（复习）人教A版数学高一寒假提升学与练+随堂检测05 三角函数公式及三角函数性质的综合应用 （教师版）

第页专题05三角函数公式及三角函数性质的综合应用思维导图核心考点聚焦考点一、任意角和弧度制考点二、三角函数的概念考点三、诱导公式考点四、三角恒等变换考点五、三角函数的图像与性质考点六、伸缩变换考点七、三角函数的应用考点八、三角函数的综合运用考点九、ω的取值与范围问题知识点一：任意角的概念1、角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.正角：按逆时针方向旋转所形成的角.负角：按顺时针方向旋转所形成的角.零角：如果一条射线没有做任何旋转，我们称它形成了一个零角.2、终边相同的角、象限角终边相同的角为角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合.那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角.知识点二：弧度制1、弧度制的定义长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1，或1弧度，或1（单位可以省略不写）.2、角度与弧度的换算弧度与角度互换公式：1rad=≈57.30°=57°18′，1°=≈0.01745（rad）3、弧长公式：（是圆心角的弧度数），扇形面积公式：.知识点三：三角函数定义设是一个任意角，它的终边与半径是的圆交于点，则，那么：（1）做的正弦，记做，即；（2）叫做的余弦，记做，即；（3）叫做的正切，记做，即.知识点四：三角函数在各象限的符号三角函数在各象限的符号：在记忆上述三角函数值在各象限的符号时，有以下口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦.知识点五：同角三角函数的基本关系式（1）平方关系：（2）商数关系：知识点六：诱导公式诱导公式一：，，，其中诱导公式二：，，，其中诱导公式三：，，，其中诱导公式四：，.，，其中知识点七：正弦函数性质函数正弦函数定义域值域奇偶性奇函数周期性最小正周期单调区间增区间减区间最值点最大值点；最小值点对称中心对称轴知识点八：余弦函数的性质函数余弦函数定义域值域奇偶性偶函数周期性最小正周期单调区间增区间减区间最值点最大值点最小值点对称中心对称轴知识点九：正切函数的性质1、定义域：2、值域：由正切函数的图象可知，当且无限接近于时，无限增大，记作（趋向于正无穷大）；当，无限减小，记作（趋向于负无穷大）.也可以从单位圆上的正切线来考虑.因此可以取任何实数值，但没有最大值和最小值.称直线，为正切函数的渐进线.3、周期性：周期函数，最小正周期是4、奇偶性：奇函数，即.5、单调性：在开区间，内，函数单调递增知识点十：三角恒等变换公式1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1）和角公式（），（），（）.（2）差角公式（），（），（）.2、二倍角的正弦、余弦、正切公式（），（），（）3、降幂公式，，.4、半角公式，，.其中，符号由所在象限决定.5、辅助角公式，其中，.叫做辅助角，的终边过点.知识点十一：由得图象通过变换得到的图象1、振幅变换：，（且）的图象可以看作把正弦曲线上的所有点的纵坐标伸长（）或缩短（）到原来的倍得到的（横坐标不变），它的值域，最大值是，最小值是.若可先作的图象，再以轴为对称轴翻折，称为振幅.2、周期变换：函数，（且）的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短或伸长到原来的倍（纵坐标不变）.若则可用诱导公式将符号“提出”再作图.决定了函数周期.3、相位变换：函数，（其中）的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左（当时）或向右（当时）平行移动个单位长度而得到.（用平移法注意讲清方向：“左加右减”）.4、函数的图象经变换得到的图象的两种途径关于三角函数对称的几个重要结论；（1）函数的对称轴为，对称中心为；（2）函数的对称轴为，对称中心为；（3）函数函数无对称轴，对称中心为；（4）求函数的对称轴的方法；令，得；对称中心的求取方法；令，得，即对称中心为.（5）求函数的对称轴的方法；令得，即对称中心为考点剖析考点一、任意角和弧度制例1.已知扇形的圆心角为2弧度，且圆心角所对的弦长为4，则该扇形的面积为（

