2024中考数学复习 重难创新题 每天一练 (含答案)

2024中考数学复习重难创新题每天一练

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第1天

打卡：一月一日

1.［新考法——动点轨迹未给出］如图①，-动点P从RtAA6C中的A点出发在RIAABC内

部运动（含边上），沿直线运动两次，第一次到外点，第二次到。2点，设点。运动的路程为

X,而=y，如图②，是点。运动时y随X变化关系图象，若4B=小，则以凸，A，B

四点组成的四边形面积为i）

2」新考法——作图步骤的选择|已知线段4从BC，N4?C=9O。，求作：矩形4ACD.以下是

甲、乙两位同学的作业：

甲：1.以点C为圆心，长为半径画弧；A

2.以点A为圆心，8c长为半径画弧；

3.两弧在8c上方交于点D,连接AD,CD,四BC

边形ABCD即为所求（如图①）第2题图①

乙：1.连接4G作线段AC的垂直平分线，交4c于

点M；

2.连接BM并延长，在延长线上取一点。，使MD

=MB,连接A。，CD,四边形ABCQ即为所第2题图②

求（如图②）

⑴经老师判断，以上两位同学的作业均正确，请挑选一位同学的作业并给出证明过程;

⑵请再找一种方法，作出矩形.

第2天

打卡：一月一日

3J新考法——跨物理学科的欧姆定律］【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压

为12V的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L(灯丝的阻值历

=2。)亮度的实验(如图①)，已知串联电路中，电流与电阻R、RL之间关系为/=不£~，通

过实验得出如下数据：

13

R/Q•••a46•••

4

//A•••32.42b•••

第3题图①

(1)«=,b=；

(2)【探究】根据以上实验，构建出函数尸」1言2(.仑0),结合表格信息，探究函数尸圣12应0)

人14人i4

的图象与性质.

②随着自变量X的不断增大，函数值y的变化趋势是________.

(3)【拓展】结合(2)中函数图象分析，当后0时，售2—方+6的解集为

【解题关键点】

3312

作出函数y=-5x+6的困象，得到y=-X%+6与y=工运的图象的交点，观察两个函

数图象得出不等式的解集.

班级:

第3天

打卡:月一日

4.［新考法——相似与锐角三角函数结合测高］一天晚上，小明和爸爸带着测角仪和皮尺去公

园测量一景观灯(灯杆底部不可到达)的高A8.如图所示，当小明爸爸站在点。处时，他在该

景观灯照射下的影子长为OR测得QP=2.4m；当小既站在爸爸影子的顶端尸处时，测得

点A的仰角«为26.6。.己知爸爸的身高8=1.8m,小明眼睛到地面的距离E尸=1.6m,点

F,B在同一条直线上，EFLFB,CDLFB,/W_LF8.求该景观灯的高(参考数据：

sin26.6°=0.45,cos26.6°=0.89,tan26.6°=0.50)

第4题图

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第4天

打卡:月一日

5.［新形式——真实情境抽离圆1如图为某游乐场摩天轮及其简化示意图，假日，小明妈妈带

着小明和弟弟小刚乘坐摩天轮游玩，摩天轮直径为80m,小明乘坐A车厢，小刚乘坐8车

厢，/AO3=90。，妈妈站在摩天轮正下方尸处（人身高K计），即OP_LC。于点尸.

⑴摩天轮转动后到达图②位置，妈妈仰望两人时发现，A,B两处车厢刚好在同一视线上,

且此时仰角NC%=60。，求证：OP=pOB；

⑵当摩天轮转动到图③位置时，妈妈看小明的视线PA刚好与。。相切于点A,AP平分

NOPD.

①四边形。必8是（）

A.一般四边形B.平行四边形C.菱形D.斑形

②求此时小刚所在的B处到地面的距离.

图①帼②图③

第5题图

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第5天

打卡：一月一日

6」新考法——结合尺规作图续写证明过程］如图，在△ABC中，AB=AC,AG是△ABC的外

角N以C的平分线，在8c上求作一点。，在AG上求作一点£,使四边形是矩形.

