河南省商丘市2024年八年级上学期《数学》期中试题与参考答案

6/22河南省商丘市2024年八年级上学期《数学》期中试题与参考答案一、选择题每小题3分，共30分。1．下列四个商标图案中，属于轴对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．解：A、是轴对称图形，故此选项符合题意；B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；D、不是轴对称图形，故此选项不合题意；故选：A．2．如图，在△ABC中，BC边上的高为（）A．AD B．BE C．BF D．CG【分析】从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．根据三角形的高线的定义解答．解：由图可知，△ABC中，BC边上的高为AD，故选：A．【点评】本题考查了三角形的高线的定义，是基础题，准确识图并熟记高线的定义是解题的关键．3．一个正六边形的内角和的度数为（）A．1080° B．720° C．540° D．360°【分析】利用多边形的内角和定理解答即可．解：一个正六边形的内角和的度数为：（6﹣2）×180°＝720°，故选：B．【点评】本题主要考查了多边形的内角和，利用多边形的内角和定理解答是解题的关键．4．如图，已知△CAD≌△CBE，若∠A＝30°，∠C＝70°，则∠CEB＝（）A．50° B．60° C．70° D．80°【分析】因为△CAD≌△CBE，所以∠A＝∠B，∠C＝∠C，∠CEB＝∠CDA从而求出∠CEB度数．解：因为△ABC≌△DEF，∠A＝30°，∠C＝70°，所以∠A＝∠B，∠C＝∠C，所以∠CEB＝∠CDA＝180°﹣30°﹣70°＝80°，故选：D．【点评】本题考查了全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等的应用．5．如图，已知AB＝AC，BC＝4cm，△CBD周长为12cm，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则△ACB的周长为（）A．20cm B．16cm C．17cm D．18cm【分析】利用垂直平分线的性质解题即可．解：因为AB的垂直平分线MN交AC于点D，所以AD＝BD，所以△CBD的周长＝BC+CD+BD＝BC+CD+AD＝BC+AC＝12cm，因为BC＝4cm，所以AC＝12﹣4＝8（cm），因为AB＝AC，所以△ACB的周长为：8+8+4＝20（cm），故选：A．【点评】本题主要考查垂直平分线的性质的运用，能够熟练运用垂直平分线的性质得到AC的长是解题关键．6．如图，已知AB＝AC，AD＝AE，欲证△ABD≌△ACE，不可补充的条件是（）A．BD＝CE B．∠D＝∠E C．∠BAD＝∠CAE D．∠BAC＝∠DAE【分析】根据全等三角形的判定解决此题．解：A．由AB＝AC，AD＝AE，BD＝CE，根据SSS可得△ABD≌△ACE，那么A不符合题意．B．由AB＝AC，AD＝AE，∠D＝∠E，根据全等三角形的判定无法推断出△ABD≌△ACE，那么B符合题意．C．由AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，根据SAS可推断出△ABD≌△ACE，那么C不符合题意．D．由∠BAC＝∠DAE，得∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE．由AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，根据SAS可推断出△ABD≌△ACE，那么D不符合题意．故选：B．【点评】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解决本题的关键．7．如图，在正△ABC中，点D是BC边上任意一点，过点D作DF⊥AC于F，DE⊥BC交AB于点E，则∠EDF的度数为（）A．50° B．60° C．65° D．75°【分析】先根据等边三角形的性质得出∠C＝60°，根据直角三角形的性质求出∠CDF＝90°﹣60°＝30°，再根据平角定义求解即可．解：因为△ABC是等边三角形，所以∠C＝60°，因为DE⊥BC交AB于E，DF⊥AC于F，所以∠BDE＝∠CFD＝90°，所以∠CDF＝90°﹣60°＝30°，所以∠EDF＝180°﹣90°﹣30°＝60°，故选：B．【点评】本题考查的是等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．8．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝20，点D在边AB上，CA＝CD，BD＝8，则AD＝（）A．