2025年中考数学二轮复习《圆》解答题专项练习二（含答案）

2025年中考数学二轮复习《圆》解答题专项练习二LISTNUMOutlineDefault\l3如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BD是角平分线，以点D为圆心，DA为半径的⊙D与AC相交于点E(1)求证：BC是⊙D的切线；(2)若AB＝5，BC＝13，求CE的长.LISTNUMOutlineDefault\l3已知：AB是⊙O的直径，点P在线段AB的延长线上，BP＝OB＝2，点Q在⊙O上，连接PQ．(1)如图①，线段PQ所在的直线与⊙O相切，求线段PQ的长；(2)如图②，线段PQ与⊙O还有一个公共点C，且PC＝CQ，连接OQ，AC交于点D．①判断OQ与AC的位置关系，并说明理由；②求线段PQ的长．LISTNUMOutlineDefault\l3如图，⊙O的直径为AB，点C在圆周上(异于A，B)，AD⊥CD.(1)若BC＝3，AB＝5，求AC的值；(2)若AC是∠DAB的平分线，求证：直线CD是⊙O的切线.LISTNUMOutlineDefault\l3如图，AB是⊙O的直径，AF是⊙O切线，CD是垂直于AB的弦，垂足为E，过点C作DA的平行线与AF相交于点F，CD＝4eq\r(3)，BE＝2．求证：(1)四边形FADC是菱形；(2)FC是⊙O的切线．LISTNUMOutlineDefault\l3如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，且∠D＝2∠A.(1)求∠D的度数；(2)若CD＝2，求BD的长.LISTNUMOutlineDefault\l3如图,△ABC内接于⊙O,∠CBG＝∠A,CD为直径,OC与AB相交于点E,过点E作EF⊥BC,垂足为F,延长CD交GB的延长线于点P,连接BD.(1)求证：PG与⊙O相切；(2)若eq\f(EF,AC)＝eq\f(5,8),求eq\f(BE,OC)的值；(3)在(2)的条件下,若⊙O的半径为8,PD＝OD,求OE的长.LISTNUMOutlineDefault\l3如图，已知直线PA交⊙O于A，B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D.(1)求证：CD为⊙O的切线；(2)若DC＋DA=6，⊙O的直径为10，求AB的长．LISTNUMOutlineDefault\l3如图，AB为⊙O的直径，直线CD切⊙O于点D，AM⊥CD于点M，BN⊥CD于点N.(1)求证：∠ADC＝∠ABD；(2)求证：AD2＝AM·AB；(3)若AM＝eq\f(18,5)，sin∠ABD＝eq\f(3,5)，求线段BN的长.LISTNUMOutlineDefault\l3如图，O是Rt△ABC的直角边BC上的点，以O为圆心，OC长为半径的圆的⊙O过斜边上点D，交BC于点F，DF∥AO.(1)判断直线AD与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若BD＝4，BC＝8，求DF的长.LISTNUMOutlineDefault\l3如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB点F，连接BE.(1)求证：AC平分∠DAB；(2)求证：PC＝PF；(3)若tan∠ABC＝eq\f(4,3)，AB＝14，求线段PC的长.

