宿迁市宿豫区2023年八年级下学期《数学》期中试题与参考答案

6/26宿迁市宿豫区2023年八年级下学期《数学》期中试题与参考答案一、选择题本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题所给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上。1．（3分）观察下列图形，是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；B、不是中心对称图形，故此选项错误；C、是中心对称图形，故此选项正确；D、不是中心对称图形，故此选项错误，故选：C．【点评】本题主要考查了中心对称图形的概念，中心对称图形关键是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．2．（3分）下列调查中，适合用普查的是（）A．夏季冷饮市场上冰淇淋的质量 B．某本书上的印刷错误 C．公民保护环境的意识 D．长江中现有鱼的种类【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．【解答】解：A、夏季冷饮市场上冰淇淋的质量，适合抽样调查；B、某本书上的印刷错误，适合普查；C、公民保护环境的意识，适合抽样调查；D、长江中现有鱼的种类，适合抽样调查；故选：B．【点评】本题考查的是抽样调查和全面调查，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．3．（3分）下列成语所描述的事件属于不可能事件的是（）A．水落石出 B．水涨船高 C．水滴石穿 D．水中捞月【分析】根据事件发生的可能性大小判断．【解答】解：A、水落石出，是必然事件，不符合题意；B、水涨船高，是必然事件，不符合题意；C、水滴石穿，是必然事件，不符合题意；D、水中捞月，是不可能事件，符合题意；故选：D．【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．4．（3分）若把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值（）A．不变 B．扩大2倍 C．缩小为原来值的 D．缩小为原来值的【分析】根据分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．【解答】解：根据题意，得＝＝，则分式的值不变．故选：A．【点评】本题考查了分式的基本性质，掌握分式中的x和y都扩大2倍，分式的值不变是关键．5．（3分）古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米2016石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得270粒内夹谷30粒，则这批米内夹谷约为（）A．222石 B．224石 C．230石 D．232石【分析】用总数量乘以样本中谷所占比例即可得．【解答】解：这批米内夹谷约为2016×＝224（石），故选：B．【点评】本题主要考查用样本估计总体，从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况．6．（3分）下列命题中错误的是（）A．两组对角分别相等的四边形是平行四边形 B．一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形 C．对角线互相垂直平分的平行四边形是正方形 D．对角线互相平分且相等的四边形是矩形【分析】利用平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：A、两组对角分别相等的四边形是平行四边形，正确，不符合题意；B、有一条对角线平分一个内角的平行四边形为菱形，正确，不符合题意；C、对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形，故原命题错误，符合题意；D、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，正确，不符合题意．故选：C．7．（3分）顺次连接对角线相等且垂直的四边形四边中点所得的四边形一定是（）A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形【分析】根据三角形中位线定理得到所得四边形的对边都平行且相等，那么其必为平行四边形，若邻边互相垂直且相等，那么所得四边形是正方形．【解答】解：因为E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，所以EH∥FG∥BD，EF∥AC∥HG，EF＝AC，FG＝BD，所以四边形EFGH是平行四边形，因为AC⊥BD，AC＝BD，所以EF⊥FG，FE＝FG，所以四边形EFGH是正方形，故选：D．8．（3分）如图1，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则△ABC的面积是（）A．10 B．16 C．18 D．20【分析】根据函数的图象、结合图形求出AB、BC的值，根据三角形的面积公式得出△ABC的面积．【解答】解：因为动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止，而当点P运动到点C，D之间时，△ABP的面积不变，函数图象上横轴表示点P运动的路程，x＝4时，y开始不变，说明BC＝4，x＝9时，接着变化，说明CD＝9﹣4＝5，所以AB＝5，BC＝4，所以△ABC的面积是：×4×5＝10．故选：A．二、填空题本大题共10小题，每小题3分，共30分，不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上。9．（3分）某中学为了了解本校2000名学生所需运动服尺码，在全校范围内随机抽取100名学生进行调查，这次抽样调查的样本容量是100．