作法：

HC

第6题图

①作NB4C的平分线，交BC于点、D；

②在AG上截取AE=CD,连接CE.则四边形ADCE是矩形.

(1)用直尺和圆规按照作法补全图形；

(2)求证：四边形4OCE是矩形，请补充下面证明过程及依据，并补全证明过程.

证明：-：AB=AC,

•••NB=()(填推理依据)，

*：AG是4ABC的外角ZMC的平分线，

：.ZFAG=ZGAC,

•/N8+ZACB=ZMG+ZGAC,

JNB=ZACB=ZFAG=ZGAC,

/.AE//CD,

【答题区】

23x—6

7.【新考法一纠错改错注重计算过程］下面是小李同学解不等式组j的部分

3+x>4

过程，请认真阅读并完成相应任务.

解.以5-

.3+x>4②

解不等式①，5一上•与世

去分母，得10—x>3x—6第一步

移项，得一x一3后一6—10第二步

合并同类项，得一4后一16第三步

系数化为1,得应4第四步

任务一：

(I)以上解不等式①过程中，第二步所用到的不等式的性质是

⑵上述解不等式①的过程第步出现了错误，其原因是：

任务二：

请写出正确的解题过程，并将不等式组的解集表示在数轴上.

▲▲3*』：

-4-^-2-10I4Q4.5

第7题图

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第6天

打卡：一月一日

8.［新考法——解决实际问题的探究］

【问题提出】

(1)如图①，在四边形A6C。中，对角线AC与60交于点O,己知AC=12,BD=8,ZAOB

=120°,求四边形A8C。的面积；

【问题解决】

(2)如图②，△ABC是某校图书馆的平面示意图，AB=AC=90m,NA=120。，因为学校发

展需要，现在图书馆的规模已经不能满足学生的阅读需求，学校计划将该图书馆进行拆除扩

建，扩建计划为：保留原来的8c边不变，在4c边上取一点。，连接BO,并以BD为边向

外作等边△8DE,连接CE,ZiBCE即为扩建后的图书馆的小意图，其中ABOE为阅览室，

图中阴影部分为休息区.设C。的长为xm,阴影部分的面积为SmL

①求S与x之间的函数关系式；

②由于施工条件的限制，点。只能取AC的三等分点，请直接写出休息区的面积.

图①图②

第8题图

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第7天

打卡：一月一日

9.［新考法——结合阴影部分面积］如图，反比例函数），=：仅＞0）的图象经过点41,2）,连接

AO并延长交双曲线于点C,以AC为对角线作正方形ABC。，AB与x轴交于点M,AZ）与），

轴交于点M连接。3,以AB为直径画弧，5A与线段0A围成的阴影面积为S，△0M8的

面积为

⑴求k的值；

（2）求5A的长度及线段0M的长度;

(3)求S1+S2的值.

第9题图

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第8天

打卡：一月一日

10.［新考法——结合新定义］

新定义：一条线段与另一条线段相等且垂直，则这条线段是另一条线段的“等垂线”.如图

①，在AABC中，/6=90。，点。在A6上，£：是6c延长线上一点，且AO=SE,线段A。

即为线段的“等垂线”，连接交A。于点尸.小华认为当NA"D=45。时，可以得到8。

=CE,下面是小华的不完整的推理过程.

解：如图②，过点A作AG_LA8,且使AG=8O,连接EG,DG,

'：AG±AB,ZB=90°,

••・NQAG=N4=90。，AG//BE,

在4人。6和4BED中，

AG=BD

<NDAG=NB,

,AD=BE

，△AOGaBED(SAS),

⑴请将小华的推理过程补充完整;

【迁移运用】

(2)如图③，在AABC中，N4C8=45。，点Z),E分别在AB,BC上，旦线段OE是线段AB

的“等垂线，，，延长。E交AC的延长线于点F,证明：BD=EF；

(3)如图④，在△A8C中，ZABC=90°,。为射线AB上一点，线段。E为线段A3的“等垂

线”，且点石在射线AC上，点尸在射线C8上，连接4凡与直线DE交于点G,若NCAF

=45°,人8=4,BD=1,直接写出8尸的长.

