2025年中考数学一轮复习 解直角三角形 解答题练习四（含答案）

2025年中考数学一轮复习解直角三角形解答题练习四LISTNUMOutlineDefault\l3在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，利用上述结论可以求解如下题目，如：在△ABC中，若∠A＝45°，∠B＝30°，a＝6，求b.解：在△ABC中，∵eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，∴b＝eq\f(asinB,sinA)＝eq\f(6sin30°,sin45°)＝3eq\r(2).理解应用：如图，甲船以每小时30eq\r(2)海里的速度向正北方航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，且乙船从B1处按北偏东15°方向匀速直线航行，当甲船航行20min后到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距10eq\r(2)海里.(1)判断△A1A2B2的形状，并给出证明；(2)乙船每小时航行多少海里？LISTNUMOutlineDefault\l3图1是张乐同学在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时情景.图2是张乐锻炼时上半身由与地面垂直的EM位置运动到EN位置时的示意图.已知BC＝0.64米，AD＝0.24米，α＝30°.(1)求AB的长；(2)若测得EN＝0.8米，试计算小明头顶由M点运动到N点的路径弧MN的长度(结果保留π)LISTNUMOutlineDefault\l3筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈廷章在《水轮赋》中写道：“水能利物，轮乃曲成”.如图，半径为3m的筒车⊙O按逆时针方向每分钟转eq\f(5,6)圈，筒车与水面分别交于点A、B，筒车的轴心O距离水面的高度OC长为2.2m，筒车上均匀分布着若干个盛水筒.若以某个盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间.(1)经过多长时间，盛水筒P首次到达最高点？(2)浮出水面3.4秒后，盛水筒P距离水面多高？(3)若接水槽MN所在直线是⊙O的切线，且与直线AB交于点M，MO＝8m.求盛水筒P从最高点开始，至少经过多长时间恰好在直线MN上.(参考数据：cos43°＝sin47°≈，sin16°＝cos74°≈，sin22°＝cos68°≈)LISTNUMOutlineDefault\l3如图，两座建筑物的水平距离BC为40m，从A点测得D点的俯角α为45°，测得C点的俯角β为60°．求这两座建筑物AB，CD的高度．(结果保留小数点后一位，≈1.414，≈1.732．)LISTNUMOutlineDefault\l3如图1是一副创意卡通圆规，图2是其平面示意图，OA是支撑臂，OB是旋转臂，使用时，以点A为支撑点，铅笔芯端点B可绕点A旋转作出圆.已知OA=OB=10cm.(1)当∠AOB=20°时，求所作圆的半径；(结果精确到0.01cm)(2)保持∠AOB=20°不变，在旋转臂OB末端的铅笔芯折断了一截的情况下，作出的圆与(1)中所作圆的大小相等，求铅笔芯折断部分的长度.(结果精确到0.01cm)(参考数据：sin10°≈0.174，cos10°≈0.985，sin20°≈0.342，cos20°≈0.940)LISTNUMOutlineDefault\l3为了保证人们上下楼的安全，楼梯踏步的宽度和高度都要加以限制．中小学楼梯宽度的范围是260mm～300mm含(300mm)，高度的范围是120mm～150mm(含150mm)．如图是某中学的楼梯扶手的截面示意图，测量结果如下：AB，CD分别垂直平分踏步EF，GH，各踏步互相平行，AB=CD，AC=900mm，∠ACD=65°，试问该中学楼梯踏步的宽度和高度是否符合规定．(结果精确到1mm，参考数据：sin65°≈0.906，cos65°≈0.423)LISTNUMOutlineDefault\l3风电已成为我国继煤电、水电之后的第三大电源，风电机组主要由塔杆和叶片组成(如图1)，图2是从图1引出的平面图.假设你站在A处测得塔杆顶端C的仰角是55°，沿HA方向水平前进43米到达山底G处，在山顶B处发现正好一叶片到达最高位置，此时测得叶片的顶端D(D、C、H在同一直线上)的仰角是45°.已知叶片的长度为35米(塔杆与叶片连接处的长度忽略不计)，山高BG为10米，BG⊥HG，CH⊥AH，求塔杆CH的高.(参考数据：tan55°≈1.4，tan35°≈0.7，sin55°≈0.8，sin35°≈0.6)

LISTNUMOutlineDefault\l3如图，港口B位于港口A的南偏东37°方向，灯塔C恰好在AB的中点处，一艘海轮位于港口A的正南方向，港口B的正西方向的D处，它沿正北方向航行5km，到达E处，测得灯塔C在北偏东45°方向上.这时，E处距离港口A有多远？(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)

