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文档简介

安徽省淮南市2025届高三冲刺模拟数学试卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知函数若函数在上零点最多,则实数的取值范围是()A. B. C. D.2.已知偶函数在区间内单调递减,,,,则,,满足()A. B. C. D.3.已知实数满足线性约束条件,则的取值范围为()A.(-2,-1] B.(-1,4] C.[-2,4) D.[0,4]4.设点,P为曲线上动点,若点A,P间距离的最小值为,则实数t的值为()A. B. C. D.5.以下四个命题:①两个随机变量的线性相关性越强,相关系数的绝对值越接近1;②在回归分析中,可用相关指数的值判断拟合效果,越小,模型的拟合效果越好;③若数据的方差为1,则的方差为4;④已知一组具有线性相关关系的数据,其线性回归方程,则“满足线性回归方程”是“,”的充要条件;其中真命题的个数为()A.4 B.3 C.2 D.16.在条件下,目标函数的最大值为40,则的最小值是()A. B. C. D.27.已知锐角满足则()A. B. C. D.8.设,则(

)A.10 B.11 C.12 D.139.高三珠海一模中,经抽样分析,全市理科数学成绩X近似服从正态分布,且.从中随机抽取参加此次考试的学生500名,估计理科数学成绩不低于110分的学生人数约为()A.40 B.60 C.80 D.10010.在平面直角坐标系中,已知角的顶点与原点重合,始边与轴的非负半轴重合,终边落在直线上,则()A. B. C. D.11.已知a>0,b>0,a+b=1,若α=,则的最小值是()A.3 B.4 C.5 D.612.双曲线x2a2A.y=±2x B.y=±3x二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.某种牛肉干每袋的质量服从正态分布,质检部门的检测数据显示:该正态分布为,.某旅游团游客共购买这种牛肉干100袋,估计其中质量低于的袋数大约是_____袋.14.已知,为正实数,且,则的最小值为________________.15.二项式的展开式中项的系数为_____.16.已知向量,,且,则________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数(为常数)(Ⅰ)当时,求的单调区间;(Ⅱ)若为增函数,求实数的取值范围.18.(12分)已知函数(1)解不等式;(2)若函数,若对于任意的,都存在,使得成立,求实数的取值范围.19.(12分)在三棱锥S-ABC中,∠BAC=∠SBA=∠SCA=90°,∠SAB=45∘,∠SAC=60°,D为棱AB的中点,SA=2(I)证明:SD⊥BC;(II)求直线SD与平面SBC所成角的正弦值.20.(12分)为调研高中生的作文水平.在某市普通高中的某次联考中,参考的文科生与理科生人数之比为,且成绩分布在的范围内,规定分数在50以上(含50)的作文被评为“优秀作文”,按文理科用分层抽样的方法抽取400人的成绩作为样本,得到成绩的频率分布直方图,如图所示.其中构成以2为公比的等比数列.(1)求的值;(2)填写下面列联表,能否在犯错误的概率不超过0.01的情况下认为“获得优秀作文”与“学生的文理科”有关?文科生理科生合计获奖6不获奖合计400(3)将上述调查所得的频率视为概率,现从全市参考学生中,任意抽取2名学生,记“获得优秀作文”的学生人数为,求的分布列及数学期望.附:,其中.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82821.(12分)函数,且恒成立.(1)求实数的集合;(2)当时,判断图象与图象的交点个数,并证明.(参考数据:)22.(10分)某商场为改进服务质量,在进场购物的顾客中随机抽取了人进行问卷调查.调查后,就顾客“购物体验”的满意度统计如下:满意不满意男女是否有的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关?若在购物体验满意的问卷顾客中按照性别分层抽取了人发放价值元的购物券.若在获得了元购物券的人中随机抽取人赠其纪念品,求获得纪念品的人中仅有人是女顾客的概率.附表及公式:.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

将函数的零点个数问题转化为函数与直线的交点的个数问题,画出函数的图象,易知直线过定点,故与在时的图象必有两个交点,故只需与在时的图象有两个交点,再与切线问题相结合,即可求解.【详解】由图知与有个公共点即可,即,当设切点,则,.故选:D.【点睛】本题考查了函数的零点个数的问题,曲线的切线问题,注意运用转化思想和数形结合思想,属于较难的压轴题.2、D【解析】

首先由函数为偶函数,可得函数在内单调递增,再由,即可判定大小【详解】因为偶函数在减,所以在上增,,,,∴.故选:D【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性,不同类型的数比较大小,应找一个中间数,通过它实现大小关系的传递,属于中档题.3、B【解析】

