直线与圆专题复习第2讲 直线的方程 训练题集【老师版】

高中数学精编资源2/2第2讲直线的方程一、单选题1．（2021·全国·高二课时练习）下列命题，错误的个数是（）①任意一条直线一定是某个一次函数的图像；②关于x的一次函数的图像是一条直线；③以一个二元方程的解为坐标的点都在某条直线上，则这个方程叫做这条直线的方程；④若一条直线上所有点的坐标都是某个方程的解，则这条直线叫做这个方程的直线．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根据曲线与方程一一对应的充要条件，对命题一一判断即可．【详解】①直线不是一次函数，故错；②一次函数的图像是一条射线，故错；③方程的解为坐标的点都在直线上，但这个方程不是这条直线的方程，故错；④曲线与方程一一对应用的充要条件是曲线上所有点的坐标都是方程的解，同时方程的所有解也是曲线上的点坐标，故错．故选：D2．（2021·四川·阆中中学高二月考（文））已知，，，则过点，的直线的方程（）A． B．C． D．【答案】A【分析】通过观察求得直线的方程.【详解】由于两点在直线上，所以的坐标满足直线的方程，通过观察可知，直线的方程为.故选：A3．（2021·江西·景德镇一中高三月考（理））已知函数，若是函数的一条对称轴，且，则点所在的直线为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由辅助角公式对三角函数式化简，结合正弦函数对称轴的性质求得的表达式，代入条件中，用诱导公式化简即可求得，即可得点所在的直线方程．【详解】由辅助角公式化简函数可得则对称轴满足，则因为是函数的一条对称轴，则，则，即，所以，即点所在的直线方程为，故选：B．4．（2021·河南·高三月考（文））若函数的图象恒经过的定点在直线（，）上，则的最小值是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出的图象所过定点坐标代入直线方程得关系，然后由基本不等式求得最小值．【详解】由题意，所以定点坐标为，所以，即，因为，，当且仅当，即时等号成立，故选：C．5．（2021·江苏·高二专题练习）若表示两条直线，则实数的值为（）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】B【分析】由题可得方程左边一定可以表示为两个一次式的乘积，设比较系数可求出.【详解】若表示两条直线，则其左边一定可以表示为两个一次式的乘积，又因缺少项，则可设，即，则，解得.故选：B.【点睛】关键点睛：解决本题的关键是判断出方程左边一定可以表示为两个一次式的乘积，可设为.6．（2021·天津三中高二月考）直线经过第一、二、四象限，则a、b、c应满足（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据直线经过第一、二、四象限判断出即可得到结论.【详解】由题意可知直线的斜率存在，方程可变形为，∵直线经过第一、二、四象限，∴，∴且．故选：A.7．（2021·湖北·大冶市第一中学高二月考）已知三角形的三个顶点坐标为：，，，则三角形的面积为()A．5 B． C．10 D．【答案】A【分析】结合已知条件求出直线AB的方程和，然后利用点到直线的距离公式求出点到直线AB的距离，进而可求出三角形面积.【详解】由，，故直线的方程：，即，，从而到的距离，故三角形的面积.故选：A.8．（2021·江苏省苏州第十中学校高二月考）已知M（3，），A（1，2），B（3，1），则过点M和线段AB的中点的直线方程为（）A．4x+2y﹣5＝0 B．4x﹣2y﹣5＝0 C．x+2y﹣5＝0 D．x﹣2y﹣5＝0【答案】B【分析】求出线段AB的中点坐标，再根据直线的两点式方程即可的解.【详解】解：因为A（1，2），B（3，1），所以线段AB的中点坐标为，所以过点M和线段AB的中点的直线方程为，即.故选：B.9．（2021·北京·人大附中高二期中）在平面直角坐标系中，是坐标原点，与轴、轴分别交于、两点，给出下列四个命题：①存在正实数，使的面积为的直线仅有一条；②存在正实数，使的面积为的直线仅有两条；③存在正实数，使的面积为的直线仅有三条；④存在正实数，使的面积为的直线仅有四条；其中所有真命题的序号是（）A．①②③ B．③④C．②④ D．②③④【答案】D【分析】用表示的面积，讨论其单调性和值域后可得正确的选项.【详解】因为，故，其中且.故的面积，故，由对勾函数的性质可得：在上为减函数，在为增函数，所以当时，的取值范围为.而因为在上为减函数，在为增函数，所以当时，的取值范围为，故的图象如图所示：所以当时，使的面积为的直线仅有四条；当时，使的面积为的直线仅有三条；当时，使的面积为的直线仅有两条；故②③④正确.