【分析】找到样本，根据样本容量的定义解答．【解答】解：样本是在全校范围内随机抽取的100名学生的运动服尺码，故样本容量为100．故答案为：100．【点评】样本容量是指样本中包含个体的数目，没有单位，一般是用样本中各个数据的和÷样本的平均数，可以求得样本的容量．10．（3分）一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有70次摸到红球．请你估计这个口袋中有3个白球．【分析】大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．【解答】解：由题意可得，红球的概率为70%．则白球的概率为30%，这个口袋中白球的个数：10×30%＝3（个），故答案为3．【点评】本题考查了利用频率估计概率，正确理解概率的意义是解题的关键．11．（3分）若分式的值为0，则x的值是﹣1．【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子为0；（2）分母不为0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．【解答】解：由分式的值为0，得x+1＝0且x﹣1≠0．解得x＝﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查了分时值为零的条件，若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．12．（3分）计算＝1．【分析】根据同分母分式减法计算法则求解即可．【解答】解：＝＝＝1，故答案为：1．【点评】本题主要考查了同分母分式减法，熟知相关计算法则是解题的关键．13．（3分）某农场引进一批新菜种，播种前在相同条件下进行发芽试验，结果如表所示：试验的菜种数5001000200010000发芽的频率0.9740.9830.9710.973在与实验条件相同的情况下，估计种一粒这样的菜种发芽的概率为0.97．（精确到0.01）【分析】根据大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，据此解答可得．【解答】解：在大量重复试验时，随着试验次数的增加，可以用一个事件出现的概率估计它的概率，实验种子数量越多，用于估计概率越准确，实验的菜种数10000最多，所以估计种一粒这样的菜种发芽的概率为0.973≈0.97，故答案为0.97．【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率；用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．14．（3分）如图，已知▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，其周长为16，且△AOB的周长比△BOC的周长小2，则AB的长为3．【分析】由平行四边形的性质得OA＝OC，OB＝OD，AB＝CD，AD＝CB，则BC+AB＝8①，再由三角形的周长关系得BC﹣AB＝2②，即可解决问题．【解答】解：因为▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，其周长为16，所以OA＝OC，OB＝OD，AB＝CD，AD＝CB，所以BC+AB＝8①；因为△AOB的周长比△BOC的周长小2，所以OB+OC+BC﹣（OA+OB+AB）＝2，所以BC﹣AB＝2②，①﹣②得：2AB＝6，所以AB＝3，故答案为：3．【点评】此题考查了平行四边形的性质以及三角形周长等知识，掌握平行四边形两组对边分别相等，对角线互相平分是解题的关键．15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是（5，4）．【分析】首先根据菱形的性质求出AB的长度，再利用勾股定理求出DO的长度，进而得到点C的坐标．【解答】解：因为菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上，所以AB＝AO+OB＝5，所以AD＝AB＝CD＝5，所以DO＝＝4，所以点C的坐标是：（5，4）．故答案为：（5，4）．【点评】此题主要考查了菱形的性质以及坐标与图形的性质，解题的关键是利用勾股定理求出DO的长度．16．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠AOB＝60°，AE平分∠BAD，AE交BC于E，则∠BOE的大小为75°．【分析】由矩形的性质得出∠BAD＝∠ABC＝90°，OA＝OB，证明△AOB是等边三角形，得出AB＝OB，∠ABO＝60°，证出△ABE是等腰直角三角形，得出AB＝BE，因此BE＝OB，由等腰三角形的性质即可得出∠BOE的大小．【解答】解：因为四边形ABCD是矩形，所以∠BAD＝∠ABC＝90°，OA＝AC，OB＝BD，AC＝BD，所以OA＝OB，因为∠AOB＝60°，所以△AOB是等边三角形，所以AB＝OB，∠ABO＝60°，所以∠OBE＝30°，因为AE平分∠BAD，所以∠BAE＝45°，所以△ABE是等腰直角三角形，所以AB＝BE，所以BE＝OB，所以∠BOE＝（180°﹣30°）＝75°；故答案为：75°．【点评】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的性质；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．17．（3分）如图，△ABC的周长为24，点D、E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为M，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为N，若BC＝9，则MN的长为3．