2025年中考数学二轮复习《压轴题》专项练习（一）（含答案）

2025年中考数学二轮复习《压轴题》专项练习（一）LISTNUMOutlineDefault\l3如图，抛物线的顶点为A(h，﹣1)，与y轴交于点B(0，﹣eq\f(1,2))，点F(2，1)为其对称轴上的一个定点．(1)求这条抛物线的函数解析式；(2)已知直线l是过点C(0，﹣3)且垂直于y轴的定直线，若抛物线上的任意一点P(m，n)到直线l的距离为d，求证：PF＝d；(3)已知坐标平面内的点D(4，3)，请在抛物线上找一点Q，使△DFQ的周长最小，并求此时△DFQ周长的最小值及点Q的坐标．LISTNUMOutlineDefault\l3在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣x2＋bx＋c经过点A(﹣1，0)和点B(0，3)，顶点为C，点D在其对称轴上，且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处．(1)求抛物线的解析式；(2)求点P的坐标；(3)将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，在y轴上是否存在点M，使得MP＋ME的值最小，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．LISTNUMOutlineDefault\l3如图，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A(﹣1，0)、C，与y轴交于点B(0，3)，抛物线的顶点为P．(1)求抛物线的解析式；(2)若抛物线向下平移k个单位后经过点(﹣5，6)．①求k的值及平移后抛物线所对应函数的最小值；②设平移后抛物线与y轴交于点D，顶点为Q，点M是平移后的抛物线上的一个动点，请探究：当点M在何处时，△MBD的面积是△MPQ面积的2倍？求出此时点M的坐标．LISTNUMOutlineDefault\l3如图，抛物线y＝x2﹣bx＋c过点B(3，0)，C(0，﹣3)，D为抛物线的顶点．(1)求抛物线的解析式以及顶点坐标；(2)连接BC，CD，DB，求∠CBD的正切值；(3)点C关于抛物线y＝x2﹣bx＋c对称轴的对称点为E点，连接BE，直线BE与对称轴交于点M，在(2)的条件下，点P是抛物线对称轴上的一点，是否存在点P使△CDB和△BMP相似，若存在，求点P坐标，若不存在，请说明理由．LISTNUMOutlineDefault\l3如图，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c的顶点D坐标为(1，4)，且与x轴相交于A，B两点(点A在点B的左侧，与y轴相交于点C，点E在x轴上方且在对称轴左侧的抛物线上运动，点F在抛物线上并且和点E关于抛物线的对称轴对称，作矩形EFGH，其中点G，H都在x轴上．(1)求抛物线解析式；(2)设点F横坐标为m，①用含有m的代数式表示点E的横坐标为(直接填空)；②当矩形EFGH为正方形时，求点G的坐标；③连接AD，当EG与AD垂直时，求点G的坐标；(3)过顶点D作DM⊥x轴于点M，过点F作FP⊥AD于点P，直接写出△DFP与△DAM相似时，点F的坐标．LISTNUMOutlineDefault\l3如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，且OA＝4，OC＝3，若抛物线经过O，A两点，且顶点在BC边上，对称轴交AC于点D，动点P在抛物线对称轴上，动点Q在抛物线上.(1)求抛物线的解析式；(2)当PO＋PC的值最小时，求点P的坐标；(3)是否存在以A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出P，Q的坐标；若不存在，请说明理由.LISTNUMOutlineDefault\l3已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＜0)与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，且(x1＜0＜x2)，交y轴于点C，顶点为D．