(寒假)人教版数学八年级寒假讲义11 矩形的性质与判定+随堂检测（教师版）

第页11矩形的性质与判定知识点一知识点一矩形的定义●●定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.【注意】（1）由矩形的定义知，矩形一定是平行四边形，但平行四边形不一定是矩形.（2）矩形必须具备两个条件：①它是一个平行四边形；②它有一个角是直角，这两个条件缺一不可.（3）矩形的定义既可以作为矩形的性质运用，又可作为矩形的判定运用.知识点二矩形的性质知识点二矩形的性质●●性质：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等.几何语言：∵四边形ABCD是矩形,∴∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，AC=BD.◆1、矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质.◆2、矩形是轴对称图形，邻边不相等的矩形有两条对称轴，分别是对边所在中点连线的直线.◆3、矩形的四个角都是直角，常把矩形的问题转化为直角三角形的问题来解决，同时，矩形被两条对角线分成两对全等的等腰三角形，因此在解决相关问题时，也常常用到等腰三角形的性质.◆4、矩形的面积=长×宽，矩形的面积=被对角线分成的四个面积相等的小三角形（等腰三角形）面积之和.知识点三直角三角形斜边上的中线知识点三直角三角形斜边上的中线◆1、直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.几何语言：∵在Rt△ABC中，点O是AB的中点，∴OB=AO=CO=AC.◆3、直角三角形的这条性质与直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半、三角形的中位线定理都是证明线段倍分关系的重要依据．“三角形的中位线定理”适用于任何三角形；“直角三角形斜边上的中线性质适用于任何直角三角形”；“含30°角的直角三角形性质”仅适用于含30°角的特殊直角三角形.知识点四知识点四矩形的判定●矩形的判定方法：方法一：有一个角是直角的平行四边形是矩形；几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形，且∠A=90°(或∠B=90°或∠C=90°或∠D=90°)，

∴四边形ABCD是矩形.方法二：对角线相等的平行四边形是矩形；几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形，且AC=BD，

∴四边形ABCD是矩形.方法三：有三个角是直角的四边形是矩形；几何语言：∵∠A=∠B=∠C=90°,

∴四边形ABCD是矩形.◆思路总结：判定一个四边形是矩形要分两种情况：一是在平行四边形的基础上判定矩形，只要证出有一个角是直角或对角线相等即可；二是在四边形的基础上判定矩形，可以直接证出三个角是直角或先证出四边形是平行四边形，再进一步证明有一个角是直角或对角线相等.题型一利用矩形的性质求线段长题型一利用矩形的性质求线段长【例题1】如图，矩形ABCD的对角线AC＝4，∠BOA＝120°，则AB的长是（）A．3 B．2 C．23 D．4【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分可得AO＝CO＝BO＝DO=12AC＝2，再根据邻角互补求出∠AOD的度数，然后得到△【解答】解：在矩形ABCD中，AO＝CO＝BO＝DO=12∵∠AOB＝120°，∴∠AOD＝180°﹣120°＝60°，∴△AOD是等边三角形，∴AD＝AO＝2，∴AB=3AD＝23，故选：C解题技巧提炼在利用矩形的性质计算线段长度时，常常与特殊三角形的性质和勾股定理结合起来应用.【变式1-1】如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8．对角线AC，BD相交于点O．点E，F分别是AO，AD的中点，连接EF，则△AEF的周长为（）A．6 B．7 C．8 D．9【分析】因为四边形ABCD是矩形，所以AD＝BC＝8，∠BAD＝90°，OB＝OD＝OA＝OC，在Rt△BAD中，可得BD＝10，推出OD＝OA＝OB＝5，因为E．F分别是AO．AD中点，根据三角形中位线定理即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝8，∠BAD＝90°，OB＝OD＝OA＝OC，在Rt△BAD中，∵BD=AB2+AD2=6∵E．F分别是AO，AD中点，∴EF=12OD=52，AE=52，AF【变式1-2】如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED，AB＝2，∠ABE＝45°，则DE的长为（）A．