第1()题图

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第9天

打卡：一月一日

II」新形式——真实情境抽离抛物线］某公园为景观池中安装一雕塑。4,。4=2米，在点A

处安装喷水装置，喷出两股水流，两股水流可以抽象为平面直角坐标系中的两条抛物线(图

中的G，C2)的一部分，口两条抛物线的形状相同且顶点纵坐标相同，水流落点分别为3，

。.经测算发现在平面直角坐标系X。)，中，抛物线C2的顶点C到工轴的距离为2.5米，到)，

轴的距离为2米.

(1)求抛物线C2的表达式；

(2)小城同学打算操控微型无人机在G，C2之间飞行，为了无人机的安全，要求无人机在竖

直方向上的活动范围不小于0.5米，设无人机与OA的水平距离为〃?米，求〃?的取值范围.

第11题图

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第10天

打卡：一月一日

12.［新形式——项目学习型］河南省郑州市登封市嵩阳书院的大将军柏，是中国最古老的柏

树，人称“原始柏”，在国内外享有盛誉.某校老师带领学生参观“大将军柏''时，学生想测量

树的高度，老师询问管理人员有H么工具时，只发现了卷尺和平面镜.于是老师根据现有工

具制定如下的测量方案，测量结果如卜.：

课题测量“大将军柏”的高度

测量工具平面镜和卷尺

说明：小红站在。处恰好从。处的平面

测量示意图及说镜中看见“大将军柏”的顶部A，且点。，

明C,8在一条直线上，DELDB,AB1DB,

第12题图平面镜大小忽略不计

眼睛与地面高度。E=1.5m,平面镜到小红的距离CO=3m,平面镜到

测量数据

树底部的距离BC=24m

根据以上测量结果，求出“大将军柏的高度.

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第11天

打卡：一月一日

13」新考法——回归教材注重公式证明］已知：一元二次方程加+法+c=0有解，请推导出

求根公式.

14.［新考法——纠错改错注重证明过程］如图，在四边形A8CO中，ZABC=ZADC,8。平

分NA4C与N4OC,

求证：四边形4ACQ是菱形.

以下是某同学的证明过程：

证明：VZABC=ZADC.平分NABC与NAOC,

:・NADB=NCBD=NABD=NCDB,①

J.AD//BC,AB//DC,

・•・四边形ABCD是平行四边形，②

：,OA=OC.

平分NA3C,OB=OB,

••.△"0注4CBO,③

：,AB=CB,

・•・四边形ABC。是菱形.④

(1)上面的证明过程从第步开始出现了错误，错误的理由是

⑵请你写出正确的证明过程.

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第12天

打卡：一月一日

15.［新考法——阅读理解现场学习型］请阅读下列解题过程：

解一元二次不等式：『一2x—3V0.

解：设x2—Zt—3=0,解得用=—1,I2=3.

则抛物线y=f-2x—3与x轴的交点坐标为(-1,0)和(3,0).

画出二次函数y=f—2x—3的大致图象，如图①所示.

由图象可知：当一lVx<3时函数图象位于x轴下方，

止匕时)，V0,即F—2》一3<0.

所以一元二次不等式/一2%一3〈0的解集为：TVxV3.

通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答卜列问题：

图①图②

第15题图

(I)用类似的方法解一元二次不等式：一/+以一3>0；

⑵某“数学兴趣小组”根据以上的经验，对函数尸一(1一1)(仅1—3)的图象和性质进行了探究,

探究过程如下：

①列表：x与y的几组对应值如下表，其中m=；

X・・・-4-3-2-101234•・・

y・・・50-3-3010-3・・・

②如图②，在平面直角坐标系中画出了函数丁=一。一1)(四一3)的部分图象，用描点法将这

个图象补画完整；

③结合函数图象，解决下列问题：不等式一4W—(x—l)也|—320的解集为：.