）A.B.C.D.【答案】A【解析】因为扇形的圆心角弧度为2，所对弦长为4，为圆心，如下图，取的中点，连接，则，则，则扇形的半径，所以扇形的弧长，则扇形的面积为.故选：A.例2.折扇图1在我国已有三千多年的历史，.它常以字画的形式体现我国的传统文化图2为其结构简化图，设扇面A，间的圆弧长为，，间的圆弧长为，当弦长为，圆弧所对的圆心角为，则扇面字画部分的面积为（

）A.B.C.D.【答案】A【解析】记，如图，在中，因为，，，所以，即，，又，即，所以，所以扇面字画部分的面积为，故选：A.例3.若角的终边在直线上，则角的取值集合为（

）A.B.C.D.【答案】D【解析】由题意知角的终边在直线上，故或，即或，故角的取值集合为，故选：D例4.已知为第二象限角，那么是（

）A.第一或第二象限角B.第一或第四象限角C.第二或第四象限角D.第一、二或第四象限角【答案】D【解析】∵为第二象限角，∴，∴,当时，，属于第一象限，当时，，属于第二象限，当时，,属于第四象限，∴是第一、二或第四象限角.故选：D考点二、三角函数的概念例5.在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴非负半轴重合，角的终边经过点，则（

）A.B.C.D.【答案】C【解析】由，故，，故.故选：C.例6.如图所示，在平面直角坐标系中，动点、从点出发在单位圆上运动，点按逆时针方向每秒钟转弧度，点按顺时针方向每秒钟转弧度，则、两点在第次相遇时，点的坐标是（

）A.B.C.D.【答案】C【解析】相遇时间为秒，故转过的角度为，故对应坐标为，即.故选：C例7.已知角的终边过点，则的值为（

）A.B.C.D.【答案】A【解析】因为角的终边过点，即，则，故选:A.考点三、诱导公式例8.已知(1)化简；(2)若是第三象限角，且，求的值.【解析】（1）因为，所以.（2）由诱导公式可知，即，又是第三象限角，所以，所以.例9.已知.(1)化简函数；(2)若，求和的值.【解析】（1）（2）因为，所以，所以；.例10.在平面直角坐标系中，角以轴的非负半轴为始边，它的终边与单位圆交于第二象限内的点.(1)若，求及的值；(2)若，求点的坐标.【解析】（1）由已知角的终边与单位圆交于第二象限内的点，则，，，，且，由，得，则，再由诱导公式可得（2）由，得，，又，则，解得，所以，所以，所以，，即.例11.已知.(1)求的值；(2)当为第三象限角时，求的值.【解析】（1）因为，所以.（2）由得，且，故，即因为是第三象限角，，则，，所以.考点四、三角恒等变换例11.已知，角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，且.求：(1)；(2).【解析】（1）由，可得，根据三角函数定义可知，所以，即；（2）由且可知，又，可得；所以，可得.例12.已知，，则.【答案】【解析】因为，令，则，，又，所以，则，所以，故，.故答案为：.例13.已知，则.【答案】【解析】因为，所以，又，所以，故答案为：.例14.已知，，，，则.【答案】/【解析】因为且，则，又，所以，且，所以，则，，所以.故答案为：考点五、三角函数的图像与性质例15.（多选）北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，可在全球范围内为各类用户提供全天候、全天时、高精度、高定位、导航、授时服务，2020年7月31日上午，北斗三号全球卫星导航系统正式开通，北斗导航能实现“天地互通”的关键是信号处理，其中某语言通讯的传递可以用函数近似模拟其信号，则下列结论中正确的是（

）A.函数的最小正周期为B.函数的图象关于点对称C.函数图象的一条对称轴是D.若，，则的最小值为【答案】ACD【解析】对于A，因为的最小正周期为，而向右平移单位可得，故函数的最小正周期为，故A正确；对于B，在的图象上取一点，其关于点对称的点不在的图象上，所以函数的图象不关于点对称，故B不正确；对于C，因为，所以函数图象的一条对称轴是，故C正确；对于D，因为，所以，因为由A知，函数的最小正周期为，所以，故D正确.故选：ACD.例16.（多选）已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（