2 B．3 C．4 D．6【分析】由等腰三角形的性质可得AD＝2DE，利用含30°角的直角三角形的性质可求解BE的长，即可求得DE的长，进而可求解．解：过C点作CE⊥AD于E，因为CA＝CD，所以AD＝2DE，因为∠ABC＝60°，∠CEB＝90°，所以∠BCE＝30°，所以BE＝BC＝10，因为BD＝8，所以DE＝BE﹣BD＝10﹣8＝2，所以AD＝4．故选：C．【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，作辅助线构造直角三角形是解题的关键．9．如图是5×5的正方形网格，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，像△ABC这样的三角形叫格点三角形．画与△ABC有一条公共边且全等的格点三角形，这样的格点三角形最多可以画出（）个．A．3 B．4 C．5 D．6【分析】可以以AB和BC为公共边分别画出3个，AC不可以，故可求出结果．解：以BC为公共边可画出△BDC，△BEC，△BFC三个三角形和原三角形全等．以AB为公共边可画出三个三角形△ABG，△ABM，△ABH和原三角形全等．所以可画出6个．故选：D．【点评】本题考查全等三角形的性质，三条对应边分别相等，以及格点的概念，熟练掌握全等三角形的判定定理是解决问题的关键．10．如图，四边形ABCD中，∠C＝50°，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是BC、DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（）A．50° B．60° C．70° D．80°【分析】据要使△AEF的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A′，A″，即可得出∠AA′E+∠A″＝∠HAA′＝50°，进而得出∠AEF+∠AFE＝2（∠AA′E+∠A″），即可得出答案．解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于E，交CD于F，则A′A″即为△AEF的周长最小值．作DA延长线AH，因为∠C＝50°，所以∠DAB＝130°，所以∠HAA′＝50°，所以∠AA′E+∠A″＝∠HAA′＝50°，因为∠EA′A＝∠EAA′，∠FAD＝∠A″，所以∠EAA′+∠A″AF＝50°，所以∠EAF＝130°﹣50°＝80°，故选：D．【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出E，F的位置是解题关键．二、填空题每小题3分，共15分。11．在平面直角坐标系中，点P（﹣2，﹣3）关于x轴对称点的坐标为（﹣2，3）．【分析】直接利用关于x轴对称点的性质得出答案．解：点P（﹣2，﹣3）关于x轴对称点的坐标为：（﹣2，3）．故答案为：（﹣2，3）．12．已知三角形三条边长分别是2、a、3，且a为奇数，则a＝3．【分析】首先根据三角形的三边之间的关系得：3﹣2＜a＜3+2，由此解得1＜a＜5，然后再根据a为奇数即可求出a的值．解：根据三角形的三边之间的关系得：3﹣2＜a＜3+2，所以1＜a＜5，因为a为奇数，所以a＝3．故答案为：3．【点评】此题主要考查了三角形的三边之间关系，解答此题的关键是熟练掌握三角形的三边之间关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．13．已知△ABC的三边长为x，2，6，△DEF的三边长为5，6，y，若△ABC与△DEF全等，则x+y＝7．【分析】根据全等三角形对应边相等解答即可．解：因为△ABC与△DEF全等，△ABC的三边长为x，2，6，△DEF的三边长为5，6，y，所以x＝5，y＝2，所以x+y＝7，故答案为：7．【点评】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质并准确识图是解题的关键．14．如图，在Rt△ABC中，AC＝6，AB＝，∠BAC＝30°，∠BAC的平分线交BC于点D，E、F分别是线段AD和AB上的动点，求BE+EF的最小值．【分析】作FG⊥AD交AC于点G，交AD于点Q，作BH⊥AC，易证∠BAD＝∠CAD，即可证明△AQG≌△AQF，可得AF＝AG，即可证明△AEF≌△AEG，可得EG＝EF，即可求得BE+EF＝BG，根据BG最短为BH即可解题．