2025届云南省元阳县第三中学高三下学期第五次调研考试数学试题含解析

2025届云南省元阳县第三中学高三下学期第五次调研考试数学试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若，满足约束条件，则的最大值是（）A． B． C．13 D．2．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（）A． B． C． D．3．已知函数，若不等式对任意的恒成立，则实数k的取值范围是（）A． B． C． D．4．已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．5．设数列的各项均为正数，前项和为，，且，则（）A．128 B．65 C．64 D．636．已知函数，将函数的图象向左平移个单位长度后，所得到的图象关于轴对称，则的最小值是（）A． B． C． D．7．上世纪末河南出土的以鹤的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（图1），充分展示了我国古代高超的音律艺术及先进的数学水平，也印证了我国古代音律与历法的密切联系.图2为骨笛测量“春（秋）分”，“夏（冬）至”的示意图，图3是某骨笛的部分测量数据（骨笛的弯曲忽略不计），夏至（或冬至）日光（当日正午太阳光线）与春秋分日光（当日正午太阳光线）的夹角等于黄赤交角.由历法理论知，黄赤交角近1万年持续减小，其正切值及对应的年代如下表：黄赤交角正切值0.4390.4440.4500.4550.461年代公元元年公元前2000年公元前4000年公元前6000年公元前8000年根据以上信息，通过计算黄赤交角，可估计该骨笛的大致年代是()A．公元前2000年到公元元年 B．公元前4000年到公元前2000年C．公元前6000年到公元前4000年 D．早于公元前6000年8．（）A． B． C． D．9．已知双曲线的左、右顶点分别是，双曲线的右焦点为，点在过且垂直于轴的直线上，当的外接圆面积达到最小时，点恰好在双曲线上，则该双曲线的方程为（）A． B．C． D．10．已知，，为圆上的动点，，过点作与垂直的直线交直线于点，若点的横坐标为，则的取值范围是（）A． B． C． D．11．已知函数（其中，，）的图象关于点成中心对称，且与点相邻的一个最低点为，则对于下列判断：①直线是函数图象的一条对称轴；②点是函数的一个对称中心；③函数与的图象的所有交点的横坐标之和为.其中正确的判断是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③12．已知复数满足，则（）A． B．2 C．4 D．3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为__________．14．过圆的圆心且与直线垂直的直线方程为__________.15．如图所示，边长为1的正三角形中，点，分别在线段，上，将沿线段进行翻折，得到右图所示的图形，翻折后的点在线段上，则线段的最小值为_______．16．设随机变量服从正态分布,若，则的值是______．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若函数在区间上的最小值为，求m的值.18．（12分）已知函数．（1）当时，求的单调区间．（2）设直线是曲线的切线，若的斜率存在最小值-2，求的值，并求取得最小斜率时切线的方程．（3）已知分别在，处取得极值，求证：．19．（12分）如图，在中，点在上，，，.（1）求的值；（2）若，求的长.20．（12分）某公司为了鼓励运动提高所有用户的身体素质，特推出一款运动计步数的软件，所有用户都可以通过每天累计的步数瓜分红包，大大增加了用户走步的积极性，所以该软件深受广大用户的欢迎.该公司为了研究“日平均走步数和性别是否有关”，统计了2019年1月份所有用户的日平均步数，规定日平均步数不少于8000的为“运动达人”，步数在8000以下的为“非运动达人”，采用按性别分层抽样的方式抽取了100个用户，得到如下列联表：运动达人非运动达人总计男3560女26总计100（1）（i）将列联表补充完整；（ii）据此列联表判断，能否有的把握认为“日平均走步数和性别是否有关”？（2）将频率视作概率，从该公司的所有人“运动达人”中任意抽取3个用户，求抽取的用户中女用户人数的分布列及期望.附：21．（12分）已知矩阵的逆矩阵.若曲线：在矩阵A对应的变换作用下得到另一曲线，求曲线的方程.22．（10分）如图，在斜三棱柱中，侧面与侧面都是菱形，，．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