LISTNUMOutlineDefault\l3\s0答案LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)△A1A2B2是等边三角形.证明：由已知，得A2B2＝10eq\r(2)海里，A1A2＝30eq\r(2)×eq\f(20,60)＝10eq\r(2)(海里)，∴A1A2＝A2B2，又∵∠A1A2B2＝180°﹣120°＝60°，∴△A1A2B2是等边三角形；(2)∵△A1A2B2是等边三角形，∴A1B2＝A1A2＝10eq\r(2)海里，∵∠CB1A1＝180°﹣105°＝75°，∴∠B2B1A1＝75°﹣15°＝60°，又∵∠B1A1B2＝105°﹣60°＝45°，∴在△A1B2B1中，eq\f(B1B2,sin45°)＝eq\f(A1B2,sin60°)，B1B2＝eq\f(A1B2,sin60°)·sin45°＝eq\f(10\r(2),\f(\r(3),2))×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(20\r(3),3)(海里)，∴乙船的速度为eq\f(20\r(3),3)÷eq\f(20,60)＝20eq\r(3)(海里/时).答：乙船每小时航行20eq\r(3)海里.LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)作AF⊥BC于F.∴BF＝BC﹣AD＝0.4米，∴AB＝BF÷sin30°＝0.8米；(2)∵∠NEM＝90°＋30°＝120°，∴弧长为＝π米.LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)如图1中，连接OA.由题意，筒车每秒旋转360°×eq\f(5,6)÷60＝5°，在Rt△ACO中，cos∠AOC＝＝＝.∴∠AOC＝43°，∴＝27.4(秒).答：经过27.4秒时间，盛水筒P首次到达最高点.(2)如图2中，盛水筒P浮出水面3.4秒后，此时∠AOP＝3.4×5°＝17°，∴∠POC＝∠AOC＋∠AOP＝43°＋17°＝60°，过点P作PD⊥OC于D，在Rt△POD中，OD＝OP•cos60°＝3×eq\f(1,2)＝1.5(m)，2.2﹣1.5＝0.7(m)，答：浮出水面3.4秒后，盛水筒P距离水面0.7m.(3)如图3中，∵点P在⊙O上，且MN与⊙O相切，∴当点P在MN上时，此时点P是切点，连接OP，则OP⊥MN，在Rt△OPM中，cos∠POM＝＝，∴∠POM＝68°，在Rt△COM中，cos∠COM＝＝＝，∴∠COM＝74°，∴∠POH＝180°﹣∠POM﹣∠COM＝180°﹣68°﹣74°＝38°，∴需要的时间为＝7.6(秒)，答：盛水筒P从最高点开始，至少经过7.6秒恰好在直线MN上.LISTNUMOutlineDefault\l3解：延长CD，交AE于点E，可得DE⊥AE，在Rt△AED中，AE=BC=40m，∠EAD=45°，∴ED=AEtan45°=20m，在Rt△ABC中，∠BAC=30°，BC=40m，∴AB=40≈69.3m，则CD=EC﹣ED=AB﹣ED=40﹣20≈29.3m．答：这两座建筑物AB，CD的高度分别为69.3m和29.3m．LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)连接BA，作OC⊥AB于点C.由题意可得，OA=OB=10cm，∠OCB=90°，∠AOB=20°，∴∠BOC=10°.∴AB=2BC=2OB·sin10°≈2×10×0.174≈3.5(cm)，即所作圆的半径约为3.5cm.(2)作AD⊥OB于点D，作AE=AB.∵保持∠AOB=20°不变，则折断的部分为BE.∵∠AOB=20°，OA=OB，∠ODA=90°，∴∠OAB=80°，∠OAD=70°.∴∠BAD=10°.∴BE=2BD=2AB·sin10°≈2×3.5×0.174≈1.2(cm)，即铅笔芯折断部分的长度是1.2cm.LISTNUMOutlineDefault\l3解：连接BD，作DM⊥AB于点M，∵AB=CD，AB，CD分别垂直平分踏步EF，GH，∴AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴∠C=∠ABD，AC=BD，∵∠C=65°，AC=900，∴∠ABD=65°，BD=900，∴BM=BD•cos65°=900×0.423≈381，DM=BD•sin65°=900×0.906≈815，∵381÷3=127，120＜127＜150，∴该中学楼梯踏步的高度符合规定，∵815÷3≈272，260＜272＜300，∴该中学楼梯踏步的宽度符合规定，由上可得，该中学楼梯踏步的宽度和高度都符合规定．LISTNUMOutlineDefault\l3解：如图，作BE⊥DH于点E，

则GH=BE、BG=EH=10，设AH=x，则BE=GH=GA+AH=43+x，在Rt△ACH中，CH=AHtan∠CAH=tan55°•x，∴CE=CH﹣EH=tan55°•x﹣10，∵∠DBE=45°，∴BE=DE=CE+DC，即43+x=tan55°•x﹣10+35，解得：x≈45，∴CH=tan55°•x=1.4×45=63.

答：塔杆CH的高为63米.LISTNUMOutlineDefault\l3解：过点C作CH⊥AD，垂足为H，设CH=xkm，在Rt△ACH中，∠A=37°，∵tanA=eq\f(CH,AH)，∴AH=eq\f(CH,tan37°)=eq\f(x,tan37°).在Rt△CEH中，∠CEH=45°，∵tan∠CEH=eq\f(CH,EH)，∴E