）A.函数的最小正周期为B.函数的图象关于直线对称C.函数在单调递减D.该图象向右平移个单位可得的图象【答案】BD【解析】由图象得，，解得，所以的最小正周期为，故A错；，则，将代入中得，则，，解得，，因为，所以，，，所以是的对称轴，故B正确；当时，，因为在上不单调，所以在上不单调，故C错；该图象向右平移个单位可得，故D正确.故选：BD例17.已知函数（，，）图象的相邻两条对称轴的距离是，当时取得最大值2.(1)求函数的解析式；(2)求函数在区间的最大值和最小值；(3)若函数的零点为，求.【解析】（1）因为图象的相邻两条对称轴的距离是，所以的最小正周期为，所以.因为在时取得最大值2，所以，且,可得.因为，所以.所以.（2）时，，所以，当，即时，；当，即时，.所以函数在区间的最大值为2，最小值为.（3）因为函数的零点为，所以，即.因为，所以.考点六、伸缩变换例18.函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为，若将的图象向右平移个单位后，得到新函数解析式为.

【答案】【解析】根据图象知，，将点代入，得，，又，则，，将的图象向右平移个单位后，得到新函数解析式为.故答案为：，.例19.已知函数的最小正周期为，为了得到函数的图像，只要将的图像（

）A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度【答案】A【解析】因为函数的最小正周期为，所有，即，因为，所以只需将函数图象左平移个单位长度即可得到函数图象.故选：.考点七、三角函数的应用例20.摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯四周景色如图，某摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，均匀设置了依次标号为1～48号的48个座舱.开启后摩天轮按照逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，开始转动后距离地面的高度为，转一周需要.若甲、乙两人分别坐在1号和9号座舱里，当时，两人距离地面的高度差h（单位：m）取最大值时，时间t的值是.【答案】10【解析】设座舱距离地面最近的位置为点P，以轴心为原点，与地面平行的直线为x轴建立直角坐标系，如图所示：设时，游客甲位于点，以为终边的角为；根据摩天轮转一周大约需要，可知座舱转动的角速度约为，由题意得.甲、乙两人的位置分别用点A、B表示，则，经过后甲距离地面的高度为，点B相对于点A始终落后，此时乙距离地面的高度为.则甲、乙距离地面的高度差，＝.因为，所以，所以两人距离地面的高度差h（单位：m）取最大值时，解得.即开始转动10分钟时，甲乙两人距离地面的高度差最大值为45.故答案为：10.考点八、三角函数的综合运用例21.已知.(1)若，求在上的值域；(2)若，求的最大值.【解析】（1）由题意可知，令,当时，由在上单调递增，在上单调递减，则，令，由在上单调递增，在上单调递减，则，，所以.（2）由(1)可知：，令，则，令，由在上单调递增，在上单调递减，则.例22.已知函数.(1)求的最小正周期；(2)当时，求的最大值与最小值的和.【解析】（1）由题意可得：，所以的最小正周期.（2）因为，则，当，即时，取到最小值；当，即时，取到最大值；所以的最大值与最小值的和为.例23.已知函数(1)求函数的最小正周期；(2)求在上的值域；(3)试讨论函数在上零点的个数.【解析】（1）函数，故函数的最小正周期为.（2）在上，，可得.（3）函数在上零点的个数，即方程在上的解的个数.，当或时，方程有一个解，当时，方程有2个解，当或时，方程无解.综上可得，当或时，一个零点；当时，2个零点；当或时，没有零点.例24.已知函数.(1)已知，求的值；(2)已知函数，若对任意的，均有，求实数的取值范围.【解析】（1）易知，所以，则；即（2）对于任意可知，，所以；又，可得，所以；依题意可得，即，解得；所以实数的取值范围是.例25.已知函数，且函数的图象与函数的图象关于直线对称.(1)求函数的解析式；(2)若存在x∈[0,），使等式成立，求实数m的最大值和最小值.【解析】（1）.函数的图象上取点，关于直线对称点的坐标为,，代入，可得，（2）,，则，则,，等式，可化为，由对勾函数的单调性可得，函数m在[1,]上单调递减，在（，2]上单调递增，当时，；时，，时，，故实数m的最大值为3，最小值为.例26.定义域为R的函数是奇函数.(1)求实数a的值；(2)若存在，使得成立，求实数k的取值范围.【解析】（1）法一：因为是奇函数，所以，即，解得此时，故是奇函数，故.法二：因为是奇函数，所以，即对恒成立，所以.（2）由（1）知，则在上为减函数，又是奇函数，由得：，所以，即在上有解，记，则因为，则，所以，所以，所以，即.考点九、ω的取值与范围问题例27.已知函数在区间上有且仅有2个不同的零点，则的范围为.【答案】【解析】，则，函数有且仅有2个不同的零点，则，解得.故答案为：例28.已知奇函数在上有2个最值点和1个零点，则的范围是.【答案】【解析】函数，因为该函数为奇函数，故，又，所以，即，因为在上有2个最值点和1个零点，故，即的范围是，故答案为：例29.函数在内恰有两个最小值点，则ω的范围是（

