沪科版数学八年级下册第18章勾股定理测试题附答案

第第页沪科版数学八年级下册第18章勾股定理评卷人得分一、单选题1．如图,一场暴雨过后,垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断,树尖B恰好碰到地面,经测量AB=2m,则树高为（）米A． B． C．+1 D．32．发现下列几组数据能作为三角形的边：（1）8，15，17；（2）5，12，13；（3）12，15，20；（4）7，24，25．其中能作为直角三角形的三边长的有A．1组 B．2组 C．3组 D．4组3．下列各组数：①3、4、5②4、5、6③2.5、6、6.5④8、15、17，其中是勾股数的有（）A．4组B．3组C．2组D．1组4．若一个三角形的三边长的平方分别为：32，42，x2则此三角形是直角三角形的x2的值是(

)A．4B．52C．7D．52或75．由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（）A．∠A+∠C＝∠B B．a＝，b＝，c＝C．（b+a）（b﹣a）＝c2 D．∠A：∠B：∠C＝5：3：26．已知，为正数，且，如果以，的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（）A．5 B．25 C．7 D．157．如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,CD⊥AB于D点,M,N是AC,BC上的动点,且∠MDN=90°,下列结论:①AM=CN;②四边形MDNC的面积为定值;③AM2+BN2=MN2;④NM平分∠CND.

其中正确的是()A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④8．已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c．试判断△ABC的形状（）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形9．在测量旗杆的方案中，若旗杆高为21m，目测点到杆的距离为15m，则目测点到杆顶的距离为(设目高为1m)()．A．20m B．25m C．30m D．35m10．如图所示，如果将矩形纸沿虚线①对折后，沿虚线②剪开，剪出一个直角三角形，展开后得到一个等腰三角形，则展开后的等腰三角形周长是A．12 B．18 C． D．11．直角三角形的面积为S，斜边上的中线长为d，则这个三角形周长为（）A． B． C． D．12．如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连结CQ.若PA∶PB∶PC=3∶4∶5，连结PQ，试判断△PQC的形状（

）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形评卷人得分二、填空题13．如图，数轴上点A所表示的实数是________________．14．在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，①若a2＋b2＞c2，则∠c为____________；②若a2＋b2=c2，则∠c为____________；③若a2＋b2＜c2，则∠c为____________.15．如果一梯子底端离建筑物9m远，那么15m长的梯子可到达建筑物的高度是____m．16．如图，在△ABC中，AB∶BC∶CA=3∶4∶5，且周长为36cm，点P从点A开始沿AB边向B点以每秒1cm的速度移动，点Q从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果同时出发，则过3s时，△BPQ的面积为__________cm2．17．如果Rt△的两直角边长分别为k2－1，2k(k>1)，那么它的斜边长是______.18．如图，D为△ABC的边BC上一点，已知AB=13，AD=12，AC=15，BD=5，则BC的长为__________.19．如图是一面长方形彩旗完全展平时的尺寸图(单位：cm)．其中长方形ABCD是由双层白布缝制的穿旗杆用的旗裤，阴影部分DCEF为长方形绸缎旗面，将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆从旗顶到地面的高度为220cm.在无风的天气里，彩旗自然下垂．求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h.评卷人得分三、解答题20．如图，在四边形中，，，，．（）求的度数．（）求四边形的面积．21．如图，在5×5的方格纸中，每一个小正方形的边长都为1．（1）∠BCD是不是直角？请说明理由.（2）求四边形ABCD的面积.22．如图，在△ABC中，∠C=90°，M是BC的中点，MD⊥AB于D，求证：.如果ΔABC的三边分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断△ABC的形状．24．如图所示,在△ABC中,∠A=90°,点D是BC的中点,点E,F分别在AB,AC上,且∠EDF=90°,连接EF,求证:BE2+CF2=EF2.