22−2 B．22−1 C．3−【分析】在Rt△ABE中可求得BE的长，由角平分线的定义和平行的性质可证得BC＝BE，则可求得AD的长，则可求得DE的长．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，AD＝BC，∠A＝90°，∵AB＝2，∠ABE＝45°，∴AE＝AB＝2，∴BE=AB2∵AD∥BC，∴∠DEC＝∠ECB，∵EC平分∠BED，∴∠BEC＝∠DEC，∴∠BEC＝∠ECB，∴BC＝BE＝22，∴AD＝22，∴DE＝AD﹣AE＝22−2，故选：A【变式1-3】已知一矩形的两边长分别为10cm和15cm，其中一个内角的平分线分长边为两部分，这两部分的长为（）A．6cm和9cm B．5cm和10cm C．4cm和11cm D．7cm和8cm【分析】根据已知条件以及矩形性质证△ABE为等腰三角形得到AB＝AE，注意“长和宽分别为15cm和10cm”说明有2种情况，需要分类讨论．【解答】解：如图，∵矩形ABCD中，BE是角平分线．∴∠ABE＝∠EBC．∵AD∥BC．∴∠AEB＝∠EBC．∴∠AEB＝∠ABE∴AB＝AE．当AB＝15cm时：则AE＝15cm，不满足题意．当AB＝10cm时：AE＝10cm，则DE＝5cm．故选：B．【变式1-4】在矩形ABCD中，AB＝3，∠ABC的平分线BE交AD所在的直线于点E，若DE＝2，则AD的长为．【分析】当点E在AD上时，根据平行线的性质和角平分线的定义可得AE＝AB＝3，可得AD的长；当点E在AD的延长线上时，同理可求出AD的长．【解答】解：如图1，当点E在AD上时，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，AD∥BC，∴∠AEB＝∠CBE，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∴∠ABE＝∠AEB，∴AE＝AB＝3，∵DE＝2，∴AD＝AE+DE＝3+2＝5；如图2，当点E在AD的延长线上时，同理AE＝3，∴AD＝AE﹣DE＝3﹣2＝1．故答案为：5或1．【变式1-5】如图，P是矩形ABCD的边AD上一个动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（）A．125 B．65 C．24【分析】首先连接OP，由矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4，可求得OA＝OD＝2.5，△AOD的面积，然后由S△AOD＝S△AOP+S△DOP=12OA•PE+OD•【解答】解：连接OP，∵矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4，∴S矩形ABCD＝AB•BC＝12，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD＝5，∴OA＝OD＝2.5，∴S△ACD=12S矩形ABCD＝6，∴S△AOD=12∵S△AOD＝S△AOP+S△DOP=12OA•PE+12OD•PF=12×2.5×PE+12解得：PE+PF=125．故选：题型二利用矩形的性质求角度题型二利用矩形的性质求角度【例题2】如图，分别在长方形ABCD的边DC，BC上取两点E，F，使得AE平分∠DAF，若∠BAF＝60°，则∠DAE＝（）A．45° B．30° C．15° D．60°【分析】长方形内角为90°，已知∠BAF＝60°，所以可以得到∠DAF，又因为AE平分∠DAF，所以∠DAE便可求出．【解答】解：在长方形ABCD中，∠BAD＝90°∵∠BAF＝60°∴∠DAF＝90°﹣∠BAF＝30°又AE平分∠DAF所以∠DAE=12∠DAF＝15°故选：解题技巧提炼矩形内求角度的问题主要是利用矩形的性质和结合题中的条件求解，有时要利用等腰三角形的性质.【变式2-1】如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，DF⊥AC于F点，若∠ADF＝3∠FDC，则∠DEC的度数是（）A．30° B．45° C．50° D．55°【分析】根据∠ADC＝90°，求出∠CDF和∠ADF，根据矩形性质求出ED＝EC，推出∠BDC＝∠DCE，求出∠BDC，即可求出答案．【解答】解：设∠ADF＝3x°，∠FDC＝x°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，∴x+3x＝90，x＝22.5°，即∠FDC＝x°＝22.5°，∵DF⊥AC，∴∠DFC＝90°，∴∠DCE＝90°﹣22.5°＝67.5°，∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝2EC，BD＝2ED，AC＝BD，∴ED＝EC，∴∠BDC＝∠DCE＝67.5°，∴∠BDF＝∠BDC﹣∠CDF＝67.5°﹣22.5°＝45°，∴∠DEC＝90°﹣45°＝45°故选：B．