桂林市永福县2024年八年级上学期《数学》期中试题与参考答案

6/21桂林市永福县2024年八年级上学期《数学》期中试题与参考答案一、选择题每题3分，共36分。1．造房子时屋顶常用三角结构，从数学角度来看，是因为三角形具有（）A．三条边 B．三个角 C．三个顶点 D．稳定性【分析】根据三角形的稳定性进行解答．解：造房子时屋顶常用三角结构，从数学角度来看，是应用了三角形具有稳定性，故选：D．【点评】本题考查三角形的稳定性在实际生活中的应用问题，是基础题型．2．如图，为估计池塘岸边A、B两点的距离，小明在池塘的一侧选取一点O，测得OA＝10米，OB＝8米，A、B间的距离不可能是（）A．12米 B．10米 C．20米 D．8米【分析】根据三角形的三边关系，第三边的长一定大于已知的两边的差，而小于两边的和，求得相应范围，看哪个数值不在范围即可．解：因为10﹣8＜AB＜10+8，所以2＜AB＜18，所以不可能是20米．故选：C．【点评】此题考查了三角形三边关系，已知三角形的两边，则第三边的范围是大于已知的两边的差，而小于两边的和．3．把分式方程的两边同时乘以（x﹣2），约去分母，得（）A．1﹣（1﹣x）＝1 B．1+（1﹣x）＝1 C．1﹣（1﹣x）＝x﹣2 D．1+（1﹣x）＝x﹣2【分析】分母中x﹣2与2﹣x互为相反数，那么最简公分母为（x﹣2），乘以最简公分母，可以把分式方程转化成整式方程．解：方程两边都乘（x﹣2），得：1+（1﹣x）＝x﹣2．故选：D．【点评】找到最简公分母是解答分式方程的最重要一步；注意单独的一个数也要乘最简公分母；互为相反数的两个数为分母，最简公分母为其中的一个，另一个乘以最简公分母后，结果为﹣1．4．如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”．下列分式中，是“和谐分式”的是（）A． B． C． D．【分析】根据题目中的新定义，对各个选项进行变形，然后即可判断哪个选项符合题意．解：＝＝x+y，故选项A不符合题意；的分子分母都不能分解因式，故选项B不符合题意；＝，故选项C符合题意；＝＝，故选项D不符合题意；故选：C．【点评】本题考查分式的约分、因式分解、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答．5．若分式的值为0，则x的值是（）A．﹣3 B．3 C．±3 D．0【分析】分母不为0，分子为0时，分式的值为0．解：根据题意，得x2﹣9＝0且x﹣3≠0，解得，x＝﹣3；故选：A．【点评】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．6．如图，已知∠ABC＝∠DCB，添加下列条件不能说明△ABC≌△DCB的是（）A．AC＝DB B．∠A＝∠D C．AB＝DC D．∠ACB＝∠DBC【分析】根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．解：因为∠ABC＝∠DCB，BC＝CB，所以当添加∠A＝∠D时，可根据“AAS”判断△ABC≌△DCB；当添加AB＝DC时，可根据“SAS”判断△ABC≌△DCB；当添加∠ACB＝∠DBC时，可根据“ASA”判断△ABC≌△DCB．故选：A．【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．7．下面四个图形中，线段BE能表示三角形ABC的高的是（）A． B． C． D．【分析】根据三角形的高的定义：从三角形的一个顶点，作对边的垂线，顶点与垂足所连线段即为三角形的一条高线，进行判断即可．解：A、线段BE不能表示三角形ABC的高，不符合题意；B、线段BE能表示三角形ABC的高，符合题意；C、线段BE不能表示三角形ABC的高，不符合题意；D、线段BE不能表示三角形ABC的高，不符合题意；故选：B．【点评】本题考查三角形的高线．熟练掌握三角形的高线的定义是解题的关键．8．要说明命题“若a＞b，则a2＞b2”是假命题，下列a，b的值能作为反例的是（）A．a＝4，b＝﹣2 B．a＝4．b＝2 C．a＝﹣3，b＝﹣4 D．a＝﹣3，b＝﹣2【分析】作为反例，要满足条件但不能得到结论，然后根据这个要求对各选项进行判断．解：A、a＝4，b＝﹣2满足a＞b，a2＞b2，不能作为反例，故不符合题意；B、a＝4，b＝2满足a＞b，a2＞b2，不能作为反例，故不符合题意；C、a＝﹣3，b＝﹣4满足a＞b，但a2＜b2，能作为反例，故符合题意；D、a＝﹣3，b＝﹣2不满足a＜b，不能作为反例，故不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．9．如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN交AB于点D，连接CD．若AC＝4，AB＝10，则△ACD的周长为（）A．4 B．6 C．10 D．14【分析】根据作图可得MN是BC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得CD＝DB，然后可得AD+CD＝10，进而可得△ACD的周长．解：根据作图可得MN是BC的垂直平分线，因为MN是BC的垂直平分线，所以CD＝DB，因为AB＝10，所以CD+AD＝10，所以△ACD的周长＝CD+AD+AC＝4+10＝14，故选：D．【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质和作法，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．10．无论x取什么数，总有意义的分式是（）A． B． C． D．【分析】按照分式有意义，分母不为零即可求解．解：A．，x3+1≠0，x≠﹣1，B．，（x+1）2≠0，x≠﹣1，C．，x2+1≠0，x为任意实数，D．，x2≠0，x≠0；故选：C．【点评】本题考查的是分式有意义的条件，按照分式有意义，分母不为零即可求解11．