金华市东阳市2023年八年级上学期《数学》期中试题与参考答案

9/26金华市东阳市2023年八年级上学期《数学》期中试题与参考答案一、选择题本题有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分。1．下面四个图标中，是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．解：A，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．故选：B．【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2．下列长度的三条线段不能组成三角形的是（）A．1，1，2 B．2，3，4 C．3，4，5 D．3，4，6【分析】根据三角形两边之和大于第三边判断即可．解：A、因为1+1＝2，所以长度为1，1，2的三条线段不能组成三角形，本选项符合题意；B、因为3+2＞4，所以长度为2、3、4的三条线段能组成三角形，本选项不符合题意；C、因为3+4＞5，所以长度为3，4，5的三条线段能组成三角形，本选项不符合题意；D、因为3+4＞6，所以长度为3、4、6条线段能组成三角形，本选项不符合题意；故选：A．【点评】本题考查的是三角形的三边关系，掌握三角形两边之和大于第三边是解题的关键．3．等腰三角形的底角等于50°，则这个等腰三角形顶角的度数是（）A．50° B．65° C．80° D．100°【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可确定．解：因为等腰三角形的底角等于50°，所以180°﹣50°﹣50°＝80°，所以等腰三角形的顶角为80°，故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．4．下列命题中，逆命题是真命题的是（）A．两直线平行，内错角相等 B．若a＝b，那么a2＝b2 C．对顶角相等 D．若a＝b，那么|a|＝|b|【分析】根据逆命题的概念分别写出各个命题的逆命题，判断即可．解：A、两直线平行，内错角相等的逆命题是内错角相等，两直线平行，是真命题，符合题意；B、若a＝b，那么a2＝b2的逆命题是若a2＝b2，那么a＝b，是假命题，不符合题意；C、对顶角相等的逆命题是两个相等的角是对顶角，是假命题，不符合题意；D、若a＝b，那么|a|＝|b|的逆命题是若|a|＝|b|，那么a＝b，是假命题，不符合题意；故选：A．【点评】本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．5．如图，在△ABC中，作BC边上的高线，下列画法正确的是（）A． B． C． D．【分析】根据三角形的高的定义判断即可．解：△ABC的BC边上的高是经过点A和BC垂直的线段．选项D符合题意．故选：D．【点评】本题考查作图﹣基本作图，三角形的角平分线，中线，高等知识，解题的关键是理解三角形的高的定义，属于中考常考题型．6．如图，AB⊥CD，垂足为O．添加下列一组条件后，不能判定Rt△AOC≌Rt△BOD的是（）A．AC＝BD，OA＝OB B．OA＝OD，∠A＝∠B C．AC＝BD，OC＝OD D．AC＝BD，AC∥BD【分析】根据直角三角形全等的判定定理、平行线的性质判断即可．解：A、当AC＝BD，OA＝OB时，根据HL定理可以判定Rt△AOC≌Rt△BOD，故本选项不符合题意；B、当OA＝OD，∠A＝∠B时，不能判定Rt△AOC≌Rt△BOD，故本选项符合题意；C、当AC＝BD，OC＝OD时，根据HL定理可以判定Rt△AOC≌Rt△BOD，故本选项不符合题意；D、当AC∥BD时，∠A＝∠B，根据AAS定理可以判定Rt△AOC≌Rt△BOD，故本选项不符合题意；故选：B．【点评】本题考查的是直角三角形全等的判定，掌握直角三角形全等的判定定理是解题的关键．7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D．DE＝5，AD＝9，则BE的长是（）A．6 B．5 C．4.5 D．