【变式2-2】如图，四边形ABCD是长方形，F是DA延长线上一点，CF交AB于点E，G是CF上一点，且∠ACG＝∠AGC，∠GAF＝∠F．若∠ECB＝20°，则∠ACD的度数是．【分析】根据矩形的性质得到AD∥BC，∠DCB＝90°，根据平行线的性质得到∠F＝∠ECB＝20°，根据三角形的外角的性质得到∠ACG＝∠AGC＝∠GAF+∠F＝2∠F＝40°，于是得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠DCB＝90°，∴∠F＝∠ECB＝20°，∴∠GAF＝∠F＝20°，∴∠ACG＝∠AGC＝∠GAF+∠F＝2∠F＝40°，∴∠ACB＝∠ACG+∠ECB＝60°，∴∠ACD＝90°﹣60°＝30°，故答案为：30°．【变式2-3】如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连结AE，如果∠ACB＝36°，求∠E的度数．【分析】由矩形的性质得AC＝BD，而CE＝BD，则AC＝CE，所以∠CAE＝∠E，则∠ACB＝∠CAE+∠E＝2∠E＝36°，即可求得∠E＝18°．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，∵CE＝BD，∴AC＝CE，∴∠CAE＝∠E，∴∠ACB＝∠CAE+∠E＝2∠E，∵∠ACB＝36°，∴2∠E＝36°，∴∠E＝18°，∴∠E的度数是18°．题型三利用矩形的性质求面积题型三利用矩形的性质求面积【例题3】如图，在长方形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E，连接ED，若ED＝5，EC＝3，则长方形的面积为（）A．22 B．24 C．26 D．28【分析】直接利用勾股定理得出DC的长，再利用角平分线的定义以及等腰三角形的性质得出BE的长，进而得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是长方形，∴∠B＝∠C＝90°，AB＝DC，∵ED＝5，EC＝3，∴DC=ED2∵AE平分∠BAD交BC于点E，∴∠BAE＝∠DAE，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∴∠BAE＝∠BEA，∴AB＝BE＝4，∴BC=BE+EC＝4+3=7∴长方形的面积为：4×7＝28．故选：D．解题技巧提炼求矩形的面积问题，主要是利用矩形的性质求出矩形的长和宽，再根据面积的计算公式求解即可，有时与勾股定理结合起来用.【变式3-1】如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ACB＝30°，BD＝4，则矩形ABCD的面积是．【分析】根据题意和矩形的性质，可以得到AC的长，然后根据直角三角形30°角所对的直角边是斜边的一半和勾股定理，可以得到AB和BC的长，从而可以求得矩形ABCD的面积．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，BD＝4，∴AC＝BD＝4，∠ABC＝90°，∵∠ACB＝30°，∴AB＝2，BC=AC2∴矩形ABCD的面积是：2×23=43，故答案为：43【变式3-2】如图，点O是矩形ABCD的对角线BD的中点，点E是BC的中点，连接OA，OE．若OA＝2，OE＝1，则矩形ABCD的面积为．【分析】由三角形中位线定理求出OA＝2，由勾股定理求出AD的长，则可得出答案．【解答】解：∵O为BD的中点，E是BC的中点，∴OE=12∵OE＝1，∴DC＝2，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝2，∠BAD＝90°，∵OA＝2，∴BD＝2OA＝4，∴AD=BD2∴矩形ABCD的面积＝AD•DC＝23×2=43．故答案为：4题型四利用矩形的性质证明题型四利用矩形的性质证明【例题4】如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，连接OE，若∠AOB＝60°，求证：△OBE是等腰三角形．【分析】根据矩形的性质可得△AOB为等边三角形．然后根据角平分线可得△ABE是等腰直角三角形，进而可以解决问题．【解答】证明：∵矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∴OA＝OB，又∵∠AOB＝60°，∴△AOB为等边三角形．