新疆乌鲁木齐市2024-2025学年高一数学上学期期中试题含解析

Page15新疆乌鲁木齐市2024-2025学年高一数学上学期期中试题（考试时间：120分钟卷面分值：150分）（命题范围：《数学必修第一册》第一章——第三章）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】解一元二次不等式化简集合A，再利用交集的定义干脆求解作答.【详解】解不等式得：，即，而，所以.故选：C2.下列函数中，与函数是相等函数的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依次推断各个选项的解析式和定义域是否和相同，二者皆相同即为同一函数，由此得到结果.【详解】的定义域为；对于A，定义域为，与定义域不同，不是同一函数，A错误；对于B，，与定义域相同，解析式相同，是同一函数，B正确；对于C，定义域为，与定义域不同，不是同一函数，C错误；对于D，，与解析式不同，不是同一函数，D错误.故选：B.3.已知，，则是的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】解不等式，利用集合的包含关系推断可得出结论.【详解】解不等式得或，因为或，因此，是的充分不必要条件.故选：A.4.下列函数既是偶函数又在上单调递减的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】逐项推断函数奇偶性和单调性，得出答案.【详解】解析：A项，B项均为定义域上的奇函数，解除；D项为定义域上的偶函数，在单调递增，解除；C项为定义域上的偶函数，且在上单调递减.故选：C.5.已知：则下列说法正确的是（）A.有最大值 B.有最小值C.有最大值4 D.有最小值【答案】A【解析】【分析】利用基本不等式可得和，即可推断.【详解】，，即，可得，当且仅当时等号成立，有最大值，故A正确，B错误；，当且仅当即时等号成立，有最小值4，故CD错误.故选：A.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要留意其必需满意的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必需为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必需把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必需把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必需验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最简单发生错误的地方.6.已知函数，则（）A. B.4 C. D.【答案】C【解析】【分析】先计算出，然后再计算．【详解】由题意，所以．故选：C．7.十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首次把“=”作为等号运用，后来英国数学家哈里奥特首次运用“<”表示“小于”，用“>”表示“大于”，并渐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a，b，，则下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，且，则D.若，则【答案】C【解析】【分析】利用反例可推断ABD的正误，利用作差法可推断C的正误.【详解】对于选项A，当时，，，此时，故A错误；对于选项B，当时，，故B错误；对于选项C，，所以，又，所以，故C正确；对于选项D，，满意，但，故D错误．故选：C．8.设为偶函数，且在区间上单调递减，，则的解集为（）A.（－1，1） B. C. D.（2，4）【答案】C【解析】【分析】由奇偶性可知的区间单调性及，画出函数草图，由函数不等式及函数图象求解集即可.【详解】依据题意，偶函数在上单调递减且，则在上单调递增，且．函数的草图如图，或，由图可得－2＜x＜0或x＞2，即不等式的解集为．故选：C．9.已知，则的解析式为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用换元法即可求出函数的解析式．【详解】∵∴令，则∴∴故选：D．10.若是偶函数，且对随意∈且，都有，则下列关系式中成立的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先推断函数单调性并利用其比较函数值大小，再依据偶函数转化即得结论.【详解】∵对随意的x1，x2∈（0，+∞），都有，∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，又∵，∴，又∵f（x）是偶函数，∴f（﹣）＝f（）.∴.故选：A.【点睛】本题考查了函数单调性与奇偶性的综合应用，属于基础题.11.已知函数的定义域为，对随意，都有，当时，是增函数，则的解集为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用赋值法，令，得到，再依据得到，然后依据单调性和定义域列不等式，解不等式即可.【详解】令，则，整理得，因为时，是增函数，所以在的定义域内只存在一个解，依据题意可得，又是增函数，所以，解得.