(寒假)人教版数学八年级寒假讲义03 二次根式的加减+随堂检测（原卷版）

第页03二次根式的加减知识点一知识点一可合并的二次根式●●可合并的二次根式：把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，则这几个二次根式就是可以合并的二次根式．◆1、可合并的二次根式的识别：将每个二次根式化为最简二次根式，再看这些二次根式的被开方数是否相同，相同就是可合并的二次根式，否则就不是可合并的二次根式．◆2、合并可合并的二次根式的方法：合并二次根式的方法与合并同类项类似，将可合并的二次根式根号外的因数（式）相加，根指数与被开方数不变，合并的依据是乘法分配律,即m(a≥0).【注意】◎1、几个二次根式是否可以合并，只与被开方数及根指数有关，而与根号前的系数无关.◎2、被开方数不相同的的二次根式不能合并，例如2+3为最终的结果，而不能错误地合并为知识点二知识点二二次根式加减●●二次根式加减法法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并.合并方法为系数相加减，根指数和被开方数不变．◆1、二次根式的加减法的解题步骤:①“化”：将所有二次根式化成最简二次根式②“找”：找出被开方数相同的最简二次根式③“并”：将被开方数相同的最简二次根式合并成一项.◆2、整式加减运算中的交换律、结合律以及去括号、添括号法则在二次根式加减运算中同样适用.知识点三知识点三二次根式混合运算●●二次根式的混合运算是指二次根式的加、减、乘、除、乘方的混合运算．◆1、二次根式的混合运算顺序：二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序是一样：先乘方、再乘除、最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）．◆2、实数的运算律、多项式的乘法法则和乘法公式仍然适用于二次根式的运算.题型一可合并的二次根式的识别题型一可合并的二次根式的识别【例题1】1．下列各式中，能与2合并的是（）A．4 B．24 C．12 D．8解题技巧提炼判断可合并的二次根式是否合并的前提条件是都化为最简二次根式，看它们的被开方数是否相同，相同就可合并，不相同就不可合并.【变式1-1】下列二次根式中，不能与2合并的是（）A．12 B．2a2(a≠0) C．【变式1-2】下列各式中，可以与27合并的二次根式的是（）A．18 B．12 C．0.3 D．20【变式1-3】下列各组二次根式中，能进行合并的是（）A．6和3 B．8和2 C．12和2 D．18和27【变式1-4】下列各组二次根式中，可合并的二次根式的是（）A．33与6 B．8与2 C．−13与23 D．题型二根据可合并的二次根式的概念求字母的值题型二根据可合并的二次根式的概念求字母的值【例题2】两个最简二次根式b−a3b和22b−a+2是可合并，则a+2b的值为解题技巧提炼根据可合并的二次根式的概念求待定字母的值时，可根据“被开方数相同”建立方程或方程组，有时还需要注意，求得的待定字母的值代入原二次根式检验是否符合“最简二次根式”的身份.【变式2-1】如果最简二次根式a+2与12能够合并，那么a的值为（）A．1 B．2 C．4 D．10【变式2-2】若最简二次根式a+2与2a−3是可以合并的二次根式，则a的值为（）A．5 B．13 C．﹣2 D．【变式2-3】若两个最简二次根式32m+5与24m−4A．35 B．57 C．523 D．514【变式2-4】已知二次根式32−a与8化成最简二次根式后．被开方数相同，则符合条件的正整数a有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式2-5】已知最简二次根式a+b7a和a+6b可以合并，你能求出使2x−4ab有意义的x【变式2-6】已知最简根式3a+24a+3b和最简根式b+42a−b+6的被开方数相同，求a2023﹣b20题型三二次根式的加减运算题型三二次根式的加减运算【例题3】计算：（1）5+20−45；（3）32x−58x+718x．解题技巧提炼二次根式加减运算的技巧：将每个二次根式都化为最简二次根式，若被开方数中含有带分数，则先化成假分数；若含有小数，则要化成分数，进而化为最简二次根式.若原式中有括号，要先去括号，再应用加法交换律、结合律将被开方数相同的二次根式进行合并.定已知角和未知角之间的关系，再结合角平分线、对顶角、邻补角等定义计算.【变式3-1】下列计算正确的是（）A．8−2=2 B．2+3=【变式3-2】75−12=abA．6 B．9 C．12 D．27【变式3-3】计算：12−27=2a+b3=c3，则aA．﹣1 B．﹣5 C．2 D．5【变式3-4】如图，数轴上表示1和2的对应点分别为A、B，点B关于点A的对称点是C，设C点表示的数为x，则x+2A．1−2 B．1+2 C．2−【变式3-5】计算下列各式：（1）5−6−（3）27a−a3a+3【变式3-6】计算下列各题：（1）(32+12)−(12+27)题型四二次根式的混合运算题型四二次根式的混合运算【例题4】计算：（1）(−3)2×（﹣1）2018+（2）42（18−6）−解题技巧提炼1、进行二次根式的混合运算应注意以下几点：①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．③实数的运算律、多项式的乘法法则和乘法公式仍然适用于二次根式的运算.2、二次根式的运算结果要化为最简二次根式．【变式4-1】下列计算正确的是（）A．