故选：D.10．（2021·安徽·高二月考）已知直线在两坐标轴上的截距相等，则实数（）A．1 B．-1 C．2或1 D．2或-1【答案】C【分析】显然，再分与两种情况讨论，若，将直线方程化为截距式，即可得到方程，解得即可；【详解】解：依题意可知，由题意，当，即时，直线化为，此时直线在两坐标轴上的截距都为0，满足题意；当，即时，直线化为，由直线在两坐标轴上的截距相等，可得，解得；综上所述，实数或.故选：C二、多选题11．（2021·福建·高二月考）下列说法正确的是（）A．在两坐标轴上截距相等的直线都可以用方程表示B．方程表示的直线斜率一定存在C．经过点，倾斜角为的直线方程为D．经过两点的直线方程为【答案】BD【分析】根据直线方程、倾斜角、斜率等知识对选项逐一分析，从而确定正确选项.【详解】A选项中直线在两坐标轴上的截距相等，但不能用表示，所以A选项错误；B选项，方程表示的直线斜率为，所以B选项正确.C选项中若则直线斜率不存在，直线不能用点斜式表示，故C错.D选项，结合直线方程两点式可知，D选项正确.故选：BD12．（2021·湖南·永州市第四中学高三月考）设点满足．则点（）A．只有有限个 B．有无限多个C．位于同一条直线上 D．位于同一条抛物线上【答案】BC【分析】由已知得，根据的单调性有，即可知的性质.【详解】由题意，可得，又单调递增，得，则，故满足条件的点有无穷多个，且都在直线上．故选：BC13．（2021·江苏·星海实验中学高二月考）已知直线的方程是的方程是，则下列各示意图中，不正确的是（）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】对A、B、C、D四个选项中的直线方程入手分别分析出，与0的大小且是否满足题干中的条件，进而找到不正确的选项.【详解】对于A选项：从可以看出，，从可以看出，，矛盾，A选项错误；对于B选项：从可以看出，，从可以看出，，矛盾，B选项错误；对于C选项：从可以看出，，从可以看出，，矛盾，C选项错误；对于D选项：从可以看出，，从可以看出，，且满足，，选项D正确.故选：ABC14．（2021·湖北·华中科技大学附属中学高二月考）下列说法正确的有（）A．若直线经过第一、二、四象限，则在第二象限B．直线必过定点C．过点，且斜率为的直线的点斜式方程为D．斜率为，且在轴上的截距为的直线方程为【答案】ABC【分析】由直线经过象限可确定的正负，由此知A正确；整理可求得B中直线过定点，得B正确；由直线点斜式和斜截式方程定义可确定CD正误.【详解】对于A，由直线经过第一、二、四象限可得：，，在第二象限，A正确；对于B，由得：，则直线恒过定点，B正确；对于C，由点斜式方程定义可知该直线方程为：，C正确；对于D，由斜截式方程定义可知该直线方程为：，D错误.故选：ABC.15．（2021·全国·高二专题练习）若，，且，则直线经过（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】ABC【分析】根据题意可得，，，进而转化为，从而求出的值，进而求出直线的方程，即可判断直线所经过的象限.【详解】∵，，且，∴，，，∴，∴，则直线，即，即，故直线不经过第四象限．故选：ABC．16．（2021·全国·高二专题练习）若三条直线l1：ax+y+1＝0，l2：x+ay+1＝0，l3：x+y+a＝0不能围成三角形，则a的取值为（）A．a＝1 B．a＝-1 C．a＝-2 D．a＝2【答案】ABC【分析】根据题意得出l1和l3平行或重合，或l2和l3平行或重合，或l1和l2平行或重合以及三线交于同一个点，分类讨论，利用两条直线平行的条件分别求得m的值．【详解】由题意可得l1和l3平行或重合，或l2和l3平行或重合，或l1和l2平行或重合，或三条直线交于同一个点，若l1和l3平行或重合，则，求得a＝1；若l2和l3平行或重合，则，求得a＝1；若l1和l2平行或重合，则，求得a＝±1；若三条直线l1：ax+y+1＝0，l2：x+ay+1＝0，l3：x+y+a＝0交于同一个点时，a＝-2.综上可得，实数a所有可能的值为-1，1，-2，故选：ABC．三、填空题17．（2021·全国·高二课时练习）已知两条直线和都过点，则过，两点的直线方程是______．【答案】【分析】结合直线方程的定义求过，两点的直线方程.【详解】点在直线上，．由此可知点的坐标满足．点在直线上，．由此可知点的坐标也满足．两点确定一条直线，过，两点的直线方程是，故答案为：.18．