2024中考二次函数压轴题专题分类训练

2024中考二次函数压轴题专题分类训练

题型一：面积问题

【例1】（2024湖南益阳）如图2,抛物线顶点坐标为点以1,4）,交x轴于点月（3,0）,交

y轴于点B.

（1）求抛物线和直线/山为解析式:

(2)求△08的铅垂高◎及8,汕；

(3)设点夕是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点。，使以“=9幺诩,

若存在，求出产点的坐标；若不存在，请说明理由.

【变式练习】

1.（2024广东省深圳市）如图，在直角坐标系中，点力的坐标为（一2,0）,连结物，将线

段力绕原点。顺时针旋转120°,得到线段OB.

（1）求点夕的坐标：

（2）求经过力、0、8三点的抛物线的解析式；

（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点。，使△〃优’的周长最小？若存在，求出点C

的坐标；若不存在，请说羽理由.

（4）假如点P是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△必〃是否有最大面积？

若有，求出此时尸点的坐标及△A18的最大面积；若没有，请说明理由.

2.（2024绵阳）如图，抛物线y=/次+4与x轴的两个交点分别为A（一4,0）、B

（2,0）,与y轴交于点2顶点为〃.E八,2）为线段比的中点，重的垂直平分线与x

轴、y轴分别交于区G.

（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点〃的坐标；

（2）在直线价'上求一点〃，使△⑦〃的周长最小，并求出最小周长;

（3）若点/在x轴上方的抛物线上运动，当片运动到什么位置时，

△目改的面积最大？并求出最大面积.

3.（2024铜仁）如图，已知：直线y=-工+3交x轴于点A,交y轴于点B,抛物线y=ax24bx+c

经过A、B、C（1,0）三点.

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点D的坐标为（-1,0）,在直线y=-x+3上有一点P,使AABO与AADP相像，

求出点P的坐标；

（3）在（2）的条件下，在x轴下方的抛物线上，是否存在点E,使"ADE的面积等于

四边形APCE的面积？假如存在，恳求出点E的坐标；假如不存在，请说明理由.

题型二：构造直角三角形

[例2]（2024山东聊城）如图，已知抛物线y=^+bx^c（aWO）的对称轴为x=l,且抛

物线经过力（一1,0）、。（0,—3）两点，与x轴交于另一点自

（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；

（2）在抛物线的对称轴）=1上求一点M使点必到点A的距离与到点。的距离之和最小，

并求此时点"的坐标；

（3）设点尸为抛物线的对称轴产1上的一动点，求使N/⑦=90°的点尸的坐标.

【变式练习】

1.（2024广州）如图，抛物线尸-至乂？-ax+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左

84

侧），与y轴交于点c.

（1）求点A、B的坐标；

（2）设D为己知抛物线的对称轴上的随意一点，当4ACD的面积等于AACB的面积时，求点

D的坐标；

（3）若直线1过点E（4,0）,M为直线1上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角

形有且只有三个时，求直线1的解析式.

2.（2024成都）在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=〃（x++c（〃>0）与x粘交于

A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C,其顶点为M,若直线MC的函数表达式为

y二区一3,与x轴的交点为N,且COSNBCO=§4°

（1）求此抛物线的函数表达式；

（2）在此抛物线上是否存在异于点C的点P,使以N、F、C为顶点的三角形是以NC为一条

直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明理由：

（3）过点A作x轴的垂线，交直线MC于点Q.若将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线

与线段NQ总有公共点，则勉物线向上最多可平移多少个单位长度？向下最多可平移多少个单

位长度？

3.（2024杭州）在平面直角坐标系内，反比例函数和二次函数y=k（x2+x-1）的图象交于点

A（Ek）和点B（-1,-k）.

（1）当k=-2时，求反比例函数的解析式；

（2）要使反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大，求k应满意的条件以及x的

取值范围；

（3）设二次函数的图象的顶点为Q,当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值

4.如图(1),抛物线丁=./+工-4与夕轴交于点儿£(0,b)为y轴上一动点，过点£的

直线y=x+Z?与抛物线交于点以C.

(1)求点力的坐标；

(2)当后0时(如图(2)),工A3石与「ACE的面积大小关系如何？当〃>-4时，上述关

系还成立吗，为什么？

(3)是否存在这样的儿使得/3OC是以比、为斜边的直角三角形，若存在，求出力；若不

第26题

题型三：构造等腰三角形

【例3】如图，已知抛物线），=o?+H+3（。#0）与X轴交于点41,0）和点8（—3,0）,

与y轴交于点C.

