（复习）人教A版数学高一寒假提升学与练+随堂检测04 与指数函数、对数函数有关的复合函数及函数方程综合应用 （教师版）

第页专题04与指数函数、对数函数有关的复合函数及函数方程综合应用思维导图核心考点聚焦考点一、判断复合函数的单调性考点二、已知复合函数单调性求参数范围考点三、求复合函数的值域考点四、求复合函数的最值考点五、与复合函数有关的不等式问题考点六、判断复合函数的奇偶性考点七、零点问题考点八、函数嵌套问题考点九、共零点问题考点十、等高线问题知识点一、根式的概念和运算法则1、次方根的定义：若，则称为的次方根．为奇数时，正数的奇次方根有一个，是正数，记为；负数的奇次方根有一个，是负数，记为；露的奇次方根为零，记为．为偶数时，正数的偶次方根有两个，记为；负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记为．2、两个等式（1）当且时，；（2）知识点二、分数指数幂的概念和运算法则为避免讨论，我们约定，，，且为既约分数，分数指数幂可如下定义：知识点三、有理数指数幂的运算1、有理数指数幂的运算性质（1）（2）（3）当，为无理数时，是一个确定的实数，上述有理数指数幂的运算性质仍适用．2、指数幂的一般运算步骤有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质．在化简运算中，也要注意公式：，，，，的运用，能够简化运算．知识点四、无理数指数幂一般地，无理数指数幂（，为无理数）是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．【注意】（1）对于无理数指数幂，我们只需要了解两点：①它是一个确定的实数；②它是有理数指数幂无限逼近的结果．（2）定义了无理数指数幂之后，幂的指数就由原来的有理数范围扩充到了实数范围．知识点五、实数指数幂的运算性质①．②．③．知识点六、指数函数的图象及性质：时图象时图象图象性质①定义域，值域②，即时，，图象都经过点③，即时，等于底数④在定义域上是单调减函数④在定义域上是单调增函数⑤时，时，⑤时，时，⑥既不是奇函数，也不是偶函数知识点七、指数函数底数变化与图像分布规律（1）①，②，③，④，则：又即：时，（底大幂大）时，（2）特殊函数，，，的图像：知识点八、对数概念1、对数的概念如果，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：．其中叫做对数的底数，叫做真数．知识点诠释：对数式中各字母的取值范围是：且，，．2、对数（且）具有下列性质：（1）0和负数没有对数，即；（2）1的对数为0，即；（3）底的对数等于1，即．3、两种特殊的对数通常将以10为底的对数叫做常用对数，．以e（e是一个无理数，）为底的对数叫做自然对数，简记为．4、对数式与指数式的关系由定义可知：对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化．它们的关系可由下图表示．由此可见a，b，N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化．知识点九、对数的运算法则已知，（且，、）（1）正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和；推广：（2）两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数；（3）正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数；知识点十、对数公式1、对数恒等式：2、换底公式同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0，a≠1，M>0的前提下有：（1）令，则有，，即，即，即：．（2），令，则有，则有即，即，即当然，细心一些的同学会发现（1）可由（2）推出，但在解决某些问题（1）又有它的灵活性．而且由（2）还可以得到一个重要的结论：．知识点十一、对数函数的图象与性质图象性质定义域：值域：过定点，即时，在上增函数在上是减函数当时，，当时，当时，，当时，知识点十二、底数对对数函数图象的影响1、底数制约着图象的升降．如图知识点诠释：由于底数的取值范围制约着对数函数图象的升降（即函数的单调性），因此在解与对数函数单调性有关的问题时，必须考虑底数是大于1还是小于1，不要忽略．2、底数变化与图象变化的规律在同一坐标系内，当时，随a的增大，对数函数的图像愈靠近x轴；当时，对数函数的图象随a的增大而远离x轴．（见下图）知识点十三、反函数1、反函数的定义设分别为函数的定义域和值域，如果由函数所解得的也是一个函数（即对任意的一个，都有唯一的与之对应），那么就称函数是函数的反函数，记作，在中，是自变量，是的函数，习惯上改写成（）的形式．函数（）与函数（）为同一函数，因为自变量的取值范围即定义域都是B，对应法则都为．由定义可以看出，函数的定义域A正好是它的反函数的值域；函数的值域B正好是它的反函数的定义域．2、反函数的性质（1）互为反函数的两个函数的图象关于直线对称．（2）若函数图象上有一点，则必在其反函数图象上，反之，若在反函数图象上，则必在原函数图象上．知识点十四：函数的零点1、函数的零点（1）一般地，如果函数在实数处的值等于零，即，则叫做这个函数的零点.知识点诠释：①函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零；②函数的零点也就是函数的图象与轴交点的横坐标；③函数的零点就是方程的实数根．归纳：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．（2）二次函数的零点二次函数的零点个数，方程的实根个数见下表.判别式方程的根函数的零点两个不相等的实根两个零点两个相等的实根一个二重零点无实根无零点（3）二次函数零点的性质①二次函数的图象是连续的，当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号.②相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号.引伸：对任意函数，只要它的图象是连续不间断的，上述性质同样成立.2、函数零点的判定（1）利用函数零点存在性的判定定理如果函数在一个区间上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点，使，这个也就是方程的根.1、与指数函数、对数函数有关的复合函数，主要是指数函数、对数函数与一次函数、二次函数复合成的新函数，求新函数的单调性、奇偶性、最值、值域等问题，一般采用换元思想，把复杂的复合函数化成简单的初等函数．