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文档简介
贵州省安顺市平坝区集圣中学2025届高考冲刺数学模拟试题注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.如图,在平行四边形中,对角线与交于点,且,则()A. B.C. D.2.已知,为两条不同直线,,,为三个不同平面,下列命题:①若,,则;②若,,则;③若,,则;④若,,则.其中正确命题序号为()A.②③ B.②③④ C.①④ D.①②③3.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来,构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是A. B. C. D.4.已知实数、满足不等式组,则的最大值为()A. B. C. D.5.若为虚数单位,则复数在复平面上对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限6.已知点在双曲线上,则该双曲线的离心率为()A. B. C. D.7.某几何体的三视图如图所示,其中正视图是边长为4的正三角形,俯视图是由边长为4的正三角形和一个半圆构成,则该几何体的体积为()A. B. C. D.8.已知,则()A.5 B. C.13 D.9.若点(2,k)到直线5x-12y+6=0的距离是4,则k的值是()A.1 B.-3 C.1或 D.-3或10.为了研究国民收入在国民之间的分配,避免贫富过分悬殊,美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线,如图所示.劳伦茨曲线为直线时,表示收入完全平等.劳伦茨曲线为折线时,表示收入完全不平等.记区域为不平等区域,表示其面积,为的面积,将称为基尼系数.对于下列说法:①越小,则国民分配越公平;②设劳伦茨曲线对应的函数为,则对,均有;③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为,则;④若某国家某年的劳伦茨曲线近似为,则.其中正确的是:A.①④ B.②③ C.①③④ D.①②④11.设,为非零向量,则“存在正数,使得”是“”的()A.既不充分也不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.充分不必要条件12.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题:在下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸,则平地降雨量是(注:①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;②一尺等于十寸;③台体的体积公式).A.2寸 B.3寸 C.4寸 D.5寸二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知在等差数列中,,,前n项和为,则________.14.我国古代数学名著《九章算术》对立体几何有深入的研究,从其中一些数学用语可见,譬如“憋臑”意指四个面都是直角三角形的三棱锥.某“憋臑”的三视图(图中网格纸上每个小正方形的边长为1)如图所示,已知几何体高为,则该几何体外接球的表面积为__________.15.在直三棱柱内有一个与其各面都相切的球O1,同时在三棱柱外有一个外接球.若,,,则球的表面积为______.16.已知等比数列满足,,则该数列的前5项的和为______________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)在三棱锥S-ABC中,∠BAC=∠SBA=∠SCA=90°,∠SAB=45∘,∠SAC=60°,D为棱AB的中点,SA=2(I)证明:SD⊥BC;(II)求直线SD与平面SBC所成角的正弦值.18.(12分)已知(1)当时,判断函数的极值点的个数;(2)记,若存在实数,使直线与函数的图象交于不同的两点,求证:.19.(12分)如图,在等腰梯形中,AD∥BC,,,,,分别为,,的中点,以为折痕将折起,使点到达点位置(平面).(1)若为直线上任意一点,证明:MH∥平面;(2)若直线与直线所成角为,求二面角的余弦值.20.(12分)在中,设、、分别为角、、的对边,记的面积为,且.(1)求角的大小;(2)若,,求的值.21.(12分)车工刘师傅利用数控车床为某公司加工一种高科技易损零件,对之前加工的100个零件的加工时间进行统计,结果如下:加工1个零件用时(分钟)20253035频数(个)15304015以加工这100个零件用时的频率代替概率.(1)求的分布列与数学期望;(2)刘师傅准备给几个徒弟做一个加工该零件的讲座,用时40分钟,另外他打算在讲座前、讲座后各加工1个该零件作示范.求刘师傅讲座及加工2个零件作示范的总时间不超过100分钟的概率.22.(10分)设函数.(1)若,求函数的值域;(2)设为的三个内角,若,求的值;