23+32=55 B．23×32【变式4-2】计算（48−12）A．3 B．1 C．3 D．23【变式4-3】计算125×A．95 B．25+45 C．6+45 D．125【变式4-4】计算：(3+2)【变式4-5】计算：（1）54−(23+21（3）(32−26)×(−32【变式4-6】计算：（1）4−（−12）﹣1+20210﹣|3−2|；（2）12−（2题型五二次根式的化简求值题型五二次根式的化简求值【例题5】先化简再求值：x−2xy+yx−y÷1x+2xy解题技巧提炼1、二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．2、二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分分，避免互相干扰．【变式5-1】化简求值：x1x+4y−x2【变式5-2】先化简，再求值：2x⋅xy⋅(yx÷【变式5-3】（1）先化简，再求值：(x+2x2【变式5-4】先化简，再求值x−yx+y+x−2xy【变式5-5】先化简，再求值：4a−b+a+b题型六整体思想在二次根式求值中的巧用题型六整体思想在二次根式求值中的巧用【例题6】已知a＝3+22，b＝3﹣22，则a2b﹣ab2的值为（）A．1 B．17 C．42 D．﹣42解题技巧提炼当有关字母的已知条件比较复杂且不易求出字母的值，直接代入比较繁琐时，一般要先对已知条件和待求问题进行变形整理，然后利用整体代入的方法进行求值.【变式6-1】已知a＝2+3，b＝2−（1）a2﹣b2；（2）a2+2ab+b2．【变式6-2】已知a=2−12+1（1）a2﹣ab+b2；（2）ba【变式6-3】已知a+b＝﹣7，ab＝5，求aab+b【变式6-4】已知x−1x=5，那么x【变式6-5】）我们已经知道(13+3)(13−3)=4，因此将813−3分子、分母同时乘“13+（1）请仿照上面方法化简a，b；（2）求代数式2a2﹣5ab+2b2的值．题型七二次根式的运算在实际中的应用题型七二次根式的运算在实际中的应用【例题7】如图，从一个大正方形中裁去面积为6cm2和15cm2的两个小正方形，则留下阴影部分的面积为（）A．610cm2 B．21cm2 C．215cm2 D．46cm2解题技巧提炼利用二次根式的加减法运算俩解决生活中的问题，应先认真分析题意，注意计算的准确性和结果的要求.【变式7-1】一个三角形的三边长分别为5x5，12（1）求它的周长（要求结果化简）；（2）请你给出一个适当的x的值，使它的周长为整数，并求出此时三角形的周长．【变式7-2】学校要在一块长方形的土地上进行绿化，已知这块长方形土地的长a＝510m，宽b＝415m（1）求该长方形土地的面积．（精确到0.01）（2）若绿化该长方形土地每平方米的造价为180元，那么绿化该长方形土地所需资金为多少元？【变式7-3】某居民小区有块形状为长方形ABCD的绿地，长方形绿地的长BC为128米，宽AB为98米，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为（13+1）米，宽为（13（1）长方形ABCD的周长是米；（2）除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/m2的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？（结果均化为最简二次根式）【变式7-4】如图，有一张长为162cm，宽为82cm的长方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形．（1）若小正方形的边长为2cm，则制作成的无盖长方体盒子的体积是多少？（2）求这个长方体盒子的侧面积．题型八二次根式的规律探究题题型八二次根式的规律探究题【例题8】下面是晓明的探究过程，请你补充完整：（1）具体运算，发现规律．特例1：a1=11+2=2特例3：a3=13+2=2−3特例5：（填写一个符合上述运算特征的例子）．（2）观察、归纳，得出猜想．如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：．（3）应用运算规律，求a1+a2+a3+…+a20的值．解题技巧提炼二次根式的规律探究题主要探究数式，算法，算理的规律，解题的关键在于观察并分析题中所给的运算过程，准确推理，合理猜想，得出一般的规律，然后进行论证，最后运用规律来解决所给的问题.【变式8-1】观察下列规律：∵(1+2)(1−2∵(2+3∵(3+4（1）根据上面的信息猜想：1n+n+1=（2）利用上面的规律计算：（11+2+【变式8-2】观察下列各式及其变形过程：a1=12+21=1−12（1）按照此规律，写出第五个等式a5＝；（2）按照此规律，若Sn＝a1+a2+a3+…+an，试用含n的代数式表示Sn；（3）在（2）的条件下，若x=6S2+2a1，试求代数式x2+203二次根式的加减随堂检测1.下列二次根式能与3合并的是（）A．24 B．18 C．12 D．82.下列计算正确的是（）A．7+3=10 B．8÷2=43.已知x=5−1时，则代数式xA．1 B．4 C．7 D．34.若（a2+5−2）2＝20，则aA．2+5 B．2−5 C．2+5或2﹣35 D．25.如图，数轴上表示1和2的对应点分别为A、B，点B关于点A的对称点是C，设C点表示的数为x，则x+2A．1−2 B．1+2 C．2−6.计算：(7+5)(7.如果最简根式6a+5与8+3a是同类二次根式，那么a＝．8