(1)a＝﹣1，b＝2，c＝4，①求该二次函数的对称轴方程及顶点坐标；②定义：若点P在某函数图象上，且点P的横纵坐标互为相反数，则称点P为这个函数的“零和点”，求证：此二次函数有两个不同的“零和点”；(2)如图，过D、C两点的直线交x轴于点E，满足∠ACE＝∠CBE，求ac的值．LISTNUMOutlineDefault\l3抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于点A(﹣3，0)、B(1，0)，与y轴交于点C.(1)求抛物线的解析式(2)在抛物线对称轴上找一点M，使△MBC的周长最小，并求出点M的坐标和△MBC的周长(3)若点P是x轴上的一个动点，过点P作PQ∥BC交抛物线与点Q，在抛物线上是否存在点Q，使B、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在请求出点Q的坐标，若不存在请说明理由.LISTNUMOutlineDefault\l3已知抛物线L1：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于点A(﹣1，0)，点B(3，0)，与y轴交于点C(0，3)．(1)求抛物线L的表达式；(2)若点P是直线y＝x＋1上的一个动点，将抛物线L进行平移得到抛物线L'，点B的对应点为点Q，是否存在以A、B、P、Q四个点为顶点的四边形是菱形？若存在，求出抛物线的平移方式；若不存在，请说明理由．LISTNUMOutlineDefault\l3抛物线y＝ax2＋bx＋c与直线y＝﹣eq\f(1,2)有唯一的公共点A，与直线y＝eq\f(3,2)交于点B，C(C在B的右侧)，且△ABC是等腰直角三角形．过C作x轴的垂线，垂足为D(3，0)．(1)求抛物线的解析式；(2)直线y＝2x与抛物线的交点为P，Q，且P在Q的左侧．(ⅰ)求P，Q两点的坐标；(ⅱ)设直线y＝2x＋m(m＞0)与抛物线的交点为M，N，求证：直线PM，QN，CD交于一点．

LISTNUMOutlineDefault\l3\s0答案LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)由题意抛物线的顶点A(2，﹣1)，可以假设抛物线的解析式为y＝a(x﹣2)2﹣1，∵抛物线经过B(0，﹣eq\f(1,2))，∴﹣eq\f(1,2)＝4a﹣1，∴a＝eq\f(1,8)∴抛物线的解析式为y＝eq\f(1,8)(x﹣2)2﹣1．(2)证明：过点P作PJ⊥AF于J．∵P(m，n)，∴n＝eq\f(1,8)(m﹣2)2﹣1＝eq\f(1,8)m2﹣eq\f(1,2)m﹣eq\f(1,2)，∴P(m，eq\f(1,8)m2﹣eq\f(1,2)m﹣eq\f(1,2))，∴d＝eq\f(1,8)m2﹣eq\f(1,2)m﹣eq\f(1,2)﹣(﹣3)＝eq\f(1,8)m2﹣eq\f(1,2)m＋eq\f(5,2)，∵F(2，1)，∴PF＝＝，∵d2＝eq\f(1,64)m4﹣eq\f(1,8)m3＋eq\f(7,8)m2﹣eq\f(5,2)m＋eq\f(25,4)，PF2＝eq\f(1,64)m4﹣eq\f(1,8)m3＋eq\f(7,8)m2﹣eq\f(5,2)m＋eq\f(25,4)，∴d2＝PF2，∴PF＝d．(3)如图，过点Q作QH⊥直线l于H，过点D作DN⊥直线l于N．∵△DFQ的周长＝DF＋DQ＋FQ，DF是定值＝2eq\r(2)，∴DQ＋QF的值最小时，△DFQ的周长最小，由(2)可知QF＝QH，∴DQ＋QF＝DQ＋QH，根据垂线段最短可知，当D，Q，H共线时，DQ＋QH的值最小，此时点H与N重合，点Q在线段DN上，∴DQ＋QH的最小值为6，∴△DFQ的周长的最小值为2eq\r(2)＋6，此时Q(4，﹣eq\f(1,2))．LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)把A(﹣1，0)和点B(0，3)代入y＝﹣x2＋bx＋c，得，解得：，∴抛物线解析式为y＝﹣x2＋2x＋3；(2)∵y＝﹣(x﹣1)2＋4，∴C(1，4)，抛物线的对称轴为直线x＝1，如图，设CD＝t，则D(1，4﹣t)，∵线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处，∴∠PDC＝90°，DP＝DC＝t，∴P(1＋t，4﹣t)，把P(1＋t，4﹣t)代入y＝﹣x2＋2x＋3得：﹣(1＋t)2＋2(1＋t)＋3＝4﹣t，整理得t2﹣t＝0，解得：t1＝0(舍去)，t2＝1，∴P(2，3)；(3)∵P点坐标为(2，3)，顶点C坐标为(1，4)，将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，∴E点坐标为(1，﹣1)，∴点E关于y轴的对称点F(﹣1，﹣1)，连接PF交y轴于M，则MP＋ME＝MP＋MF＝PF的值最小，设直线PF的解析式为y＝kx＋n，∴，解得：，∴直线PF的解析式为y＝eq\f(4,3)x＋eq\f(1,3)，∴点M的坐标为(0，eq\f(1,3))．LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)∵点A(﹣1，0)、点B(0，3)，在抛物线上，∴，解得：，∴所求的抛物线解析式为y=x2+4x+3；(2)设平移后抛物线的解析式为y=x2+4x+3+k．∵它经过点(﹣5，6)，∴6=(﹣5)2+4(﹣5)+3+k．∴k=﹣2．∴平移后抛物线的解析式为y=x2+4x+3﹣2=x2+4x+1．配方，得y=(x+2)2﹣3．∵a=1＞0，∴平移后的抛物线的最小值是﹣3．(3)由(2)可知，BD=PQ=2，对称轴为x=﹣2．又∵S△MBD=2S△MPQ，∴BD边上的高是PQ边上的高的2倍．设M点坐标为(m，n)．①当M点的对称轴的左侧时，则有0﹣m=2(﹣2﹣m)．∴m=﹣4．∴n=(﹣4)2+4(﹣4)+1=1．∴M(﹣4，1)．②当M点在对称轴与y轴之间时，则有0﹣m=2[m﹣(﹣2)]．∴m=﹣eq\f(4,3)．∴n=(﹣eq\f(4,3))2+(﹣eq\f(16,3))+1=﹣2eq\f(5,9)．∴M(﹣eq\f(4,3)，﹣2eq\f(5,9))．③当M点在y轴的右侧时，则有m=2[(m﹣(﹣2)]．∴m=﹣4＜0，不合题意，应舍去．综合上述，得所求的M点的坐标是(﹣4，1)或(﹣eq\f(4,3)，﹣2eq\f(5,9))．LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)将点B、C的坐标代入抛物线表达式得：，解得，故抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；∵y＝x2﹣2x﹣3＝(x﹣1)2﹣4，∴D(1，﹣4)；(2)如图．∵B(3，0)，C(0，﹣3)，D(1，﹣4)，∴BC2＝32＋32＝18，BC＝3eq\r(2)，CD2＝12＋(4﹣3)2＝2，CD＝eq\r(2)，BD2＝42＋(3﹣1)2＝20，BD＝2eq\r(5)，∴BD2＝BC2＋CD2，∴△BCD是直角三角形，∠BCD＝90°，∴tan∠CBD＝＝＝；(3)∵点C关于抛物线y＝x2﹣2x﹣3对称轴的对称点为E点，y＝x2﹣2x﹣3的对称轴为x＝1，∴E(2，﹣3)，∵B(3，0)，∴直线BE为y＝3x﹣9，∴M(1，﹣6)，由(2)知△CDB是直角三角形，∠BCD＝90°，若△CDB和△BMP相似，可分两种情况进行解析：①∠MPB＝∠BCD＝90°时，点P在x轴上，∵M(1，﹣6)，B(3，0)，∴PM＝6，BP＝2，∴，∴＝，∵∠MPB＝∠BCD＝90°，∴△CDB和△PBM，∴P(1，0)；②∠MBP＝∠BCD＝90°时，∵M(1，﹣6)，B(3，0)，∴MB＝2eq\r(10)，∵△CDB和△BPM，∴，∴，解得PM＝，∴点MP的纵坐标为eq\f(20,3)﹣6＝eq\f(2,3)，∴P(1，eq\f(2,3))．综上所述，存在，点P的坐标为(1，0)或(1，eq\f(2,3))．LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)∵抛物线y＝﹣x2＋bx＋c的顶点D坐标为(1，4)，∴y＝﹣(x﹣1)2＋4＝﹣x2＋2x﹣1＋4＝﹣x2＋2x＋3，∴抛物线解析式为y＝﹣x2＋2x＋3；(2)①当y＝0时，﹣x2＋2x＋3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，则A(﹣1，0)，B(3，0)，∴1＜m＜3，设E点的横坐标为t，∵m﹣1＝1﹣t，∴t＝2﹣m，∴点E的横坐标为2﹣m；故答案为：2﹣m；②设F(m，﹣m2＋2m＋3)(1＜m＜3)，则E(2﹣m，﹣m2＋2m＋3)，∵矩形EFGH为正方形，∴FG＝FE，即﹣m2＋2m＋3＝m﹣(2﹣m)，整理得m2＝5，解得m1＝﹣eq\r(5)(舍去)，m2＝eq\r(5)，∴G点坐标为(eq\r(5)，0)；③过点D作DM⊥x轴于M，∵EG⊥AD，而DM⊥x轴，∴∠1＝∠4，∴Rt△GEH∽Rt△DAM，∴，即∴GH＝2EH，即2m﹣2＝2(﹣m2＋2m＋3)，整理得m2﹣m﹣4＝0，解得m1＝(舍去)，m2＝，∴G点坐标为(，0)；(3)设AD交EF于Q，如图，∵FP⊥AD，∴∠DPF＝90°，∵△DFP与△DAM相似∴∠1＝∠3，∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠3，而FP⊥DQ，∴△FDQ为等腰三角形，∴FD＝FQ，设直线AD的解析式为y＝px＋q，把A(﹣1，0)，D(1，4)代入得，解得，∴直线AD的解析式为y＝2x＋2，当y＝﹣m2＋2m＋3时，2x＋2＝﹣m2＋2m＋3，解得x＝﹣eq\f(1,2)m2＋m＋eq\f(1,2)，则Q(﹣eq\f(1,2)m2＋m＋eq\f(1,2)，﹣m2＋2m＋3)，∴FQ＝m﹣(﹣eq\f(1,2)m2＋m＋eq\f(1,2))＝eq\f(1,2)m2﹣eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)(m＋1)(m﹣1)，而DF2＝(m﹣1)2＋(﹣m2＋2m＋3﹣4)2＝(m﹣1)2＋(m﹣1)4，∴(m﹣1)2＋(m﹣1)4＝[eq\f(1,2)(m＋1)(m﹣1)]2，而m≠1，∴1＋(m﹣1)2＝eq\f(1,4)(m＋1)2整理得3m2﹣10m＋7＝0，解得m1＝1(舍去)，m2＝eq\f(7,3)，∴F点坐标为(eq\f(7,3)，eq\f(20,9))．LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)在矩形OABC中，OA＝4，OC＝3，∴A(4，0)，C(0，3)，∵抛物线经过O、A两点，∴抛物线的顶点的横坐标为2，∵顶点在BC边上，∴抛物线顶点坐标为(2，3)，设抛物线解析式为y＝a(x﹣2)2＋3，把(0，0)坐标代入可得0＝a(0﹣2)2＋3，解得a＝﹣eq\f(3,4)，∴抛物线解析式为y＝﹣eq\f(3,4)(x﹣2)2＋3，即y＝﹣eq\f(3,4)x2＋3x；(2)连接PA，如图，∵点P在抛物线对称轴上，∴PA＝PO，∴PO＋PC＝PA＋PC.当点P与点D重合时，PA＋PC＝AC；当点P不与点D重合时，PA＋PC＞AC；∴当点P与点D重合时，PO＋PC的值最小，设直线AC的解析式为y＝kx＋b，根据题意，得，解得∴直线AC的解析式为y＝﹣eq\f(3,4)x＋3，当x＝2时，y＝﹣eq\f(3,4)x＋3＝eq\f(3,2)，则D(2，eq\f(3,2))，∴当PO＋PC的值最小时，点P的坐标为(2，eq\f(3,2))；(3)存在.当以AC为对角线时，当四边形AQCP为平行四边形，点Q为抛物线的顶点，即Q(2，3)，则P(2，0)；当AC为边时，当四边形AQPC为平行四边形，点C向右平移2个单位得到P，则点A向右平移2个单位得到点Q，则Q点的横坐标为6，当x＝6时，y＝﹣eq\f(3,4)x2＋3x＝﹣9，此时Q(6，﹣9)，则点A(4，0)向右平移2个单位，向下平移9个单位得到点Q，所以点C(0，3)向右平移2个单位，向下平移9个单位得到点P，则P(2，﹣6)；当四边形APQC为平行四边形，点A向左平移2个单位得到P，则点C向左平移2个单位得到点Q，则Q点的横坐标为﹣2，当x＝﹣2时，y＝﹣eq\f(3,4)x2＋3x＝﹣9，此时Q(﹣2，﹣