故选：D.12.已知二次函数的图象的对称轴在轴右侧，且不等式的解集为，若函数在上的最大值为，则实数（）A. B.2 C. D.【答案】A【解析】【分析】分析可知，可知关于的方程的两根分别为、，利用韦达定理可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，可得出函数的解析式，然后作出函数在上的图象，数形结合可得出实数的值.【详解】由题意可得，可得，因为不等式解集为，则关于的方程的两根分别为、，由韦达定理可得，解得，故，解方程，即，即，解得或，作出函数的图象如下图所示：因为二次函数在区间上单调递减，在上单调递增，且函数在上的最大值为，则.故选：A.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.函数的定义域是_____________【答案】【解析】【分析】依据题意得，解不等式即可得答案.【详解】要使函数有意义，则需满意，解得且.故函数的定义域是.故答案为：14.：，的否定是__________．【答案】，【解析】【分析】利用全称命题否定是特称命题，即可求解．【详解】因为命题是全称命题，依据全称命题的否定是特称命题，所以命题的否定为：，．故答案为:，．15.定义，例如：min(－1，－2)＝－2，min(2，2)＝2，若f(x)＝x2，g(x)＝－x2－4x＋6，则函数F(x)＝min(f(x)，g(x))的最大值为______.【答案】【解析】【分析】作出函数的图象即可得到的图象，从而求出其最大值．【详解】作出函数的图象，依据定义可知，的图象如图所示（实线部分）：由，解得：或，所以函数的最大值为．故答案为：．16.定义：表示不超过的最大整数，如，则函数的值域为________．【答案】【解析】【分析】依据的定义即可求出函数的值域.【详解】解：当为整数时，，当时，，当时，，所以当且不为整数时，的值域包含于．故答案为：.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17已知集合，集合.（1）当时，求，；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）先化简集合A,B，再利用集合的并集，补集和交集运算.（2）依据，由求解.【详解】（1），当时，，所以，因为或，所以（2）因为，所以，又因为，，所以，解得，所以实数的取值范围是18.已知：函数在上是减函数，：关于的方程的两个根大于1．（1）当时，为真命题，求的取值范围；（2）若为真命题是为真命题的充分不必要条件，求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依据指数函数的单调性列不等式，解不等式即可；（2）分别求出命题和命题为真命题时的范围，依据为真命题是为真命题的充分不必要条件，列不等式求解即可.【小问1详解】当时，，因为是真命题，则，解得，所以的取值范围为.【小问2详解】：令，解得，所以：，：关于的方程，解得或，所以，解得，所以：，因为为真命题是为真命题的充分不必要条件，所以，则，所以的取值范围为.19.已知函数是定义在上的奇函数，并且满意：；当时，.（1）求a的值；（2）求函数的解析式；（3）解不等式.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）由可求出答案；（2）当时，然后可得答案；（3）易得在上单调递增，然后由可得，即可解出答案.【详解】（1）；（2）因为，当时，，；（3）易得在上单调递增，由，可得，所以，得，所以原不等式的解为.20.2024年新冠肺炎疫情在世界范围内爆发，疫情发生以后，佩戴口罩作为阻断传染最有效的措施，一度导致口罩供不应求.为缓解口罩供应惊慌，某口罩厂日夜加班生产，为抗击疫情做贡献.已知生产口罩的固定成本为80万元，每生产万箱，须要另外投入的生产成本（单位：万元）为，若每箱口罩售价100元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完.（1）求生产多少万箱时平均每万箱的成本最低，并求出最低成本；（2）当产量为多少万箱时，该口罩生产厂在生产中所获得利润最大？【答案】（1）生产20万箱时，平均每万箱成本最低，为56万元；（2）130．【解析】【分析】（1）可得出平均每万箱的成本为，再利用基本不等式可求；（2）可得利润为，利用二次函数的性质即可求解.【详解】（1）设生产万箱时平均每万箱的成本为，则，因为，所以，当且仅当，即时等号成立．所以，当时取到最小值，即生产20万箱时平均每万箱成本最低，最低成本为56万元．（2）设生产万箱时所获利润为，则，即，，即，所以，所以生产130万箱时，所获利润最大为3300万元．21.已知函数是奇函数，且函数在上单调递增，、．（1）求的值；（2）当时，依据定义证明在上是减函数．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用奇函数的定义可得出关于的方程，利用幂函数的单调性可得出，即可得解；（2）由（1）可得，设，作差，经过通分、因式分解后推断的符号，即可证得结论成立.【小问1详解】解：由题可知，即，所以，解得或．又在上单调递增，因此.阅历证满意题意.【小问2详解】证明：结合（1）可知，设，则，因为，则，，又，，所以，，即，因此，函数在上是减函数．22.已知函数．（1）设，求在区间上的最小值