山东省烟台市2022-2023学年高三上学期数学期末试卷

山东省烟台市2022-2023学年高三上学期数学期末试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、单选题1．若集合A={x|y=x}，B={x|xA．{x|0<x<1} B．{x|0≤x<1}C．{x|0<x<2} D．{x|0≤x<2}2．已知a，b∈R，则“a>b”的一个充分不必要条件为（）A．a2>b2 B．lna>ln3．过点(0，3)且与曲线A．x−y−3=0 B．x−y+3=0 C．x+y+3=0 D．x+y−3=04．米斗是古代官仓、米行等用来称量粮食的器具，鉴于其储物功能以及吉祥富足的寓意，现今多在超市、粮店等广泛使用.如图为一个正四棱台形米斗（忽略其厚度），其上、下底面正方形边长分别为30cm、20cm，侧棱长为511cm，若将该米斗盛满大米（沿着上底面刮平后不溢出），设每立方分米的大米重A．6.6千克 B．6.8千克 C．7.5．设A，B分别为椭圆C：x2a2+y2bA．3−12 B．3−1 C．26．勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.在如图所示的勒洛三角形中，已知AB=2，P为弧AC上的点且∠PBC=45°，则BP⋅A．4−2 B．4+2 C．4−227．过直线2x−y+1=0上一点P作圆(x−2)2+y2=4的两条切线PA，PBA．0 B．35 C．±358．已知定义在R上的函数f(x)满足：f(x−π2)为偶函数，且f(x)=−8sinx，A．−7π B．−6π C．−7π2 二、多选题9．如图是某正方体的平面展开图，则在该正方体中（）A．AB．A1BC．A1B与D．A1B与平面A10．已知函数f(x)=sinx−acosA．f(x)的最小正周期为2πB．f(x)在[−πC．f(x)的图象关于点(πD．若f(x1)+f(x2)=0，且f11．已知a>0，b>0，且a+2b=1，则（）A．ab≤18 C．sina2+2b<112．已知过抛物线C：y2=4x焦点F的直线l交C于A，B两点，交C的准线于点M，其中B点在线段AM上，A．当k=1时，|AB|=8 B．当k=22时，C．存在k使得∠AOB=90∘ D．存在k三、填空题13．已知2a=3b14．已知向量a=(sinθ，cosθ)，b=(3，15．“0，1数列”是每一项均为0或1的数列，在通信技术中应用广泛.设A是一个“0，1数列”，定义数列f(A)：数列A中每个0都变为“1，0，1”，A中每个1都变为“0，1，0”，所得到的新数列.例如数列A：1，0，则数列f(A)：0，1，0，1，0，1.已知数列A1：1，0，1，0，1，记数列Ak+1=f(Ak)，16．在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA1=2，M为侧棱B四、解答题17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acos（1）求A；（2）若AD=2DC，BD=3，求18．已知数列{an}和{bn}的各项均不为零，Sn是数列{an}的前n项和，且（1）求数列{an}（2）设cn=anbn，求数列19．如图，△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，△BCD是等边三角形，BC=2，AD=7（1）求证：BC⊥AD；（2）求平面ABD与平面BCD夹角的余弦值.20．某工厂拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的上端为半球形，下部为圆柱形，该容器的体积为160π3立方米，且l≥6r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分侧面的建造费用为每平方米2.25千元，半球形部分以及圆柱底面每平方米建造费用为m(m>2.25)（1）写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；（2）求该容器的建造费用最小时的r.21．已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0，b>0)的焦距为25，A，（1）求双曲线C的方程；（2）过C的右焦点F且斜率不为0的直线l交C于两点M，N，在x轴上是否存在一定点D，使得DM⋅DN为定值？若存在，求定点22．已知a>0，f(x)=xex−a(x2+2x)，（1）讨论函数f(x)的单调性；（2）若存在a使得f'(x)≥b−2a对任意x恒成立，求实数

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】A={x|y=xx2−x−2<0⇒(x+1)(x−2)<0故B={x|x∴A∩B={x|0≤x<2}.故答案为：D.

【分析】求出集合A、B，然后进行交集的运算即可得答案.2．【答案】B【解析】【解答】A：取a=−2，b=1，满足a2>bB：由对数函数的定义域和单调性可知若lna>lnb，则a>b；若a>b，lna，lnC：取a=−2，b=1，满足1b>1D：由指数函数的单调性可得若2a>2b，则a>b；若a>b，则2a故答案为：B

【分析】利用赋值法可判断A、C；由对数函数的定义域和单调性可判断B；由指数函数的单调性可判断D.3．【答案】B【解析】【解答】由y=x3−2x+1设切点坐标为(x0，x0由切线过点(0，3)，代入切线方程解得x0=−1，则切线方程为故答案为：B

【分析】设切点坐标为(x0，4．【答案】C【解析】【解答】设该正棱台为ABCD−A1B1C易知四边形AA1C1C为等腰梯形，且AC=30分别过点A1、C1在平面AA1C1C内作A由等腰梯形的几何性质可得AA1=CC1所以，Rt△AA1E≌Rt△C因为A1C1故四边形A1C1FE为矩形，则所以，A1E=A所以，该米斗的体积为V=1所以，该米斗所盛大米的质量为9.故答案为：C.