由已知画出可行域，利用目标函数的几何意义求最大值．【详解】解：表示可行域内的点到坐标原点的距离的平方，画出不等式组表示的可行域，如图，由解得即点到坐标原点的距离最大，即．故选：．【点睛】本题考查线性规划问题，考查数形结合的数学思想以及运算求解能力，属于基础题．2、D【解析】

由程序框图确定程序功能后可得出结论．【详解】执行该程序可得．故选：D．【点睛】本题考查程序框图．解题可模拟程序运行，观察变量值的变化，然后可得结论，也可以由程序框图确定程序功能，然后求解．3、A【解析】

先求出函数在处的切线方程，在同一直角坐标系内画出函数和的图象，利用数形结合进行求解即可.【详解】当时，，所以函数在处的切线方程为：，令，它与横轴的交点坐标为.在同一直角坐标系内画出函数和的图象如下图的所示：利用数形结合思想可知：不等式对任意的恒成立，则实数k的取值范围是.故选：A【点睛】本题考查了利用数形结合思想解决不等式恒成立问题，考查了导数的应用，属于中档题.4、B【解析】

根据所给函数解析式，画出函数图像.结合图像，分段讨论函数的零点情况：易知为的一个零点；对于当时，由代入解析式解方程可求得零点，结合即可求得的范围；对于当时，结合导函数，结合导数的几何意义即可判断的范围.综合后可得的范围.【详解】根据题意，画出函数图像如下图所示：函数的零点，即.由图像可知，，所以是的一个零点，当时，，若，则，即，所以，解得；当时，，则，且若在时有一个零点，则，综上可得，故选：B.【点睛】本题考查了函数图像的画法，函数零点定义及应用，根据零点个数求参数的取值范围，导数的几何意义应用，属于中档题.5、D【解析】

根据，得到，即，由等比数列的定义知数列是等比数列，然后再利用前n项和公式求.【详解】因为，所以，所以，所以数列是等比数列，又因为，所以，.故选：D【点睛】本题主要考查等比数列的定义及等比数列的前n项和公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.6、A【解析】

化简为，求出它的图象向左平移个单位长度后的图象的函数表达式，利用所得到的图象关于轴对称列方程即可求得，问题得解。【详解】函数可化为：，将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，又所得到的图象关于轴对称，所以，解得：，即：，又，所以.故选：A.【点睛】本题主要考查了两角和的正弦公式及三角函数图象的平移、性质等知识，考查转化能力，属于中档题。7、D【解析】

先理解题意，然后根据题意建立平面几何图形，在利用三角函数的知识计算出冬至日光与春秋分日光的夹角，即黄赤交角，即可得到正确选项．【详解】解：由题意，可设冬至日光与垂直线夹角为，春秋分日光与垂直线夹角为，则即为冬至日光与春秋分日光的夹角，即黄赤交角，将图3近似画出如下平面几何图形：则，，．，估计该骨笛的大致年代早于公元前6000年．故选：．【点睛】本题考查利用三角函数解决实际问题的能力，运用了两角和与差的正切公式，考查了转化思想，数学建模思想，以及数学运算能力，属中档题．8、A【解析】

分子分母同乘,即根据复数的除法法则求解即可.【详解】解:,故选:A【点睛】本题考查复数的除法运算,属于基础题.9、A【解析】

点的坐标为，，展开利用均值不等式得到最值，将点代入双曲线计算得到答案.【详解】不妨设点的坐标为，由于为定值，由正弦定理可知当取得最大值时，的外接圆面积取得最小值，也等价于取得最大值，因为，，所以，当且仅当，即当时，等号成立，此时最大，此时的外接圆面积取最小值，点的坐标为，代入可得，．所以双曲线的方程为．故选：【点睛】本题考查了求双曲线方程，意在考查学生的计算能力和应用能力.10、A【解析】