（1）求抛物线的解析式：

（2）在x轴上是否存在一点Q使得AACQ为等腰三角形？若存在，请干脆写出全部符合条

件的点Q的坐标：若不存在，请说明理由；

（3）设抛物线的对称轴与A■轴交于点M,问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三

角形？若存在，请干脆写出全部符合条件的点P的坐标：若不存在，请说明理由.

【变式练习】

1.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m,m）,点B的坐标为（n,-n）,抛物线

经过A、0、B三点，连接0A、OB、AB,线段AB交y轴于点C.已知实数m、n（m<n）分别

是方程x2-2x-3=0的两根.

（1）求抛物线的解析式;

（2）若点P为线段0B上的一个动点（不与点0、B重合），直线PC与抛物线交于D、E两点

（点D在y轴右侧），连接0D、BD.

①当△0PC为等腰三角形时，求点P的坐标；

②求aBOD面积的最大值，并写出此时点D的坐标.

2.如图，抛物线)，=依2-5取+4经过448。的三个顶点，已知8C〃x轴，点A在工轴

上，点C在y轴上，且AC=BC.

(1)写出A,B,C三点的坐标并求抛物线的解析式；

(2)探究：若点尸是抛物线对称轴上且在x轴下方的动点，是否存在△期/是等腰三角

形.若存在，求出全部符合条件的点P坐标；不存在，请说明理由.

3.(2024黄冈)已知抛物线)，=0?+/>+以4工0)顶点为C(1,1)且过原点0.过抛物线

上一点P(x,y)向直线y=工作垂线，垂足为M,连FM(如图).

4

(1)求字母a,b,c的值;

3

(2)在直线x=l上有一点尸(1,一)，求以PM为底边的等腰三角形PFM的P点的坐标，并证

4

明此时△「党,为正三角形；

(3)对抛物线上随意一点P,是否总存在--点N(l,t),使P\I=PN恒成立，若存在恳求出

t值，若不存在请说明理由.

题型四：构造相像三角形

【例4】(2024临沂)如图，已知抛物线经过A(-2,0),B(-3,3)及原点0,顶点为C.

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点I)在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且A、()、1)、E为顶点的四边形是平行

四边形，求点D的坐标；

(3)P是抛物线上的第一象限内的动点，过点P作PM_Lx轴，垂足为是否存在点P,使

得以P、M、A为顶点的三箱形△B0C相像？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理

【变式练习】

1.(2024天水)如图，已知抛物线经过A(4,0),B(1,0),C(0,-2)三点.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)在直线AC上方的该抛物线上是否存在一点D,使得4DCA的面枳最大？若存在，求出

点D的坐标及4DCA面积£勺最大值；若不存在，请说明理由.

(3)P是直线x=l右侧的该抛物线上一动点，过P作PM_Lx轴，垂足为M,是否存在P点，

使得以A、F\M为顶点的三角形与△0AC相像？若存在，恳求出符合条件的点P的坐标；若

不存在，请说明理由.

2.如图，二次函数的图象经过点1）（0,Z6）,且顶点C的横坐标为4,该图象在x轴上截

9

得的线段AB的长为6.

（1）求二次函数的解析式；

（2）在该抛物线的对称轴上找一点P,使PA+PD最小，求出点P的坐标；

（3）在抛物线上是否存在点Q,使aQAB与aABC相像？假如存在，求出点Q的坐标；假如

不存在，请说明理由.

11b

[例5]（2024苏州）如图,已知抛物线y-X」--（b+l：x+-（b是实数且b>2）与x轴的

444

正半轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴的正半轴交于点C.

（1）点B的坐标为，点C的坐标为（用含b的代数式表示）；

（2）请你探究在第一象限内是否存在点P,使得四边形PC0B的面积等于2b,旦^PBC是以

点P为直角顶点的等腰直角三角形？假如存在，求出点P的坐标；假如不存在，请说明理由；

（3）请你进一步探究在第一象限内是否存在点Q,使得△QCO,AQ0A和△QAB中的随意两

个三角形均相像（全等可作相像的特别状况）？假如存在，求出点Q的坐标：假如不存在，

请说明理由.