【分析】证明△ABM≌△EBM，根据全等三角形的性质得到BE＝AB，AM＝ME，同理得到CD＝AC，AN＝ND，根据三角形中位线定理解答即可．【解答】解：因为△ABC的周长为24，所以AB+AC+BC＝24，因为BC＝9，所以AB+AC＝24﹣9＝15，在△ABM和△EBM中，，所以△ABM≌△EBM（ASA），所以BE＝AB，AM＝ME，同理可得：CD＝AC，AN＝ND，所以DE＝BE+CD﹣BC＝AB+AC﹣BC＝15﹣9＝6，因为AM＝ME，AN＝ND，所以MN＝DE＝3．故答案为：3．【点评】本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线等于第三边的一半是解题的关键．18．（3分）如图，已知点P是正方形ABCD外一点，且PA＝1，PB＝2，则PC的最大值是1+2．【分析】过点B作BE⊥BP使点E在正方形ABCD的外部，且BE＝PB，连接AE、PE、PC，然后求出PE＝PB，再求出∠ABE＝∠CBP，然后利用“边角边”证明△ABE和△CBP全等，根据全等三角形对应边相等可得AE＝PC，再根据两点之间线段最短可知点A、P、E三点共线时AE最大，也就是PC最大．【解答】解：如图，过点B作BE⊥BP，且BE＝PB，连接AE、PE、PC，则PE＝PB＝2，因为∠ABE＝∠ABP+90°，∠CBP＝∠ABP+90°，所以∠ABE＝∠CBP，在△ABE和△CBP中，，所以△ABE≌△CBP（SAS），所以AE＝PC，由两点之间线段最短可知，点A、P、E三点共线时AE最大，此时AE＝AP+PE＝1+2，所以PC的最大值是1+2，故答案为：1+2．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理，解题的关键是能巧妙利用三角形全等的知识，构造全等三角形，把求PC的长转化成求AE的长．三、解答题本大题共10题，共96分，请在答题卡的指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。19．（8分）按照下列要求解答：（1）约分：；（2）通分：与．【分析】（1）先把分式的分子、分母因式分解，再约分即可；（2）先确定最简公分母，再通分．【解答】解：（1）＝＝；（2）＝，＝．【点评】本题考查的是分式的约分、通分，掌握它们的运算法则是解题的关键．20．（8分）先化简，再求值：，其中a＝﹣2，b＝1．【分析】首先把分子分母分解因式，再约分化简，然后根据同分母的分数相加，分母不变分子相加进行计算，结果要化为最简形式，再把a＝﹣2，b＝1代入化简后的结果可得出分式的值．【解答】解：原式＝+＝+＝，把a＝﹣2，b＝1代入得：原式＝＝2．【点评】此题主要考查了分式的化简求值，一定要先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．21．（8分）一只不透明的袋子中装有5个灰球和3个黄球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀．（1）从中任意摸出一个球，①摸到灰球的概率大（填“灰”或“黄”）；②要使得摸到灰球和黄球的概率相等，应向里面添加2个黄球（除颜色外都相同）．（2）“一次性摸出4个球，摸到的球中至少有一个灰球”，这一事件是必然事件（填“必然”“随机”或“不可能”）．【分析】（1）①那种球的数量最多，摸到那种球的概率就大；②使得球的数量相同即可得到概率相同．（2）根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行判断即可．【解答】解：（1）①袋子中灰球的数量最多，所以摸到灰球的概率最大，故答案为：灰；②要使得摸到灰球和黄球的概率相等，只需使袋子中两种颜色球的数量相等即可．所以应向里面添加2个黄球，故答案为：2；（2）一只不透明的袋子中装有5个灰球和3个黄球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀．则事件“一次性摸出4个球，摸到的球中至少有一个灰球”是必然事件．故答案为：必然．【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念以及概率的公式，属于概率基础题，球的数量相同即可得到概率相同．22．（8分）如图，在▱ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且AE＝CF．求证：四边形BFDE是平行四边形．【分析】由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形对边平行且相等，即可得AD∥BC，AD＝BC，又由AE＝CF，即可证得DE＝BF，然后根据对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可证得四边形BFDE是平行四边形．【解答】证明：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC，AD＝BC，因为AE＝CF，所以AD﹣AE＝BC﹣CF，所以ED＝BF，又因为AD∥BC，所以四边形BFDE是平行四边形．23．（10分）如图，已知点A（2，4）、B（1，1）、C（3，2）．（1）将△ABC绕点O逆时针旋转90°得△A1B1C1，画出△A1B1C1；（2）画出△ABC关于原点O成中心对称的图形△A2B2C2；（3）在平面直角坐标系内找点D，使得A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形，则点D的坐标为（4，5）或（0，3）或（2，﹣1）．【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可解决问题．（2）分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可解决问题．（3）根据平行四边形的定义，画出图形写出坐标即可．