4【分析】本题可通过全等三角形来求BE的长，△BEC和△CDA中，已知了一组直角，∠CBE和∠ACD同为∠BCE的余角，AC＝BC，可据此判定两三角形全等；可得出的条件为CE＝AD，BE＝CD，因此只需求出CD的长即可，而CD的长可根据CE即AD的长和DE的长得出，由此可得解．解：因为∠ACB＝90°，BE⊥CE，所以∠BCE+∠ACD＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，所以∠ACD＝∠CBE，在△BEC和△CDA中，，所以△ACD≌△CBE（AAS），所以EC＝AD＝9，BE＝DC，因为DE＝5，所以CD＝EC﹣DE＝4，所以BE＝4．故选：D．【点评】本题考查全等三角形的应用，三角形全等是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．8．如图，在四边形ABCD中，连结AC，BD，若△ABC是等边三角形，AB＝BD，∠ABD＝20°，则∠BDC的度数为（）A．50° B．60° C．70° D．75°【分析】根据等边三角形的性质可得AB＝BC，∠ABC＝60°，根据已知条件可得∠CBD的度数，BD＝BC，再根据等腰三角形的性质可得∠BDC的度数．解：在等边△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝60°，因为AB＝BD，∠ABD＝20°，所以BD＝BC，∠CBD＝60°﹣20°＝40°，所以∠BDC＝（180°﹣40°）÷2＝70°，故选：C．【点评】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．9．数形结合是数学的重要思想和解题方法，如：“当0＜x＜12时，求代数式+的最小值”，其中可看作两直角边分别为x和2的Rt△ACP的斜边长，可看作两直角边分别是12﹣x和3的Rt△BDP的斜边长．于是将问题转化为求AP+BP的最小值，如图所示，当AP与BP共线时，AP+BP为最小．请你解决问题：当0＜x＜4时，则代数式的最小值是（）A．4 B．5C．6 D．7【分析】仿照例题，求出AB＝＝＝5，即可求解；解：依题意如图，AC＝1，DB＝2，CD＝4，CP＝x，PD＝4﹣x，所以AE＝1+2＝3，BE＝4，所以AB＝＝＝5，所以代数式的最小值是5．故选：B．【点评】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，灵活应用勾股定理是解题的关键．10．由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示．过点D作DF的垂线交小正方形对角线EF的延长线于点G，连结BG，若大正方形的面积是小正方形面积的5倍，则的值为（）A． B．3 C． D．4【分析】BE与GD的延长线相交于M点，BM交CF于N点，如图，设小正方形的边长为x，则大正方形的边长为x，设CN＝t，则BE＝t，在Rt△BCN中利用勾股定理得到x2+（t+x）2＝（x）2，解得t＝x，所以BE＝CN＝x，由于ED为小正方形的对角线，则∠FEN＝∠EFN＝45°，接着判定△GDF为等腰直角三角形，则∠FGD＝45°，DG＝DF＝x，然后证明△MGE为等腰直角三角形，所以ME＝MG＝2x，接着利用勾股定理计算出BG＝x，从而得到的值．解：BE与GD的延长线相交于M点，BM交CF于N点，如图，设小正方形的边长为x，则大正方形的边长为x，设CN＝t，则BE＝t，在Rt△BCN中，因为CN＝t，BN＝t+x，BC＝x，所以x2+（t+x）2＝（x）2，解得t＝x，所以BE＝CN＝x，因为ED为小正方形的对角线，所以∠FEN＝∠EFN＝45°，所以∠GFD＝45°，因为GD⊥DF，所以△GDF为等腰直角三角形，所以∠FGD＝45°，DG＝DF＝x，因为∠GEM＝∠EGM＝45°，所以△MGE为等腰直角三角形，所以ME＝MG＝2x，在Rt△BMG中，因为BM＝3x，GM＝2x，所以BG＝＝x，所以＝＝．故选：C．二、填空题本题有8小题，每小题3分，共24分。11．