内蒙古包头市九原区2024届九年级上学期期末考试数学试卷(含解析)

2023-2024学年内蒙古包头市九原区九年级（上）期末数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.tan30°的值为(

)A.12 B.22 C.2.一元二次方程2x2-5x+6=0的根的情况为A.无实数根 B.有两个不等的实数根

C.有两个相等的实数根 D.不能判定3.抛物线y=-2(x-2)2-5的顶点坐标是A.(-2,5) B.(2,5) C.(-2,-5) D.(2,-5)4.如图是一个由5个相同的正方体组成的几何体，它的左视图是(

)A.

B.

C.

D.5.用图中两个可自由转动的转盘作“配紫色”游戏：分别旋转两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，那么可配成紫色的概率是(

)A.14 B.13 C.126.已知关于x的一元二次方程x2-3x-4=0的两实数根分别为x1，x2，则xA.-1 B.1 C.7 D.-77.关于反比例函数y=6x，下列说法不正确的是(

)A.函数图象分别位于第一、三象限

B.图象与函数y=x-1的图象交点为(3,2)或(-2,-3)

C.当x>-2时，y<-3

D.函数图象关于原点成中心对称8.如图，将一副三角板按如图方式放置，其中∠ABC=∠DCB=90°，∠A=45°，∠D=30°，两条斜边相交于点O，则△AOB与△COD的面积之比为(

)A.13

B.12

C.39.在2023年中考体育考试前，小康对自己某次实心球的训练录像进行了分析，发现实心球飞行路线是一条抛物线，若不考虑空气阻力，实心球的飞行高度y(单位：米)与飞行的水平距离x(单位：米)之间具有函数关系y=-116x2A.14米 B.12米 C.11米 D.10米10.如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠DAB=60°，点E在BC边上，且CE=2，AE与BD交于点F，连接CF，则下列结论不正确的是(

)A.△ABF≌△CBF

B.△ADF∽△EBF

C.FE=3195

D.S二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。11.二次函数y=3x2-4x+5的图象与y轴的交点坐标为______12.如图，电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB/​/CD，AB=2m，CD=6m，点P到CD的距离为9m，则AB与CD间的距离是______m.

13.张师傅去年开了一家超市，今年2月份开始盈利，3月份盈利5000元，5月份盈利达到7200元，从3月到5月，每月盈利的平均增长率都相同，则每月盈利的平均增长率是______．14.已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如上表，则该函数的图象开口向______x…-10123…y…105212…15.如图，在矩形ABCD中，AB=3，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，若cos∠BAF=35，那么EA=______．

16.如图，反比例函数y=kx的图象与△ABC的两边AB、BC分别交于点E(3,m)、F(n,2)，已知AB/​/x轴，点A在y轴上，点C在x轴上，F为BC的中点，连接OE，OF，EF，若OCAB=23，则OE

三、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题8分)

解下列方程：

(1)3x2+6x-4=0；

(2)3x(2x+1)=4x+218.(本小题8分)

为促进消费，助力经济发展，某商场决定“让利酬宾”，于“五一”期间举办了抽奖促销活动.活动规定：凡在商场消费一定金额的顾客，均可获得一次抽奖机会.抽奖方案如下：从装有大小质地完全相同的1个红球及编号为①②③的3个黄球的袋中，随机摸出1个球，若摸得红球，则中奖，可获得奖品；若摸得黄球，则不中奖.同时，还允许未中奖的顾客将其摸得的球放回袋中，并再往袋中加入1个红球或黄球(它们的大小质地与袋中的4个球完全相同)，然后从中随机摸出1个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出1个球，若摸得的两球的颜色相同，则该顾客可获得精美礼品一份.现已知某顾客获得抽奖机会．

(1)求该顾客首次摸球中奖的概率；

(2)假如该顾客首次摸球未中奖，为了有更大机会获得精美礼品，他应往袋中加入哪种颜色的球？说明你的理由．19.(本小题8分)

如图，一艘货轮在海面上航行，准备要停靠到码头C，货轮航行到A处时，测得码头C在北偏东60°方向上.为了躲避A，C之间的暗礁，这艘货轮调整航向，沿着北偏东30°方向继续航行，当它航行到B处后，又沿着南偏东70°方向航行20海里到达码头C．