考点剖析考点一、判断复合函数的单调性例1．函数的单调递减区间是（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】对于，其开口向上，对称轴为，所以在上单调递减，在上单调递增，又在上单调递增，所以的单调递减区间为.故选：A.例2．函数的单调递增区间是（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】令在单调递减，单调递增，又函数单调递减，所以函数在单调递增，单调递减.故选：A.例3．函数的单调递增区间是（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】对于函数，解得或，故函数的定义域为，函数的开口向上，对称轴为；函数在上单调递增，根据复合函数单调性同增异减可知，的单调递增区间是.故选：D例4．函数的单调递减区间是（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】由，解得，故函数的定义域为，令，其在上单调递增，在上单调递减，又因为函数为减函数，所以函数的单调递减区间为.故选：A.考点二、已知复合函数单调性求参数范围例5．若函数在上单调递减，则实数的取值范围为（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】设，令，解得或，则的定义域为，因为二次函数的对称轴为，则其在单调递增，而外函数在上单调递减，故在单调递减，则实数的取值范围为，故选：B.例6．已知的值城为，且在上是增函数，则的范围是（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】设，由为定义在上的减函数，故在上恒成立，且在上是减函数，则，，故.故选：A.例7．已知函数在区间上是增函数，则的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意知函数由复合而成，在上为增函数，由复合函数的同增异减性，可知需为R上的增函数，故，∴，∴或，故选：D.例8．已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意知函数由复合而成，在R上是单调递减函数，故由在区间上是减函数，可知在区间上是增函数，故，即实数的取值范围是，故选：B考点三、求复合函数的值域例9．已知函数(1)求函数的值域；(2)解不等式．【解析】（1）因为的定义域为，则，令，则，又，，开口向上，对称轴为，所以当时，，所以函数的值域为.（2）因为，所以由得，得或，得或，所以不等式的解集为或.例10．已知函数（且，为常数）的图象经过点，.(1)求的值；(2)设函数，求在上的值域.【解析】（1）因为的图象经过点，，所以，两式相减得，又且，解得或（舍去），则.（2）由（1）得，因为函数在上单调递增，函数在上单调递增，所以在上单调递增，则，，故在上的值域为.例11．已知函数(1)若的值域为，求实数的取值范围；(2)若在内为单调函数，求实数的取值范围.【解析】（1）令，.的值域为能取的一切值，所以.（2）因为在内为单调函数，且在定义域内单调递减，所以在内也为单调函数，且时，当在内单调递增时，即函数的对称轴且，解得；当在内单调递减时，即函数的对称轴且，此时无解；综上所诉：实数的取值范围为.考点四、求复合函数的最值例12．已知函数是定义在上的偶函数，当时，.(1)求时，的解析式；(2)若存在，使得成立，求实数的取值范围.【解析】（1）因为函数是定义在上的偶函数，当时，，则时，则，所以.（2）当，则，对于，即，整理得，令，可得，原题意等价于存在，使得成立，且的图象开口向上，对称轴，可知在上单调递增，当时，取到最大值32，可得，解得，所以实数的取值范围为.例13．已知函数，且．(1)求的值；(2)证明：在上单调递增；(3)求在上的最小值．【解析】（1）依题意，，两边平方并化简得，所以.（2）任取，，由于在上单调递增，所以，所以，所以在上单调递增.（3），令，由于在上单调递增，所以，即，则，当时，，当时，，当时，.综上所述，时，最小值为；时，最小值为；时，最小值为.例14．已知函数，且）．(1)若函数的图象与函数的图象关于直线对称，且点在函数的图象上，求实数的值；(2)已知函数，．若的最大值为8，求实数的值．【解析】（1）因为函数，且）的图象与函数的图象关于直线对称，所以（，且），因为点在函数的图象上，所以，解得，或（舍去）；（2）．令．①当时，由，有，二次函数的对称轴为，所以最大值为，解得或（舍去）；②当时，由，有，二次函数的对称轴为，所以最大值为，解得或（舍去），综上，实数的值为或2．例15．已知，，m为实数，(1)当时，求函数的最大值；(2)求函数的最大值的解析式.【解析】（1），当时，.当，即时，函数的最大值是.（2），令，.则讨论对称轴.若，即时，在上单调递减，.若，即时，在上单调递增，在上单调递减，即.若，即时，在上单调递增，.综上，.考点五、与复合函数有关的不等式问题例16．函数，则关于的不等式的解集为.【答案】【解析】因为，是恒成立的，所以的定义域为R，，所以为奇函数，当时，为递增函数，又为递增函数，在其定义域上为增函数，故为增函数，而，所以在R上为增函数，所以可化为，所以，即，解得，故答案为：.例17．不等式的解集为．【答案】【解析】设函数，则应有，解得，所以，定义域为.又，所以，由，可得.因为以及均在上单调递增，所以，在上单调递增，所以，.综上所述，.所以，不等式的解集为.故答案为：.例18．若关于的不等式在上有解，则实数的最小值为．【答案】【解析】因为关于的不等式在上有解，所以关于的不等式在上有解，所以，，因为，所以，令，则，，令，，因为对勾函数在上单调递减，则，所以，当且仅当时取等号，所以，则，即实数的最小值为.故答案为：例19．不等式与不等式是同解不等式，则【答案】【解析】因为在上单调递增，则，即，即，解得，因为也是的解，所以，解得，此时，即，解得，满足题意，故故答案为：.考点六、判断复合函数的奇偶性例20．函数为奇函数，且，若，则．【答案】【解析】因为函数为奇函数，所以，所以，即，解得：或（舍去），故，因为，，则所以，又，所以.故答案为：例21．函数是定义在上的奇函数，则．【答案】【解析】由函数是定义在上的奇函数，则对任意的实数恒成立，即，对任意实数恒成立，可得对任意实数恒成立，可得，即经验证，此时为上的奇函数，满足题意．故答案为：．例22．若为偶函数，则.【答案】【解析】设，定义域为，则，所以函数为奇函数，又因为为偶函数所以函数为奇函数，得.故答案为：.考点七、零点问题例23．若不等式的解集为，则函数的零点为（