【分析】由棱台的结构特征结合勾股定理可求出正四棱台的高，再根据棱台的体积公式可求出该米斗所盛大米的质量.5．【答案】A【解析】【解答】由题意可得A(所以直线AB的方程l为y−b0−b=x−0所以F到直线AB的距离d=|−cb−ab|a2+又因为椭圆中a2=b2+所以联立①②③得2e2+2e−1=0又因为e>0，所以e=3故答案为：A

【分析】先求出A，B，F的坐标，利用F到直线AB的距离建立等式关系，结合a，b，c的关系以及离心率的公式即可求解出答案.6．【答案】C【解析】【解答】以B为坐标原点，BC为x轴，垂直于BC方向为y，建立平面直角坐标系，

因为∠PBC=45°，PB=2，所以P(2cos且B(0，所以BP⋅故答案为：C.

【分析】以B为坐标原点，BC为x轴，垂直于BC方向为y，建立平面直角坐标系，求出P，B，C的坐标，进而求出BP→，CP7．【答案】D【解析】【解答】如下图，过直线2x−y+1=0上一点P作圆(x−2)2+y2=4设圆心C(2，0)，连接AC，可得△PAC≅△PBC，PA⋅PB=0所以|PA|=|AC|=2，所以|PC|=2因为点P在直线2x−y+1=0上，所以设P(a，2a+1)，|PC|=(a−2)2+故答案为：D.

【分析】求出圆的圆心，利用两条切线垂直得|PA|=|AC|=2，则|PC|=22+8．【答案】A【解析】【解答】因为f(x−π2)为偶函数，所以f(x)所以当x∈(−π，0)时，当x∈(0，π)时，x−π∈(−π，当x∈(π，2π)时，x−π∈(0，当x∈(2π，3π)时，x−π∈(π，当x∈(−π，0)时，x+π∈(0，……函数g(x)=lg|x+π2|f(x)，f(x)，g(x)均关于x=−π所以函数y=f(x)−g(x)的所有零点之和为：7⋅(−π故答案为：A.

【分析】由f(x−π2)为偶函数，得f(x)关于x=−π2对称，函数g(x)=lg|x+π2|为y=lg9．【答案】B,C【解析】【解答】将展开图合成空间图形如下图并连接AD1，∵A∴A1D1//BC，A若A1B//∵A1B//CD1，CD1∴A1B//设正方体棱长为1，则D1C=CB故∠B1CD1=60∘，而以D为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则A(1，则AC=(−1设平面AB1C的一个方向量m即−x+y=0y+z=0，令y=1，则x=1，z=−1设A1B与平面AB则sinα=|故答案为：BC.

【分析】把平面展开图还原几何体，以D为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，利用坐标向量，根据空间向量的坐标运算，逐项进行判断可得答案.10．【答案】A,C,D【解析】【解答】因为函数f(x)=sinx−acos所以f(0)=f(−π3)，即−a=f(x)=sin且f(−π对于A，T=2π，A符合题意；对于B，x∈[−π3，π3]，所以x−π对于C，f(π对于D，若f(x1)+f(可得x1−π3=−x1+x2=且f'(x)=2cos(x−π3)的半周期为π故答案为：ACD.

【分析】由f(0)=f(−π3)解得a=11．【答案】A,C,D【解析】【解答】a>0，b>0，且a+2b=1，所以ab=1(1B符合题意；要证sina证sina即证sina由a>0，b>0，且a+2b=1，知0<a<1，所以f(C符合题意；要证lna−即证lna+1<因为lnx≤x−1<x<x+1≤所以lna+1≤a≤前后取得等号条件分别是a=0和a=1，所以不同时取得等号，D选项正确；故答案为：ACD.

【分析】利用基本不等式可判断A，B；利用分析法可判断C，D.12．【答案】A,B,D【解析】【解答】对于A.当k=1时，过抛物线y2=4x的焦点F(1，0)联立方程组y=x−1y2=4x，整理可得：x由抛物线的定义：|AB对于B.当k=22时，过抛物线y2=4x的焦点F(1，0联立方程组y=22(x−1)y2=4x所以A(2又因为直线y=22(x−1)与抛物线的准线则|BM|=(−1−12对于C.设过抛物线y2=4x的焦点F(1，0)k2x2y1所以x1x2+y1y2=1−4=−3对于D.设过抛物线y2=4x的焦点F(1，联立方程组y=k(x−1)y2y1若∠AOB=120∘，因为OA⋅OB=则(x12+y即：x1x2[x1x故存在k使得∠AOB=120故答案为：ABD.