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第13天

打卡：一月一日

16.［新形式——真实情境抽离抛物线汝口图①是一座古桥，桥拱截面为抛物线，如图②，A。，

8C是桥墩，桥的跨径A8为20m,此时水位在OC处，桥拱最高点P离水面6m,在水面

以上的桥墩AO,6c都为2m.以OC所在的直线为x轴，AO所在的直线为)，轴建立平面

直角坐标系，并设抛物线的表达式为y=a(x-h)2-\-k,其中Mm)是桥拱截面上一点距桥墩

AO的水平距离，)，(m)是桥拱截面上一点距水面OC的距离.

(I)求此桥拱截面所在抛物线的表达式；

⑵若桥拱最高点P离水面2m为警戒水位，求警戒水位处水面的宽度.

⑶有一艘游船，其左右两边缘最宽处有一个长方体形状的遮阳棚，此船正对着桥洞在河中

航行,当水位上涨2m时，水面到棚顶的高度为3m,遮阳棚宽10.8m,问此船能否通过桥

洞？请说明理由.

图①图②

第16题图

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第14天

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17.［新题型——回归教材注重定理证明］下面是证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的

方法，选择其中一种，完成证明.

证明：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.

已知：如图①，QE是△ABC的中位线.

求证：DE//BC,DE=3BC.

A

HN

第17题图①

方法一：如图②，延长。E到点F,使石产=

方法二：如图③，过点。作人8的平行线，交

DE,

DE的延长线于点F.

连接CK

第17题图③

第17题图②

18.［新考法——转化作图］如图，在RS48C中，ZC=90°.

(1)请用无刻度的直尺和圆规在A8边上作点E,使得△BACS^BCE；(要求：不写作法，保

留作图痕迹，使用23铅笔作图)

(2)在(1)的条件下，若3c=8,AC=6,求△8CE的周长.

第18题图

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第15天

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19.［新考法——尺规作图寻找路灯位置］

综合与实践：

问题探究：（1）如图①是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第1卷命题9"平分•个

已知角.”即：作一个已知角的平分线，如图②是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分

线作图法：在。人和08上分别取点C和。，使得OC=OD,连接CQ,以CO为边作等边

三角形CDE,则OE就是乙40B的平分线.请写出0E平分NAOB的依据：；

类比迁移：（2）小明根据以上信息研究发现：△CDE不一定必须是等边三角形，只需CE=

OE即可，他查阅资料：我国古代已经用角尺平分任意角，做法如下：如图③，在NA08的

边0A,08上分别取0M=0M移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点M,N重合，则

过角尺顶点C的射线OC是NA03的平分线，请说明此做法的理由；

拓展实践：（3）小明将研究应用于实践.如图④，校园的两条小路44和AC,汇聚形成了一

个岔路口4,现在学校要在两条小路之间安装一盏路灯£使得路灯照亮两条小路（两条小

路一样亮），并且路灯E到岔路口A的距离和休息椅D到岔路口4的距离相等，试问路灯应

该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规在对应的示意图⑤中作出路灯E的位

置.（保留作图痕迹，不写作法）

图①图②图③图④

图⑤

第19题图

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第16天

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20.［新考法——结合阴影部分面积］小慧借助下面的图形研究反比例函数的性质，如图，在

平面直角坐标系中，以反比例函数图象上的点A和点8（小，一2小）为顶点，分别作矩

形4c。。和矩形BEOF,点C,E在x轴上，点。，尸在），轴上，以点。为圆心，。尸长为

半径作前交BE于点G,连接A。，OG.

⑴求k的值；

（2）求NbOG的度数；

⑶求阴影部分的面枳.

第20题图

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第17天

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21.［新形式——真实情境老碗面抽离圆，情境来源于实际生活，设问解决现实问题汝「图，

陕西饮食文化源远流长，"老碗面”是陕西地方特色美食之一.图②是从正面看到的一个“老

碗"(图①)的形状示意图.触是00的一部分，。是@的中点，连接0。，与弦AB交于点C,

连接。A,08.已知A8=24cm,碗深CO=8cm.

⑴求OA的长;

(2)如图③，将一根筷子放入碗中，与端交于点E,EG/；AB交0D于点、G,且EG=0C.①

求线段4£的长度;

②若要使筷了•漏在碗外部分的K度为整个筷了长度的土应将筷了设计为多K?