(1)求∠C的度数；

(2)求货轮从A到B航行的距离(结果精确到0.1海里.参考数据：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192)．20.(本小题8分)

一般情况下，中学生完成数学家庭作业时，注意力指数随时间x(分钟)的变化规律如图所示(其中AB、BC为线段，CD为双曲线的一部分)．

(1)分别求出线段AB和双曲线CD的函数关系式；(2)若学生的注意力指数不低于40为高效时间，根据图中信息，求出一般情况下，完成一份数学家庭作业的高效时间是多少分钟？21.(本小题8分)

已知：如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，点E在线段BD上，且BE=ED，过点B作BF/​/AC，交线段AE的延长线于点F．

(1)求证：AC=3BF；

(2)若BE=1，AE=3，求证：∠FBE=∠EAD．22.(本小题8分)

如图，在矩形ABCD中，AD=5，CD=4，点E是BC边上的点，BE=3，连接AE，DF⊥AE交于点F．

(1)求证：△ABE≌△DFA；

(2)连接CF，求sin∠DCF的值；

(3)连接AC交DF于点G，求AGGC的值．23.(本小题8分)

如图，抛物线与x轴相交于原点和点A(4,0)，在第一象限内与直线y=x交于点B(5,5)，抛物线的顶点为C点．

(1)求抛物线的解析式和顶点C的坐标；

(2)点M(3,m)在抛物线上，连接MO，MB，求△MOB的面积；

(3)抛物线上是否存在点D，使得∠DOB=∠OBC？若存在，求出所有点D的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析1.答案：D

解析：解：tan30°=33，

故选：D．

2.答案：A

解析：解：∵Δ=(-5)2-4×2×6=25-48=-23<0，

∴2x2-5x+6=0无实数根，

故选：A．

求出判别式3.答案：D

解析：解：因为抛物线y=-2(x-2)2-5，

所以抛物线y=-2(x-2)2-5的顶点坐标是(2,-5)．

故选：4.答案：A

解析：解：从左边看，底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形．

故选：A．

由题意根据从左边看得到的图形是左视图，进行观察判断可得答案．

本题考查简单几何体的三视图，注意掌握从左边看得到的图形是左视图．5.答案：C

解析：解：由题意可得，

可配成紫色的概率是：12×360°-120°360∘+12×120°6.答案：D

解析：解：根据根与系数的关系得x1+x2=3，x1x2=-4，

所以x1x2-x1-x2=x1x27.答案：C

解析：解：A.k=6>0，则图象位于第一、三象限，正确，不符合题意；

B.由y=6xy=x-1解得x=3y=2或x=-2y=-3，故图象与函数y=x-1的图象交点为(3,2)或(-2,-3)，故正确，不符合题意；

C.x=-2时，y=-3，而在每个象限内y随x的增大而减小，故当-2<x<0时，y<-3，故错误，符合题意；

D.函数图象关于原点成中心对称，故正确，不符合题意；

8.答案：A

解析：解：设BC=x，

在Rt△ABC中，∵∠ACB=45°，

∴∠BAC=∠ACB=45°，

∴AB=BC=x，

在Rt△BCD中，∠D=30°，

∴tanD=BCBD=33，

∴DC=3x，

又∵∠ABC=∠BCD=90°，

∴AB/​/CD，

∴△AOB∽△COD，

∴S△AOBS△COD=(ABCD)2=(9.答案：B

解析：解：当y=0时，则-116x2+58x+32=0，

10.答案：C

解析：解：A、∵四边形BACD是菱形，

∴∠ABF=∠CBF，AB=BC，

在△ABF和△CBF中，

AB=CB∠ABF=∠CBFBF=BF，

∴△ABF≌△CBF(SAS)，

故本选项不符合题意；

B、∵四边形ABCD是菱形，

∴AD//BC，

∴△ADF∽△EBF，

故本选项不符合题意；

C、过E作EM⊥AB，交AB的延长线于点M，

∵四边形ABCD是菱形，AB=6，∠DAB=60°，

∴AB=BC=6，AD//BC，

∴∠EBM=∠DAB=60°，

∵CE=2，

∴BE=4，

∴EM=BE×sin60°=23，BM=12BE=2，

∴AM=6+2=8，

∴AE=AM2+EM2=219，

∵△ADF∽△EBF，

∴AFFE=ADBE=64=32，

∴219-FEFE=32，

∴FE=4195，

故本选项符合题意；

D、∵△ABF≌△CBF，

∴S△ABF=S△CBF，

∵AB=BC=6，CE=211.答案：(0,5)

