线性代数与概率统计及答案

第3行元的余子式依次为-2,5,1,x第3行元的余子式依次为-2,5,1,x,贝Ux=().(A)0(B)-3(C)3 (D)2代数部一、单项选择题00010010/、1. =().01001000(A)0 (B)-1 (C)1 (D)200100100/ 、2. =( ).00011000(A)0 (B)-1 (C)1 (D)24aa r1aka / 、3.右11 12=a，则12 22=( ).aa aka21 22 11 21(A)ka (B-)ka (C)k2a (D)-k2a第一章行列式4．已知4阶行列式中第1行元依次是-4,0,1,3,x+x+kx=05.k等于下列选项中哪个值时，i2齐次线性方程组4x+kx+123x=05.k等于下列选项中哪个值时，i2齐次线性方程组4x+kx+123x=0有非零解（）3(A)-1(B-)2(C-)3kx+x+x=0123(D0)6．设行列式aiia21a12a22a13a23aiia2i则行列式a a -a11 12 13a a -a21 22 23等于（）A.nA.n-mB.C.m+C.m+nD.m-n二、填空题1110। ,-…01011.行列式01110010

2．3．4．10... 002... 0.........=.00...n-100... 0aaaaa-2．3．4．10... 002... 0.........=.00...n-100... 0aaaaa-3a 3a11 12 1311 13 12 12aaa=M，则UD=aa-3a3a21 22 231 21 23 22 22aaaaa-3a 3a31 32 3331 33 32 321 -1 1x-11 -1x+1-11x-1 1-1一 .00行列式0n如果D=行列式-11-15．已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3,其对应的余子式依次为3,2,1，则该行列式的值为kx+2x+x=0TOC\o"1-5"\h\z1 2 36.齐次线性方程组hx+kx =0仅有零解的充要条件是1 2 x-x+x=012 3x+2x+x=01 237.若齐次线性方程组2x+5x=0有非零解，赚二.23 -3x-2x+kx=0123三、计算题TOC\o"1-5"\h\zxy x+y.y x+y x；x+y x y01x1AF、-1 0 1 x.解方程 =0;x110x101 ... 131-b 1 ... 16.1 1 2-b... 11 1 1 ... (n-1)-b

11a2+—a——1a2a11b2+b11.设abcd=1,证明:b21b1=0.c2+—c—1c2c11d2+d1d2d11aa......11aa1a1b〃1〃11aa......11aa1a1b〃1〃7.22

aax

a1xa

IXala．8bbb...a123n四、证明题aaa...x

123a+bxax+bcabc111111112.a+bxax+bc=(1一x2)abc22222222a+bxax+bcabc33333333113．1b

b2

b41

d

d2

d4=(b一a)(c一a)(d一a)(c一b)(d一b)(d一c)(a+b+c+d).第二章矩阵一、单项选择题AB为n阶方阵，则下列各式中成立的是工(a)A2=闾2(b)a2一B2=(A-B)(A+B)(c)(A-B)A=A2-AB(d)(AB)t=AtBt2.设方阵A、B、C满足AB=AC,当A满足()时，B=C。(a)AB=BA(b)|A|丰0 (c)方程组AX=0有非零解 (d)B、C可逆.若A为n阶方阵，k为非零常数，则k：A\=()。(a)k|A| (a)k|A| (b)|kA| (c)kn|A|4.设A为n阶方阵，且A|=0,则((a)A中两行(列)对应元素成比例A中至少有一行元素全为零|k|n|A|)。(b)A中任意一行为其它行的线性组合(d)A中必有一行为其它行的线性组合.设A为n阶方阵A*为A的伴随矩阵则()。(a)(a)A*(a)(a)A*=A-1 (b)A*=|A|(c)A*=|A|n+1 (d)A*=|A|n-1.设A,B为n阶方矩阵，A2=B2，则下列各式成立的是（）。(d)|A|2=|B|2(a)A=B(b)(d)|A|2=|B|27.设A7.设A为“阶可逆矩阵，则下面各式恒正确的是（）。(a)|2(a)|2A|=2At(b)(2A)-1=2A-1[(A[(A-1)-1]t=[(At)t]-1[(At)T]-1=[(A-1)T]T.已知A=(a)At=A（c）A100001，则（.已知A=(a)At=A（c）A100001，则（）。(b)A-1=a*.设A,B,C,I为同阶方阵，2'1J（d）2'