在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝25°，则∠A＝65度．【分析】根据直角三角形的两锐角互余求解即可．解：因为∠C＝90°，∠B＝25°，所以∠A＝90°﹣25°＝65°，故答案为：65．【点评】本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．12．在说明命题“若|a|＞3，则a＞3”是假命题的反例中，a的值可以是﹣4（答案不唯一）．．【分析】根据绝对值的意义、有理数的大小比较法则解答．解：当a＝﹣4时，|a|＝4＞3，而﹣4＜﹣3，所以“|a|＞3，则a＞3”是假命题，故答案为：﹣4（答案不唯一）．【点评】本题考查的是假命题的证明，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．13．如图，AC＝BD，若要证明△ABC≌△DCB，需要补充的一个条件，可以是AB＝DC（写出一个即可）．【分析】由图形可知BC为公共边，则可再加一组边相等，可求得答案．解：因为AC＝DB，BC＝CB，所以可补充AB＝DC，在△ABC和△DCB中，，所以△ABC≌△DCB（SSS）；故答案为：AB＝DC．【点评】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．14．边长为2cm的等边三角形的面积为cm2．【分析】根据等边三角形三角都是60°利用三角函数可求得其高，根据面积公式求解．解：因为△ABC是等边三角形，所以∠B＝60°．因为AB＝2cm，所以AD＝ABsin60°＝（cm），所以△ABC的面积＝×2×＝（cm2）．故答案为：．【点评】本题考查了等边三角形面积的计算，本题中根据锐角三角函数关系计算出AD的值是解题的关键．15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，AC＝6，BC＝8，则CD＝5．【分析】根据勾股定理求出AB，根据直角三角形斜边上中线性质求出CD即可．解：由勾股定理得：AB＝＝＝10，因为在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，所以CD＝AB＝5，故答案为：5．【点评】本题考查了勾股定理和直角三角形斜边上中线性质的应用，能求出CD＝AB是解此题的关键．16．如图，在长方形ABCD中，BC＝4，CD＝2，将△BCD沿对角线BD翻折，点C落在点C′处，BC′交AD于点E，则线段AE的长为1.5．【分析】首先根据题意得到BE＝DE，然后根据勾股定理得到关于线段AB、AE、BE的方程，解方程即可解决问题．解：设ED＝x，则AE＝4﹣x，因为四边形ABCD为矩形，所以AD∥BC，所以∠EDB＝∠DBC，由题意得：∠EBD＝∠DBC，所以∠EDB＝∠EBD，所以EB＝ED＝x，由勾股定理得：BE2＝AB2+AE2，即x2＝4+（4﹣x）2，解得：x＝2.5，即ED＝2.5，所以AE＝1.5．故答案为：1.5．【点评】本题主要考查了几何变换中的翻折变换，掌握翻折变换的性质是解题的关键．17．如图，梯形ABCD中，∠ABC＝∠BCD，AD∥BC，BD平分∠ABC，若AD＝3，BC＝7，则BD的长为．【分析】如图，过点A作AE⊥BC于点D，过点D作DF⊥BC于点F，则四边形AEFD是矩形．证明Rt△AEB≌Rt△DFC（HL），推出BE＝CF，利用勾股定理求出AE，DF，可得结论．解：如图，过点A作AE⊥BC于点D，过点D作DF⊥BC于点F，则四边形AEFD是矩形．梯形ABCD中，∠ABC＝∠BCD，AD∥BC，所以AB＝CD，∠ADB＝∠DBC，因为BD平分∠ABC，所以∠ABD＝∠DBC＝∠ADB，所以AB＝AD＝3，因为AD∥CB，AE⊥CB，DF⊥BC，所以AD＝DF，所以Rt△AEB≌Rt△DFC（HL），所以BE＝CF，因为四边形AEFD是矩形，所以AD＝EF＝3，所以BE＝CF＝（7﹣3）＝2，所以AE＝DF＝＝＝，所以BD＝＝＝，故答案为：．【点评】本题考查梯形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．