25．如图，已知△ABC中，∠C=90°，D为AB的中点，E、F分别在AC、BC上，且DE⊥DF.求证：AE2＋BF2=EF2.参考答案1．C【解析】由题意可知，AC=1，AB=2，∠CAB=90°据勾股定理则BC=m；∴AC+BC=（1+）m.答：树高为（1+）米．故选C.2．C【解析】①∵82+152=172，∴能组成直角三角形；②∵52+122=132，∴能组成直角三角形；③122+152≠202，∴不能组成直角三角形；④72+242=252，∴能组成直角三角形．故选C.3．C【解析】①32+42=52，符合勾股数的定义；②42+52≠62，不符合勾股数的定义；③2.5、6.5不是正整数，不符合勾股数的定义；④82+152=172，符合勾股数的定义，故选C．4．D【解析】试题分析：根据勾股定理的逆定理列出方程解即可．根据勾股定理的逆定理列出方程解则可，有42是斜边或者x2是斜边两种情况．当42是斜边时，32+x2=42，x2=42-32=7；当x2是斜边时，x2=32+42=52，故选D．考点：本题考查了勾股定理的逆定理点评：在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，然后进行计算．注意本题有两种情况．5．B【解析】∵∠A+∠C=∠B，∠A+∠B+∠C=180°，∴2∠B=90°，∴△ABC是直角三角形，故A选项能判定；∵b2+c2≠a2，∴△ABC不是直角三角形，故B选项不能判定；∵(b+a)(b－a)=c2，∴b2－a2=c2，即a2+c2=b2，∴C选项能判定；设∠A=5x°，∠B=3x°，∠C=2x°，∴5x+3x+2x=180，解得x=18，5x=90，∴D选项能判定.故选B.6．C【解析】【分析】本题可根据两个非负数相加和为0，则这两个非负数的值均为0解出x、y的值，然后运用勾股定理求出斜边的长．斜边长的平方即为正方形的面积．【详解】依题意得：，∴，斜边长，所以正方形的面积．故选C．考点：本题综合考查了勾股定理与非负数的性质点评：解这类题的关键是利用直角三角形，用勾股定理来寻求未知系数的等量关系．7．A【解析】试题解析：∵∠ACB=90°，AC=BC，CD⊥AB，∴∠ADC=∠BDC=90°，AD=BD=CD=AB，∠ACD=∠BCD=∠A=∠B=45°．∵∠MDN=90°，∴∠ADM=∠CDN．在△AMD和△CND中，，∴△AMD≌△CND（ASA），∴AM=CN，DM=DN，S△AMD=S△CND．∴CM=BN．∵四边形MDNC的面积=S△CDM+S△CDN=S△CDM+S△ADM=S△ADC．故为定值．∵CM2+CN2=MN2，∴BN2+AM2=MN2．当MN∥AB时，MN平分∠CND．∴正确的有：①②③．故选A．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．勾股定理；3．等腰直角三角形．8．A【解析】【分析】已知的式子变形，出现三个非负数的平方和等于0的形式，求出a、b、c，再验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可．【详解】解：a2+b2-c2+338=10a+24b+26c，a2-10a+25+b2-24b+144-c2-26c+169=0，原式可化为（a-5）2+（b-12）2-（c-13）2=0，即a=5，b=12，c=13（a，b，c都是正的），而52+122=132符合勾股定理的逆定理，故该三角形是直角三角形．故选A.【点睛】本题考查因式分解的应用，解题关键是勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三边满足a2+b2=c2，则三角形ABC是直角三角形．9．B【解析】【分析】首先根据题意画出图形，题目已知条件是：已知旗杆AB高21m，目测点C到杆的距离CD为15m，目高CE为1m.在Rt△BCD中，利用勾股定理求出BC即可.【详解】如图，已知AB＝21m，CD＝15m，CE＝1m，∵∠A＝∠ADC＝∠AEC＝90°，∴四边形ADCE是矩形，∴AD＝CE＝1.在Rt△BCD中，∵∠CDB＝90°，CD＝15，BD＝AB－AD＝21－1＝20，∴BC＝＝＝25m，即目测点到杆顶的距离为25m.故选B.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，理解题意正确画出图形是解题的关键.10．D【解析】【分析】按照图的示意对折，裁剪后得到的是直角三角形，虚线①为矩形的对称轴，依据对称轴的性质虚线①平分矩形的长，即可得到沿虚线②裁下的直角三角形的短直角边为10÷2﹣4=1，虚线②为斜边，据勾股定理可得虚线②为，据等腰三角形底边的高平分底边的性质可以得到，展开后的等腰三角形的底边为2，故得到等腰三角形的周长：【详解】根据题意，三角形的底边为2（10÷2﹣4）=2，腰的平方为32+12=10，∴等腰三角形的腰为；∴等腰三角形的周长为：.故选D.11．C【解析】【分析】根据直角三角形的性质求出斜边长，根据勾股定理、完全平方公式计算即可．【详解】设直角三角形的两条直角边分别为x、y，