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】
画出图形,以为基底将向量进行分解后可得结果.【详解】画出图形,如下图.选取为基底,则,∴.故选C.【点睛】应用平面向量基本定理应注意的问题(1)只要两个向量不共线,就可以作为平面的一组基底,基底可以有无穷多组,在解决具体问题时,合理选择基底会给解题带来方便.(2)利用已知向量表示未知向量,实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算.2、C【解析】
根据直线与平面,平面与平面的位置关系进行判断即可.【详解】根据面面平行的性质以及判定定理可得,若,,则,故①正确;若,,平面可能相交,故②错误;若,,则可能平行,故③错误;由线面垂直的性质可得,④正确;故选:C【点睛】本题主要考查了判断直线与平面,平面与平面的位置关系,属于中档题.3、A【解析】
详解:由题意知,题干中所给的是榫头,是凸出的几何体,求得是卯眼的俯视图,卯眼是凹进去的,即俯视图中应有一不可见的长方形,且俯视图应为对称图形故俯视图为故选A.点睛:本题主要考查空间几何体的三视图,考查学生的空间想象能力,属于基础题。4、A【解析】
画出不等式组所表示的平面区域,结合图形确定目标函数的最优解,代入即可求解,得到答案.【详解】画出不等式组所表示平面区域,如图所示,由目标函数,化为直线,当直线过点A时,此时直线在y轴上的截距最大,目标函数取得最大值,又由,解得,所以目标函数的最大值为,故选A.【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题.其中解答中正确画出不等式组表示的可行域,利用“一画、二移、三求”,确定目标函数的最优解是解答的关键,着重考查了数形结合思想,及推理与计算能力,属于基础题.5、D【解析】
根据复数的运算,化简得到,再结合复数的表示,即可求解,得到答案.【详解】由题意,根据复数的运算,可得,所对应的点为位于第四象限.故选D.【点睛】本题主要考查了复数的运算,以及复数的几何意义,其中解答中熟记复数的运算法则,准确化简复数为代数形式是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.6、C【解析】
将点A坐标代入双曲线方程即可求出双曲线的实轴长和虚轴长,进而求得离心率.【详解】将,代入方程得,而双曲线的半实轴,所以,得离心率,故选C.【点睛】此题考查双曲线的标准方程和离心率的概念,属于基础题.7、A【解析】由题意得到该几何体是一个组合体,前半部分是一个高为底面是边长为4的等边三角形的三棱锥,后半部分是一个底面半径为2的半个圆锥,体积为故答案为A.点睛:思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系,遵循“长对正,高平齐,宽相等”的基本原则,其内涵为正视图的高是几何体的高,长是几何体的长;俯视图的长是几何体的长,宽是几何体的宽;侧视图的高是几何体的高,宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法:1、首先看俯视图,根据俯视图画出几何体地面的直观图;2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度;3、画出整体,然后再根据三视图进行调整.8、C【解析】
先化简复数,再求,最后求即可.【详解】解:,,故选:C【点睛】考查复数的运算,是基础题.9、D【解析】
由题得,解方程即得k的值.【详解】由题得,解方程即得k=-3或.故答案为:D【点睛】(1)本题主要考查点到直线的距离公式,意在考查学生对该知识的掌握水平和计算推理能力.(2)点到直线的距离.10、A【解析】
对于①,根据基尼系数公式,可得基尼系数越小,不平等区域的面积越小,国民分配越公平,所以①正确.对于②,根据劳伦茨曲线为一条凹向横轴的曲线,由图得,均有,可得,所以②错误.对于③,因为,所以,所以③错误.对于④,因为,所以,所以④正确.故选A.11、D【解析】