图①图②图③

第21题图

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第18天

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22.［新考法——解题方法的迁移］阅读下列材料，并按要求完成相应的任务.

探究反比例函数图象中的等线段

我们知道，若反比例函数)，=(的图象与正比例函数,，=/总的图象相交于点A,B,则根据反

比例函数的图象与正比例函数的图象都关于原点对称，不难发现OA=O&那么如果反比例

函数)，=5的图象与一次函数y=〃犹+〃的图象相交于点儿B,一次函数的图象与x轴，y轴

分别交于点C，D,是否乜存在相等线段？

下面分别从反比例函数图象与一次函数图象的交点在同一象限和不同象限两种情况进行分

析：

情况1：交点在同一象限(以交点在第一象限为例).

如图①，过点8作8£Lx轴于点E,作轴于点凡BE,AF交于点、G,连接EF.设点

k

kkkkkCiFQ

A(a,-),B(b,T)(«>0,b>0),则GE=~,GB=T—,GF=b,GA=a~b,~T=

Clt/Cl1/Cl1/IJKK

ba

-^7,,然=务.又<NEG尸=/8GA，JAGE尸s4G8A(依据)，/.ZGEF=

a~bOAa~bO/A

ZGBA,：,FE//B\.>L'：AF//CE,，四边形4月％*是平行四边形，,"C=EE同理可得8D

=EF,从而AC=3。；

情况2：交点在不同象限(以交点在一、三象限为例).如图②，…

第22题图

任务：

(1)上述证明过程中的依据是：；

(2)请参照情况1的分析过程，写出情况2的分析过程;

(3)“从一般到特殊”的思想拓展研究数学中的一些问题，是数学中经常使用的解题方法.结

合以上信息，猜想：当反比例函数尸加0)的图象与一次函数尸如+〃(*0)的图象只有1

个交点时，设交点为P，一次函数)，=mx+〃的图象与x轴，y轴分别交于点C,D,试着找

出一条结论：.

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第19天

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23.［新考法——结合数据整理］综合与实践

问题情境

小莹妈妈的花卉超市以1，元/盆的价格新购进了某种盆栽花卉，为了确定售价，小莹帮妈妈

调查了附近A,B,3。，E五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价与日销售量情况，记录如

下：

件价（元/It）H彷仔景（周

42050

3030

C1854

I）2246

2638

数据整理

（I）请将以上调查数据按照一定顺序重新整理，填写在下表中:

售价（元/盆）

日销售量（盆）

模型建立

（2）分析数据的变化规律，找出H销售量与售价间的美系.

拓广应用

（3）根据以上信息，小莹妈妈在销售该种花卉中，

①要想每天获得400元的利润，应如何定价？

②佻价定为多少时，每天能够获得最大利润？

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第20天

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24.［新考法——一图多用］已知两个函数关系：

①小明从家匀速步行到图书馆，看了一会书后，搭上爸爸的顺风车匀速回家，设所用时间为

工（分钟），离家的距离为N千米）：

②将挂在弹簧测力计卜.方的一个铁块匀速浸入水中，在铁块完全浸没到水中后稍停片刻，再

以比之前快的速度匀速将铁块拉出水中，过程所用时间为Ms）,铁块所受浮力为MN）；

则它们的图象符合如图所示的是（）

A.①B.②C.①②D.都不符合

25.［新考法——作图步骤的判断|下面是老师在黑板上出的一道尺规作图题.

已知办BCD.

求作：菱形ABEF.（点E在线段8c上，点尸在线段AO上）

作法如下；

①分别以点&F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P：

②连接EF；

③以点A为圆心，A4长为半径画弧交4。于点F：

④连接AP并延长交3c于点£

BEC

（1）已知以上作法步骤是排乱的，则正确的排序是

（2）求证：四边形A叫卯为菱形.

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第21天

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26.［真实情境——跨学科情境杆秤］【综合与实践】

有言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心某兴趣小组将利用物理学中杠杆原

理制作简易杆秤，小组先及计方案，然后动手制作，再结合实际进行调试，请完成下列方案

设计中的任务.

