AOD≌△BGA≌△BGD≌△EGD，由中线的性质和菱形的性质可得S△BOG＝S△DOG，S△ABG＝S△DGE，可得四边形ODEG与四边形OBAG面积相等，得出③正确．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，∴∠BAG＝∠EDG，△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD（SSS），∵CD＝DE，∴AB＝DE，在△ABG和△DEG中，∠BAG=∠EDG∠AGB=∠DGEAB=DE，∴△ABG≌△DEG（AAS），∴OG是△ACD的中位线，∴OG=12CD=1∵AB∥CE，AB＝DE，∴四边形ABDE是平行四边形，∵∠BCD＝∠BAD＝60°，∴△ABD、△BCD是等边三角形，∴AB＝BD＝AD，∠ODC＝60°，∴OD＝AG，四边形ABDE是菱形，故②正确；∴AD⊥BE，由菱形的性质得：△BGA≌△BGD≌△EGD（SSS），在△BGA和△COD中，AG=DO∠BAG=∠CDO∴△BGA≌△COD（SAS），∴△AOB≌△COB≌△COD≌△AOD≌△BGA≌△BGD≌△EGD，∵OB＝OD，∴S△BOG＝S△DOG，∵四边形ABDE是菱形，∴S△ABG＝S△DGE，∴四边形ODEG与四边形OBAG面积相等，故③正确；故正确的结论有3个．故选：D．解题技巧提炼菱形的判定可以确定菱形的存在，再利用菱形的性质，可以得出线段或角的对应关系.【变式7-1】如图，在∠MON的两边上分别截取OA，OB，使OA＝OB；再分别以点A，B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；再连接AC，BC，AB，OC．若AB＝2，OC＝4．则四边形AOBC的面积是（）A．45 B．8 C．4 D．5【分析】根据作图可得：OA＝AC＝BC＝OB，从而可得四边形OACB是菱形，然后利用菱形的面积公式进行计算即可解答．【解答】解：由题意得：OA＝AC＝BC＝OB，∴四边形OACB是菱形，∵AB＝2，OC＝4，∴菱形OACB的面积=12OC•AB=1【变式7-2】如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合的部分构成了一个四边形，转动其中一张纸条，则下列相等关系：①AD＝AB；②AD＝BC；③∠DAC＝∠ACD；④AO＝BO，其中一定成立的是.（只填序号）【解答】解：由题意可知：AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD为平行四边形，∴AD＝BC，故答案为：②．【变式7-3】在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：四边形ADCF是菱形；（2）若AC＝32，AB＝42，求四边形ADCF的面积．【分析】（1）由“AAS”可证△AFE≌△DBE，得AF＝BD＝CD，再证四边形ADCF是平行四边形，然后由直角三角形的性质可证AD＝CD，可得结论；（2）由菱形的性质和面积关系可求解．【解答】（1）证明：∵AF∥BC，∴∠FAE＝∠BDE，∵E是AD的中点，∴AE＝DE，在△AFE和△DBE中，∠FAE=∠BDEAE=DE∠AEF=∠DEB，∴△AFE≌△DBE（ASA），∵D是BC的中点，∴CD＝BD，∴AF＝CD，∵AF∥CD，∴四边形ADCF是平行四边形，∵∠BAC＝90°，∴AD=12BC＝CD，（2）解：∵D是BC的中点，∴S△ABD＝S△ACD=12S△由（1）可知，四边形ADCF是菱形，∴S四边形ADCF＝2S△ACD＝S△ABC=12AC•AB=12×12菱形随堂检测1.菱形的周长为12，一个内角为60°，则较短的对角线长为（）A．2 B．3 C．1 D．【分析】根据已知可得较短的对角线与两邻边组成等边三角形，则菱形较短的对角线长＝菱形的边长，根据周长可求得菱形的边长从而较短的对角线也就求得了．【解答】解：由已知得，较短的对角线与两邻边组成等边三角形，则菱形较短的对角线长＝菱形的边长＝12÷4＝3，故选：B．3.如图，菱形ABCD的两条对角线长分别为AC＝9和BD＝6，那么菱形ABCD的面积为（）A．4 B．30 C．54 D．27【分析】直接根据菱形面积等于两条对角线的长度乘积的一半进行计算即可．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴菱形ABCD的面积＝BD•AC＝×6×9＝27，故选：D．3.如图，菱形ABCD中，AC＝8．BD＝6．则菱形的面积为（）A．20 B．40 C．28 D．24【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半可得答案．【解答】解：菱形的面积为6×8÷2＝24，故选：D．4.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点D在x轴上，边BC在y轴上，若点A的坐标为（12，13），则点C的坐标是（）A．（0，﹣8） B．（0，﹣5） C．（﹣5，0） D．（0，﹣6）【分析】在Rt△ODC中，利用勾股定理求出OC即可解决问题．【解答】解：∵A（12，13），∴OD＝12，AD＝13，∵四边形ABCD是菱形，∴CD＝AD＝13，在Rt△ODC中，OC＝，∴C（0，﹣5）．故选：B．5.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，OH＝2，若菱形ABCD的面积为12，则AB的长为（）A．10 B．4 C． D．6【分析】由菱形的性质得OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，再求出BD＝4，则OB＝2，然后由菱形面积求出AC＝6，则OA＝3，即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，∵DH⊥AB，∴∠BHD＝90°，∴BD＝2OH，∵OH＝2，∴BD＝4，∴OB＝2，∵菱形ABCD的面积＝AC•BD＝AC×4＝12，∴AC＝6，∴OA＝3，在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB＝＝＝，故选：C．6.如图，在菱形ABCD中，M．N分别在AB，CD上，且AM＝CN，MN与AC交于点O，连接BC若∠DAC＝28°，则∠OBC的度数为（）A．28° B．52° C．62° D．72°【分析】根据菱形的性质以及AM＝CN，再由ASA可得△AMO≌△CNO，得AO＝CO，然后证BO⊥AC，继而可求得∠OBC的度数【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，∴AB∥CD，AB＝BC，∴∠MAO＝∠NCO，∠AMO＝∠CNO，在△AMO和△CNO中，，∴△AMO≌△CNO（ASA），∴AO＝CO，∵AB＝BC，∴BO⊥AC，∴∠BOC＝90°，∵∠DAC＝28°，∴∠BCA＝∠DAC＝28°，∴∠OBC＝90°﹣28°＝62°．故选：C．7.如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，若AC＝24，AB＝13，则菱形ABCD的面积是120．【分析】由菱形的性质得AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝12，OB＝OD＝BD，再由勾股定理求出OB，得出BD的长，即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝12，OB＝OD＝BD，∴∠AOB＝90°，∴OB＝＝＝5，∴BD＝2OB＝10，∴菱形ABCD的面积＝AC•BD＝×24×10＝120，故答案为：120．8.已知菱形的两条对角线长为10cm和24cm，那么这个菱形的周长为52cm，面积为120cm2．【分析】由菱形的性质得AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝12（cm），OB＝OD＝BD，再由勾股定理求出OB，得出BD的长，即可解决问题．【解答】解：如图，∵四边形ABCD是菱形，AC＝24cm，BD＝10cm，∴AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝12（cm），OB＝OD＝BD＝5（cm），∴S菱形