充分性中,由向量数乘的几何意义得,再由数量积运算即可说明成立;必要性中,由数量积运算可得,不一定有正数,使得,所以不成立,即可得答案.【详解】充分性:若存在正数,使得,则,,得证;必要性:若,则,不一定有正数,使得,故不成立;所以是充分不必要条件故选:D【点睛】本题考查平面向量数量积的运算,向量数乘的几何意义,还考查了充分必要条件的判定,属于简单题.12、B【解析】试题分析:根据题意可得平地降雨量,故选B.考点:1.实际应用问题;2.圆台的体积.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、39【解析】
设等差数列公差为d,首项为,再利用基本量法列式求解公差与首项,进而求得即可.【详解】设等差数列公差为d,首项为,根据题意可得,解得,所以.故答案为:39【点睛】本题考查等差数列的基本量计算以及前n项和的公式,属于基础题.14、【解析】三视图还原如下图:,由于每个面是直角,显然外接球球心O在AC的中点.所以,,填。【点睛】三视图还原,当出现三个尖点在一个位置时,我们常用“揪尖法”。外接球球心到各个顶点的距离相等,而直角三角形斜边上的中点到各顶点的距离相等,所以本题的球心为AC中点。15、【解析】
先求出球O1的半径,再求出球的半径,即得球的表面积.【详解】解:,,,,设球O1的半径为,由题得,所以棱柱的侧棱为.由题得棱柱外接球的直径为,所以外接球的半径为,所以球的表面积为.故答案为:【点睛】本题主要考查几何体的内切球和外接球问题,考查球的表面积的计算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,属于中档题.16、31【解析】设,可化为,得,,,三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(I)证明见解析;(II)1【解析】
(I)过D作DE⊥BC于E,连接SE,根据勾股定理得到SE⊥BC,DE⊥BC得到BC⊥平面SED,得到证明.(II)过点D作DF⊥SE于F,证明DF⊥平面SBC,故∠ESD为直线SD与平面SBC所成角,计算夹角得到答案.【详解】(I)过D作DE⊥BC于E,连接SE,根据角度的垂直关系易知:AC=1,AB=SB=2,CS=CB=3,故DE=BDsin∠CBD=6根据余弦定理:13+SE2-2故SE⊥BC,DE⊥BC,SE∩DE=E,故BC⊥平面SED,SD⊂平面SED,故SD⊥BC.(II)过点D作DF⊥SE于F,BC⊥平面SED,DF⊂平面SED,故DF⊥BC,DF⊥SE,BC∩SE=E,故DF⊥平面SBC,故∠ESD为直线SD与平面SBC所成角,SD2=S故sin∠ESD=【点睛】本题考查了线线垂直,线面夹角,意在考查学生的计算能力和空间想象能力.18、(1)没有极值点;(2)证明见解析【解析】
(1)求导可得,再求导可得,则在递增,则,从而在递增,即可判断;(2)转化问题为存在且,使,可得,由(1)可知,即,则,整理可得,则,设,则可整理为,设,利用导函数可得,即可求证.【详解】(1)当时,,,所以在递增,所以,所以在递增,所以函数没有极值点.(2)由题,,若存在实数,使直线与函数的图象交于不同的两点,即存在且,使.由可得,,由(1)可知,可得.,所以,即,下面证明,只需证明:,令,则证,即.设,那么,所以,所以,即【点睛】本题考查利用导函数求函数的极值点,考查利用导函数解决双变量问题,考查运算能力与推理论证能力.19、(1)见解析(2)【解析】
(1)根据中位线证明平面平面,即可证明MH∥平面;(2)以,,为,,轴建立空间直角坐标系,找到点的坐标代入公式即可计算二面角的余弦值.【详解】(1)证明:连接,∵,,分别为,,的中点,∴,又∵平面,平面,∴平面,同理,平面,∵平面,平面,,∴平面平面,∵平面,∴平面.(2)连接,在和中,由余弦定理可得,,由与互补,,,可解得,于是,∴,,∵,直线与直线所成角为,∴,又,∴,即,∴平面,∴平面平面,∵为中点,,∴平面,如图所示,分别以,,为,,轴建立空间直角坐标系,则,,,,.设平面的法向量为,∴,即.令,则,,可得平面的一个法向量为.又平面的一个法向量为,∴,∴二面角的余弦值为.【点睛】此题考查线面平行,建系通过坐标求二面角等知识点,属于一般性题目.20、(1);(2)【解析】
(1)由三角形面积公式,平面向量数量积的运算可得,结合范围,可求,进
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