解：作FG⊥AD交AC于点G，交AD于点Q，作BH⊥AC，因为AD平分∠BAC，所以∠BAD＝∠CAD，在△AQG和△AQF中，，所以△AQG≌△AQF（ASA），所以AF＝AG，在△AEF和△AEG中，，所以△AEF≌△AEG（SAS），所以EG＝EF，所以BE+EF＝BE+EG＝BG，因为BG最短为BH，所以BE+EF最短为BH，因为AB＝，∠BAC＝30°，所以BH＝AB＝，故答案为．【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，考查了30°角所对直角边是斜边一半的性质，本题中求证△AQG≌△AQF和△AEF≌△AEG是解题的关键．15．已知∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，如果点P在射线OC上，射线OA上的点E满足是△OPE等腰三角形，那么∠OEP的度数为120°或75°或30°．【分析】求出∠AOC，根据等腰得出三种情况，OE＝PE，OP＝OE，OP＝PE，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出即可．解：如图，因为∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，所以∠AOC＝30°，①当E在E1时，OE＝PE，因为∠AOC＝∠OPE＝30°，所以∠OEP＝180°﹣30°﹣30°＝120°；②当E在E2点时，OP＝OE，则∠OPE＝∠OEP＝×（180°﹣30°）＝75°；③当E在E3时，OP＝PE，则∠OEP＝∠AOP＝30°．故∠OEP的度数为120°或75°或30°．故答案为：120°或75°或30°．【点评】本题考查了角等腰三角形性质，三角形的内角和定理的应用，用了分类讨论思想．三、解答题。（共8题，共75分）16．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于D．DE⊥BC于E，∠B＝40°，∠A＝70°．求∠EDC的度数．【分析】根据三角形内角和定理求出∠ACB，根据角平分线的定义求出∠DCB，根据平行线的性质求出即可．解：因为∠B＝40°，∠A＝70°，所以在△ABC中，∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠A＝70°，因为CD平分∠ACB，所以∠DCB＝∠ACB＝35°，因为DE⊥BC，所以∠EDC＝90°﹣∠DCB＝55°．【点评】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，平行线的性质等知识点，能求出∠DCB的度数是解此题的关键．17．如图，已知∠A＝∠D＝90°，点E、点F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB＝DC，BE＝CF．求证：OE＝OF．【分析】证明Rt△ABF≌Rt△DCE，根据全等三角形的性质得到∠AFB＝∠DEC，根据等腰三角形的判定定理证明结论．【解答】证明：因为BE＝CF，所以BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE，在Rt△ABF和Rt△DCE中，，所以Rt△ABF≌Rt△DCE（HL）所以∠AFB＝∠DEC，所以OE＝OF．【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．18．用一条长为20cm的细绳围成一个等腰三角形（1）如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？（2）能围成有一边长为5cm的等腰三角形吗？如果能，请求出它的另两边．【分析】（1）设底边长为xcm，则腰长为2xcm，根据周长公式列一元一次方程，解方程即可求得各边的长；（2）题中没有指明5cm所在边是底还是腰，故应该分情况进行分析，注意利用三角形三边关系进行检验．解：（1）设底边长为xcm，则腰长为2xcm，则2x+2x+x＝20解得，x＝4所以2x＝8所以各边长为：8cm，8cm，4cm．（2）①当5cm为底时，腰长＝7.5cm；②当5cm为腰时，底边＝10cm，因为5+5＝10，故不能构成三角形，故舍去；故能构成有一边长为5cm的等腰三角形，另两边长为7.5cm，7.5cm．【点评】此题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系的综合运用．19．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°．（1）利用尺规作图作BC的垂直平分线，垂足为F，交AC于点D，延长AC至点E，使CE＝AB；（2）若AE＝3，求△ABD的周长．