∴OA＝OD＝OB＝AB＝OC，∵AE平分∠BAD交BC于点E，∴∠BAE＝45°，∴AB＝BE，∴BE＝OB，∴△OBE是等腰三角形．解题技巧提炼与矩形有关的问题，常与全等三角形和特殊三角形等知识融为一体进行探索，利用矩形的性质，可以得到许多的结论，在解题时，针对问题列出有用的结论作论据即可.【变式4-1】如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在AB的延长线上找一点E，连接EC，使得EC＝AC．（1）求证：四边形BDCE是平行四边形；（2）若AB＝6，BC＝8，求点E到AC的距离．【分析】（1）由矩形的性质得∠ABC＝90°，DB＝AC，AB＝DC，由BC⊥AE，EC＝AC，得AB＝EB，则DB＝EC，EB＝DC，即可证明四边形BDCE是平行四边形；（2）设点E到AC的距离是h，由勾股定理求得AC=AB2+BC2=10，再由12×10h=【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，DB＝AC，AB＝DC，∴BC⊥AE，∵EC＝AC，∴DB＝EC，AB＝EB，∴EB＝DC，∴四边形BDCE是平行四边形．（2）解：设点E到AC的距离是h，∵∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，∴AC=AB2+BC∵12AC•h=12AE•BC＝S△AEC，∴12×10h=1∴点E到AC的距离为485【变式4-2】如图，在矩形ABCD中，O是对角线AC的中点，过点O作EF⊥AC，分别交AD，BC于点E，F．（1）求证：△AOE≌△COF；（2）若AE+BF＝16，求BC的长．【分析】（1）根据矩形的性质，由“ASA”可证△AOE≌△COF；（2）根据△AOE≌△COF，可得AE＝CF，然后利用线段的和差即可解决问题．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，∵点O是AC的中点，∴AO＝CO，在△AOE和△COF中，∠DAC=∠ACBAO=CO∴△AOE≌△COF（ASA）；（2）解：∵△AOE≌△COF，∴AE＝CF，∵AE+BF＝16，∴CF+BF＝16，∴BC＝16．题型五直角三角形斜边上的中线的性质题型五直角三角形斜边上的中线的性质【例题5】如图，在△ABC中，BD⊥AC于点E，CE⊥AB于点E，点M，N分别是BC，DE的中点．（1）求证：MN⊥DE；（2）若∠ECB+∠DBC＝45°，DE＝10，求MN的长．【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得MD＝ME=12（2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得MD＝ME＝BM＝CM，进而得到∠DBM＝∠BDM，∠MEC＝∠MCE，由三角形外角定理及∠ECB+∠DBC＝45°得到∠EMB+∠DMC＝90°，即∠EMD＝90°，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求得MN．【解答】（1）证明：连接EM、DM，∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠BDC＝∠BEC＝90°，∵在Rt△DBC中和Rt△EBC中，M是BC的中点，∴DM=12BC，EM=12BC，∴∵N是DE的中点，∴MN⊥ED；（2）解：在Rt△DBC中，M是BC的中点，∴DM=12BC＝BM，∴∠DBM＝∠同理∠MEC＝∠MCE，∵∠ECB+∠DBC＝45°，∴∠EMB+∠DMC＝2（∠ECB+∠DBC）＝90°，∴∠EMD＝90°，∵N是DE的中点，DE＝10，∴MN=12解题技巧提炼在直角三角形中，遇到斜边的中点常作斜边的中线，从而利用直角三角形斜边中线的性质解决问题.【变式5-1】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为中线，延长CB至点E，使BE＝BC，连结DE，点F为DE的中点，连结BF．若AB＝10，则BF的长为．【分析】先由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得CD的长度，结合题意知线段BF是△CDE的中位线，则BF=12【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，∵CD为中线，∴CD=12∵F为DE中点，BE＝BC，∴点B是EC的中点，∴BF是△CDE的中位线，∴BF=12故答案为：2.5．【变式5-2】如图，在△ABC中，AB＝AC＝8cm，AM是BC上的高，MN∥AC，MN交AB于点N，BC＝6cm，求△BMN的周长．