18．如图1是吊车的实物图，图2是吊车工作示意图，车顶BM与车身CN平行于地面，已知BM到地面的距离为2米，AD＝4.8米，∠MBC＝3∠BCN．吊车作业时是通过液压杆CD的伸缩使起重臂AB绕点B转动的，从而使得起重臂升降作业．在某次起重作业中，学习兴趣小组经过测量发现：液压杆CD为2米时，∠DCN＝120°，∠MBD＝150°，则∠CBD＝75度，此时点A到地面的距离为5.4米．【分析】根据平行线的性质得到∠BCN+∠MBC＝180°，求得∠BCN＝45°，∠MBC＝135°，得到∠DCB＝75°，求得∠DBC＝360°﹣∠MBD﹣∠MBC＝75°，根据等腰三角形的性质得到BD＝CD＝2米，求得AB＝6.8米，过B作BE⊥EF于E，过A作AF⊥EF于F，过B作BG⊥AF于F，根据直角三角形的性质得到AG＝AB＝3.4米，根据矩形的性质得到GF＝BE＝2米，于是得到结论．解：因为BM∥CN，所以∠BCN+∠MBC＝180°，因为∠MBC＝3∠BCN，所以∠BCN＝45°，∠MBC＝135°，因为∠DCN＝120°，所以∠DCB＝75°，因为∠MBD＝150°，所以∠DBC＝360°﹣∠MBD﹣∠MBC＝75°，所以∠DBC＝∠DCB，所以BD＝CD＝2米，因为AD＝4.8米，所以AB＝6.8米，过B作BE⊥EF于E，过A作AF⊥EF于F，过B作BG⊥AF于F，在Rt△ABG中，因为∠ABG＝180°﹣∠DBM＝30°，所以AG＝AB＝3.4米，因为BE⊥EF，AF⊥EF，BG⊥AF，所以∠BEF＝∠EFG＝90°，所以四边形BEFG是矩形，所以GF＝BE＝2米，所以AF＝AG+GF＝3.4+2＝5.4（米），答：点A到地面的距离AF的长为5.4米，故答案为：75，5.4，三、解答题本题有6小题，共46分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程。19．如图，C为∠AOB平分线上一点，点D在射线OA上，且OD＝CD．求证：CD∥OB．【分析】根据等腰三角形的性质可得∠DOC＝∠DCO，再根据角平分线的定义可得∠DOC＝∠BOC，从而可得∠BOC＝∠DCO，然后利用平行线的判定即可解答．【解答】证明：因为OD＝CD，所以∠DOC＝∠DCO，因为OC平分∠AOB，所以∠DOC＝∠BOC，所以∠BOC＝∠DCO，所以DC∥OB．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的判定，熟练掌握等腰三角形的性质，以及平行线的判定是解题的关键．20．如图，在△ABC与△DCB中，已知∠ABD＝∠DCE，∠DBC＝∠ACB．求证：AC＝DB．【分析】有条件∠ABD＝∠DCE，∠DBC＝∠ACB，证得∠ABC＝∠DCB，根据ASA得出△ABC≌△DCB，由全等三角形性质即可得出结论．【解答】证明：因为∠ABD＝∠DCE，∠DBC＝∠ACB，所以∠ABC＝∠DCB，在△ABC和△DCB中因为，所以△ABC≌△DCB，所以AC＝DB．【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，等式的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．21．如图，在3×6的方格纸中，已知格点P和线段AB．（1）画一个锐角三角形（顶点均在格点上且不与点A，B重合），使P为其中一边的中点．（2）再画出该三角形关于直线AB对称的图形．【分析】（1）根据锐角三角形的定义结合网格作出图形即可；（2）根据轴对称的性质找出对应点即可求解．解：（1）如图所示，△DCE即为所求（答案不唯一）；（2）如图所示，△FGH即为所求．【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换，熟练掌握锐角三角形的定义，以及轴对称的性质是解题的关键．22．如图，△ABC和△ADE关于直线MN对称，BC与DE的交点F在直线MN上．（1）若∠BAC＝100°，∠CAD＝30°，求∠EAF的度数．