作出可行域,表示可行域内点与定点连线斜率,观察可行域可得最小值.【详解】作出可行域,如图阴影部分(含边界),表示可行域内点与定点连线斜率,,,过与直线平行的直线斜率为-1,∴.故选:B.【点睛】本题考查简单的非线性规划.解题关键是理解非线性目标函数的几何意义,本题表示动点与定点连线斜率,由直线与可行域的关系可得结论.4、C【解析】

设,求,作为的函数,其最小值是6,利用导数知识求的最小值.【详解】设,则,记,,易知是增函数,且的值域是,∴的唯一解,且时,,时,,即,由题意,而,,∴,解得,.∴.故选:C.【点睛】本题考查导数的应用,考查用导数求最值.解题时对和的关系的处理是解题关键.5、C【解析】

①根据线性相关性与r的关系进行判断,

②根据相关指数的值的性质进行判断,

③根据方差关系进行判断,

④根据点满足回归直线方程,但点不一定就是这一组数据的中心点,而回归直线必过样本中心点,可进行判断.【详解】①若两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数r的绝对值越接近于1,故①正确;

②用相关指数的值判断模型的拟合效果,越大,模型的拟合效果越好,故②错误;

③若统计数据的方差为1,则的方差为,故③正确;

④因为点满足回归直线方程,但点不一定就是这一组数据的中心点,即,不一定成立,而回归直线必过样本中心点,所以当,时,点必满足线性回归方程;因此“满足线性回归方程”是“,”必要不充分条件.故④错误;

所以正确的命题有①③.

故选:C.【点睛】本题考查两个随机变量的相关性,拟合性检验,两个线性相关的变量间的方差的关系,以及两个变量的线性回归方程,注意理解每一个量的定义,属于基础题.6、B【解析】

画出可行域和目标函数,根据平移得到最值点,再利用均值不等式得到答案.【详解】如图所示,画出可行域和目标函数,根据图像知:当时,有最大值为,即,故..当,即时等号成立.故选:.【点睛】本题考查了线性规划中根据最值求参数,均值不等式,意在考查学生的综合应用能力.7、C【解析】

利用代入计算即可.【详解】由已知,,因为锐角,所以,,即.故选:C.【点睛】本题考查二倍角的正弦、余弦公式的应用,考查学生的运算能力,是一道基础题.8、B【解析】

根据题中给出的分段函数,只要将问题转化为求x≥10内的函数值,代入即可求出其值.【详解】∵f(x),∴f(5)=f[f(1)]=f(9)=f[f(15)]=f(13)=1.故选:B.【点睛】本题主要考查了分段函数中求函数的值,属于基础题.9、D【解析】

由正态分布的性质,根据题意,得到,求出概率,再由题中数据,即可求出结果.【详解】由题意,成绩X近似服从正态分布,则正态分布曲线的对称轴为,根据正态分布曲线的对称性,求得,所以该市某校有500人中,估计该校数学成绩不低于110分的人数为人,故选:.【点睛】本题考查正态分布的图象和性质,考查学生分析问题的能力,难度容易.10、C【解析】

利用诱导公式以及二倍角公式,将化简为关于的形式,结合终边所在的直线可知的值,从而可求的值.【详解】因为,且,所以.故选:C.【点睛】本题考查三角函数中的诱导公式以及三角恒等变换中的二倍角公式,属于给角求值类型的问题,难度一般.求解值的两种方法:(1)分别求解出的值,再求出结果;(2)将变形为,利用的值求出结果.11、C【解析】

根据题意,将a、b代入,利用基本不等式求出最小值即可.【详解】∵a>0,b>0,a+b=1,∴,当且仅当时取“=”号.

答案:C【点睛】本题考查基本不等式的应用,“1”的应用,利用基本不等式求最值时,一定要正确理解和掌握“一正,二定,三相等”的内涵:一正是首先要判断参数是否为正;二定是其次要看和或积是否为定值(和定积最大,积定和最小);三相等是最后一定要验证等号能否成立,属于基础题.12、A【解析】分析:根据离心率得a,c关系,进而得a,b关系,再根据双曲线方程求渐近线方程,得结果.详解:∵e=因为渐近线方程为y=±bax点睛:已知双曲线方程x2a2二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、1【解析】

根据正态分布对称性,求得质量低于的袋数的估计值.【详解】由于,所以,所以袋牛肉干中,质量低于的袋数大约是袋.故答案为:【点睛】本小题主要考查正态分布对称性的应用,属于基础题.14、【解析】

由,为正实数,且,可知,于是,可得,再利用基本不等式即可得出结果.【详解】解:,为正实数,且,可知,,.当且仅当时取等号.的最小值为.故答案为:.【点睛】本题考查了基本不等式的性质应用,恰当变形是解题的关键,属于中档题.15、15【解析】