【分析】（1）根据线段垂直平分线的作法即可解决问题；（2）连接BD，设BC垂直平分线交BC于点F，再根据线段垂直平分线的性质求解即可．解：（1）如图，DF即为所求；（2）连接BD，设BC垂直平分线交BC于点F，所以BD＝CD，因为C△ABD＝AB+AD+BD＝AB+AD+DC＝AB+AC，因为AB＝CE，所以C△ABD＝AC+CE＝AE＝3，故△ABD的周长为3．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．20．如图，有一张图纸被破坏，上面两个标志点A（﹣3，2）、B（﹣4，﹣2）清晰，而主要建筑标志点C（﹣1，0）被破损．（1）请在图中标出C点的位置；（2）连接AB、AC、BC，作△ABC关于y轴对称的图形△DEF；（3）求△DEF的面积．【分析】（1）根据平面直角坐标系中点的坐标的特征可得点C的位置；（2）根据轴对称的性质即可画出图形；（3）利用△DEF所在的矩形面积减去周围三个直角三角形面积，可得答案．解：（1）如图，点C即为所求；（2）如图，△DEF即为所求；（3）△DEF的面积为3×4﹣＝5．【点评】本题主要考查了作图﹣轴对称变换，三角形的面积等知识，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．21．如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，E，F为直线AD上的点，连接BE，CF，且BE∥CF．（1）求证：△BDE≌△CDF；（2）若AE＝13，AF＝7，试求DE的长．【分析】（1）利用中点性质可得BD＝CD，由平行线性质可得∠DBE＝∠DCF，再由对顶角相等可得∠BDE＝∠CDF，即可证得结论；（2）由题意可得EF＝AE﹣AF＝6，再由全等三角形性质可得DE＝DF，即可求得答案．【解答】（1）证明：因为AD是BC边上的中线，所以BD＝CD，因为BE∥CF，所以∠DBE＝∠DCF，在△BDE和△CDF中，，所以△BDE≌△CDF（ASA）；（2）解：因为AE＝13，AF＝7，所以EF＝AE﹣AF＝13﹣7＝6，因为△BDE≌△CDF，所以DE＝DF，因为DE+DF＝EF＝6，所以DE＝3．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，难度较小，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．22．已知：△ABC的高AD所在直线与高BE所在直线相交于点F，过点F作FG∥BC，交直线AB于点G．（1）如图1，若△ABC为锐角三角形，且∠ABC＝45°．求证：①△BDF≌△ADC；②FG+DC＝AD；（2）如图2，若∠ABC＝135°，直接写出FG、DC、AD之间满足的数量关系．【分析】（1）①要证明△BDF≌△ADC，如图，在△ABD中，∠ABC＝45°，AD⊥BC，可证BD＝AD，∠BDF＝∠ADC；在△ADC中，可证得∠AFE＝∠ACD，又因为∠AFE＝∠BFD（对顶角相等），所以∠ACD＝∠BFD；运用AAS，问题可证．②由△BDF≌△ADC可证得DF＝DC；因为AD＝AF+FD，所以AD＝AF+DC；由GF∥BD，∠ABC＝45°，可证得AF＝GF；于是问题可证．（2）因为∠ABC＝135°，所以∠ABD＝45°，△ABD、△AGF皆为等腰直角三角形，所以FG＝AF＝AD+DF；DF＝DC可通过证明△BDF≌△ADC得到，故可得：FG＝DC+AD．解：（1）①证明：因为∠ADB＝90°，∠ABC＝45°，所以∠BAD＝∠ABC＝45°，所以AD＝BD；因为∠BEC＝90°，所以∠CBE+∠C＝90°又因为∠DAC+∠C＝90°，所以∠CBE＝∠DAC；因为∠FDB＝∠CDA＝90°，所以△FDB≌△CDA（ASA）②因为△FDB≌△CDA，所以DF＝DC；因为GF∥BC，所以∠AGF＝∠ABC＝45°，所以∠AGF＝∠BAD，所以FA＝FG；所以FG+DC＝FA+DF＝AD．（2）FG、DC、AD之间的数量关系为：FG＝DC+AD．理由：因为∠ABC＝135°，所以∠ABD＝45°，△ABD、△AGF皆为等腰直角三角形，所以BD＝AD，FG＝AF＝AD+DF；因为∠FAE+∠DFB＝∠FAE+∠DCA＝90°，所以∠DFB＝∠DCA；又因为∠FDB＝∠CDA＝90°，BD＝AD，所以△BDF≌△ADC（AAS）；所以DF＝DC，所以FG、DC、AD之间的数量关系为：FG＝DC+AD．【点评】本题综合考查了三角形全等的判定和性质；利用三角形全等证明线段相等是经常使用的重要方法，注意掌握．23．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，AC＝20cm，P、Q是△ABC边上