新疆喀什地区莎车县2024-2025学年高二数学上学期期中试题含解析

Page19新疆喀什地区莎车县2024-2025学年高二数学上学期期中试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.一个盒子中装有6张卡片，上面分别写着如下6个定义域为R的函数：f1（x）=x，f2（x）=cosx，f3（x）=x3，f4（x）=x5，f5（x）=sinx，f6（x）=|x|．现从盒子中任取2张卡片，将卡片上的函数相加得到一个新函数，则所得函数是奇函数的概率是（）A.0.2 B.0.25 C.0.75 D.0.4【答案】D【解析】【分析】依据概率和奇函数的学问求解即可【详解】由题可知为奇函数，从盒子中任取2张卡片抽取2个共有15种方法，抽到中的两个有6种可能，所以概率为故选：D2.小王同学有三支款式相同、颜色不同的圆珠笔，每支圆珠笔都有一个与之同颜色的笔帽，平常小王都将笔杆和笔帽套在一起，但间或也会将笔杆和笔帽随机套在一起，则小王将两支笔的笔杆和笔帽的颜色混搭的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设三支款式相同、颜色不同的圆珠笔分别为，，，与之相同颜色的笔帽分别为，，，利用古典概型的概率能求出小王将两支笔和笔帽的颜色混搭的概率．【详解】解：设三支款式相同、颜色不同的圆珠笔分别为，，，与之相同颜色的笔帽分别为，，，将笔和笔帽随机套在一起，基本领件有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，共有6个基本领件，小王将两支笔和笔帽的颜色混搭包含的基本领件有：，，，，，，，，，共有3个基本领件，小王将两支笔和笔帽的颜色混搭的概率是．故选：C3.复数（为虚数单位）的共轭复数在复平面中对应的点位于（）A.第一象限 B.其次象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】求出复数的共轭复数，进而得出对应的点位于的象限.【详解】复数的共轭复数为，其在复平面中对应的点的坐标为，位于第四象限故选：D4.在正方体中，，分别为，的中点，则直线与所成角的余弦值为（）A. B.C. D.0【答案】B【解析】【分析】设正方体的棱长为4，在线段上取，连接，则，即或其补角为直线与所成角，从而可得结果.【详解】设正方体的棱长为4，在线段上取，连接，则，即或其补角为直线与所成角，易得，，∴，∴直线与所成角的余弦值为.故选：B5.设是一条直线，，是两个平面，下列结论正确的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则【答案】C【解析】【分析】由线面平行的性质和面面的位置关系，可推断；由线面的位置关系可推断；由线面平行与垂直的性质定理和面面垂直的判定定理，可推断；由面面垂直的性质定理和线面的位置关系可推断．【详解】解：是一条直线，，是两个不同的平面，若，，可得或、相交，故错误；若，，可得或、与相交，故错误；若，可得过的平面与的交线，由，可得，又，则，故正确；若，，可得或，故错误．故选：．6.已知一组数据平均数是1，那么另一组数据的平均数为（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】C【解析】【分析】依据平均数公式计算可得；【详解】解：因为一组数据的平均数是1，所以即，所以，即一组数据的平均数为；故选：C7.从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥而不对立的两个事务是（）A.“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球” B.“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”C.“至少有一个黑球”与“都是黑球” D.“至少有一个黑球”与“都是红球”【答案】A【解析】【分析】依据互斥事务和对立事务的定义干脆推断.【详解】对于A：“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”不能同时发生，但能同时不发生，故A中的两事务互斥而不对立；对于B：“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”能同时发生，故B中的两事务不互斥；对于C：“至少有一个黑球”与“都是黑球”能同时发生，故C中的两事务不是互斥事务；对于D：“至少有一个黑球”与“都是红球”互斥并且对立.故选：A8.如图，在中，是边上的点，且，，，则的值为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】依据题中条件，在中先由余弦定理求出，利用同角三角函数关系求出，再利用正弦定理可求出.详解】设，则，在中，由余弦定理可得，，所以，在中，由正弦定理得，，则.故选：D9.已知MN是正方体内切球的一条直径，点Р在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用向量的线性运算和数量积运算律可得，依据正方体的特点确定最大值和最小值，即可求解【详解】设正方体内切球的球心为，则,,因为MN是正方体内切球的一条直径，所以，，所以，又点Р在正方体表面上运动，所以当为正方体顶点时，最大，且最大值为；当为内切球与正方体的切点时，最小，且最小为；所以，所以的取值范围为，故选：B10.已知向量，夹角为，向量满意且，则下列说法肯定不正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】建立坐标系，设，，结合向量夹角可知，，由题意可得，从而可求出，即可选出正确答案.【详解】设以O为原点，以所在方向为轴正方向，如图建立直角坐标系，设，，因为向量夹角为，所以，设，所以，，因为，所以，则，整理得，因为，所以，即，所以，又，整理得，则或，当时，即，则，不符合题意，所以，所以，D不正确；则只能确定共线且同向，但两向量的模长范围不能确定，所以ABC不肯定正确.故选：D.11.平面过正方体的顶点，平面，平面，平面，则、所成角的正弦值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】画出图形，推断出、所成角，求解即可．