【分析】由抛物线的定义，过抛物线的焦点的弦长|AB|=x113．【答案】1【解析】【解答】由2a=3b=6所以1a故答案为：1。

【分析】利用已知条件结合指数与对数的互化公式，再利用换底公式和对数的运算法则，进而得出1a14．【答案】3【解析】【解答】已知向量a=(sinθ，cosθ)，b∴sin故答案为：3

【分析】根据已知条件，结合向量平行的性质，以及三角函数的恒等变换，即可求解出sin15．【答案】67【解析】【解答】依题意，可知经过一次变换A→f(A)，每个1变成3项，其中2个0，1个1；每个0变成3项，其中2个1，1个0，因为数列A1所以A2=f(A1)A3=f(A2)A4=f(A3)所以数列A4的所有项之和为67故答案为：67.

【分析】根据给定的定义写出A2，A3，A416．【答案】1【解析】【解答】建立如图所示的空间直角坐标系，C(且x=0和z=2不同时成立，CM因为|CM所以有CM所以△MCD1是直角三角形，于是设平面MCD1的法向量为因此有n⋅取x1=−1，则yND1=(−x，0d=|三棱锥N−MCD1体积为因为0≤x≤1，所以当x=1，z=0时，V有最大值，显然满足x=0和即Vmax故答案为：1

【分析】建立空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，由勾股定理可得△MCD1是直角三角形，求出平面MCD1的法向量，利用向量法可求出点N到平面17．【答案】（1）解：由正弦定理可得sinA因为A+B+C=π，所以sinA即sinA整理得：sinA因为0<C<π，所以sinC≠0，所以tan因为0<A<π，所以A=π（2）解：在△ABD中，由余弦定理得：BD即9=AB整理得AB⋅AD≤9(2+2)所以S△ABD因为AD=2DC，所以所以△ABC面积的最大值为27(2【解析】【分析】（1）直接利用正弦定理和两角和的正弦公式可求出tanA=1，结合0<A<π，可得A的值；

（2）由余弦定理结合基本不等式可得AB⋅AD的最大值，再根据三角形的面积公式可求出△ABC18．【答案】（1）解：因为anan+1两式相减得an又因为an≠0，所以所以数列{a2n−1}因为a1=1，所以在anan+1所以a2n−1=1+2(n−1)=2n−1，所以an对于数列{bn}，因为bn+1=所以数列{bn}（2）解：由cn有Tn2T两式相减得，−T所以Tn【解析】【分析】（1）由anan+1=2Sn(n∈N*)，得an−1an=2Sn−1(n≥2)，可得an+1−an−1=2(n≥2)，得数列{a2n−1}和{a2n}19．【答案】（1）证明：取BC中点O，连接OA，OD，因为△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，所以OA⊥BC.因为△BCD是等边三角形，所以OD⊥BC.OA∩OD=O，OA⊂平面AOD，OD⊂平面AOD，所以BC⊥平面AOD.因为AD⊂平面AOD，故BC⊥AD.（2）解：在△AOD中，AO=1，OD=3，AD=cos∠AOD=−32如图，以OA，OB及过O点垂直于平面ABC的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系O−xyz，可得D(−32，0，32设n=(x1则n⋅AB=0令x=3，可得n设m=(x2则m⋅CB=0令x2=3所以cos⟨故平面ABD与平面BCD夹角的余弦值为393【解析】【分析】（1）取BC中点O，连接OA，OD，可得△BCD是等边三角形，OD⊥BC，利用线面垂直的判定定理可得BC⊥平面AOD，进而证得BC⊥AD；

（2）以OA，OB及过O点垂直于平面ABC的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系O−xyz，求出所需点的坐标和向量的坐标，求出平面ABD的一个法向量和平面BCD的一个法向量，利用向量法可求出平面ABD与平面BCD夹角的余弦值.20．【答案】（1）解：设该容器的体积为V，则V=πr又V=1603因为l≥6r，所以0<r≤2.所以建造费用y=2πrl×9因此y=3π(m−1)r2+（2）解：由（1）得y'=6π(m−1)r−240π由于m>94，所以m−1>0，令r3若340m−1<2，即m>6，当r∈(0，340m−1)时，y'<0，y(r)为减函数，当若340m−1≥2，即94<m≤6，当r∈(0，2]时，y综上所述，当94<m≤6时，建造费用最小时r=2；当m>6时，建造费用最小时【解析】【分析】(1)由圆柱和球的体积的表达式，得到l和r的关系，再由圆柱和球的表面积公式建立关系式，将表达式中的l用r表示，利用l≥6r，求出该函数的定义域；

(2)用导数的知识解决，注意到定义域的限制，在区间(0，2]中，极值未必存在，将极值点在区间内和在区间外进行分类讨论可得该容器的建造费用最小时的r.21．【答案】（1）解：设A(−a，0)，B(a，0)，又因为点P(x1，于是y12=所以b2a2又因为c=5，c可得a2=4，b2=1，所以双曲线（2）解：设直线l的方程为：x=ty+5，M(x3，y联立x24−y2则有y3+y