）A.B.C.D.【答案】B【解析】因为函数在内恰有两个最小值点，，所以最小正周期满足所以，所以有：，故选：B例30.已知，（），若函数在区间内不存在对称轴，则的范围为（

）A.B.C.D.【答案】C【解析】函数化简得，由，可得函数的对称轴为，由题意知，且，即，，若使该不等式组有解，则需满足，即，又，故，即，所以，又，所以或，所以.例31.已知函数在上有且只有5个零点，则实数的范围是（

）A.B.C.D.【答案】C【解析】因为，令，即，所以，在上有且只有5个零点，因为，所以，所以，如图，由正弦函数图像，要使在上有且只有5个零点，则，即，所以实数的范围是.

故选：C过关检测一、单选题1.的值是(

)A.B.C.D.【答案】D【解析】.故选：D2.函数是（

）A.周期为的偶函数B.周期为的奇函数C.周期为的偶函数D.周期为的奇函数【答案】A【解析】由解得,的定义域是，的定义域关于原点对称.，所以是偶函数，由此排除BD选项.，所以的一个周期为，A选项正确.，所以不是的周期，所以C选项错误.故选：A3.已知函数是偶函数，则的值为（

）A.B.1C.1或D.【答案】A【解析】因为函数是偶函数，所以，则，所以.故选：A.4.若，则的化简结果是（

）A.B.C.D.【答案】D【解析】，由于，所以，故，故选：D5.已知角的顶点为平面直角坐标系的原点，始边与x轴非负半轴重合，若角的终边所在直线的方程为，则的值为（

）A.B.C.3D.5【答案】C【解析】因为角的终边所在直线的方程为，在角的终边取一点，则，所以，则.故选：C.6.已知在上单调递增，则的取值范围是（

）A.B.C.D.【答案】B【解析】因为，，所以，要使得在上单调递增，则，解得，又由题意可知，所以，故选：B7.已知，且为第二象限角，则（

）A.B.C.D.【答案】D【解析】因为，所以，且.因为为第二象限角，所以.则，故选：D.8.已知函数，则的单调递增区间是（

）A.B.C.，D.，【答案】D【解析】，可化为，故单调增区间满足：，，解得，.令，，令，，，所以的单调递增区间是，.故选：D二、多选题9.下列命题为真命题的是（

）A.若是第一象限角，则B.终边经过点的角的集合是C.对，恒成立D.若，且，则【答案】ACD【解析】对于A，若是第一象限角，则，则，当时，，为第一象限角，当时，，为第三象限角，所以是第一或第三象限角，故；，故A正确；对于B，终边经过点的角的终边落在第一、三象限的角平分线上，即角的集合是，故B错误；对于C，当时，，则，故C正确；对于D，若，则，即若，所以，则，又，则，所以，故，D正确.故选：ACD.10.下列选项正确的是（

）A.若锐角的终边经过点，则B.△ABC中，“”是“△ABC是钝角三角形”的充要条件C.函数的对称中心是（）D.若，则【答案】ACD【解析】由三角函数定义知，，又都为锐角，所以，故A正确；在中，为钝角，所以三角形为钝角三角形，反之是钝角三角形，推不出为钝角，所以“”是“是钝角三角形”的充分不必要条件，故B错误；令或，，解得或，即，所以函数的对称中心是，故C正确；因为，所以，故D正确.故选：ACD11.已知函数，则下列结论正确的有（

