初升高教材衔接-一元一次方程讲义

初升高之一元一次方程

本节衔接概况

在初中阶段，我们就已经学习了一元一次方程的解法，知道一元一次方程都可

以化为奴=人的形式，当。。0时,方程有唯一解X=2.但是，当〃=0时，一元一次方

a

程的解又是怎样的情形呢?这一点，初中数学未给出研究，遇到的问题也很少涉及.

在高中阶段，我们经常会遇到讨论关于一元一次方程的解构成的集合的问题,所以,

在这里我们有必要再研究一下一元一次方程的解的问题.

一元一次方程的解

一元一次方程可以化为以=匕的形式,其解的情况是：

（D当4*0时，方程有唯一解工=，；

（2）当a=0时，分为两种情况：

①若。=0,8=0,方程有无数个解；

②若。=0,bwO,方程无解.

在求解含参一元一次方程的解的问题时,往往要依据上面的结论对参数展开

讨论.

例题讲解

例1.若关于x的方程〃7（3工-2）=4彳一3无解,求加的值.

分析：一元一次方程ax=b无解的条件是a=O,bwO.对一元一次方程进行变形，

把方程化为=b的形式后求解问题.

解:,:?w（3x-2）=4x-3

（3m-4）x=2m-3

・・,该方程无解

,,产T=°,解之得:〃；

2/71—303

例2.若关于x的方程3（小+〃）-5工+3=7有无数个解，求m,n的值.

分析：一元一次方程ar=b有无数个解的条件是a=0,0=0.

解:,:3(mx+-5x+3=7

・，・(3m-5)x=4-3/i

•・•该方程有无数个解

5

m=—

叱O之得「3

4

n=­

3

例3.关于x的方程(〃/一1卜=疝一机一2,试求满足下列条件时，实数加的取值范

围:

(1)有唯一解；(2)有零解；(3)无解；(4)有无穷多个解.

解:*.*(in2—1卜—rn2—in—7.

/.(tn+1)(6—l)x=(m+-2)

(1)当加2_蜂0,即机。±1时，该方程有唯一解;

(2)由题意可知:

解之得:〃，=2;

(W+1X/H-2)=0

(3)由题意可知:

信;忆黑廨之得:…

(4)由题意可知:

篇忆黑廨之得:…・

例4.已知集合4={.牺2-3工+2=。},若A中最多有一个元素，试求。的取值范

围.

提示：集合A是一个由方程ox?一3工+2=0的解构成的集合,每一个解叫做一个元

素.由于集合A中最多有一个元素，所以方程以2—3x+2=0有一个解，也有可能无

解，这都是符合题意的.此外，如果该方程有两个相等的实数根(为一元二次方程)，

这两个相等的实数根在集合中只能算作一个元素，那么也是符合题意的.以上种种,

要注意分类讨论.

方程o?—3x+2=0是一个含参方程，受。的影响，该方程可以是一元一次方

程，也可以是一元二次方程，要注意分类讨论.

7

解.当a=0时,—3x+2=0,解之得=此时A=，符合题意;

rrv,3

当。工0时，方程ax2-3x+2=0为一元二次方程：

①若△=（一3）2-8a=0,即a=2,则2/一3/+2=0,解之得：再=々=*，此时

883

A={g，，符合题意；

②若△=（-3）2-8av0,即。＞?，此时方程ar2-3x+2=0无实数根，集合4为空集,

8

符合题意.

综上所述,a的取值范围是。=0或。N2.

8

点评一个二次项系数含有参数的方程并不一定是一元二次方程,如本题中的方

程，它可能是一元一次方程，也可能是一元二次方程,在题目没有明确说明的情况

下,要分为两种情况进行讨论.

例5.解关于x的方程如2-2（4+1）%+4=0.

解：当a=0时,-21+4=0,解之得:x=2;

当〃工0时,原方程可化为（这一2乂X-2）=〃（冗一2）（工一2）=0

2

x——=0或工一2=0

a

.2

..X）=—,x=o2.

a2

尝试练习：

1.解关于x的方程（加一4卜一加-2