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文档简介

2025届上海市民立中学高考数学二模试卷考生请注意:1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知直三棱柱中,,,,则异面直线与所成的角的正弦值为().A. B. C. D.2.如图,在中,点,分别为,的中点,若,,且满足,则等于()A.2 B. C. D.3.若集合,,则下列结论正确的是()A. B. C. D.4.在声学中,声强级(单位:)由公式给出,其中为声强(单位:).,,那么()A. B. C. D.5.已知命题p:直线a∥b,且b⊂平面α,则a∥α;命题q:直线l⊥平面α,任意直线m⊂α,则l⊥m.下列命题为真命题的是()A.p∧q B.p∨(非q) C.(非p)∧q D.p∧(非q)6.已知为一条直线,为两个不同的平面,则下列说法正确的是()A.若,则 B.若,则C.若,则 D.若,则7.在中,角、、所对的边分别为、、,若,则()A. B. C. D.8.若数列为等差数列,且满足,为数列的前项和,则()A. B. C. D.9.正三棱柱中,,是的中点,则异面直线与所成的角为()A. B. C. D.10.已知正项等比数列中,存在两项,使得,,则的最小值是()A. B. C. D.11.已知复数满足,则的值为()A. B. C. D.212.将函数f(x)=sin3x-cos3x+1的图象向左平移个单位长度,得到函数g(x)的图象,给出下列关于g(x)的结论:①它的图象关于直线x=对称;②它的最小正周期为;③它的图象关于点(,1)对称;④它在[]上单调递增.其中所有正确结论的编号是()A.①② B.②③ C.①②④ D.②③④二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知函数是偶函数,直线与函数的图象自左向右依次交于四个不同点A,B,C,D.若AB=BC,则实数t的值为_________.14.某外商计划在个候选城市中投资个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过个,则该外商不同的投资方案有____种.15.在边长为的菱形中,点在菱形所在的平面内.若,则_____.16.已知,记,则的展开式中各项系数和为__________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知半径为5的圆的圆心在x轴上,圆心的横坐标是整数,且与直线4x+3y﹣29=0相切.(1)求圆的方程;(2)设直线ax﹣y+5=0(a>0)与圆相交于A,B两点,求实数a的取值范围;(3)在(2)的条件下,是否存在实数a,使得弦AB的垂直平分线l过点P(﹣2,4),若存在,求出实数a的值;若不存在,请说明理由.18.(12分)已知椭圆:(),与轴负半轴交于,离心率.(1)求椭圆的方程;(2)设直线:与椭圆交于,两点,连接,并延长交直线于,两点,已知,求证:直线恒过定点,并求出定点坐标.19.(12分)已知函数f(x)=x-lnx,g(x)=x2-ax.(1)求函数f(x)在区间[t,t+1](t>0)上的最小值m(t);(2)令h(x)=g(x)-f(x),A(x1,h(x1)),B(x2,h(x2))(x1≠x2)是函数h(x)图像上任意两点,且满足>1,求实数a的取值范围;(3)若∃x∈(0,1],使f(x)≥成立,求实数a的最大值.20.(12分)某大学开学期间,该大学附近一家快餐店招聘外卖骑手,该快餐店提供了两种日工资结算方案:方案规定每日底薪100元,外卖业务每完成一单提成2元;方案规定每日底薪150元,外卖业务的前54单没有提成,从第55单开始,每完成一单提成5元.该快餐店记录了每天骑手的人均业务量,现随机抽取100天的数据,将样本数据分为七组,整理得到如图所示的频率分布直方图.(1)随机选取一天,估计这一天该快餐店的骑手的人均日外卖业务量不少于65单的概率;(2)从以往统计数据看,新聘骑手选择日工资方案的概率为,选择方案的概率为.若甲、乙、丙、丁四名骑手分别到该快餐店应聘,四人选择日工资方案相互独立,求至少有两名骑手选择方案的概率,(3)若仅从人日均收入的角度考虑,请你为新聘骑手做出日工资方案的选择,并说明理由.(同组中的每个数据用该组区间的中点值代替)21.(12分)如图所示,在四棱锥中,底面是棱长为2的正方形,侧面为正三角形,且面面,分别为棱的中点.(1)求证:平面;(2)求二面角的正切值.22.(10分)如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠ABC=90°,AB=AA1,M,N分别是AC,B1C1的中点.求证:(1)MN∥平面ABB1A1;(2)AN⊥A1B.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