）A.的最小正周期是B.的最小值是C.的对称轴是，D.在上单调递减【答案】ACD【解析】因为且，故的最小正周期是，A正确；B选项，当，即时，，当时，取得最小值，最小值为，当，即时，，故的最小值为，B错误；C选项，因为，，故，的对称轴是，，C正确；D选项，画出函数图象如下：可以看出函数在上单调递减，D正确.故选：ACD12.已知为上的奇函数，且当时，，记，下列结论中正确的是（

）A.为奇函数B.若的一个零点为，且，则C.若在上的所有零点和记为，则D.在区间的零点个数为5个【答案】ABD【解析】对于A项，由题意及诱导公式易知定义域为R，且，故A正确；对于B项，由题意可知，显然当时，，此时不满足题意，故，即，故B正确；对于C项，由上可知在时的零点即函数与的交点的横坐标，如图所示，上有三个交点，横坐标依次分别设为，，又为R上奇函数，所以上的零点分别为，其和为，故C错误；对于D项，结合C项，可知上的零点有五个，分别为，故D正确.故选：ABD三、填空题13.若扇形的弧长为8，圆心角为，则扇形的面积为.【答案】8【解析】.故答案为：814.已知，则，若，则.【答案】【解析】由题意：，得：，所以：，所以：，因为：，所以：，又因为：，得：，所以：，得：又因为：，所以：，，所以：.故答案为：；.15.已知函数，且，则.【答案】【解析】因为，所以，得到，又得到，故答案为：.16.已知函数的一部分图象如图所示，其中，，，则.【答案】【解析】根据图象可知，函数的最大值4和最小值0，得，解得，函数的最小正周期，即，当时取最大值4，即，，即，.故答案为：四、解答题17.已知.(1)求；(2)求的值.【解析】（1），，解得；（2）.18.如图，在平面直角坐标系中，为单位圆上一点，射线绕点O按逆时针方向旋转后交单位圆于点B，点B的横坐标为.(1)求的表达式，并求；(2)若，，求的值.【解析】（1）因为点，可得，所以，根据三角函数的定义，可得，所以.（2）由，可得，因为，所以，当时，即，可得；当时，即，可得，综上可得，的值为.19.函数的部分图象如图所示.(1)求函数的解析式；(2)将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数在上的值域.【解析】（1）观察图象可得，函数的周期，解得，即，由，得，即，，而，则，所以函数的解析式是.（2）将的图象向左平移个单位长度，可得到函数的图象，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，则，当时，，则，所以，因此在上的值域为.20.已知函数.(1)求函数的最小正周期、对称中心、单调减区间；(2)若定义在区间上的函数的最大值为6，最小值为，求实数的值.【解析】（1）因为,所以函数的最小正周期为，令,得,，所以函数的对称中心为,令，得，故函数的减区间为.（2），又当时，，则，若，则有，解得，当时，，解得，又明显不符合题意，故或者.21.已知函数.(1)求函数的最小正周期和单调递减区间；(2)设，若对任意的，存在，使得，求实数b的取值范围.【解析】（1）函数的最小正周期为，令，解得，所以函数的单调递减区间为.（2），由于，所以，故原题等价于对任意的，存在，使得，由题意首先，当时，，而，在上单调递减，在上单调递增，所以，解得，综上所述，实数b的取值范围为.22.已知函数，且满足函数图象相邻两条对称轴间的距离为，函数为奇函数.(1)求在区间上的最大值和最小值，并写出对应的值；(2)设函数在区间上的所有零点依次为，，，，求的值.【解析】（1）由题意，函数的周期，则，因为为奇函数，所以或，则，解得.由，则.所以.（2）由题意令，则，化简为，解得或，由，则所以.三角函数随堂检测1.800°是以下哪个象限的角（

）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【解析】因为，所以与的终边相同，而是第一象限的角，所以是第一象限的角，故选：A.2.已知角的终边经过点，且，则m等于（

）A.－3B.3C.D.【答案】D【解析】因为角的终边经过点，且，所以，解得，故选：D3.已知函数（且）的图象恒过定点，若角的终边经过点，则的值为（

）A.B.C.D.【答案】A【解析】当时，，故过定点，由三角函数定义可得：，.故选：A4.下列不等关系成立的是（

）A.B.C.D.