【分析】先根据等腰三角形的性质得出∠CAM＝∠BAM，求出BM，再根据平行线的性质得出∠BAM＝∠AMN，进而得出MN＝AN，最后根据△BMN＝BM+AB求出答案．【解答】解：在△ABC中，AB＝AC，AM是BC上的高，∴∠CAM＝∠BAM，BM=12BC=∵MN∥AC，∴∠AMN＝∠CAM，∴∠BAM＝∠AMN（等量代换），∴MN＝AN（等角对等边），∴△BMN的周长＝BM+BN+MN，＝BM+BN+AN＝BM+AB＝3+8＝11（cm）．答：△BMN的周长为11cm．【变式5-3】如图，在△ABC中，∠C＝2∠B，D是BC上的一点，且AD⊥AB，点E是BD的中点，连接AE．（1）求证：∠AEC＝∠C；（2）求证：BD＝2AC；（3）若AE＝6.5，AD＝5，求△ABE的周长．【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线的性质得出AE＝BE，再由等边对等角及三角形外角的性质即可证明；（2）根据（1）中结论及直角三角形斜边上的中线的性质即可证明；（3）根据直角三角形斜边上的中线的性质及勾股定理即可求解．【解答】（1）证明：∵AD⊥AB，∴△ABD为直角三角形．又∵点E是BD的中点，∴AE=1又∵BE=12BD，∴AE＝BE，∴∠B＝又∵∠AEC＝∠B+∠BAE，∴∠AEC＝∠B+∠B＝2∠B．又∵∠C＝2∠B，∴∠AEC＝∠C．（2）证明：由（1）可得AE＝AC，又∵AE=12BD，∴12BD=AC，（3）解：在Rt△ABD中，∵AD＝5，BD＝2AE＝2×6.5＝13，∴AB=B∴△ABE的周长＝AB+BE+AE＝12+6.5+6.5＝25．题型六判断四边形是矩形题型六判断四边形是矩形【例题6】已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．求证：四边形ADCE为矩形；【分析】根据三个角是直角是四边形是矩形即可证明；【解答】证明：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD．∴∠ADC＝90°，∵AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，∴∠MAN＝∠CAN．∴∠DAE＝90°，∵CE⊥AN，∴∠AEC＝90°．∴四边形ADCE为矩形．解题技巧提炼如果已知四边形的两个角是直角，此时可以选择“有三个角是直角的四边形是矩形”证明比较简单.【变式6-1】检查一个门框是否为矩形，下列方法中正确的是（）A．测量两条对角线，是否相等 B．测量两条对角线，是否互相平分 C．测量门框的三个角，是否都是直角 D．测量两条对角线，是否互相垂直【分析】对角线相等的平行四边形是矩形或有三个角是直角的四边形是矩形的原理即可突破此题．【解答】解：根据“三个角是直角的四边形是矩形”可以得到测量门框的三个角，是否都是直角即可检验该四边形是不是矩形，故选：C．【变式6-2】四边形ABCD的对角线AC、BD于点O，下列各组条件，不能判定四边形ABCD是矩形的是（）A．AB＝CD，AD＝BC，AC＝BD B．∠A＝∠C，∠B＝∠D，∠A＝∠B C．OA＝OC，OB＝OD，∠BAD＝90° D．∠A＝∠C，∠B+∠C＝180°，∠AOB＝∠BOC【解答】解；A、AB＝CD，AD＝BC，可以判定为平行四边形，又有AC＝BD，可判定为矩形，故此选项错误；B、∠A＝∠C，∠B＝∠D，可以判定为平行四边形，又有∠A＝∠B，可得到∠A＝90°，可判定为矩形，故此选项错误；C、OA＝OC，OB＝OD，可以判定为平行四边形，又有∠BAD＝90°可判定为矩形，故此选项错误；D、A，B，C都错误，故此选项正确．故选：D．【变式6-3】如图，MN∥PQ，直线l分别交MN、PQ于点A、C，同旁内角的平分线AB、CB相交于点B，AD、CD相交于点D．试证明四边形ABCD是矩形．【分析】首先推出∠BAC＝∠DCA，继而推出AB∥CD；推出∠BCA＝∠DAC，进而推出AD∥CB，因此四边形ABCD平行四边形，再证明∠ABC＝90°，可得平行四边形ABCD是矩形．【解答】证明：∵MN∥PQ，∴∠MAC＝∠ACQ、∠ACP＝∠NAC，∵AB、CD分别平分∠MAC和∠ACQ，∴∠BAC=12∠MAC、∠DCA=1又∵∠MAC＝∠ACQ，∴∠BAC＝∠DCA，∴AB∥CD，∵AD、CB分别平分∠ACP和∠NAC，∴∠BCA=12∠ACP、∠DAC=1又∵∠ACP＝∠NAC，∴∠BCA＝∠DAC，∴AD∥CB，又∵AB∥CD，∴四边形ABCD平行四边形，∵∠BAC=12∠MAC，∠ACB=1又∵∠MAC+∠ACP＝180°，∴∠BAC+∠ACB＝90°，∴∠ABC＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形．