湖南省娄底市新化县五校联盟2022-2023学年高三上学期数学期末联考试卷

湖南省娄底市新化县五校联盟2022-2023学年高三上学期数学期末联考试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、单选题1．已知全集U=R，集合M={x|x2−2x<0}，集合A．{x|0<x<1} C．{x|0<x<2} 2．已知α，β是两个不同的平面，“存在直线l，l⊥α，l⊥β”是“α∥β”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件3．在如图的平面图形中，已知OM=1，ON=2，∠MON=120A．-15 B．-9 C．-6 D．04．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，A．157 B．115 C．1145．4×100米接力赛是田径运动中的集体项目．一根小小的木棒，要四个人共同打造一个信念，一起拼搏，每次交接都是信任的传递．甲、乙、丙、丁四位同学将代表高一年级参加校运会4×100米接力赛，教练组根据训练情况，安排了四人的交接棒组合，已知该组合三次交接棒失误的概率分别是p1，p2，A．p1p2C．(1−p1)(1−6．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000多年．在《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图P−ABCD是阳马，PA⊥平面ABCD，PA=5，AB=3，BC=4．则该阳马的外接球的表面积为（）A．1252π3 B．50π C．100π7．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(xA．[−16，16] B．[−二、多选题8．函数y=xA． B．C． D．9．下列选项中，是函数y=tan(x+πA．(−π6，C．(π6，10．已知函数y=mex的图象与直线y=x+2m有两个交点，则A．−1 B．1 C．2 D．311．已知双曲线C过点(3，2)A．C的方程为xB．C的离心率为3C．曲线y=ex−2−1D．直线x−2y−1=0与12．如图，矩形ABCD中，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻转成△A1DE.若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻转过程中，下列命题正确的是（）A．MB是定值B．点M在圆上运动C．一定存在某个位置，使DE⊥A1CD．一定存在某个位置，使MB∥平面A1DE三、填空题13．已知复数z=(1+3i)2(3−i)(1−2i)14．已知x>0，y>0，x+y=4，则log2x+15．已知f(x)是定义域为R的奇函数，且对任意的x满足f(x+2)=f(x)，若0<x<1时，有f(x)=4x+3，则16．抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为3的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AK⊥l，垂足为K，则ΔAKF的面积是四、解答题17．已知△ABC的三个角A，B，C所对的边为a，b，c，若a=3，b−c=2，且cos(A+C)=（1）求b､c的值；（2）求sin(B+2C)18．已知数列{an}的前n（1）求证：数列{a（2）若不等式2n2−n−3<(5−λ)an19．甲、乙两所学校进行同一门课程的考试，按照学生考试成绩优秀和不优秀统计成绩后，得到如下2×2列联表：班级与成绩列联表

优秀不优秀总计甲队8040120乙队240200240合计320240560附P0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（参考公式：K2=n（1）能否在犯错误的概率不超过0.（2）采用分层抽样的方法在两所学校成绩优秀的320名学生中抽取16名同学．现从这16名同学中随机抽取3名运同学作为成绩优秀学生代表介绍学习经验，记这3名同学来自甲学校的人数为X，求X的分布列与数学期望．20．如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，DE是△ABC的中位线，沿DE将△ADE进行翻折，使得△ACE是等边三角形（如图2），记AB的中点为F．（1）证明：DF⊥平面ABC．（2）若AE=2，二面角D-AC-E为π621．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上下左右四个顶点分别为A，B（1）求椭圆C的标准方程以及点P的坐标．（2）过点P作直线l交椭圆于M，N，是否存在这样的直线l使得△MNA和△MND的面积相等？若不存在，请说明理由．（3）在（2）的条件下，求当直线l的倾斜角为钝角时，△MND的面积．22．已知函数f(x)=lnx−12a（1）若f(1)=0，求函数f(x)的单调递减区间；（2）若关于x的不等式f(x)≤ax−1恒成立，求整数a的最小值；（3）若a=−2，正实数x1，x2满足f(x

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】由x2−2x<0解得0<x<2，所以因为N={x|x>1}，所以所以M∩(∁故答案为：B.