（2021·北京·首都师范大学附属中学高二期中）已知直线l过点，且在横坐标轴与纵坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程可以是___________（写出一种即可）【答案】，或（写出一个即可）【分析】分直线l过原点、直线l在两个坐标轴上的截距存在且不为0，且截距相等和截距互为相反数三种情况讨论，分别设点斜式、截距式，待定系数即得解【详解】由题意，直线l过点，且在横坐标轴与纵坐标轴上的截距的绝对值相等（1）若直线l过原点，设直线方程为，则故直线方程为：（2）若直线l在两个坐标轴上的截距存在且不为0，且截距相等，设直线方程为则故直线方程为：（3）若直线l在两个坐标轴上的截距存在且不为0，且截距互为相反数，设直线方程为，则故直线方程为：综上直线的方程可以是：，或故答案为：，或（写出一个即可）19．（2021·江苏·高二专题练习）已知直线，直线.当a_____时，l1与l2相交；当a__时，l1⊥l2；当a___时，l1与l2重合；当a____时，l1∥l2．【答案】且；；；【分析】直接根据两条直线位置关系公式求解即可.【详解】由，得或，当时，l1：-x+2y+6＝0，l2：x+2y＝0，显然l1∥l2；当时，l1：x+y+3＝0，l2：x+y+3＝0，显然l1与l2重合；当且时，l1与l2相交；由，可解得，此时l1⊥l2.故答案为：且；；；.20．（2021·湖北·高二月考）已知直线恒过定点A，点A在直线上，则的最小值为___________.【答案】9【分析】由直线方程分析可得定点A为，进而有，根据目标式结合基本不等式“1”的代换求最小值即可，注意等号成立条件.【详解】由题设，，∴当时，方程恒成立，故直线恒过定点，∴，则，当且仅当时等号成立，∴的最小值为.故答案为：四、解答题21．（2021·福建省建瓯市芝华中学高二月考）已知直线l：(a+1)x+y+2-a=0(a∈R)．（1）若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；（2）当O(0，0)点到直线l的距离最大时，求直线l的方程．【答案】（1）x+y+2=0或3x+y=0；（2）x-3y-10=0．【分析】（1）求得横截距和纵截距，由此列方程求得的值，从而求得直线的方程.（2）求得直线所过定点，根据求得直线的斜率，由此求得直线的方程.【详解】（1）依题意得，a+1≠0．令x=0，得y=a-2；令y=0，得x=．∵直线l在两坐标轴上的截距相等，∴a-2=，化简，得a(a-2)=0，解得a=0或a=2．因此，直线l的方程为x+y+2=0或3x+y=0．（2）直线l的方程可化为a(x-1)+x+y+2=0．令解得因此直线l过定点A(1，-3)．由题意得，OA⊥l时，O点到直线l的距离最大．因此，kl==，∴直线l的方程为y+3=(x-1)，即x-3y-10=0．22．（2021·安徽·高二月考）已知直线的倾斜角为60°.（1）若直线过点，求直线的方程；（2）若直线在轴上的截距为4，求直线的方程.【答案】（1）（2）【分析】（1）根据直线的倾斜角求出直线的斜率，再根据直线的点斜式方程即可求解；（2）根据直线的倾斜角求出直线的斜率，再根据直线的斜截式方程即可求解.（1）∵直线的倾斜角为60°，∴直线的斜率为，∵直线过点，∴由直线的点斜式方程得直线的方程为，即.（2）∵直线的倾斜角为60°，∴直线的斜率为，∵直线在轴上的截距为4，∴由直线的斜截式方程得直线的方程为.23．（2021·北京·首都师范大学附属中学高二期中）已知的三个顶点分别为，，，求：（1）边上中线所在直线的方程（D为中点）；（2）边的垂直平分线的方程；（3）求的外接圆方程.【答案】（1）（2）（3）【分析】（1）计算线段的中点坐标，然后得到中线的斜率，最后利用点斜式计算即可.（2）计算直线的斜率，得到中垂线的斜率，然后利用点斜式计算即可.（3）计算中垂线的方程，然后与（2）中方程联立可得圆心，进一步得到半径，可得结果.（1）线段的中点，所以直线的斜率为，所以中线的方程为：，即（2）直线的斜率，所以中垂线的斜率为所以中垂线的方程为：，即（3）线段中垂线的方程，所以所以该外接圆的圆心为，所以半径为所以该三角形的外接圆方程为：24．（2021·江苏如皋·高三月考）如图，是一张三角形纸片，，，，设与，的交点分别为，，将沿直线折叠后，使落在边上的点处.（1）设，试用表示点到距离；（2）求点到距离的最大值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）以为原点，边，所在的直线分别为轴，轴建立平面直角坐标系，，设，求出，由可得，再求出的中点坐标，可得直线的方程与的方程联立求得的值即可求解；（2）结合（1）利用换元法求最大值即可.（1）以为原点，边，所在的直线分别为轴，轴建立如图所示的平面直角坐标系，设，又因为，所以，因为点与点重合，所以，所以，因为的中点为，从而直线的方程为：，即①，又直线的方程为：②由①②解得：；（2）令，则，，所以，由于，当且仅当，即时，即时，取最大值，所以当时，点到距离最大，最大值为.25．