第26题图

【知识背景】如图，称重物时，移动秤由可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：(〃”)+/〃)•/

=M3+y).其中秤盘质量〃?o克，重物质量〃?克，秤坨质量M克，秤纽与秤盘的水平距离

为/厘米，秤纽与零刻线的水平距离为。厘米，秤坨与零刻线的水平距离为)，厘米.

【方案设计】

目标：设计简易杆秤.设定，如=10,例=50,最大可称重物质量为1000克，零刻线与末刻

线的距离定为50厘米.

任务一：确定/和a的值.

(1)当秤盘不放重物，秤花在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于/,〃的方程；

⑵当秤盘放入质量为1000克的重物，秤泥从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，请列出关于

/，。的方程；

⑶根据(1)和⑵所列方程，求出/和。的值.

任务二：确定刻线的位置.

⑷根据任务一，求)，关于〃，的函数解析式；

⑸从零刻线开始，每隔100克在秤杆上找到对应刻线，请写出相邻刻线间的距离.

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第22天

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27.［新考法——真实问题情境购买问题］大学牛.驻村干部带领村民发展养殖业，据了解，张

大爷家的养殖场每天需要250千克饲料，饲料的价格为2.4元/千克，购买饲料每次的运费为

180元，另外，据调研饲料的保管费及其他费用的元)与•次购买饲料的天数M天)的函数关

系式为10臬探究：养殖场多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最

少？

下面是小兰同学解决这个问题的过程，请解答相关问题.

(1)设平均每天支付的总费用为)，元，则)，与X之间的函数关系式为________;

(2)%与)，的部分对应值如表，请补全表格；

x/天•••2345678910•・・

W元•・・700680675——686693700708•••

并在所给的平面直角坐标系中，描出表格中所对应的点，画出函数图象：

第27题图

(3)结合图象：养殖场天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少；

(4)若提供饲料的公司规定，当一次购买饲料不少于2000千克时，价格可享受九折优惠，在

该养殖场购买饲料时是否需要考虑这一优惠条件，简要说明理由.

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第23天

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28.［新形式—真实情境抽离圆］某种在同一平面进行转动的机械装置如图①，图②是它的

示意图.其工作原理是：滑块。在平直滑道/上可以左右滑动，在。滑动的过程中，连杆

PQ也随之运动，并且产。带动连杆O尸绕固定点O摆动，在摆动过程中，两连杆的接点产

在以为半径的。。上运动.数学兴趣小组为进一步研究其中所蕴含的数学知识，过点。

作于点〃，并测得0，=4分米，PQ=3分米，0。=2分米.

解决问题：

(1)点Q与点。间的最小距离是分米;点Q与点。间的最大距离是分米；

点。在/上滑到最左端的位置与滑到最右端位置间的距离是分米；

(2)如图③，有同学说：“当点。滑动到点”的位置时，PQ与0。是相切的.”你认为这个

判断对吗？说明理由；

(3)当。。绕点0左右摆动时，所扫过的区域为扇形，求这个扇形面积最大时圆心角的度数.

图①图②

第28典图否用图

班级：姓名：

第24天

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29」新形式——真实情境抽离抛物线］乒乓球被誉为中国国球.2023年的世界乒乓球锦标赛中,

中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开

的.如图①，是乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度OA为

28.75cm的高度，越过球网8,将乒乓球向正前方击拧到对面球台，乒乓球的运行路线近

似是抛物线的一部分.

乒乓球到球台的竖直高度记为M单位：cm),乒乓球运行的水平距离记为M单位：cm).测

得如下数据：

水平距离x/cm0105090130170230

竖直高度Wcm28.7533454945330

网①图②

第29题图

(1)填空：当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是cm,当乒乓球落在对面球

台上时，到起始点的水平距离是cm,并求出满足条件的抛物线解析式：

(2)如果只上下调整击球高度。4,乒乓球的运行轨迹形状不变，那么为了确保乒乓球既能过

网，又能落在对面球台上，需要计算出0人的取值范围，以利于有针对性的训练.如图②,

乒乓球台长08为274cm,球网高C。为15.25cm.现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球

高度04的值约为1.27cm,请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点8处时，击球高度

0A的值(乒乓球大小忽略不计).