【分析】求出集合M，再根据补集和交集的定义进行运算，可得答案.2．【答案】C【解析】【解答】当α，β是两个不同的平面，对于其充分性：l⊥α，l⊥β可以推出α∥β；对于其必要性：α∥β可以推出存在直线l，l⊥α，l⊥β，故其为充分必要条件，故答案为：C.

【分析】根据线面垂直的性质定理和面面平行的性质定理结合充分条件、必要条件的定义可得答案.3．【答案】C【解析】【解答】如图所示，连结MN，由BM=2MA，CN=2NA可知点则BC=3由题意可知：OM2=1结合数量积的运算法则可得：BC⋅故答案为：C.

【分析】连结MN，结合几何性质和平面向量数量积的运算法则进行计算，即可求出BC·4．【答案】B【解析】【解答】设等差数列{an}的首项为a因为a3所以a3=3，所以则3d=a所以a3所以等差数列{an}所以an当且仅当n=56n⇒n=2所以当n=7或n=8时取最大值为77故答案为：B.

【分析】根据等差数列的通项公式和求和公式可求出首项和公差，可得an=n(n∈N*)5．【答案】C【解析】【解答】∵三次交接棒失误的概率分别是p1，p2，∴三次交接棒不失误的概率分别是1−p1，1−p∵三次交接棒相互独立，∴此次比赛中该组合交接棒没有失误的概率是(1−p故答案为：C.

【分析】根据对立事件和独立事件的概率公式可求出答案.6．【答案】B【解析】【解答】因PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，则PA⊥AB，PA⊥AD，又因四边形ABCD为矩形，则AB⊥AD.则阳马的外接球与以PA，AB，AD为长宽高的长方体的外接球相同.又PA=5，AB=3，AD=BC=4．则外接球的直径为长方体体对角线，故外接球半径为：R=P则外接球的表面积为：S=4π故答案为：B

【分析】由已知条件可得阳马的外接球与以PA，AB，AD为长宽高的长方体的外接球相同，则外接球的直径为长方体体对角线，再根据球的表面积公式可得答案.7．【答案】B【解析】【解答】由题意，当x≥0时，f(所以当0≤x≤a2时，当a2<x<2a当x≥2a2时，综上，函数f(在x≥0时的解析式等价于f(根据奇函数的图象关于原点对称作出函数f(x)在R观察图像可知，要使∀x∈R，f(x−1)解得−6故答案为：B.【分析】把x≥0时的f(x)改写成分段函数，求出其最小值，由函数的奇偶性可得x<0时的函数的最大值，由对∀x∈R，都有f(x−1)8．【答案】A,B【解析】【解答】解：因为y=x当a>1时，y=ax在(0，+∞)上单调递增，且当x趋于y=−ax在(−∞，0)上单调递减，当x趋于当0<a<1时，y=ax在(0，+∞)上单调递减，当x趋于+∞时，y趋于0；y=−ax在(−∞故答案为：AB.

【分析】y=x9．【答案】B,C【解析】【解答】令kπ−可得kπ−函数y=tan(x+π3令k=0，函数y=tan(x+π3)令k=1，函数y=tan(x+π3)故答案为：BC.

【分析】根据正切函数的单调性求出数y=tan(x+π10．【答案】B,C,D【解析】【解答】因为函数y=mex的图象与直线所以函数f(x)=me求导得：f'(x)=mex−1所以函数f(x)在R上单调递减，不可能有两个零点；当m>0时，令f'(x)=0，可得当x∈(−∞，−lnm)时，f'所以函数在(−∞，−ln所以f(x)的最小值为f(−ln令g(m)=1+lnm−2m(m>0)，则当x∈(0，12)时，g'所以g(m)在(0，12所以g(m)所以f(x)的最小值f(−ln则m的取值范围是(0，所以m可以取1，2，3.故答案为：BCD