斜边上的中线为d，

斜边长为2d，

由勾股定理得，，

直角三角形的面积为S，

，

则，

则，，

这个三角形周长为：，

故选C．

【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是根据直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，得出．12．A【解析】【分析】连接PQ，先通过“边角边”证明△ABP≌△CBQ，得到AP=CQ，易证△BQP为等边三角形，得到PQ=BP，再利用勾股定理的逆定理证明△PQC为直角三角形即可.【详解】解：如图，连接PQ，∵∠ABP+∠PBC=60°，∠CBQ+∠PBC=60°，∴∠ABP=∠CBQ，在△ABP与△CBQ中，，∴△ABP≌△CBQ（SAS），∴AP=CQ，∵∠PBQ=60°，BQ=BP，∴△BPQ为等边三角形，即BP=PQ，又∵PA∶PB∶PC=3∶4∶5，可设PA=3a，PB=4a，PC=5a，即CQ=3a，PQ=4a，∴CQ2+PQ2=9a2+16a2=25a2=PC2，则△PQC为直角三角形.故选A.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定，勾股定理的逆定理等，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.13．【解析】【分析】A点到-1的距离等于直角三角形斜边的长度，应用勾股定理求解出直角三角形斜边长度即可.【详解】解：直角三角形斜边长度为，则A点到-1的距离等于，则A点所表示的数为：﹣1+【点睛】本题考查了利用勾股定理求解数轴上点所表示的数.14．锐角直角钝角【解析】试题解析：△ABC的三边a、b、c，若满足a2+b2＞c2时，c边比满足a2+b2=c2时的c边小，所以∠C比90°角小，是锐角；a2+b2=c2，根据勾股定理的逆定理，它是直角三角形，所以∠C是直角；a2+b2＜c2时，c边比满足a2+b2=c2时的c边大，所以∠C比90°角大，是钝角．故答案为锐角；直角；钝角.15．12【解析】∵直角三角形的斜边长为15m，一直角边长为9m，