题型七判断平行四边形是矩形题型七判断平行四边形是矩形【例题7】如图，AC、BD相交于点O，且O是AC、BD的中点，点E在四边形ABCD外，且∠AEC＝∠BED＝90°，求证：四边形ABCD是矩形．【分析】连接EO，首先根据O为BD和AC的中点，得出四边形ABCD是平行四边形，在Rt△AEC中EO=12AC，在Rt△EBD中，EO【解答】证明：连接EO，如图所示：∵O是AC、BD的中点，∴AO＝CO，BO＝DO，∴四边形ABCD是平行四边形，在Rt△EBD中，∵O为BD中点，∴EO=1在Rt△AEC中，∵O为AC中点，∴EO=12AC，又∵四边形ABCD是平行四边形，∴平行四边形ABCD是矩形．解题技巧提炼已知四边形是平行四边形时，判定矩形的方法只需再证有一个角为直角（定义法），或再证明对角线相等.当已知对角线相等时，只需证这个四边形是平行四边形即可.【变式7-1】如图，在△ABC中，AB＝BC，BD平分∠ABC．四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F，连接CE．求证：四边形BECD是矩形．【分析】根据已知条件易推知四边形BECD是平行四边形．结合等腰△ABC“三线合一”的性质证得BD⊥AC，即∠BDC＝90°，所以由“有一内角为直角的平行四边形是矩形”得到▱BECD是矩形．【解答】证明：∵AB＝BC，BD平分∠ABC，∴BD⊥AC，AD＝CD．∵四边形ABED是平行四边形，∴BE∥AD，BE＝AD，∴BE＝CD，∴四边形BECD是平行四边形．∵BD⊥AC，∴∠BDC＝90°，∴▱BECD是矩形．【变式7-2】如图所示，在▱ABCD中，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，延长AE至点G，使EG＝AE，连接CG．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）求证：四边形EGCF是矩形．【分析】（1）由AAS证明△ABE≌△CDF即可；（2）由全等三角形的性质得AE＝CF，证出EG＝CF，则四边形EGCF是平行四边形，由∠GEF＝90°，即可得出四边形EGCF是矩形．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABE＝∠CDF，∵AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，∴AE∥CF，∠GEF＝∠AEB＝∠CFD＝90°，在△ABE和△CDF中，∠ABE=∠CDF∠AEB=∠CFD∴△ABE≌△CDF（AAS）；（2）由（1）得：△ABE≌△CDF，AE∥CF，∴AE＝CF，∵EG＝AE，∴EG＝CF，∴四边形EGCF是平行四边形，又∵∠GEF＝90°，∴四边形EGCF是矩形．题型八利用矩形的性质解决折叠问题题型八利用矩形的性质解决折叠问题【例题8】如图，长方形ABCD中将△ABF沿AF翻折至△AB'F处，若AB'∥BD，∠1＝26°，则∠BAF的度数为（）A．57° B．58° C．59° D．60°【分析】由矩形的性质得∠ABC＝90°，AD∥BC，则∠AFB＝∠DAF，由翻折得∠B′＝∠ABF＝90°，∠AFB′＝∠AFB，所以∠AFB′＝∠DAF，由AB'∥BD，∠B′AM＝∠1＝26°，则∠AFB′+∠DAF＝2∠DAF＝∠AMB′＝64°，所以∠DAF＝32°，即可求得∠BAF＝∠B′AF＝58°，于是得到问题的答案．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，AD∥BC，∴∠AFB＝∠DAF，由翻折得∠B′＝∠ABF＝90°，∠AFB′＝∠AFB，∴∠AFB′＝∠DAF，∵AB'∥BD，∴∠B′AM＝∠1＝26°，∴∠AMB′＝90°﹣∠B′AM＝64°，∴∠AFB′+∠DAF＝2∠DAF＝∠AMB′＝64°，∴∠DAF＝32°，∴∠BAF＝∠B′AF＝∠B′AM+∠DAF＝26°+32°＝58°，故选：B．解题技巧提炼求解关于矩形的折叠问题时往往通过找出折叠部分的线段或角与原图形之间的关系，从而得到折叠部分与原图形或其它图形之间的关系，有时要用到三角形全等、勾股定理等知识.【变式8-1】如图，在长方形ABCD中，点E在边DC上，联结AE，将△AED沿折痕AE翻折，使点D落在边BC上的D1处，如果∠DEA＝76°，那么∠D1EC＝度．【分析】利用翻折不变性求出∠DED1即可解决问题；【解答】解：由翻折不变性可知，∠AED＝∠AED1＝76°，∴∠DED1＝152°，∴∠CED1＝180°﹣152°＝28°，故答案为：28．【变式8-2】如图，在长方形ABCD中，AB＝8cm，AD＝6cm，把长方形沿直线AC折叠，点B落在点E处，AE交CD于点F，则AF的长为多少？