（2021·重庆市永川景圣中学校高二月考）已知的三个顶点分别为，，，BC中点为D点，求：（1）边所在直线的方程（2）边上中线AD所在直线的方程（3）边的垂直平分线的方程.【答案】（1）（2）（3）【分析】（1）计算，根据点斜式得到直线方程.（2）计算中点坐标为，再计算，得到直线方程.（3），得到垂直平分线的斜率为，中点为，得到直线方程.（1），故边所在直线的方程为：，化简得到.（2）中点为，即，故，故AD所在直线的方程为，即.（3），故垂直平分线的斜率为，中点为，故垂直平分线的方程为，即.26．（2021·江西师大附中高二月考）设直线l的方程为（）.（1）若直线不经过第三象限，求的取值范围；（2）若直线l分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于两点，当面积取得最小值时，求的周长.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）写出直线的斜截式，通过直观想象，利用斜率和纵截距的符号得到答案；（2）根据题意求出A,B的坐标，进而求出三角形面积，然后结合基本不等式求出面积的最小值，最后求出周长.【详解】（1）由题意，，根据题意，，解得，所以实数的取值范围是.（2）由题意，，当时，有，当时，，即，，所以，当且仅当，即时，三角形的面积最小，此时，，所以这时周长为.27．（2021·广东·蕉岭县蕉岭中学高二月考）已知直线：.（1）证明：直线一定经过第三象限；（2）设直线与轴，轴分别交于,点，当点离直线最远时，求的面积.【答案】（1）证明见解析（2）6【分析】（1）先求出直线的定点，进而根据定点的位置得到答案；（2）记直线所过的定点为Q，进一步判断当时，点离直线最远，进而求出直线方程，算出A,B的坐标，然后算出三角形的底边和高的长度，最后求出答案.（1）解：证明：，令，解得，则直线经过定点，故直线一定经过第三象限.（2）解：由（1）可知，直线经过定点，则当时，点离直线最远，且,此时，即，所以直线l的斜率为-1，则：，则，，，故的面积为.28．（2021·广东·大埔县田家炳实验中学高二月考）已知直线过点，且与轴、轴的正方向分别交于，两点，分别求满足下列条件的直线方程：（1）时，求直线的方程．（2）当的面积最小时，求直线的方程．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）作于，由，可求得，即得解；（2）设直线的方程为，则，又，结合均值不等式即得解.【详解】（1）由题意，作于，故，由可得故直线的方程为，即（2）由题意，设直线的方程为则由于直线过，故由于，故，当且仅当，即时等号成立即，故此时直线的方程为：，即29．（2021·江苏·苏州中学高二）已知直线经过点，且与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，O是坐标原点，若_______，求直线l的一般式方程．试从下列所给的2个条件中任选1个补充在前面的问题中，完成解答，若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．①的周长为12；②的面积是6．【答案】选①时，直线l的一般式方程为：；选②时，直线l的一般式方程为：；【分析】设直线的方程为：，若选①时根据的周长列出关于第一个表达式，又直线经过点列出关于第二个表达式，联立两个表达式，求出，写出直线l的一般式方程；若选②时根据的面积列出关于第一个表达式，又直线经过点列出关于第二个表达式，联立两个表达式，求出，写出直线l的一般式方程；【详解】设直线的方程为：，⑴、若的周长为12解答如下：由题意可知①又直线过,②联立①②，解得直线l的一般式方程为：⑵、若的面积是6解答如下：由题意可知直线l的一般式方程为：30．（2021·福建省将乐县第一中学高二月考）已知点，，直线：（1）求证：直线恒过定点，并求出该定点；（2）若直线与线段相交，求的范围；（3）求点到直线距离的最大值．【答案】（1）证明见解析；；（2）或；（3）．【分析】（1）将已知直线的方程整理为，由即可得定点；（2）直线的斜率为，作图，求出直线，的斜率，由或即可求解；（3）由题意可得当点与点的连线垂直于直线时，所求距离最大，计算，两点间距离即可.【详解】（1）由可得由可得，所以无论取何值时，直线恒过定点；（2）由可得，所以直线的斜率为，由（1）知：直线恒过定点，如图：，，若直线与线段相交，则或，解得：或；（3）当点与点的连线垂直于直线时，点到直线：距离最大，最大值为.31．（2021·江苏·高二专题练习）已知一条动直线3(m+1)x+(m-1)y-6m-2=0，（1）求证：直线恒过定点，并求出定点P的坐标；（2）若直线与x、y轴的正半轴分别交