∴另一直角边长=152故梯子可到达建筑物的高度是12m．故答案是：12m.16．18【解析】【分析】首先设AB为3xcm，BC为4xcm，AC为5xcm，利用方程求出三角形的三边，由勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形．再求出3秒后的，BP、BQ的长，利用三角形的面积公式计算求解．【详解】解：设AB为3xcm，BC为4xcm，AC为5xcm，∵周长为36cm，AB+BC+AC=36cm，∴3x+4x+5x=36，解得x=3，∴AB=9cm，BC=12cm，AC=15cm，∵AB2+BC2=AC2，∴△ABC是直角三角形，过3秒时，BP=9-3×1=6（cm），BQ=2×3=6（cm），∴S△PBQ=BP•BQ=×（9-3）×6=18（cm2）．故答案为18．【点睛】本题考查勾股定理逆定理、三角形的面积．解题关键是由勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形．17．k2+1【解析】【分析】根据勾股定理，即可求出斜边长．【详解】解：斜边===k2+1故答案为:k2+1【点睛】本题考查勾股定理的知识，解题关键是掌握勾股定理的表达式．18．14【解析】【分析】根据勾股定理的逆定理可判断出△ADB为直角三角形，即∠ADB=90°，在Rt△ADC中利用勾股定理可得出CD的长度．【详解】∵AB=13，AD=12，BD=5，∴AB2=AD2+BD2，∴△ADB是直角三角形，∠ADB=90°，∴△ADC是直角三角形，在Rt△ADC中，CD==9．故选B.【点睛】本题考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，属于基础题，解答本题的关键是判断出∠ADB=90°．19．70【解析】试题分析:首先观察题目，作辅助线构造一个直角三角形，如图，连接DE；已知彩旗为矩形，由题意可知，无风的天气里，彩旗自然下垂时，彩旗最低处到旗杆顶部的长度正好是矩形彩旗完全展开时的对角线的长度，根据勾股定理可求出它的长度；然后用旗杆顶部到地面高度减去这个数值，即可求得答案．试题解析:解：彩旗自然下垂的长度就是长方形DCEF的对角线DE的长度，连接DE，在Rt△DEF中，根据勾股定理，得DE＝＝＝150.h＝220－150＝70(cm)．∴彩旗下垂时的最低处离地面的最小高度h为70cm.20．（1）；（2）【解析】试题分析：（1）由于∠B=90°，AB=BC=2，利用勾股定理可求AC，并可求∠BAC=45°，而CD=3，DA=1，易得AC2+DA2=CD2，可证△ACD是直角三角形，于是有∠CAD=90°，从而易求∠BAD．（2）连接AC，则可以计算△ABC的面积，根据AB、BC可以计算AC的长，根据AC，AD，CD可以判定△ACD为直角三角形，根据AD，CD可以计算△ACD的面积，四边形ABCD的面积为△ABC和△ACD面积之和．试题解析：（1）∵∠B=90°，AB=BC=2，

∴AC==2，∠BAC=45°，

又∵CD=3，DA=1，

∴AC2+DA2=8+1=9，CD2=9，

∴AC2+DA2=CD2，

∴△ACD是直角三角形，

∴∠CAD=90°，

∴∠DAB=45°+90°=135°．

故∠DAB的度数为135°．（2）连接AC，如图所示：

在直角△ABC中，AC为斜边，且AB=BC=2，则AC=,∵AD=1，CD=3，∴AC2+CD2=AC2，

即△ACD为直角三角形，且∠ADC=90°，

四边形ABCD的面积=S△ABC+S△ACD=AB×BC+AD×AC=2+.21．（1）∠BCD=90°，理由见解析；（2）14.5.【解析】试题分析：（1）连接BD，由于每一个小正方形的边长都为1，根据勾股定理可分别求出△BCD的三边长，根据勾股定理的逆定理即可判断出△BCD的形状；（2）S四边形ABCD=S正方形AHEJ-S△BCE-S△ABH-S△ADI-S△DCF-S正方形DFJI．试题解析：（1）∠BCD是直角，理由如下：连接BD，∵BC==2，CD==，BD==5，∴BC2+CD2=BD2，∴∠BCD为直角；（2）S四边形ABCD=S正方形AHEJ-S△BCE-S△ABH-S△ADI-S△DCF-S正方形DFJI，所以S四边形ABCD=5×5﹣×4×2﹣×2×1﹣1×1﹣×4×1﹣×5×1，=25﹣4﹣1﹣1﹣2﹣=．22．见解析【解析】【分析】连接AM得到三个直角三角形，运用勾股定理分别表示出AD²、AM²、BM²进行代换就可以最后得到所要证明的结果．【详解】证明：连接MA，∵MD⊥AB，∴AD2=AM2-MD2，BM2=BD2+MD2，∵∠C=90°，∴AM2=AC2+CM2∵M为BC中点，∴BM=MC．∴AD2=AC2+BD2【点睛】本题考查了勾股定理，三次运用勾股定理进行代换计算即可求出结果，另外准确作出辅助线也是正确解出的重要因素．23．证明见解析【解析】试题分析：已知等式变形后，利用非负数的性质求出a，b及c的值，即可对于三角形形状进行判断．试题解析：由已知条件可把原式变形为（a-3）2+（b-4）2+（c-5）2=0，∴a=3，b=4，c=5，∴a2+b2=c2，∴△ABC是直角三角形．【点睛】本题考查了勾股