LISTNUMOutlineDefault\l3\s0答案LISTNUMOutlineDefault\l3证明：(1)过点D作DF⊥BC于点F，∵∠BAD＝90°，BD平分∠ABC，∴AD＝DF.∵AD是⊙D的半径，DF⊥BC，∴BC是⊙D的切线；(2)解：∵∠BAC＝90°∴AB与⊙D相切，∵BC是⊙D的切线，∴AB＝FB.∵AB＝5，BC＝13，∴CF＝8，AC＝12.在Rt△DFC中，设DF＝DE＝r，则r2＋64＝(12﹣r)2，解得：r＝eq\f(10,3).∴CE＝eq\f(16,3).LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)如图①，连接OQ．∵线段PQ所在的直线与⊙O相切，点Q在⊙O上，∴OQ⊥OP．又∵BP＝OB＝OQ＝2，∴PQ＝2eq\r(3)，即PQ＝2eq\r(3)；(2)OQ⊥AC．理由如下：如图②，连接BC．∵BP＝OB，∴点B是OP的中点，又∵PC＝CQ，∴点C是PQ的中点，∴BC是△PQO的中位线，∴BC∥OQ．又∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，即BC⊥AC，∴OQ⊥AC．(3)如图②，PC•PQ＝PB•PA，即0.5PQ2＝2×6，解得PQ＝2eq\r(6)．LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)∵AB是⊙O直径，C在⊙O上，∴∠ACB＝90°，又∵BC＝3，AB＝5，∴由勾股定理得AC＝4；(2)证明：∵AC是∠DAB的角平分线，∴∠DAC＝∠BAC，又∵AD⊥DC，∴∠ADC＝∠ACB＝90°，∴△ADC∽△ACB，∴∠DCA＝∠CBA，又∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵∠OAC＋∠OBC＝90°，∴∠OCA＋∠ACD＝∠OCD＝90°，∴DC是⊙O的切线.LISTNUMOutlineDefault\l3证明：(1)连接OC，∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∴CE＝DE＝eq\f(1,2)CD＝eq\f(1,2)×4eq\r(3)＝2eq\r(3)，设OC＝x，∵BE＝2，∴OE＝x﹣2，在Rt△OCE中，OC2＝OE2＋CE2，∴x2＝(x﹣2)2＋(2eq\r(3))2，解得：x＝4，∴OA＝OC＝4，OE＝2，∴AE＝6，在Rt△AED中，AD＝4eq\r(3)，∴AD＝CD，∵AF是⊙O切线，∴AF⊥AB，∵CD⊥AB，∴AF∥CD，∵CF∥AD，∴四边形FADC是平行四边形，∵AD＝CD，∴平行四边形FADC是菱形；(2)连接OF，AC，∵四边形FADC是菱形，∴FA＝FC，∴∠FAC＝∠FCA，∵AO＝CO，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠FAC＋∠OAC＝∠FCA＋∠OCA，即∠OCF＝∠OAF＝90°，即OC⊥FC，∵点C在⊙O上，∴FC是⊙O的切线．LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)∵OA＝OC，∴∠A＝∠OCA.∴∠COD＝∠A＋∠OCA＝2∠A.又∵∠D＝2∠A，∴∠COD＝∠D.∵PD与⊙O相切于点C，∴OC⊥PD，即∠OCD＝90°，∴∠D＝45°；(2)由(1)可知△OCD是等腰直角三角形，∴OC＝CD＝2.由勾股定理，得OD＝eq\r(22＋22)＝2eq\r(2).∴BD＝OD－OB＝2eq\r(2)－2.LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)证明：连接OB,则OB＝OD,∴∠BDC＝∠DBO.∵∠BDC＝∠BAC＝∠CBG,∴∠CBG＝∠DBO.∵CD是⊙O的直径,∴∠DBO＋∠OBC＝90°,∴∠CBG＋∠OBC＝90°,∴∠OBG＝90°,∴PG与⊙O相切；(2)过点O作OM⊥AC于点M,连接OA,则∠AOM＝∠COM＝eq\f(1,2)∠AOC.∵eq\o(AC,\s\up8(︵))＝eq\o(AC,\s\up8(︵)),∴∠ABC＝eq\f(1,2)∠AOC＝∠AOM.又∵∠BFE＝∠OMA＝90°,∴△BEF∽△OAM,∴eq\f(EF,AM)＝eq\f(BE,OA).