新教材适用2024-2025学年高中数学第6章概率5正态分布课后训练北师大版选择性必修第一册

§5正态分布1.若随机变量X~N(1,22),则D12X等于(A.4 B.2 C.122.设某地区某一年龄段的儿童的身高听从均值为135cm,方差为100的正态分布,令ξ表示从中随机抽取的一名儿童的身高,则下列概率中最大的是().A.P(120<ξ<130) B.P(125<ξ<135)C.P(130<ξ<140) D.P(135<ξ<145)3.如图,当σ取三个不同值σ1,σ2,σ3的三种正态曲线,那么σ1,σ2,σ3的大小关系是().(第3题)A.σ1>1>σ2>σ3>0 B.0<σ1<σ2<1<σ3C.σ1>σ2>1>σ3>0 D.0<σ1<σ2=1<σ34.(多选题)下列说法正确的有().A.设随机变量X听从二项分布B6,12,则P(X=3)=516B.已知随机变量X听从正态分布N(2,σ2),且P(X<6)=0.8,则P(-2<X<2)=0.3C.已知随机变量X~N(0,σ2),若P(|X|<2)=a,则P(X>2)的值为1+D.E(2X+3)=2EX+3;D(2X+3)=2DX+35.已知一次考试共有60名同学参与,考生的成果X~N(110,25).据此估计,有57人的分数在区间().A.(90,110]内 B.(95,125]内C.(100,120]内 D.(105,115]内6.若随机变量X~N(μ,σ2),则P(X≤μ)=.

7.设随机变量ξ~N(μ,σ2),且P(ξ<1)=12,P(ξ>2)=p,则P(0<ξ<1)=8.工人制造的零件尺寸在正常状况下听从正态分布N(μ,σ2),在一次正常的试验中,取1000个零件,不属于(μ-3σ,μ+3σ]这个尺寸范围的零件可能有个.

9.在一次测试中,测试结果X听从正态分布N(2,σ2)(σ>0).若X在区间(0,2)内取值的概率为0.2,求:(1)X在区间(0,4)内取值的概率;(2)P(X>4).10.在某次数学考试中,考生的成果ξ听从一个正态分布,即ξ~N(90,100).(1)试求考试成果ξ位于区间(70,110]内的概率;(2)若这次考试共有2000名考生参与,试估计考试成果位于区间(80,100]内的考生有多少名.

参考答案§5正态分布1.D因为X~N(1,22),所以DX=4,所以D12X=2.C由题意知ξ~N(135,100),因此在长度都是10的区间上,概率最大的应当是在对称轴两侧关于对称轴对称的区间.故选C.3.D当μ=0,σ=1时,正态分布密度函数f(x)=12πe-x22.当x=0时,取最大值12π,故σ2=1.由正态曲线的性质,当μ肯定时,曲线的形态由σ确定.σ越小,曲线越“瘦高”;σ越大,曲线越“矮胖”,于是有04.AB设随机变量X听从二项分布B6,12,则P(X=3)=C63×123×1-123=516,故A正确;∵随机变量X听从正态分布N(2,σ2),∴正态曲线的对称轴是直线x=2,又P(X<6)=0.8,∴P(X≥6)=P(X≤-2)=0.2,∴P(-2<X<2)=12×(1-2×0.2)=0.3,故B正确已知随机变量X~N(0,σ2),若P(|X|<2)=a,则P(X>2)=12(1-P(|X|<2))=1故C错误;E(2X+3)=2EX+3;D(2X+3)=4DX,故D错误.综上,选AB.5.C5760=0.95,故可得大约应有57人的分数在区间(μ-2σ,μ+2σ]内,即在区间(110-2×5,110+2×5]内6.12由于随机变量X~N(μ,σ2),其正态分布密度曲线关于直线x=μ对称,故P(X≤μ)=17.12-p由题意P(ξ<1)=12,知μ=故P(0<ξ<1)=P(1<ξ<2)=P(ξ<2)-P(ξ<1)=1-p-128.3因为P(μ-3σ<ξ≤μ+3σ)≈0.9974,所以不属于区间(μ-3σ,μ+3σ]内的零件个数约为1000×(1-0.9974)=2.6≈3.9.解(1)由X~N(2,σ2),知正态曲线的对称轴为直线x=2,画出示意图,如图.(第9题)因为P(0<X<2)=P(2<X<4),所以P(0<X<4)=2P(0<X<2)=2×0.2=0.4.(2)P(X>4)=12[1-P(0<X<4)]=12×(1-0.4)=0.10.解因为ξ~N(90,100),所以μ=90,σ=100=10.(1)由于正态分布随机变量在区间(μ-2σ,μ+2σ]内取值的概率约是0.9544,而该正态分布中,μ-2σ=90-2×10=70,μ+2σ=90+2×10=110,于是考试成果ξ位于区间(70,110]内的概率约是0.9544.(2)由μ=90,σ=10,得μ-σ=80,μ+σ=100.因为正态分布随机变量在区间(μ-σ,μ+σ]内取值的