【变式练习】

1.(2024上海宝山)如图，平面直角坐标系宜力中，己知点A(2,3),线段垂直于y轴，

垂足为B,将线段A8绕点八逆时针方向旋转90。，点E落在点。处，直线8c与x雅的交

于点O.

(1)试求出点。的坐标；y

(2)试求经过4、B、。三点的抛物线的表达式，

并写出其顶点E的坐标；B-----------------A

(3)在(2)中所求抛物线的对称轴上找点方，使得

以点A、E、尸为顶点的三角形与△48相像.1.

-----------1—।—1—।--------------1—।—।—।

01x

（图7）

2.(2024上海杨浦区)已知直线)，=g尤+1与x轴交于点儿与y轴交于点反将△力如绕

点。顺时针旋转90。，使点力落在点C,点8落在点〃，抛物线y=or2+/zr+c•过点人。、

C,其对称轴与直线力〃交于点儿

(1)求抛物线的表达式：

(2)求/取的正切值；y

(3)点”在A•轴上，且与△/!勿相像，求点M的

坐标。

1

0Ix

3.(2024宁波)如图，二次函数产Q/+ZM+C的图象交x轴于A(-1,0),B(2,0),交)，

轴于C(0,-2),过A,。画直线.

(1)求二次函数的解析式；

(2)点P在x轴正半轴上，且布=尸。，求OP的长；

(3)点M在二次函数图象上，以W为圆心的圆与直线AC相切，切点为

①若”在)，轴右侧，且△△AOC(点C与点人对应)，求点用的坐标；

②若OM的半径为右打，求点M的坐标.

(备用图)

题型五：构造梯形

【例6】已知，矩形。用完在平面直角坐标系中位置如图1所示，点力的坐标为(4,0),点。

2

的坐标为(0,-2),直线y=--x与边灯?相交于点D.

3

(1)求点〃的坐标；

(2)抛物线y=〃/+尻+。经过点儿仄(),求此抛物线的表达式；

(3)在这个抛物线上是否存在点M使0、〃、力、”为顶点的四边形是梯形？若存在，恳求

出全部符合条件的点必的坐标：若不存在，请说明理由.

5

【变式练习】

1.已知平面直角坐标系刀勿中，抛物线y=——("I)才与直线旷=履的一个公共点为A(4,

8).

(1)求此抛物线和直线的解析式；

(2)若点夕在线段勿上，过点〃作y轴的平行线交(1)中抛物线于点Q,求线段“长度

的最大值；

(3)记(1)中抛物线的顶点为M点N在此抛物线上，若四边形月〃也V恰好是梯形，求点力

的坐标及梯形力的邠的面积.

个y

1

2.(2024义乌)已知二次函数的图象经过1(2,())、C((),12)两点,且对称轴为直线/一

4,设顶点为点R与x轴的另一交点为点反

(1)求二次函数的解析式及顶点〃的坐标；

(2)如图1,在直线y=2x上是否存在点〃，使四边形。阳〃为等腰梯形？若存在，求出点

〃的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)如图2,点必是线段W上的一个动点(0、尸两点除外)，以每秒右个单位长度的速度

由点P向点。运动，过点."作直线外//x轴，交加于点、将△EMV沿直线对折，得

到△凡柳：在动点J/的运动过程中，设△几周与梯形如物的重叠部分的面积为S,运动时

间为「秒，求S关于1的函数关系式.

3.如图1,二次函数丁=/+〃工+4(〃<0)的图象与*轴交于尔〃两点，与y轴交于点。

(0,-1),△4%、的面积为2.

4

(1)求该二次函数的关系式；

(2)过y轴上的一点J/((),加作y轴的垂线，若该垂线与△4?。的外接圆有公共点，求/〃

的取值范围；

(3)在该二次函数的图象上是否存在点〃，使以力、B、a〃为顶点的四边形为直角梯形？

若存在，求出点〃的坐标；若不存在，请说明理由.

题型六：构造平行四边形

【例7】（2024陕西）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过A（―1,0）,B（3,0）,C

（0,—1）三点。

（1）求该抛物线的表达式；

（2）点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使以点Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形,

求全部满意条件的点P的坐标。

【变式练习】

1.（2024成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数尸号x+n（m为常数）的图象

与x轴交于点A（・3,。），与y轴交于点C.以直线x=l为对称轴的抛物线y=ax2+bx+c（a,

b,c为常数，且axO）经过A,C两点，并与x轴的正半轴交于点B.