∵AM＝eq\f(1,2)AC,OA＝OC,∴eq\f(EF,\f(1,2)AC)＝eq\f(BE,OC).又∵eq\f(EF,AC)＝eq\f(5,8),∴eq\f(BE,OC)＝2×eq\f(EF,AC)＝2×eq\f(5,8)＝eq\f(5,4)；(3)∵PD＝OD,∠PBO＝90°,∴BD＝OD＝8,在Rt△DBC中,BC＝eq\r(DC2－BD2)＝8eq\r(3).又∵OD＝OB,∴△DOB是等边三角形,∴∠DOB＝60°.∵∠DOB＝∠OBC＋∠OCB,OB＝OC,∴∠OCB＝30°,∴eq\f(EF,CE)＝eq\f(1,2),eq\f(FC,EF)＝eq\r(3),∴可设EF＝x,则EC＝2x,FC＝eq\r(3)x,∴BF＝8eq\r(3)－eq\r(3)x.由(2)得eq\f(BE,OC)＝eq\f(5,4),OC＝8,∴BE＝10.在Rt△BEF中,BE2＝EF2＋BF2,∴100＝x2＋(8eq\r(3)－eq\r(3)x)2,解得x＝6±eq\r(13).∵6＋eq\r(13)＞8,舍去,∴x＝6－eq\r(13),∴EC＝12－2eq\r(13),∴OE＝8－(12－2eq\r(13))＝2eq\r(13)－4.LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)连接OC，证∠DAC=∠CAO=∠ACO，∴PA∥CO，又∵CD⊥PA，∴CO⊥CD，∴CD为⊙O的切线(2)过O作OF⊥AB，垂足为F，∴四边形OCDF为矩形．∵DC＋DA=6，设AD=x，则OF=CD=6－x，AF=5－x，在Rt△AOF中，有AF2＋OF2=OA2，即(5－x)2＋(6－x)2=25，解得x1=2，x2=9，由AD＜DF知0＜x＜5，故x=2，从而AD=2，AF=5－2=3，由垂径定理得AB=2AF=6.LISTNUMOutlineDefault\l3证明：(1)连结OD.∵直线CD切⊙O于点D，∴∠CDO＝90°.∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠1＋∠2＝∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠3.∵OB＝OD，∴∠3＝∠4，∴∠ADC＝∠ABD.(2)证明：∵AM⊥CD，∴∠AMD＝∠ADB＝90°.又∵∠1＝∠4，∴△ADM∽△ABD，∴eq\f(AM,AD)＝eq\f(AD,AB)，∴AD2＝AM·AB.(3)解：∵sin∠ABD＝eq\f(3,5)，∴sin∠1＝eq\f(3,5).∵AM＝eq\f(18,5)，∴AD＝6，∴AB＝10，∴BD＝eq\r(AB2－AD2)＝8.∵BN⊥CD，∴∠BND＝90°，∴∠DBN＋∠BDN＝∠1＋∠BDN＝90°，∴∠DBN＝∠1，∴sin∠DBN＝eq\f(3,5)，∴DN＝eq\f(24,5)，∴BN＝eq\r(BD2－DN2)＝eq\f(32,5).LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)直线AD与⊙O的位置关系是相切，理由是：连接OD，∵OD＝OF，∴∠ODF＝∠OFD，∵DF∥AO，∴∠ODF＝∠AOD，∠OFD＝∠AOC，∴∠AOD＝∠AOC，在△ACO和△ADO中∴△ACO≌△ADO，∴∠ADO＝∠ACO，∵∠ACO＝90°，∴∠ADO＝90°，∵OD为半径，∴直线AD与⊙O的位置关系是相切；(2)设⊙O的半径是R，∵BC＝8，∴BO＝8﹣R，在Rt△ODB中，由勾股定理得：OD2＋BD2＝OB2，即R2＋42＝(8﹣R)2，解得：R＝3，即OD＝3，BO＝8﹣3＝5，过D作DM⊥OB于M，则S△ODB＝eq\f(1,2)×OD×BD＝eq\f(1,2)OB×DM，3×4＝5×DM，解得：DM＝2.4，在Rt△DMO中，由勾股定理得：OM＝1.8，∴MF＝3﹣1.8＝1.2，在Rt△DMF中，由勾股定理得：DF＝eq\f(6\r(5),5).LISTNUMOutlineDefault\l3(1)证明：∵PD切⊙O于点C，∴OC⊥PD，又∵AD⊥PD，∴OC∥AD，∴∠ACO＝∠DAC.∵OC＝OA，∴∠ACO＝∠CAO，∴∠DAC＝∠CAO，即AC平分∠DAB；(2)证明：∵AD⊥PD，∴∠DAC＋∠ACD＝90°.又∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∴∠PCB＋