设M,N,P分别为和的中点,得出的夹角为MN和NP夹角或其补角,根据中位线定理,结合余弦定理求出和的余弦值再求其正弦值即可.【详解】根据题意画出图形:设M,N,P分别为和的中点,则的夹角为MN和NP夹角或其补角可知,.作BC中点Q,则为直角三角形;中,由余弦定理得,在中,在中,由余弦定理得所以故选:C【点睛】此题考查异面直线夹角,关键点通过平移将异面直线夹角转化为同一平面内的夹角,属于较易题目.2、D【解析】

选取为基底,其他向量都用基底表示后进行运算.【详解】由题意是的重心,,∴,,∴,故选:D.【点睛】本题考查向量的数量积,解题关键是选取两个不共线向量作为基底,其他向量都用基底表示参与运算,这样做目标明确,易于操作.3、D【解析】

由题意,分析即得解【详解】由题意,故,故选:D【点睛】本题考查了元素和集合,集合和集合之间的关系,考查了学生概念理解,数学运算能力,属于基础题.4、D【解析】

由得,分别算出和的值,从而得到的值.【详解】∵,∴,∴,当时,,∴,当时,,∴,∴,故选:D.【点睛】本小题主要考查对数运算,属于基础题.5、C【解析】

首先判断出为假命题、为真命题,然后结合含有简单逻辑联结词命题的真假性,判断出正确选项.【详解】根据线面平行的判定,我们易得命题若直线,直线平面,则直线平面或直线在平面内,命题为假命题;根据线面垂直的定义,我们易得命题若直线平面,则若直线与平面内的任意直线都垂直,命题为真命题.故:A命题“”为假命题;B命题“”为假命题;C命题“”为真命题;D命题“”为假命题.故选:C.【点睛】本小题主要考查线面平行与垂直有关命题真假性的判断,考查含有简单逻辑联结词的命题的真假性判断,属于基础题.6、D【解析】A.若,则或,故A错误;B.若,则或故B错误;C.若,则或,或与相交;D.若,则,正确.故选D.7、D【解析】

利用余弦定理角化边整理可得结果.【详解】由余弦定理得:,整理可得:,.故选:.【点睛】本题考查余弦定理边角互化的应用,属于基础题.8、B【解析】

利用等差数列性质,若,则求出,再利用等差数列前项和公式得【详解】解:因为,由等差数列性质,若,则得,.为数列的前项和,则.故选:.【点睛】本题考查等差数列性质与等差数列前项和.(1)如果为等差数列,若,则.(2)要注意等差数列前项和公式的灵活应用,如.9、C【解析】

取中点,连接,,根据正棱柱的结构性质,得出//,则即为异面直线与所成角,求出,即可得出结果.【详解】解:如图,取中点,连接,,由于正三棱柱,则底面,而底面,所以,由正三棱柱的性质可知,为等边三角形,所以,且,所以平面,而平面,则,则//,,∴即为异面直线与所成角,设,则,,,则,∴.故选:C.【点睛】本题考查通过几何法求异面直线的夹角,考查计算能力.10、C【解析】

由已知求出等比数列的公比,进而求出,尝试用基本不等式,但取不到等号,所以考虑直接取的值代入比较即可.【详解】,,或(舍).,,.当,时;当,时;当,时,,所以最小值为.故选:C.【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的计算及最小值,属于基础题.11、C【解析】