如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（）A．1：1：1 B．1：2：3 C．2：3：4 D．3：4：5【分析】利用角平分线上的一点到角两边的距离相等的性质，可知三个三角形高相等，底分别是20，30，40，所以面积之比就是2：3：4．解：过点O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，因为点O是内心，所以OE＝OF＝OD，所以S△ABO：S△BCO：S△CAO＝•AB•OE：•BC•OF：•AC•OD＝AB：BC：AC＝2：3：4，故选：C．【点评】本题主要考查了角平分线上的一点到两边的距离相等的性质及三角形的面积公式．做题时应用了三个三角形的高是相等的，这点是非常重要的．12．《九章算术》是中国古代数学名著，其中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五、直金八两．问牛、羊各直金几何？”小明对这个问题进行了改编：每头牛比每只羊贵1两，20两买牛，15两头羊．买得牛、羊的数量相等，则每头牛的价格为多少两？若设每头牛的价格为x两，则可列方程为（）A． B． C． D．【分析】若设每头牛的价格为x两，则每头羊的价格为（x﹣1）两，根据“20两买牛，15两头羊．买得牛、羊的数量相等”找到等量关系并列出方程，此题得解．解：若设每头牛的价格为x两，则每头羊的价格为（x﹣1）两，则可列方程为．故选：B．【点评】本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．二、填空题每题2分，共12分。13．分式，，的最简公分母是12xy2．【分析】确定最简公分母的方法是：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．解：分式，，的分母分别是2x、3y2、4xy，故最简公分母是12xy2．故答案为12xy2．【点评】本题考查了最简公分母，通分的关键是准确求出各个分式中分母的最简公分母，确定最简公分母的方法一定要掌握．14．内角和是1440°的多边形的边数是10．【分析】设这个多边形是n边形，它的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，根据题意列方程得（n﹣2）×180＝1440，即可解得n的值．解：设这个多边形是n边形，根据多边形内角和定理得：（n﹣2）×180＝1440，解得：n＝10．所以此多边形的边数为10．故答案为：10．【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握内角和定理的解题的关键．15．若等腰三角形中有一个角等于65°，则这个等腰三角形的底角的度数为57.5°或65°．【分析】题中没有指明这个角是底角还是顶角，故应该分情况进行分析，从而求解．解：①当这个角为顶角时，底角＝（180°﹣65°）÷2＝57.5°；②当这个角是底角时，底角＝65°．故答案为：57.5°或65°．【点评】此题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用，熟记等腰三角形的性质是解题的关键．16．使分式有意义的x的取值范围是x≠5．【分析】根据分式有意义的条件可得x﹣5≠0，求出x的范围即可．解：当x﹣5≠0时，分式有意义，解得x≠5，故答案为：x≠5．【点评】本题考查分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件：分母不为零是解题的关键．17．关于x的分式方程＝1有增根，则m的值为﹣3．【分析】方程两边乘（x﹣2），把分式方程转化为整式方程，解出方程的解，根据方程有增根，增根为x＝2，得到关于m的方程，解方程即可．解：方程两边乘（x﹣2）得：m+3＝x﹣2，所以x＝m+5，因为方程有增根，所以x﹣2＝0，所以m+5＝2，所以m＝﹣3，故答案为：﹣3．【点评】本题考查分式方程的增根，理解分式方程的增根的含义是解题的关键．18．如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G，F，若FG＝3，ED＝6，EB+DC＝9．【分析】由角平分线定义与平行线的性质推出∠EBG＝∠EGB，得到EB＝EG，同理DF＝DC，因此EB+DC＝EG+DF＝ED+FG．解：因为BG平分∠EBC，所以∠EBG＝∠GBC，因为DE∥BC，所以∠EGB＝∠GBC，所以∠EBG＝∠EGB，所以EB＝EG，同理DF＝DC，所以EB+DC＝EG+DF＝ED+FG＝6+3＝9，故答案为：9．【点评】本题考查角平分线与平行线，掌握角平分线加平行线，可得等腰三角形这一几何模型是解题的关键．三、解答题共72分。19．（16分）（1）（x﹣3y﹣2）﹣3•（x2y﹣1）﹣4．（2）．（3）．（4）．【分析】（1）先算乘方，再算乘法，即可解答；（2）先化简各式，然后再进行计算即可解答；（3）利用同分母分式加减法法则进行计算，即可解答；（4）利用分式的乘法法则进行计算，即可解答．解：（1）（x﹣3y﹣2）﹣3•（x2y﹣1）﹣4＝x9y6•x﹣8y4＝xy10；（2）＝﹣2﹣1+＝﹣2；（3）＝＝＝1；（4）＝•＝．【点评】本题考查了分式的混合运算，幂的乘方与积的乘方，单项式乘单项式，零指数幂，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．20．解方程：（1）﹣＝0；（2）﹣＝1．【分析】（1）①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．（2）①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．