）A．和B．和C．2和D．和【答案】D【解析】因为的解集为，所以方程的两根分别为和2，且，则，解得，故函数，则与轴的交点坐标为和，所以零点为和.故选：D.例24．函数，则函数的所有零点之和为（

）A．0B．3C．10D．13【答案】D【解析】令，由得或，所以或，当时，或，当时，则或，解得，所以函数的所有零点之和为.故选：D.例25．已知函数，，的零点分别为，则（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】令，得，即；因为，易知在上单调递增，又因为，所以；，易知在上单调递增，又因为，，所以；所以.故选：B.考点八、函数嵌套问题26．已知函数若方程有4个不同的零点，且，则（

）A．10B．8C．6D．4【答案】A【解析】由题意，方程有4个不同的零点，即曲线与直线有4个不同的交点，如下图因为，所以由图知，且，可得：，∴，解得：，则，∴.故选：A.考点九、共零点问题例27．若关于的方程有三不等的实数根，，，且满足其中两根，，则的取值范围是A．B．，C．D．【解析】解：设，满足其中两根，，，（1），，，即，，，当时，有一个根，不满足题意，故，，即，解得，故选：．例28．已知函数，且（1）（2）（3），则的取值范围是A．B．C．D．【解析】解：由（1）（2）（3），得，解得，则，由（1），得．即．故选：．考点十、等高线问题例29．已知函数，若存在四个实数a，b，c，d，满足，，则的取值范围为（