【分析】函数y=mex的图象与直线y=x+2m有两个交点，等价于函数f(x)有且仅有两个零点，对m分类讨论，利用导数研究函数f(x)的单调性极值与最值即可求得11．【答案】A,C【解析】【解答】解：由双曲线的渐近线方程为y=±33x把点(3，2)代入，得∴双曲线C的方程为x23−由a2=3，b2∴双曲线C的离心率为23=2取x−2=0，得x=2，y=0，曲线y=ex−2−1过定点(联立x−2y−1=0x所以直线x−2y−1=0与C只有一个公共点，故故答案为：AC．

【分析】由双曲线的渐近线为y=±312．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：取DC的中点N，连接MN，NB，则MN∥A1D，NB∥DE，因为MN∩NB＝N，A1D∩DE＝D，所以平面MNB∥平面A1DE，因为MB⊂平面MNB，所以MB∥平面A1DE，D符合题意；∠A1DE＝∠MNB，MN＝12A1根据余弦定理得，MB2＝MN2＋NB2－2MN·NB·cos∠MNB，所以MB是定值，A符合题意；因为B是定点，所以M在以B为圆心，MB为半径的圆上，B符合题意；在矩形ABCD中，AB＝2AD，E为边AB的中点，所以DE⊥EC，若DE⊥A1C，可得DE⊥平面A1CE，即得DE⊥A1E，与∠DEA1为45°矛盾，∴不存在某个位置，使DE⊥A1C，C不正确.故答案为：ABD.

【分析】取CD的中点N，先证平面MBN∥平面A1DE，再得MB∥平面A1DE；根据余弦定理计算BM为定值；再根据BM为定值，可得点M在圆上运动；若DE⊥A1C，根据条件推出DE⊥A1E，与题意矛盾.13．【答案】2【解析】【解答】解：z==所以|z|=故答案为：2

【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解，可得答案.14．【答案】2【解析】【解答】因为x>0，y>0，x+y=4，所以x⋅y≤(x+y2所以log所以log故答案为：2。

【分析】利用已知条件结合均值不等式求最值的方法和对数的运算法则，进而得出log15．【答案】-5【解析】【解答】因为f(x+2)=f(x)，f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(3.因为当0<x<1时，有f(x)=4x+3所以f(3.故答案为：-5。

【分析】利用已知条件f(x+2)=f(x)结合代入法和奇函数的定义，进而得出f(3.5)与f(0.5)的关系式，再利用当0<x<1时，有f(x)=416．【答案】4【解析】【解答】因为抛物线y2=4x的焦点为F为(1，0)，所以经过F且斜率为3的直线方程为y=3(x−1)，解得xA=3，由抛物线定义知AK=AF=3+1=4，又因为AK∥x轴，所以

【分析】先根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，进而可得到过F且斜率为3的直线方程然后与抛物线联立可求得A的坐标，再由AK⊥l，垂足为K，可求得K的坐标，根据三角形面积公式可得ΔAKF的面积.17．【答案】（1）解：∵cos(A+C)=12，∴cosB＝−12，∵B∈(0根据余弦定理得：b2=a2+故b=7，c=5．（2）解：∵a＝3，b＝7，c＝5，B＝2π3∴由正弦定理得，csinC=b∵B＞π2，∴C∈(0，π2∴sin(B+2C)=sinBcos2C+cosBsin2C=sinB(2co=3【解析】【分析】（1）根据余弦定理求出c的值，进而求出b的值；

（2）由正弦定理得sinC的值，根据同角三角函数基本关系式求出cosC，再利用两角和的正弦公式可求出sin(B+2C)18．【答案】（1）证明：当n=1时，S1=2a当n≥2时，an所以an=2a即an又a1故数列{a（2）解：由（1）知，an2n所以2n2−n−3=(n+1)(2n−3)<(5−λ)(n+1)即5−λ>2n−32n记bn=2n−3所以n≥2时，bn+1bn=2n−1n≥3时，bn+1bn<1，即随着所以bn的最大值为b所以5−λ>38，即【解析】【分析】(1)当n≥2时，an=Sn−Sn−1=2an−2an−1−2n，可得19．【答案】（1）解：由题意得K2所以能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为成绩与所在学校有关系．（2）解：16名同学中有甲学校有4人，乙学校有12人，X的可能取值为0，1，2，3．P(X=0)P(X=2)X的分布列为如下X0123P113391所以E(X)=0×11【解析】【分析】(1)根据列联表做出观测值，把观测值同临界值进行比较，得到有能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为成绩与所在学校有关系；