由题得,,令,解得,代入可得展开式中含x6项的系数.【详解】由题得,,令,解得,所以二项式的展开式中项的系数为.故答案为:15【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用,考查了利用通项公式去求展开式中某项的系数问题.16、【解析】

根据垂直向量的坐标表示可得出关于实数的等式,即可求得实数的值.【详解】,且,则,解得.故答案为:.【点睛】本题考查利用向量垂直求参数,涉及垂直向量的坐标表示,考查计算能力,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(Ⅰ)单调递增区间为,;单调递减区间为;(Ⅱ).【解析】

(Ⅰ)对函数进行求导,利用导数判断函数的单调性即可;(Ⅱ)对函数进行求导,由题意知,为增函数等价于在区间恒成立,利用分离参数法和基本不等式求最值即可求出实数的取值范围.【详解】(Ⅰ)由题意知,函数的定义域为,当时,,令,得,或,所以,随的变化情况如下表:递增递减递增的单调递增区间为,,单调递减区间为.(Ⅱ)由题意得在区间恒成立,即在区间恒成立.,当且仅当,即时等号成立.所以,所以的取值范围是.【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间、利用分离参数法和基本不等式求最值求参数的取值范围;考查运算求解能力和逻辑推理能力;利用导数把函数单调性问题转化为不等式恒成立问题是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.18、(1)(2)【解析】

(1)将表示为分段函数的形式,由此求得不等式的解集.(2)利用绝对值三角不等式,求得的取值范围,根据分段函数解析式,求得的取值范围,结合题意列不等式,解不等式求得的取值范围.【详解】(1),由得或或;解得.故所求解集为.(2),即.由(1)知,所以,即.∴,∴.【点睛】本小题考查了绝对值不等式,绝对值三角不等式和函数最值问题,考查运算求解能力,推理论证能力,化归与转化思想.19、(I)证明见解析;(II)1【解析】

(I)过D作DE⊥BC于E,连接SE,根据勾股定理得到SE⊥BC,DE⊥BC得到BC⊥平面SED,得到证明.(II)过点D作DF⊥SE于F,证明DF⊥平面SBC,故∠ESD为直线SD与平面SBC所成角,计算夹角得到答案.【详解】(I)过D作DE⊥BC于E,连接SE,根据角度的垂直关系易知:AC=1,AB=SB=2,CS=CB=3,故DE=BDsin∠CBD=6根据余弦定理:13+SE2-2故SE⊥BC,DE⊥BC,SE∩DE=E,故BC⊥平面SED,SD⊂平面SED,故SD⊥BC.(II)过点D作DF⊥SE于F,BC⊥平面SED,DF⊂平面SED,故DF⊥BC,DF⊥SE,BC∩SE=E,故DF⊥平面SBC,故∠ESD为直线SD与平面SBC所成角,SD2=S故sin∠ESD=【点睛】本题考查了线线垂直,线面夹角,意在考查学生的计算能力和空间想象能力.20、(1),,.(2)填表见解析;在犯错误的概率不超过0.01的情况下,不能认为“获得优秀作文”与“学生的文理科”有关(3)详见解析【解析】

(1)根据频率分步直方图和构成以2为公比的等比数列,即可得解;(2)由频率分步直方图算出相应的频数即可填写列联表,再用的计算公式运算即可;(3)获奖的概率为,随机变量,再根据二项分布即可求出其分布列与期望.【详解】解:(1)由频率分布直方图可知,,因为构成以2为公比的等比数列,所以,解得,所以,.故,,.(2)获奖的人数为人,因为参考的文科生与理科生人数之比为,所以400人中文科生的数量为,理科生的数量为.由表可知,获奖的文科生有6人,所以获奖的理科生有人,不获奖的文科生有人.于是可以得到列联表如下:文科生理科生合计获奖61420不获奖74306380合计80320400所以在犯错误的概率不超过0.01的情况下,不能认为“获得优秀作文”与“学生的文理科”有关.(3)由(2)可知,获奖的概率为,的可能取值为0,1,2,,,,分布列如下:012数学期望为.【点睛】本题考查频率分布直方图、统计案例和离散型随机变量的分布列与期望,考查学生的阅读理解能力和计算能力,属于中档题.21、(1);(2)2个,证明见解析【解析】

(1)要恒成立,只要的最小值大于或等于零即可,所以只要讨论求解看是否有最小值;(2)将图像与图像的交点个数转化为方程实数解的个数问题,然后构造函数,再利用导数讨论此函数零点的个数.【详解】(1)的定义域为,因为,1°当时,在上单调递减,时,使得,与条件矛盾

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