由复数的除法运算整理已知求得复数z,进而求得其模.【详解】因为,所以故选:C【点睛】本题考查复数的除法运算与求复数的模,属于基础题.12、B【解析】

根据函数图象的平移变换公式求出函数的解析式,再利用正弦函数的对称性、单调区间等相关性质求解即可.【详解】因为f(x)=sin3x-cos3x+1=2sin(3x-)+1,由图象的平移变换公式知,函数g(x)=2sin[3(x+)-]+1=2sin(3x+)+1,其最小正周期为,故②正确;令3x+=kπ+,得x=+(k∈Z),所以x=不是对称轴,故①错误;令3x+=kπ,得x=-(k∈Z),取k=2,得x=,故函数g(x)的图象关于点(,1)对称,故③正确;令2kπ-≤3x+≤2kπ+,k∈Z,得-≤x≤+,取k=2,得≤x≤,取k=3,得≤x≤,故④错误;故选:B【点睛】本题考查图象的平移变换和正弦函数的对称性、单调性和最小正周期等性质;考查运算求解能力和整体代换思想;熟练掌握正弦函数的对称性、单调性和最小正周期等相关性质是求解本题的关键;属于中档题、常考题型二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】

由是偶函数可得时恒有,根据该恒等式即可求得,,的值,从而得到,令,可解得,,三点的横坐标,根据可列关于的方程,解出即可.【详解】解:因为是偶函数,所以时恒有,即,所以,所以,解得,,;所以;由,即,解得;故,.由,即,解得.故,.因为,所以,即,解得,故答案为:.【点睛】本题考查函数奇偶性的性质及二次函数的图象、性质,考查学生的计算能力,属中档题.14、60【解析】试题分析:每个城市投资1个项目有种,有一个城市投资2个有种,投资方案共种.考点:排列组合.15、【解析】

以菱形的中心为坐标原点建立平面直角坐标系,再设,根据求出的坐标,进而求得即可.【详解】解:连接设交于点以点为原点,分别以直线为轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则:设得,解得,,或,显然得出的是定值,取则,.故答案为:.【点睛】本题主要考查了建立平面直角坐标系求解向量数量积的有关问题,属于中档题.16、【解析】

根据定积分的计算,得到,令,求得,即可得到答案.【详解】根据定积分的计算,可得,令,则,即的展开式中各项系数和为.【点睛】本题主要考查了定积分的应用,以及二项式定理的应用,其中解答中根据定积分的计算和二项式定理求得的表示是解答本题的关键,着重考查了运算与求解能力,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(2)(x﹣2)2+y2=2.(2)().(3)存在,【解析】

(2)设圆心为M(m,0),根据相切得到,计算得到答案.(2)把直线ax﹣y+5=0,代入圆的方程,计算△=4(5a﹣2)2﹣4(a2+2)>0得到答案.(3)l的方程为,即x+ay+2﹣4a=0,过点M(2,0),计算得到答案.【详解】(2)设圆心为M(m,0)(m∈Z).由于圆与直线4x+3y﹣29=0相切,且半径为5,所以,即|4m﹣29|=2.因为m为整数,故m=2.故所求圆的方程为(x﹣2)2+y2=2.(2)把直线ax﹣y+5=0,即y=ax+5,代入圆的方程,消去y,整理得(a2+2)x2+2(5a﹣2)x+2=0,由于直线ax﹣y+5=0交圆于A,B两点,故△=4(5a﹣2)2﹣4(a2+2)>0,即22a2﹣5a>0,由于a>0,解得a,所以实数a的取值范围是().(3)设符合条件的实数a存在,则直线l的斜率为,l的方程为,即x+ay+2﹣4a=0,由于l垂直平分弦AB,故圆心M(2,0)必在l上,所以2+0+2﹣4a=0,解得.由于,故存在实数使得过点P(﹣2,4)的直线l垂直平分弦AB.【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系,意在考查学生的计算能力和转化能力.18、(1)(2)证明见解析;定点坐标为【解析】