(2)确定X的可能取值，求出相应的概率，可得X的分布列与数学期望．20．【答案】（1）证明：如图，取AC中点G，连接FG和EG，由已知得DE∥BC，且DE=1因为F，G分别为AB，AC的中点，所以FG∥BC，且FG=所以DE∥FG，且DE=FG．所以四边形DEGF是平行四边形．所以EG∥DF．因为翻折的BC⊥AC，易知DE⊥AC．所以翻折后DE⊥EA，DE⊥EC．又因为EA∩EC=E，EA，EC⊂平面AEC，所以DE⊥平面AEC．因为DE∥BC，所以BC⊥平面AEC．因为EG⊂平面AEC，所以EG⊥BC．因为△ACE是等边三角形，点G是AC中点，所以EG⊥AC又因为AC∩BC=C，AC，BC⊂平面ABC．所以EG⊥平面ABC．因为EG∥DF，所以DF⊥平面ABC．（2）解：（方法一）如图，过点E作EH⊥EC，以E为原点，EH、EC，ED所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系E-xyz，设DE=a，则A(3，1，0)，B(0，2，2a)，C(0因为DE⊥平面AEC．所以ED=(0设面ACD的法向量为m=(xm⋅AC=0m⋅取y=3a，得因为二面角D-AC-E为π6，所以cos解得a=1，所以m=(1，3记直线AB与平面ACD所成角为θ，则sinθ=|所以直线AB与平面ACD所成角的正弦值为64（方法二）如图，连接DG，因为DE⊥平面AEC，AC⊂平面AEC，所以AC⊥DE．又因为AC⊥EG，DE∩EG=E，DE，EG⊂平面DEG．所以AC⊥平面DEC．因为EG，DG⊂平面DEG，所以AC⊥EG，AC⊥DG，所以∠DGE是二面角D-AC-E的平面角，故∠DGE=π由△ACE是边长为2的等边三角形，得EG=3在Rt△DGE中，tan∠DGE=tanπ6=过点F作FI⊥DG，垂足为I，因为AC⊥平面DEGF，AC⊂平面ACD，所以平面DEGF⊥平面ACD．又因为平面DEGF∩平面ACD=DG，FI⊂平面DEGF，且FI⊥DG，所以FI⊥平面ACD．连接AI，则∠FAI即为直线AB与平面ACD所成的角．在Rt△DFG中，DF=3，FG=1，得DG=2，由等面积法得DG⋅FI=DF⋅FG，解得FI=在Rt△AFG中，AG=1，FG=1，所以AF=2在Rt△FAI中，sin∠FAI=FI所以直线AB与平面ACD所成角的正弦值为64【解析】【分析】（1）取AC中点G，连接FG和EG，证明四边形DEGF是平行四边形，然后利用线面垂直的判定理证明EG⊥平面ABC，从而得到DF⊥平面ABC；

（2）（方法一）过点E作EH⊥EC，以E为原点，EH、EC，ED所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系E-xyz，设DE=a，求出平面AEC和平面ACD的法向量，由已知条件可得DE长，然后利用线面角的向量公式求解即可；

（方法二）连接DG，可证得∠DGE=π6，可得DE长，过点F作FI⊥DG，垂足为I，利用线面垂直及面面垂直的性质可得21．【答案】（1）解：设点P的坐标为(x0，0)，(x0x0=4−a=1，因此椭圆的标准方程为x29+y2（2）解：设直线l：由△MNA与△MND的面积相等知点A，D到直线所以|−3−k|k所以直线l的方程为