）A．(0，+∞)B．C．D．【答案】C【解析】依题意，可得的图象如图所示：所以时，与的图象有四个交点，又因为，由图象及函数性质知:，易知:，，所以，又因为，所以，则.故选：C.例30．已知函数，若存在四个实数，，，，满足，，则的取值范围为（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】如图所示，由的图象可知，所以时，与的图象有四个交点，不妨假设，由图象及函数性质知：，易知：，，所以，，则．故选：C过关检测一、单选题1．函数的单调递减区间为（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】令，则t在上递减，在上递增，又在R上递增，所以的单调递减区间为，故选：B2．设函数，则关于x的不等式的解集为（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】函数中，对任意实数，，即函数的定义域为R，，即函数是偶函数，当时，，当且仅当时取等号，有，则，显然在上都递减，因此在上递减，在上递减，而函数在上递减，从而函数在上递减，则在上递增，不等式，于是，两边平方整理得，解得，所以不等式的解集.故选：C3．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（

）．A．B．C．D．【答案】C【解析】因为函数在上单调递减，令，则在上单调递增且恒大于，则，解得，所以实数的取值范围是.故选：C4．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】令，因为为增函数，函数在上单调递减，所以在上单调递减，且，所以，解得，故选：C5．已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】令，则二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，因为外层函数为上的减函数，函数在区间上单调递减，所以，函数在上为增函数，所以，，解得.故选：A.6．已知函数（且）在区间上单调递增，则a的取值范围为（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】由且，得为单调递减函数，由复合函数单调性法则得，又，解得．故选：C．7．已知定义在上的是单调函数，且对任意恒有，则函数的零点为（

）A．B．C．2D．4【答案】A【解析】根据题意，对任意，都有，即．因为是定义在上的单调函数，所以为定值，令，，则，由，得，，在上单调递增，所以是唯一解，则．由得，即函数的零点为．故选：A8．若二次函数的两个零点为2，3，则二次函数的零点是（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】的两个零点为2，3，，，令，得或，故选：B．二、多选题9．已知函数和在上的图象如图所示，则下列结论正确的是（

）A．方程有且只有6个不同的解B．方程有且只有3个不同的解C．方程有且只有5个不同的解D．方程有且只有4个不同的解【答案】ACD【解析】A选项，令，结合图象可得有3个不同的解，，，不妨设，则可知，，，由图可知有2个不同的解，有2个不同的解，有2个不同的解，即有6个不同的解，A正确；B选项，令，结合图象可得有2个不同的解，，不妨设，则可知，，由图可知有1个解，有3个不同的解，即有4个不同的解，B错误；C选项，令，结合图象可得有3个不同的解，，且，，，由图可知有1个解，有3个不同的解，有1个解，即有5个不同的解，C正确；D选项，令，结合图象可得有两个不同的解，不妨设，则可知，，由图可知有2个不同的解，有2个不同的解，即有4个不同的解，D正确．故选：ACD．10．已知函数，则下列说法正确的是（

）A．是偶函数B．是奇函数C．在上是增函数D．在上是减函数【答案】BC【解析】因为的定义域为：，则，，所以是奇函数，故A错误；B正确.，令，则在上单调递减，又因为在定义域上单调递减，由复合函数的单调性知，在在上是增函数，故C正确；D错误.故选：BC.11．已知函数（，为自然对数的底数），则（

）A．函数至多有2个零点B．，使得是R上的增函数C．当时，的值域为D．当时，方程有且只有1个实数根【答案】AD【解析】当时，，符合条件，故是函数的一个零点，当时，令，由韦达定理知，两个根之和为，故方程不可能有两个正根，也不可能有一正根，一个根为零，若方程有一负根和一正根，则，解得，即方程至多有一个正根，综上可知，函数至多有2个零点，故A正确；因为函数的图象开口向下，对称轴为，故在上单调递减，则不存在，使得是R上的增函数，故B错误；当时，，当时，函数的图象开口向下，对称轴为，故在上单调递减，所以，当时，则函数的值域为，不符合题意，故C错误；当时，，令，则方程，可化为，若，则，解得，若，则，解得或者，均不符合条件，故只有，即，此时只有为其根，故时，方程有且只有1个实数根，则D正确，故选：AD.12．给出下列结论，其中正确的结论是（