【详解】解：如图，∵平面，平面，平面，∴，，是正三角形.∴、所成角的平面角或补角为，∴、所成角的正弦值为.故选：.12.在棱长为1的正方体中，点E为底面内一动点，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】依题意建立空间直角坐标系，设，表示出，，依据向量数量积的坐标运算及二次函数的性质计算可得；【详解】解：如图建立空间直角坐标系，则，，设则，，所以，，所以，因为，，所以，，所以，故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.已知点，，则直线的倾斜角为_________.【答案】【解析】【分析】应用两点式求的斜率，依据斜率与倾斜角的关系及倾斜角的范围，求出倾斜角即可.【详解】由题设，，若的倾斜角为，则，又，故.故答案为：14.已知=(1，1，0)，=(0，1，1)，=+，=+λ，，则λ的值为________.【答案】【解析】【分析】应用空间向量坐标的线性运算求、坐标，再由空间向量垂直的坐标表示列方程求参数值.【详解】由题设，，，又，∴，解得.故答案为：15.如图，正三角形内有一点，，，连接并延长交于，则___________.【答案】【解析】【分析】设正三角形边长为2，，设，在中，得，在中，，代入数据计算可得答案.【详解】设正三角形边长为2，，设，在中，，，代入数据可得，①，在中，，代入数据可得，②①/②得，，解得，代入①式得.所以.故答案为：.16.将边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，若点P满意，则的值为________．【答案】##1.5【解析】【分析】由已知边长为1的正方形沿对角线折成直二面角后，，在翻折后的图形中，取的中点，连接，证明平面，可得，则，由向量数量积的运算公式，即可得出答案.【详解】解：由题意，翻折后，，在翻折后的图形中，取的中点，连接，则则，所以即为二面角的平面角，所以，即，所以，又因，所以平面，因为平面，所以，则，所以.故答案为：.三、解答题，共70分17.已知命题p：对随意x∈R，x2－2x－m≥0，命题q：点A(1，－2)在圆(x－2m)2＋(y＋m)2＝2内部．（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；（2）若命题“p或q”为假命题，求实数m的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）由一元二次不等式恒成立，即判别式不大于0可得；（2）再求出为真时的范围，然后由复合命题的真值表求解．【详解】（1）命题为真，则，，即的范围是；（2）命题为真时，，，命题“p或q”为假命题，则均为假，，为假时，，为假时，或，所以或．即为．18.如图所示，在五面体中，平面为的中点，.（1）求异面直线与所成角的大小；（2）求平面与平面夹角的余弦值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，利用直线与的方向向量求异面直线与所成角即可.（2）求出平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，利用公式即可求出答案.【详解】因为平面，所以以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示，设，则，（1）所以，所以，所以，因为，所以，所以异面直线与所成角为.（2）因为，所以，设平面的一个法向量为，则，即，取，则，所以，取平面的一个法向量为，设平面与平面夹角，则则，所以平面与平面夹角的余弦值为.19.如图，在四棱台中，底面四边形为菱形，，，平面.（1）若点是的中点，求证：；（2）设棱上靠近的四等分点为，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）取中点．连接，证明，为轴建立空间直角坐标系，写出各点坐标，用向量法证明线线垂直；（2）同（1）用空间向量法求二面角．【小问1详解】取中点．连接，因为是菱形，，所以是等边三角形，所以，，从而，又平面，以为轴建立空间直角坐标系，如图，，，，，，所以，所以，即【小问2详解】由（1），，，，设平面的一个法向量是，则，取，得，明显平面的一个法向量是，，二面角为钝二面角，所以它余弦值为．20.如图，是圆的直径，圆所在的平面，为圆周上一点，为线段上一点.，，.（1）求证：；（2）若为的重心，在线段上是否存在点，使得平面？说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）存在，是的中点，理由见解析【解析】【分析】（1）先证明平面，得，然后证明平面，得，再由等腰三角形（需证明），得是中点；（2）取中点，得，则得到线面平行．【小问1详解】证明：平面，平面，所以，又圆上的点，是直径，所以，，平面，所以平面，而平面，所以，又，，平面，所以平面，，因为平面，所以，在直角中，，则，所以，所以是中点，所以；【小问2详解】存在，且是中点．取中点，连接，因为是中点，所以，平面，平面，所以平面．21.在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱与底面垂直，∠ABC＝90°，AB＝BC＝BB1＝2，M，N分别是AB，A1C的中点.（1）求证：平面BCC1B1；（2）求证：平面MAC1⊥平面A1B1C.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）连接交于点，可证明与平行且相等得平行四边形，从而得，得出线面平行；（2）平面即为平面，可通过证明与平面垂直得，然后可证与平面垂直，从而得证面面垂直．【小问1详解】如图，连接交于点，连接，是的中点，又是中点，所以，，是中点，与平行且相等，所以与平行且相等，所以是平行四边形，，又平面BCC1B1，平面BCC1B1，所以平面BCC1B1；【小问2详解】如图，平面即为平面，与底面垂直，则垂直于底面内直线，又，与是侧面内两条相交直线，因此与平面，平面，所以，侧面是正方形，所以，与是平面内两相交直线，所以平面，而平面，所以平面平面，即平面MAC1⊥平面A1B1C.22.已知直线过抛