解析：解：将x=0代入y=3x2-4x+5中，

得：y=5

故答案为：(0,5)．

求函数图象与y轴的交点坐标，令x=012.答案：6

解析：解：作PE⊥CD于E，交AB于F，如图，则PE=9，

∵AB/​/CD，

∴PF⊥CD，△PAB∽△PCD，

∴PFPE=ABCD，即PF9=26，

∴PF=3，

∴EF=PE-PF=9-3=6．

∴AB与CD间的距离是6m．

故答案为6．

作PE⊥CD于E，交AB于F，如图，则PE=9，利用AB/​/CD可判断△PAB∽△PCD，利用相似比计算出PF，然后计算出EF即可．

本题考查了相似三角形的应用：常常构造13.答案：20%

解析：解：设每月盈利的平均增长率是x，

根据题意得：5000(1+x)2=7200，

解得：x1=0.2=20%，x2=-2.2(不符合题意，舍去)，

∴每月盈利的平均增长率是20%．

故答案为：20%．

设每月盈利的平均增长率是x，利用5月份盈利=3月份盈利×(1+14.答案：上

解析：解：由题知，

当x=1和x=3时，函数值y都等于2，

所以抛物线的对称轴为：直线x=1+32=2；

故抛物线顶点的横坐标为2，

结合表格中数据可知，顶点的坐标为(2,1)，

又因为1<2，

所以点(2,1)是函数图象上的最低点，

所以抛物线的开口向上．

故答案为：上．

15.答案：5解析：解：在Rt△ABF中，cos∠BAF=ABAF=35，

∵AB=3，

∴AF=5，

由勾股定理得：BF=AF2-AB2=52-32=4，

由折叠的性质可知：BC=AD=AF=5，∠AFE=∠D=90°，DE=EF，

∴FC=5-4=1，

设EF=x，则DE=x，EC=3-x，

在Rt△EFC中，EF2=FC2+EC2，即x2=116.答案：2解析：解：过点F作FG⊥x轴于G，过点B作BH⊥x轴于H，

∵点F的坐标为(n,2)，

∴FG=2，

∵FG⊥x轴，BH⊥x轴，

∴FG//BH，

又∵点F为BC的中点，

∴FG为△CBH的中位线，

∴BH=2FG=4，

∵AB/​/x轴，

∴点E的纵坐标为4，

即：点E的坐标为(3,4)，

∴m=4，

将点E(3,4)代入y=kx，得：k=12，

∴反比例函数的解析式为：y=12x，

将点F(n,2)代入y=12x，得：n=6，

∴F(6,2)，

∵OCAB=23，

设B(a,4)，则C(23a,0)，

∴CH=a-23a=13a，CG=6-23a，

∵CGCH=12，

∴6-23a13a=12，

解得a=365，

∴B(365,4)，C(245,0)，

∴BC=(365-245)2+(4-0)2=2561，17.答案：解：(1)a=3，b=6，c=-4，

△=b2-4ac=36-4×3×(-4)=84>0，

∴此方程有两个不相等的实数根，

∴x=-6±846=-6±2216，

∴x1=-3+解析：(1)根据公式法即可求出答案．

(2)根据因式分解法即可求出答案．

本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．18.答案：解：(1)顾客首次摸球的所有可能结果为红，黄①，黄②，黄③，共4种等可能的结果，

记“首次摸得红球”为事件A，则事件A发生的结果只有1种，

∴P(A)=14，

∴顾客首次摸球中奖的概率为14；

(2)他应往袋中加入黄球；理由如下：

记往袋中加入的球为“新”，摸得的两球所有可能的结果列表如下：

共有20种等可能结果，

(i)若往袋中加入的是红球，两球颜色相同的结果共有8种，此时该顾客获得精美礼品的概率P1=820=25；

(i)若往袋中加入的是黄球，两球颜色相同的结果共有12种，此时该顾客获得精美礼品的概率P2=解析：(1)用概率公式直接可得答案；

(2)记往袋中加入的球为“新”，列表求出所有等可能的情况，分别求出新球为红色，黄色时获得精美礼品的概率，比较概率大小即可得到答案．

本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．19.答案：解：(1)如图，过点B作BD/​/AF，交AC于点D，