1JI为单位矩阵若ABC=I(a)ACB=I(b)CAB=I(c)cba=I（d）bac=I阶矩阵a可逆的充要条件是（）。A的每个行向量都是非零向量A中任意两个行向量都不成比例A的行向量中有一个向量可由其它向量线性表示（d）对任何n维非零向量X,均有AX中011,设矩阵11,设矩阵A=(1,2),B=6J则下列矩阵运算中有意义的是（）B.ABCA.ACBB.ABCC.BACD.CBAC.BAC12.设矩阵A,B均为可逆方阵，则以下结论正确的是（D）A.1Ab'VBJ可逆，且其逆为B.C.可逆，且其逆为( B-1)A-19JD.可逆，且其逆为13.已知向量2a+B=(1,-2,-2,-1)T,3a+20=(1,-4,-3,0)t，贝|Ja+p=(A)A. (0，-2,-1,1)tC.(1,T,-2,0)tB.(-2,0,-1,1)tD. (2,-6,-5,-1)t14.设A和B为n阶方阵，下列说法正确的是（C）A.若AB=AC，贝QB=CB.若AB=0，则A=0或B=0C.若1AB10，则A=0或lBl=0D.若IA-E\=0，则A=E6、设两事、填空题.设A为n阶方阵I为n阶单位阵且A2=I，则行歹列式A|= .行列式-a-b.设A为5阶方阵，A*是其伴随矩阵，且A|=3,则A*= .设4阶方阵A的秩为2,则其伴随矩阵A*的秩为 三、计算题1.解下列矩阵方程X为未知矩阵.(21)1-1V2-(21)1-1V2-12-2J(02|;0、0X11J(2V-1(1=21V3、-10J(423、3)AX=A+2X，其中A=110V-123J2.设A为n阶对称阵，且A2=0，求A.3.设A=3.设A=1A1A3A、a[4,'24.设'24.设A=11\1,求非奇异矩阵。，使A=CtBC.10J四、证明题.设A、B均为n阶非奇异阵求证AB可逆..设A笈=0(k为整数)，求证I—A可逆..设n阶方阵A与B中有一个是非奇异的,求证矩阵AB相似于BA..证明可逆的对称矩阵的逆也是对称矩阵.第三章向量一、单项选择题1 2P\=m,aPaa|=n，则行列式1 1 2 3 21P+PI=()1 2P\=m,aPaa|=n，则行列式1 1 2 3 21P+PI=()|aaa1 2 3aaa1 2 3.设A为n阶方阵，且|A|=0，则()。.设A为n阶方阵，r(A)=r<n，则在A的n个行向量中()。(a)必有r个行向量线性无关.n阶方阵A可逆的充分必要条件是()TOC\o"1-5"\h\z.n维向量组a,a，…,a线性无关的充分条件是()1 2sa,a，…,a都不是零向量1 2 sa,a，…,a中任一向量均不能由其它向量线性表示1 2 sa,a，…,a中任意两个向量都不成比例12 sa,a，…,a中有一个部分组线性无关12 s则土= 二、填空题则土= .若a=(1,1,1)t，a=(1,2,3)t，a=(1,3,t)t线性相关，1 2 3。.n维零向量一定线性关。.向量a线性无关的充要条件是 。.若a,a,a线性相关，则a,a,...,a(s>3)线性关。123 12s.n维单位向量组一定线性。三、计算题.设a=(1+X,1,1)t,a=(1,1十九,1)t,a=(1,1,1+九)t,123B=(0,九，九2)T，问(1)九为何值时，P能由a,a,a唯一地线性表示？123(2)九为何值时，P能由a,a,a线性表示，但表达式不唯一？123(3)九为何值时，P不能由a,a,a线性表示？123.设a=(1,0,2,3)t，a=(1,1,3,5)t，a=(1,1,a+2,1)t，1 23a二(1,2,4,a+8)t，0=(1,1,b+3,5)t问：4(1)a,b为何值时，0不能表示为a,a,a,a的线性组合？1234(2)a,b为何值时，0能唯一地表示为a,a,a,a的线性组合？1234.求向量组a=(1,-1,0,4)t，a=(2,1,5,6)t，a=(1,2,5,2)t，1 23a二(1,-1,-2,0)t，a=(3,0,7,14)t的一个极大线性无关组，并45将其余向量用该极大无关组线性表示。四、证明题.设0=a+a,0=3a-a,0二2a-a，试证0,0,0线性相关。1 1 22 2 13 1 2 123.设a,a，…,a线性无关，证明a+a,a+a，…,a+a在n为奇数时线性无关；12n 1 22 3n1在n为偶数时线性相关。第四章线性方程组一、单项选择题.设n元齐次线性方程组直二0的系数矩阵的秩为r，则AX二0有非零解的充分必要条件是()(A) r=n (B) r<n(C) r>n (D) r>n.设A是mxn矩阵，则线性方程组AX二b有无穷解的充要条件是()(A) r(A)<m (B) r(A)< n(C)r(Ab)=r(A)<m(D)r(Ab)=r(A)<n.设A是mxn矩阵，非齐次线性方程组AX二b的导出组为AX=0，若m<n,则()(A)AX=b必有无穷多解 (B)AX二b必有唯一解(C)AX=0必有非零解 (D)AX=0必有唯一解