（1）求m的值及抛物线的函数表达式；

（2）设E是y轴右侧抛物线上一点，过点E作直线AC的平行线交x轴于点F.是否存在

这样的点E,使得以A,C,E,F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E的坐标

及相应的平行四边形的面积；若不存在，请说明理由；

（3）若P是抛物线对称轴上使4ACP的周长取得最小值的点，过点P随意作一条与y轴不

vp.Mp

平行的直线交抛物线于Mi（xi,yi）,M2（X2,y2）两点，摸索究」——《是否为定值，

M।M2

并写出探究过程.

2.如图1,在平面直角坐标系中，已知抛物线经过加一4,0)、6(0,—4)、0(2,0)三点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点〃为第三象限内抛物线上一动点，点.”的横坐标为勿，△也6的面积为S,求S关

于/〃的函数关系式，并求出S的最大值；

(3)若点〃是抛物线上的动点，点，是直线y=-x上的动点，推断有几个位置能使以点P、

0、B、。为顶点的四边形为平行四边形，干脆写出相应的点0的坐标.

3.(2024威海)如图，抛物线y=ax、bx+c交x轴于点A(-3,0),点B(l,0),交y轴于

点E((),-3).点C是点A关于点B的对称点，点F是线段BC的中点，直线1过点F且与

y轴平行.直线y=-x+m过点C,交y轴于D点.

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)点K为线段AB上一动点，过点K作x轴的垂线与直线CD交于点H,与抛物线交于点G,

求线段HG长度的最大值；

(3)在直线1上取点在抛物线上取点N,使以点A,C,M,N为顶点的四边形是平行四

【例8］已知平面直角坐标系xOy（如图1）,一次函数y=』x+3的图像与y轴交于点儿

4

点."在正比例函数,，=3%的图像上，且制9=场.二次函数从“

尸v+〃汗+。的图像经过点儿机

（1）求线段力"的长；

（2）求这个二次函数的解析式；

（3）假如点8在y轴上，且位于点力下方，点。在上述二次函

数的图像上，点〃在一次函数y=,x+3的图像上，且四边形°1

月皿是菱形，求点C的坐标.

【变式练习】

1.将抛物线。：），=-瓜2+G沿X轴翻折，得到抛物线C2,如图1所示.

（1）请干脆写出抛物线C2的表达式；

（2）现将抛物线。向左平移加个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M与x轴的交

点从左到右依次为从8；将抛物线。2向右也平移0个单位长度，平移后得到新抛物线的顶

点为A；与x轴的交点从左到右依次为〃、E.

①当从〃是线段4T的三等分点时，求力的值；

②在平移过程中，是否存在以点儿凡仄W为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，

恳求出此时勿的值：若不存在，请说明理由.

题型七：线段最值问题

【例9】（2024薄泽）如图，抛物线yJx2+bx-2与x轴交于A,B两点，与y轴交于C点,

2

且A（-1,0）.

（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标：

（2）推断aABC的形态，证明你的结论；

（3）点M（m,0）是x轴上的一个动点，当MC+MD的值最小时，求m的值.

【变式练习】

1.（2024山东省荷泽市〕如图，已知抛物线y=a/+bx+c与y轴交于点40,3）,与x

轴分别交于6（1,0）、。⑸0）两点.

（1）求此抛物线的解析式；

（2）若一个动点尸自办的中点W动身，先到达x轴上的某点（设为点£）,再到达抛物线

的对称轴上某点（设为点尸），最终运动到点4求使点，运动的总路径最短的点E、点尸的

坐标，并求出这个最短总路径的长.

2.(2024广东深圳)如图13,抛物线y=a/+bx+c(aW0)的顶点为(1,4),交x轴干A、

B,交y轴于D,其中B点的坐标为(3,0)

(1)求抛物线的解析式

(2)如图14,过点A的直线与抛物线交于点E,交y轴于点F,其中E点的横坐标为2,若

直线PQ为抛物线的对称轴，点G为PQ上一动点，则x轴上是否存在一点H,使D、G、F、H

四点围成的四边形周长最小.若存在，求出这个最小值及G、H的坐标；若不存在，请说明理

由.

(3)如图15,抛物线上是否存在一点T,过点T作x的垂线，垂足为M,过点M作直线MN

〃BD,交线段AD于点N,连接MD,使△DNVS2XBMD,若存在，求出点T的坐标：若不存在,

说