(1)由条件直接算出即可(2)由得,,,由可得,同理,然后由推出即可【详解】(1)由题有,.∴,∴.∴椭圆方程为.(2)由得,.又∴,同理又∴∴∴∴∴∴,此时满足∴∴直线恒过定点【点睛】涉及椭圆的弦长、中点、距离等相关问题时,一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体带入”等解法.19、(1)m(t)=(2)a≤2-2.(3)a≤2-2.【解析】

(1)是研究在动区间上的最值问题,这类问题的研究方法就是通过讨论函数的极值点与所研究的区间的大小关系来进行求解.(2)注意到函数h(x)的图像上任意不同两点A,B连线的斜率总大于1,等价于h(x1)-h(x2)<x1-x2(x1<x2)恒成立,从而构造函数F(x)=h(x)-x在(0,+∞)上单调递增,进而等价于F′(x)≥0在(0,+∞)上恒成立来加以研究.(3)用处理恒成立问题来处理有解问题,先分离变量转化为求对应函数的最值,得到a≤,再利用导数求函数M(x)=的最大值,这要用到二次求导,才可确定函数单调性,进而确定函数最值.【详解】(1)f′(x)=1-,x>0,令f′(x)=0,则x=1.当t≥1时,f(x)在[t,t+1]上单调递增,f(x)的最小值为f(t)=t-lnt;当0<t<1时,f(x)在区间(t,1)上为减函数,在区间(1,t+1)上为增函数,f(x)的最小值为f(1)=1.综上,m(t)=(2)h(x)=x2-(a+1)x+lnx,不妨取0<x1<x2,则x1-x2<0,则由,可得h(x1)-h(x2)<x1-x2,变形得h(x1)-x1<h(x2)-x2恒成立.令F(x)=h(x)-x=x2-(a+2)x+lnx,x>0,则F(x)=x2-(a+2)x+lnx在(0,+∞)上单调递增,故F′(x)=2x-(a+2)+≥0在(0,+∞)上恒成立,所以2x+≥a+2在(0,+∞)上恒成立.因为2x+≥2,当且仅当x=时取“=”,所以a≤2-2.(3)因为f(x)≥,所以a(x+1)≤2x2-xlnx.因为x∈(0,1],则x+1∈(1,2],所以∃x∈(0,1],使得a≤成立.令M(x)=,则M′(x)=.令y=2x2+3x-lnx-1,则由y′==0可得x=或x=-1(舍).当x∈时,y′<0,则函数y=2x2+3x-lnx-1在上单调递减;当x∈时,y′>0,则函数y=2x2+3x-lnx-1在上单调递增.所以y≥ln4->0,所以M′(x)>0在x∈(0,1]时恒成立,所以M(x)在(0,1]上单调递增.所以只需a≤M(1),即a≤1.所以实数a的最大值为1.【点睛】本题考查了函数与导数综合问题,考查了学生综合分析,转化与划归,数学运算能力,属于难题.20、(1)0.4;(2);(3)应选择方案,理由见解析【解析】

(1)根据频率分布直方图,可求得该快餐店的骑手的人均日外卖业务量不少于65单的频率,即可估算其概率;(2)根据独立重复试验概率求法,先求得四人中有0人、1人选择方案的概率,再由对立事件概率性质即可求得至少有两名骑手选择方案的概率;(3)设骑手每日完成外卖业务量为件,分别表示出方案的日工资和方案的日工资函数解析式,即可计算两种计算方式下的数学期望,并根据数学期望作出选择.【详解】(1)设事件为“随机选取一天,这一天该快餐店的骑手的人均日外卖业务量不少于65单”.根据频率分布直方图可知快餐店的人均日外卖业务量不少于65单的频率分别为,∵,∴估计为0.4.(2)设事件′为“甲、乙、丙、丁四名骑手中至少有两名骑手选择方案”,设事件,为“甲、乙、丙、丁四名骑手中恰有人选择方案”,则,所以四名骑手中至少有两名骑手选择方案的概率为.(3)设骑手每日完成外卖业务量为件,方案的日工资,方案的日工资,所以随

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