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30.［过程开放——方案选取］

【问题背景】

如图①，数学实践课上，学习小组进行探究活动，老师要求大家对矩形ABCD进行如下操

作：①分别以点从C为圆心，以大于38c的长度为半径作弧，两弧相交于点E,F,作直

线方交3C于点。，连接AO：②将aABO沿AO翻折，点8的对应点落在点。处，作射

线AP交C。于点Q.

【问题提出】

在矩形A8C。中，AQ=5,AB=3,求线段CQ的长.

【问题解决】

经过小组合作、探究、展示，其中的两个方案如下：

方案■：连接OQ,如图②.经过推理、计算可求出线段CQ的长：

方案二：将AAAO绕点。旋转18()。至△RCO处，如图③.经过推理、计算可求出线段CQ的

长.

请你任选其中一种方案求线段CQ的长.

图①图②图⑤

第30题图

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31」新考法——结合作图痕迹的判断］如图，AB为。。的更径，点C为。。外一点，分别连

接AC,BC交。。于点。,E,过点。的切线。/交8C于点片且。尸〃48,以点A为圆

心，适当长为半径画弧，分别交AC,AB于点M,N,分别以点M,N为圆心，大于看WN的

长为半径画弧，两弧相交于点尸，作射线AP,射线4P哈好经过点E.

⑴求证：AC=AB；

(2)若AO=1,求CO的长.

第31题图

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32.［新设问——方案设计］

【问题背景】

"刻漏''是我国古代的一种利用水流计时的工具.综合实践小组准备用印、乙两个透叨的竖直

放置的容器和一根带节流阀(控制水的流速大小)的软管制作简易计时装置.

【实验操作】

综合实践小组设计了如下的实脸：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm,开始放水

后每隔lOmin观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表：

流水时间//min010203040

水面高度万/cm(观察值)302928.12725.8

任务1分别计算表中每隔10min水面高度观察值的变化量.

【建立模型】

小组讨论发现：＞=0,力=30”是初始状态下的准确数据，水而高度值的变化不均匀，但可

以用一次函数近似地刻画水面高度力与流水时间I的关系.

任务2利用f=0时，％=30；/=10时，〃=29这两组数据求水面高度〃与流水时间，的函

数解析式.

【反思优化】

经检脸，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差.小组决定优

化函数解析式，减少偏差,通过查阅资料后知道：/为表中数据时，根据解析式求出所对应

的函数值，计算这些函数值与对应，的观察值之差的平方和，记为明w越小，偏差越小.

任务3(1)计算任务2得到的函数解析式的卬值.

(2)请确定经过(0,30)的一次函数解析式，使得w的值最小.

第32题图

【设计刻度】

得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时

间.

任务4请你简要写出时间刻度的设计方案.

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33.［新考法——跨物理］

在实验课上，小明做了一个试验.如图①，在仪器左边托盘4固定）中放置一个物体，在右

边托盘6（可左右移动）中放置一个可以装水的容器，容器的质量为5g.在容器中加入一定质

量的水，可以使仪器左右平衡.改变托盘5与点C的距离Mcm）（O〈g60）,记录容器中加入

的水的质量，得到下表：

]CB

L--------J

第33题图①

托盘B与点C的距离x/cm3025201510

容器与水的总质量）”g1012152030

加入的水的质量y*g57101525

把上表中的工与.W各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出这些点，并用光滑

的曲线连接起来，得到如阿②所示的9关于x的函数图象.

⑴请在该平面直角坐标系中作出L关于x的函数图象：

（2）观察函数图象，并结合表中的数据：

①猜测>'|与x之间的函数关系，并求》关于x的函数表达式；

②求”关于x的函数表达式；

③当0V烂60时,》随x的增大而（填“增大”或“减小”）,）空随x的增大而（填

“增大’或"减小”），心的图象可以由N的图象向（填“上”或“下”或“左”或“右”）平移得

到；

⑶若在容器中加入的水的质量以g）满足19<>-2<45,求托盘B