（2）若BC∥AD，AE平分∠BAM，∠BFE+∠C＝81°，求∠EAF的度数．【分析】（1）根据轴对称的性质可知△ABC≌△ADE，∠CAF＝∠EAF，可得∠DAE＝100°，进一步可得∠CAE的度数，从而可得∠EAF的度数；（2）根据BC∥AD，可得∠C＝∠CAD，根据AE平分∠BAM，可得∠DAC＝∠CAF＝∠EAF＝∠BAE，进一步可得∠CAF+∠EAF+∠E＝99°，从而可得∠EAF的度数．解：（1）因为△ABC和△ADE关于直线MN对称，所以△ABC≌△ADE，∠CAF＝∠EAF，所以∠DAE＝∠BAC＝100°，因为∠CAD＝30°，所以∠CAE＝100°﹣30°＝70°，所以∠EAF＝70°÷2＝35°；（2）因为BC∥AD，所以∠C＝∠CAD，因为∠DAC＝∠BAE，∠EAF＝∠CAF，又因为AE平分∠BAM，所以∠DAC＝∠CAF＝∠EAF＝∠BAE，因为∠BFE+∠C＝81°，所以∠D+∠DAC＝81°，所以∠CAF+∠EAF+∠E＝180°﹣81°＝99°，因为∠C＝∠E，所以3∠EAF＝99°，所以∠EAF＝33°．【点评】本题考查了轴对称的性质，平行线的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．23．已知：在四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝BC，CD2+AD2＝2AB2．（1）求证：AD⊥CD．（2）若AB＝，AD＝8．①求四边形ABCD的面积．②点B到AD的距离是7．【分析】（1）根据垂直定义可得∠ABC＝90°，从而利用勾股定理可得AC2＝AB2+BC2，再结合已知可得AC2＝2AB2，从而可得CD2+AD2＝AC2，然后利用勾股定理的逆定理可得△ACD是直角三角形，即可解答；（2）①在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC＝10，再在Rt△ACD中，利用勾股定理求出CD＝6，然后根据四边形ABCD的面积＝△ABC的面积+△ADC的面积，进行计算即可解答；②过点B作BE⊥AD，垂足为E，过点B作BF⊥DC，交DC的延长线于点F，连接BD，利用垂直定义可得∠BEA＝∠BED＝∠BFC＝90°，从而利用四边形内角和是360°可得∠FBE＝90°，进而利用等式的性质可得∠ABE＝∠CBF，然后利用AAS证明△ABE≌△CBF，从而可得BE＝BF，最后再根据四边形ABCD的面积＝△ABD的面积+△CBD的面积，进行计算即可解答．【解答】（1）证明：因为AB⊥BC，所以∠ABC＝90°，所以AC2＝AB2+BC2，因为AB＝BC，所以AC2＝2AB2，因为CD2+AD2＝2AB2，所以CD2+AD2＝AC2，所以△ACD是直角三角形，所以∠ADC＝90°，所以AD⊥CD；（2）解：①在Rt△ABC中，AB＝BC＝，所以AC＝AB＝×＝10，在Rt△ACD中，AD＝8，所以CD＝＝＝6，所以四边形ABCD的面积＝△ABC的面积+△ADC的面积＝AB•BC+AD•CD＝××+×8×6＝25+24＝49，所以四边形ABCD的面积为49；②过点B作BE⊥AD，垂足为E，过点B作BF⊥DC，交DC的延长线于点F，连接BD，所以∠BEA＝∠BED＝∠BFC＝90°，因为∠ADC＝90°，所以∠FBE＝360°﹣∠ADC﹣∠BED﹣∠BFC＝90°，因为∠ABC＝90°，所以∠ABC﹣∠CBE＝∠FBE﹣∠CBE，所以∠ABE＝∠CBF，因为AB＝BC，所以△ABE≌△CBF（AAS），所以BE＝BF，因为四边形ABCD的面积为49，所以△ABD的面积+△CBD的面积＝49，所以AD•BE+CD•BF＝49，所以×8BE+×6BF＝49，所以7BE＝49，所以BE＝7，所以点B到AD的距离是7，故答案为：7．24．如图，AC⊥BD于点E，连结AB，CD，AB＝10，BE＝8，点P在线段AB上运动时（不与A，B重合），点Q在线段AC上，满足CQ＝AP，连结PQ．当P为AB中点时，Q恰好与点E重合．（1）求AC的长．（2）若∠C＝∠B，P运动到AB中点时，求证：直线PQ⊥CD．（3）连结BQ，当△ABQ是等腰三角形