9)，则点C(0，3)向左平移2个单位，向下平移12个单位得到点Q，所以点A(4，0)向左平移2个单位，向下平移12个单位得到点P，则P(2，﹣12)；综上所述，P(2，0)，Q(2，3)或P(2，﹣6)，Q(6，﹣9)或P(2，﹣12)，Q(﹣2，﹣9).LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)①当a＝﹣1，b＝2，c＝4时，抛物线解析式为y＝﹣x2＋2x＋4，∵y＝﹣x2＋2x＋4＝﹣(x﹣1)2＋5，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点为D(1，5)；②当y＝﹣x时，﹣x2＋2x＋4＝﹣x，整理得：x2﹣3x﹣4＝0，∵Δ＝(﹣3)2﹣4×1×(﹣4)＝25＞0，∴二次函数y＝﹣x2＋2x＋4有两个不同的“零和点”；(2)如图，连接AC，∵y＝ax2＋bx＋c，∴C(0，c)，顶点D(﹣，)，设直线CD的解析式为y＝kx＋n，则，解得：，∴直线CD的解析式为y＝x＋c，∴E(﹣，0)，∵A(，0)，B(，0)，∴AE＝﹣(﹣)＝＋，BE＝﹣(﹣)＝＋，∵∠ACE＝∠CBE，∠AEC＝∠CEB，∴△EAC∽△ECB，∴＝，∴CE2＝AE•BE，在Rt△CEO中，CE2＝OC2＋OE2＝c2＋()2＝c2＋，∴c2＋＝(＋)(＋)，化简得：ac＝﹣1，故ac的值为﹣1．LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)将A(﹣3，0)，B(1，0)代入y=ax2+bx+2，得：，解得：，∴抛物线的解析式为y=﹣eq\f(2,3)x2﹣x+2.(2)当x=0时，y=﹣eq\f(2,3)x2﹣eq\f(4,3)x+2=2，∴点C的坐标为(0，2).∵抛物线的解析式为y=﹣eq\f(2,3)x2﹣eq\f(4,3)x+2，∴抛物线的对称轴为直线x=﹣1.连接AC，交抛物线对称轴于点M，如图1所示.∵点A，B关于直线x=﹣1对称，∴MA=MB，∴MB+MC=MA+MC=AC，∴此时△MBC的周长取最小值.∵点A的坐标为(﹣3，0)，点B的坐标为(1，0)，点C的坐标为(0，2)，∴AC=eq\r(13)，BC=eq\r(5)，直线AC的解析式为y=eq\f(2,3)x+2(可用待定系数法求出来).当x=﹣1时，y=eq\f(2,3)x+2=eq\f(4,3)，∴当△MBC的周长最小时，点M的坐标为(﹣1，eq\f(4,3))，△MBC的周长为eq\r(13)+eq\r(5).(3)∵以B、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，点B，P的纵坐标为0，点C的纵坐标为2，∴点Q的纵坐标为2或﹣2，如图2所示.当y=2时，﹣eq\f(2,3)x2﹣eq\f(4,3)x+2=2，解得：x1=﹣2，x2=0(舍去)，∴点Q的坐标为(﹣2，2)；当y=﹣2时，﹣eq\f(2,3)x2﹣eq\f(4,3)x+2=﹣2，解得：x1=﹣4，x2=2，∴点Q的坐标为(﹣4，﹣2)或(2，﹣2).∴在抛物线上存在点Q，使B、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，点Q的坐标为(﹣2，2)或(﹣4，﹣2)或(2，﹣2).LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)由题意得：，解得：．∴抛物线L的表达式为y＝﹣x2＋2x＋3；(2)存在以A、B、P、Q四个点为顶点的四边形是菱形．理由：∵点A(﹣1，0)，点B(3，0)，∴AB＝4．如图，当四边形ABQP为菱形时，过点P作PC⊥x轴于点C，令x＝0，则y＝1，∴D(0，1)，∴OD＝1，令y＝0，则x＋1＝0，∴x＝﹣1，∴A(﹣1，0)．∴OA＝1．∴OA＝OD，∴∠DAO＝45°．∵PC⊥x轴，∴PC＝AC．∵四边形ABQP为菱形，∴PA＝AB＝4．∴PC＝AC＝PA•sin45°＝4×eq\f(\r(2),2)＝2eq\r(2)，∴P(2eq\r(2)﹣1，2eq\r(2))，Q(3＋2eq\r(2)，2eq\r(