【分析】首先根据勾股定理计算出AC的长，再根据折叠的方法可得△ABC≌△AEC，△ADF≌△CEF，进而可得到可知AE＝AB＝8cm，CE＝BC＝AD＝6cm，再设AF＝xcm，则EF＝DF＝（8﹣x）cm，在Rt△ADF中利用勾股定理可得62+（8﹣x）2＝x2，再解方程即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AB＝8cm，AD＝6cm，∴BC＝AD＝6cm，AB＝CD＝8cm，∴AC=AB2矩形纸片沿直线AC折叠，则△ABC≌△AEC，可知AE＝AB＝8cm，CE＝BC＝AD＝6cm，∠E＝∠B＝∠D＝90°，在△ADF和△CEF中，∠AFD=∠CFE∠D=∠EAD=CE，∴△ADF≌△CEF（AAS），∴DF＝设AF＝xcm，则EF＝DF＝（8﹣x）cm，在Rt△ADF中，AD2+DF2＝AF2，即：62+（8﹣x）2＝x2，解得x=254．即：AF的长为2511矩形1.如图，AC，BD是矩形ABCD的对角线，∠AOB＝40°，则∠ACD的度数为（）A．50° B．55° C．65° D．70°【分析】根据矩形的性质可知，AC＝BD，AO＝CO，BO＝DO，所以OC＝OD，根据对顶角相等得到∠AOB＝∠COD＝40°，再利用等腰三角形的性质求得∠ACD的度数即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，AO＝CO，BO＝DO，∴OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∵∠AOB＝40°，∴∠COD＝40°，∴∠OCD＝∠ODC＝70°．故选：D．2.如图，要使平行四边形ABCD为矩形，则可添加下列哪个条件（）A．BO＝DO B．AC⊥BD C．AB＝BC D．AO＝DO【分析】根据矩形的判定方法即可得出结论．【解答】解：需要添加的条件是AO＝DO，理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝OC，BO＝OD，∵AO＝DO，∴AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）；故选：D．的长求出AC，得出等边三角形AOB，即可求出对角线所夹的锐角度数．3.添加下列一个条件，能使平行四边形ABCD成为矩形的是（）A．AB＝CD B．AC⊥BD C．∠BAD＝90° D．AB＝BC【分析】由矩形的判定即可得出结论．【解答】解：∵有一个角是直角的平行四边形是矩形，∴当∠BAD＝90°，平行四边形ABCD是矩形，故选：C．4.问题背景：如图，AD是△ABC的中线，四边形ADCE是平行四边形．讨论交流：小明说：“若AB＝AC，则四边形ADCE是矩形．”小强说：“若∠BAC＝90°，则四边形ADCE是菱形．”下列说法中正确的是（）A．小明不对，小强对 B．小明对，小强不对 C．小明和小强都对 D．小明和小强都不对【分析】利用矩形的判定和菱形的判定可直接判断．【解答】解：若AB＝AC，AD是△ABC的中线，∴AD⊥BC，∴平行四边形ADCE是矩形，若∠BAC＝90°，AD是△ABC的中线，∴AD＝CD，∴平行四边形ADCE是菱形，故小明和小强的说法都对，故选：C．5.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交AD于E，若AB＝4，BC＝8，则AE的长为（）A．3 B．4 C．5 D．2【分析】连接CE，根据矩形的对边相等可得AD＝BC＝8，CD＝AB＝4，根据矩形的对角线互相平分可得OA＝OC，然后判断出OE垂直平分AC，再根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AE＝CE，设AE＝CE＝x，表示出DE，然后在Rt△CDE中，利用勾股定理列出方程求解即可．【解答】解：如图，连接CE，在矩形ABCD中，∵AB＝4，BC＝8，∴AD＝BC＝8，CD＝AB＝4，OA＝OC，∵OE⊥AC，∴OE垂直平分AC，∴AE＝CE，设AE＝CE＝x，则DE＝8﹣x，在Rt△CDE中，CD2+DE2＝CE2，即42+（8﹣x）2＝x2，解得x＝5，即AE的长为5．故选：C．6.一个木匠要制作矩形的踏板．他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯两次，就能得到矩形踏板．理由是有一个角为直角的平行四边形是矩形．．【分析】根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”进行判断即可．【解答】解：∵在一边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯了两次得到的两条边平行，∴得到了一个平行四边形，∵与两边分别垂直，∴就能得到矩形踏板，故答案为：有一个角为直角