）A．函数的最大值为B．函数的单调递增区间是C．若，则的徝为1D．已知定义在上的奇函数在内有1010个零点，则函数的零点个数为2021【答案】CD【解析】对于A选项，，是R上的减函数，，即的最小值为，故A错误；对于B选项，由题意可得，即或，即函数的定义域为，又函数在上单调递增，所以函数的增区间为，故B错误；对于C选项，由，解得，，，，则，故C正确；对于D选项，因为定义在R上的奇函数在内有1010个零点，所以函数在内也有1010个零点，又，所以函数的零点个数为2021，故D正确.故选：CD.三、填空题13．已知函数，则满足不等式的的取值范围是.【答案】【解析】因为，所以其定义域为，又，所以为偶函数，当时，，因为和在上均单调递减，所以在上单调递减，又，所以可化为，所以，则，则或，解得或，所以不等式的解集为，故答案为：.14．已知a为正实数，且函数是奇函数．则的值域为．【答案】【解析】由题意，解得，故，经检验，符合题意，又，故，，故.故答案为：15．函数是定义在上的奇函数，并且当时，，那么．【答案】【解析】，所以.故答案为：16．若函数是定义在上偶函数，，则.【答案】6【解析】令，则的定义域为，关于原点对称，又，所以是上的奇函数，所以.故答案为：6四、解答题17．已知函数．(1)当时，求的值域；(2)若的最大值为9，求a的值．【解析】（1）由题设，若，则，在上递减，在上递增，则，在定义域上递增，则，所以的值域为.（2）令，则，又在定义域上递增，而的最大值为9，即，则开口向下且对称轴为，，所以.18．已知函数(1)若函数的定义域为，求实数的取值范围(2)若，求函数的值域【解析】（1）当时，，函数的定义域为，符合题意；当时，若函数的定义域为，则，解得，综上所述，实数的取值范围是；（2）若，则，由解得，为开口向下对称轴为的抛物线，所以当时有最大值，此时，当或时有最小值，此时无最小值，所以的值域为.19．已知函数(1)若的定义域为，求的取值范围.(2)若的值域为，求的取值范围.【解析】（1）由函数，要使得的定义域为，即恒成立，则满足，解得，所以实数的取值范围为.（2）设，要使得的值域为，即，当时，的值域为，此时，所以函数的值域为，符合题意.当时，要使得，则满足，解得，综上可得，实数的取值范围为.20．已知定义在上的偶函数和奇函数满足，(1)求的最小值.(2)若对任意的，恒成立，则实数的取值范围.【解析】（1）函数满足①，所以，由函数的奇偶性可得，②，由①+②得，，当且仅当，即时等号成立，所以函数的最小值为1.（2）因为对任意的，恒成立，即对任意的，恒成立，令，则函数在上为减函数，所以，所以.21．已知函数（）．(1)若关于的不等式的解集为，求的值；(2)已知，当时，恒成立，求实数的取值范围．【解析】（1）的解集为，则的解为或，故，解得，；（2），，即，设，，则，即，整理得到：，当时，最小为，故且，即22．已知函数．(1)求函数的最大值；(2)若关于的不等式对于任意的恒成立，求正实数的取值范围．【解析】（1）因为，令，可得，所以当且仅当，即时，函数取到最大值1．（2）由（1）可得：当且仅当，即时，函数取到最大值6，所以，即，且，解得，即，故实数的取值范围为．指数函数与对数函数随堂检测1.函数的零点所在的一个区间为（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为在上单调递增，所以函数至多有一个零点，因为，，所以，所以的零点所在的一个区间为，故选：B2.函数的图像大致为（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】函数，定义域为，，所以函数为偶函数，图像关于y轴对称，排除BC.当时，，，则有，排除D.故选：A3.函数f（x）＝loga（x2－4x－5）（a>1）的单调递增区间是（

）A．（－∞，－2）B．（－∞，－1）C．（2，＋∞）D．（5，＋∞）【答案】D【解析】根据题意，由x2－4x－5>0，得x<－1或x>5，设u＝x2－4x－5＝（x－2）2－9，易知u＝x2－4x－5的单调递增区间为（2，＋∞），而，则在定义域上是增函数，所以f（x）＝loga（x2－4x－5）的单调递增区间是（5，＋∞），故选：D.4.已知函数（，且），若对于任意恒成立，则函数的单调递增区间为（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】对于函数，开口向上，对称轴为，所以当时，，所以，，要使对于任意恒成立，则需在递减，所以，则在上递减.由于在上递减，在上递增，根据复合函数单调性同增异减可知，的单调递增区间是.故选：D5.（多选）已知a<b<0，则下列结论正确的是（

）A．a2<b2B．(