由题意得，即可得点M的轨迹为以A，B为左、右焦点，的双曲线，根据双曲线的性质即可得解.【详解】如图，连接OP，AM，由题意得，点M的轨迹为以A，B为左、右焦点，的双曲线，.故选：A.【点睛】本题考查了双曲线定义的应用，考查了转化化归思想，属于中档题.11、C【解析】分析：根据最低点，判断A=3，根据对称中心与最低点的横坐标求得周期T，再代入最低点可求得解析式为，依次判断各选项的正确与否．详解：因为为对称中心，且最低点为，所以A=3，且由所以，将带入得，所以由此可得①错误，②正确，③当时，，所以与有6个交点，设各个交点坐标依次为，则，所以③正确所以选C点睛：本题考查了根据条件求三角函数的解析式，通过求得的解析式进一步研究函数的性质，属于中档题．12、A【解析】

由复数除法求出，再由模的定义计算出模．【详解】．故选：A．【点睛】本题考查复数的除法法则，考查复数模的运算，属于基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、130.15.【解析】

由题意可得顾客需要支付的费用，然后分类讨论，将原问题转化为不等式恒成立的问题可得的最大值.【详解】(1),顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付元.(2)设顾客一次购买水果的促销前总价为元,元时,李明得到的金额为,符合要求.元时,有恒成立,即,即元.所以的最大值为.【点睛】本题主要考查不等式的概念与性质､数学的应用意识､数学式子变形与运算求解能力,以实际生活为背景，创设问题情境，考查学生身边的数学，考查学生的数学建模素养.14、【解析】

根据与已知直线垂直关系，设出所求直线方程，将已知圆圆心坐标代入，即可求解.【详解】圆心为，所求直线与直线垂直，设为，圆心代入，可得，所以所求的直线方程为.故答案为：.【点睛】本题考查圆的方程、直线方程求法，注意直线垂直关系的灵活应用，属于基础题.15、【解析】

设，，在中利用正弦定理得出关于的函数，从而可得的最小值．【详解】解：设，，则，，∴，在中，由正弦定理可得，即，∴，∴当即时，取得最小值．故答案为．【点睛】本题考查正弦定理解三角形的应用，属中档题．16、1【解析】

由题得，解不等式得解.【详解】因为，所以，所以c=1.故答案为1【点睛】本题主要考查正态分布的图像和性质，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析（2）【解析】

（1）先求导，再对m分类讨论，求出的单调性；（2）对m分三种情况讨论求函数在区间上的最小值即得解.【详解】（1）若，当时，；当时.，所以在上单调递增，在上单调递减若.在R上单调递增若，当时，；当时.，所以在上单调递增，在上单调递减（2）由（1）可知，当时，在上单调递增，则.则不合题意当时，在上单调递减，在上单调递增.则，即又因为单调递增，且，故综上，【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.18、（1）单调递增区间为，；单调递减区间为；（2），；（3）证明见解析．【解析】

（1）由的正负可确定的单调区间；（2）利用基本不等式可求得时，取得最小值，由导数的几何意义可知，从而求得，求得切点坐标后，可得到切线方程；（3）由极值点的定义可知是的两个不等正根，由判别式大于零得到的取值范围，同时得到韦达定理的形式；化简为，结合的范围可证得结论.【详解】（1）由题意得：的定义域为，当时，，，当和时，；当时，，的单调递增区间为，；单调递减区间为.（2），所以（当且仅当，即时取等号），切线的斜率存在最小值，，解得：，，即切点为，从而切线方程，即：．（3），分别在，处取得极值，，是方程，即的两个不等正根．则，解得：，且，．，，，即不等式成立．【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到利用导数求解函数的单调区间、导数几何意义的应用、利用导数证明不等式等知识；本题中证明不等式的关键是能够通过极值点的定义将问题转变为一元二次方程根的分布问题.19、(1)；（2）.【解析】

（1）由两角差的正弦公式计算；（2）由正弦定理求得，再由余弦定理求得．【详解】（1）因为，所以.因为，所以，所以.（2）在中，由，得，在中，由余弦定理可得，所以.【点睛】本题考查两角差的正弦公式，考查正弦定理和余弦定理，属于中档题．20、（1）（i）填表见解析（ii）没有的把握认为“日平均走步数和性别是否有关”（2）详见解析【解析】

（1）(i)由已给数据可完成列联表，(ii)计算出后可得；（2）由