则∠ABD=∠FAB=30°，

∵∠FAC=60°，

∴∠BAC=60°-30°=30°，

∴∠C=180°-∠BAC-∠ABD-∠DAC=180°-30°-30°-70°=50°；

(2)如图，过点B作BE⊥AC于E，

在Rt△BEC中，BC=20海里，∠C=50°，

∵sinC=BEBC，

∴BE=BC⋅sinC≈20×0.766=15.32(海里)，

在Rt△ABE中，∠BAE=30°，

则AB=2BE=2×15.32≈30.6(海里)，

答：货轮从A到B航行的距离约为解析：(1)过点B作BD/​/AF，交AC于点D，根据平行线的性质求出∠ABD，再根据三角形内角和定理求出∠AC；

(2)过点B作BE⊥AC于E，根据正弦的定义求出BE，进而求出AB．

本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．20.答案：解：(1)设线段AB所在的直线的解析式为y1=k1x+30，

把B(10,50)代入得，k1=2，

∴AB的解析式为：y1=2x+30(0≤x≤10)，

设C、D所在双曲线的解析式为y2=k2x，

把C(44,50)代入得，k2=2200，

∴双曲线CD的解析式为：y2=2200x(x≥44)；

(2)将y=40代入y1=2x+30解析：此题主要考查了一次函数和反比例函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，再根据自变量的值求对应的函数值．

(1)利用待定系数法分别求出AB和CD的函数表达式，进而得出答案；

(2)将y=40代入直线和反比例函数的解析式，从而可求得时间x的值，最后可得到完成一份数学家庭作业的高效时间．21.答案：证明：(1)∵BF//AC，

∴BF：AC=BE：EC，

又∵BD=CD，BE=DE，

∴CE=3BE，

∴AC=3BF；

(2)∵BE=ED，BE=1，AE=3，

∴AE=3ED，

∴AE2=3ED2，

又∵CE=3ED，

∴AE2=CE⋅ED，即AE：ED=CE：AE，

而∠AED=∠CEA，

∴△AED∽△CEA解析：(1)根据平行线分线段成比例定理由BF/​/AC得BF：AC=BE：EC，再利用BD=CD，BE=DE，得CE=3BE，于是即可得到结论；

(2)由AE=3ED得AE2=3ED2，把CE=3ED代入得AE2=CE⋅ED，即AE：ED=CE：AE，根据相似三角形的判定易得△AED∽△CEA22.答案：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠B=90°，AD//BC，

∴AE=AB2+BE2=5，∠AEB=∠DAF，

在△ABE和△DFA中，

∠AEB=∠DAF∠B=∠AFDAE=AD,

∴△ABE≌△DFA；

(2)连接DE交CF于点H．

∵△ABE≌△DFA，

∴DF=AB=CD=4，AF=BE=3，

∴EF=CE=2．

∴DE⊥CF．

∴∠DCH+∠HDC=∠DEC+∠HDC=90°．

∴∠DCH=∠DEC．

在Rt△DCE中，CD=4，CE=2，

∴DE=25，

∴sin∠DCF=sin∠DEC=CDDE=255．

(3)过点C作CK⊥AE交AE的延长线于点解析：本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例、锐角三角函数的定义以及解直角三角形，掌握矩形的性质定理、全等三角形的判定定理和性质定理、解直角三角形是解题的关键．

(1)根据勾股定理求出AE，利用全等三角形的判定定理证明即可；

(2)连接DE交CF于点H，根据全等三角形的性质得到DF=AB=CD=4，AF=BE=3，证明∠DCH=∠DEC，求出sin∠DEC，得到答案；

(3)过点C作CK⊥AE交AE的延长线于点K，根据平行线分线段成比例定理得到AGGC=23.答案：解：(1)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，

把原点(0,0)，点A(4,0