解：（1）﹣＝0，2x﹣（x+1）＝0，2x﹣x﹣1＝0，x＝1，经检验：当x＝1时，x（x+1）＝2≠0，故原方程的解是x＝1；（2）﹣＝1，（x﹣2）2﹣16＝x2﹣4，x2﹣4x+4﹣16＝x2﹣4，﹣4x+4﹣16＝﹣4，x＝﹣2，经检验：当x＝﹣2时，（x+2）（x﹣2）＝0，是增根，所以原方程无解．【点评】考查了解分式方程，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验：①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解．②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解．所以解分式方程时，一定要检验．21．先化简：，然后从﹣1，0，1，2，3中选择一个合适的数代入求值．【分析】先把括号内通分，再把除法运算化为乘法运算，接着约分得到原式＝﹣，然后根据分式有意义的条件把a＝3代入计算即可．解：原式＝÷＝÷＝•＝﹣，因为a+1≠0且a﹣1≠0且a≠0且a﹣2≠0，所以a只能取3，当a＝3时，原式＝﹣＝﹣．【点评】本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．22．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E．求证：△ACD≌△CBE．【分析】根据垂直的定义可得∠ADC＝∠E＝90°，然后根据同角的余角相等求出∠B＝∠ACD，再利用“角角边”证明△ACD≌△CBE．【解答】证明：因为AD⊥CE，BE⊥CE，所以∠ADC＝∠E＝90°，因为∠ACB＝90°，所以∠BCE+∠ACD＝90°，因为∠B+∠BCE＝90°，所以∠B＝∠ACD，在△BEC和△CDA中，，所以△ACD≌△CBE（AAS）．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据题意求出∠B＝∠ACD是证明三角形全等的关键．23．对a，b定义一种新运算M，规定，这里等式右边是通常的四则运算，例如：，如果M（2x，1）＝M（1，﹣1），求实数x的值；【分析】根据定义新运算的计算方法列出方程求得x的数值即可．解：因为M（2x，1）＝M（1，﹣1），所以＝，解得：x＝，经检验：x＝是原分式方程的解，所以实数x的值为．【点评】此题考查解分式方程，理解定义新运算的方法，掌握解分式方程的步骤与方法是解决问题的关键．24．如图所示，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝63°，求∠DAC的度数．【分析】△ABD中，由三角形的外角性质知∠3＝2∠2，因此∠4＝2∠2，从而可在△BAC中，根据三角形内角和定理求出∠4的度数，进而可在△DAC中，由三角形内角和定理求出∠DAC的度数．解：设∠1＝∠2＝x，则∠3＝∠4＝2x．因为∠BAC＝63°，所以∠2+∠4＝117°，即x+2x＝117°，所以x＝39°；所以∠3＝∠4＝78°，∠DAC＝180°﹣∠3﹣∠4＝24°．【点评】此题主要考查了三角形的外角性质以及三角形内角和定理的综合应用．25．阅读下面一段文字：高圆带了9元去商店买笔记本，她想买一种软面抄，正好需付9元，但售货员建议她买另一种质量更好的硬面抄，只是这种笔记本的价格比软面抄要高出一半，因此她只能少买一本笔记本．请你根据以上信息确定：这种软面抄和硬面抄的价格各是多少？高圆原来打算买多少本笔记本？【分析】关键描述语为：“少买了一本笔记本”；等量关系为：价格低的数量﹣价格高的数量＝1．解：设每本软面抄的价格为x元，则每本硬面抄的价格为1.5x元．（1分）由题意得：．解之得：x＝3．所以1.5×3＝4.5（元），9÷3＝3（本）．答：软面抄单价3元/本，硬面抄单价4.5元/本，高原原计划买3本笔记本．【点评】列分式方程解应用题与所有列方程解应用题一样，重点在于准确地找出相等关系，这是列方程的依据．26．回答问题（1）【初步探索】如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF＝BE+FD，探究图中∠BAE、∠FAD、∠EAF之间的数量关系，小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论是∠BAE+∠FAD＝∠EAF；（2）【灵活运用】如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF＝BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；（3）【拓展延伸】已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°，AB＝AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3，仍然满足EF＝BE+FD，请直接写出∠EAF与∠DAB的数量关系．【分析】（1）延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，可判定△ABE≌△ADG，进而得出∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，再判定△AEF≌△AGF，可得出∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF，据此得出结论；（2）延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先判定△ABE≌△ADG，进而得出∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，再判定△AEF≌△AGF，可得出∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF；（3）在DC延长线上取一点G，使得DG＝BE，连接AG，先判