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，点C1的坐标为（﹣2，3）．故答案为：（﹣2，3）．（2）△A2B2C2即为所求，点A2的坐标为（﹣2，﹣4）故答案为：（﹣2，﹣4）．（3）如图，满足条件的点D的坐标为（4，5）或（0，3）或（2，﹣1）．故答案为：（4，5）或（0，3）或（2，﹣1）．24．（10分）“信息消费”已成为人们生活的重要组成部分，宿迁市随机抽取了部分家庭，调查每月用于信息消费的金额，数据整理成如下不完整的统计图，已知A、B两组户数直方图的高度比为1：5，请结合图中相关数据回答下列问题：月消费额分组统计表组别消费额（元）A10≤x＜100B100≤x＜200C200≤x＜300D300≤x＜400Ex≥400​（1）A组的频数是2；本次调查的样本容量是50；（2）补全直方图（需标明各组频数）；（3）若该市某社区共有1800户住户，请估计月信息消费额少于300元的户数有多少？【分析】（1）根据A、B两组户数直方图的高度比为1：5，即两组的频数的比是1：5，据此即可求得A组的频数；利用A和B两组的频数的和除以两组所占的百分比即可求得总数，即样本容量；（2）利用总数乘以百分比即可求得C、D、E组的频数，从而补全统计图；（3）利用总数1500乘以对应的百分比即可．【解答】解：（1）因为A、B两组户数直方图的高度比为1：5，且B组频数为10，则A组频数为2，因为A、B组频率之和为1﹣（40%+28%+8%）＝24%，所以样本容量为12÷24%＝50，故答案为：2，50；（2）C组频数为50×40%＝20，D组频数为50×28%＝14，E组频数为50×8%＝4，补全图形如下：（3）1800×（1﹣28%﹣8%）＝1152（户），答：估计月信息消费额少于300元的户数是1152户．【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．25．（10分）把一张矩形ABCD纸片按如图方式折叠，使点A与点E重合，点C与点F重合（E、F两点均在BD上），折痕分别为BH、DG．（1）求证：△BHE≌△DGF；（2）若AB＝6cm，BC＝8cm，求线段FG的长．【分析】（1）先根据矩形的性质得出∠ABD＝∠BDC，再由图形折叠的性质得出∠ABH＝∠EBH，∠FDG＝∠CDG，∠A＝∠HEB＝90°，∠C＝∠DFG＝90°，进而可得出△BEH≌△DFG；（2）先根据勾股定理得出BD的长，进而得出BF的长，由图形翻折变换的性质得出CG＝FG，设FG＝x，则BG＝8﹣x，再利用勾股定理即可求出x的值．【解答】（1）证明：因为四边形ABCD是矩形，所以AB＝CD，∠A＝∠C＝90°，∠ABD＝∠BDC，因为△BEH是△BAH翻折而成，所以∠ABH＝∠EBH，∠A＝∠HEB＝90°，AB＝BE，因为△DGF是△DGC翻折而成，所以∠FDG＝∠CDG，∠C＝∠DFG＝90°，CD＝DF，所以∠DBH＝∠ABD，∠BDG＝∠BDC，所以∠DBH＝∠BDG，所以△BEH与△DFG中，∠HEB＝∠DFG，BE＝DF，∠DBH＝∠BDG，所以△BEH≌△DFG，（2）解：因为四边形ABCD是矩形，AB＝6cm，BC＝8cm，所以AB＝CD＝6cm，AD＝BC＝8cm，所以BD＝＝＝10，因为由（1）知，FD＝CD，CG＝FG，所以BF＝10﹣6＝4cm，设FG＝x，则BG＝8﹣x，在Rt△BGF中，BG2＝BF2+FG2，即（8﹣x）2＝42+x2，解得x＝3，即FG＝3cm．【点评】本题考查的是图形翻折变换的性质及矩形的性质，全等三角形的判定，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键．26．（10分）四边形ABCD由两个等宽的矩形纸条以如图方式叠合而成．（1）四边形ABCD是菱形吗？证明你的结论；（2）若两张矩形纸条全等，长为9，宽为3，则四边形ABCD的最大面积为多少？【分析】（1）作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，根据题意先证出四边形ABCD是平行四边形，再由BC＝CD得平行四边形ABCD是菱形；（2）由勾股定理可求CD的长，即可求解．【解答】解：（1）四边形ABCD是菱形，理由如下：作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，由题意知：AD∥BC，AB∥CD，所以四边形ABCD是平行四边形，因为两个矩形的宽度相等，所以AE＝AF，因为AE•BC＝AF•CD，所以BC＝CD，所以平行四边形ABCD是菱形；（2）因为S菱形ABCD＝BC•AE，AE＝3，所以BC最大时，菱形ABCD的面积有最大值，所以当BD为矩形的对角线时，BC有最大值，此时，CD2＝9+（8﹣CD）2，所以CD＝5，所以BC＝5，所以S菱形ABCD＝BC•AE＝5×3＝15．【点评】本题考查了菱形的判定和性质，勾股定理，掌握菱形的判定是解题的关键．27．（12分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝24cm，AB＝8cm，BC＝26cm，动点P从A开始沿AD边向D以1cm/s的速度运动；Q从点C开始沿CB边向B以3cm/s的速度运动．P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动．（1）当运动时间为t秒时，用含t的代数式表示以下线段的长：AP＝tBQ＝26﹣3t；（2）当运动时间为多少秒时，四边形PQCD为平行四边形？（3）当运动时间为多少秒时，四边形ABQP为矩形？【分析】（1）根据题意可直接得出；（2）由在梯形ABCD中，AD∥BC，可得当PD＝CQ时，四边形PQCD是平行四边形，即可得方程：24﹣t＝3t，解此方程即可求得答案；（3）由在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，可得当AP＝BQ时，