x+2x-x=41 2 34.5.x+2x=2 无解的充分条件是X=()4.5.23(X-2)x=-(X-3)(九一4)(九一1)3(A)1 (B)2 (C)3 (D)4x+x+x=X-11 2 3解的充分条件是X二（2x-x=解的充分条件是X二（2 3.,有唯x=X-43(X-1)x=-(X-3))(X-1))3(A)1 (B)2 (C)3 (D)4二、填空题.设A为100阶矩阵，且对任意100维的非零列向量X,均有AX中0，则A的秩为—：kx+2x+x=0TOC\o"1-5"\h\z1 2 3.线性方程组42x+kx=0仅有零解的充分必要条件是 .12 x-x+x=0112 3.设X,X，…X和cX+cX+...+cX均为非齐次线性方程组4X=b的解1 2 s11 2 2 ss（c,c，…c为常数），则c+c+…+C= .12s 1 2 S .若线性方程组AX二b的导出组与BX=0（"B）=r）有相同的基础解系，则r(A)=.若线性方程组AX=b的系数矩阵的秩加，则其增广矩阵的秩为m义n三、计算题1.已知。，a,a是齐次线性方程组AX=0的一个基础解系，问1 2 3a+a,a+a,a+a是否是该方程组的一个基础解系？为什么?1 2 2 3 3 13.设四元齐次线性方程组为（I）：3.设四元齐次线性方程组为（I）：4x+x=01 2x-x=02 4■5433-1一--1-2010一012265-6001设A=,B=,已知B的行向量都是线性3211-31-2100111111-23-202.方程组AX=0的解，试问B的四个行向量能否构成该方程组的基础解系？为什么?1）求（I）的一个基础解系2)如果k(0,1,1,0"+k(-1,2,2,1”是某齐次线性方程组(II)的通解，问方程组(I)12和(II)是否有非零的公共解？若有，求出其全部非零公共解；若无，说明理由。第五章特征值与特征向量一、单项选择题/001、.设A=010，则A的特征值是()。(100)(a)-1,1,1 (b)0,1,1 (c)-1,1,2 (d)1,1,2」10、.设A=101,则A的特征值是()。1011)(a)0,1,1 (b)1,1,2 (c)-1,1,2 (d)-1,1,1.设A为n阶方阵，A2二I，则()。(a)IA1=1(b)A的特征根都是1(c)r(A)=n(d)A一定是对称阵.若x,x分别是方阵A的两个不同的特征值对应的特征向量则kx+kx也是A1 2 11 22的特征向量的充分条件是()。(a)k=0且k=0(b)k丰0且k丰0(c)kk=0(d)k丰0且k=01 2 1 2 12 1 2.若n阶方阵A,B的特征值相同,则()。(a)A=B(b)IAI=IBI (c)A与B相似(d)A与B合同二、填空题n阶零矩阵的全部特征值为。.设A为n阶方阵，且A2=I，则A的全部特征值为。.设A为n阶方阵，且A，”=0(山是自然数)，则A的特征值为。.若A2=A，则A的全部特征值为。.若方阵A与41相似，则A=。三、计算题.若n阶方阵A的每一行元素之和都等于a，试求A的一个特征值及该特征值对应的一个特征向量..求非奇异矩阵P，使P-1AP为对角阵.

1)1、2J,1 11)1、2JA二-1-311-20-1J四、证明题.设A是非奇异阵，九是A的任一特征根，求证1是A-1的一个特征根，并且A关于,九的特征向量也是A-1关于1的特征向量.入.设A2=段求证A的特征根只能是±1..设n阶方阵A与B中有一个是非奇异的，求证矩阵AB相似于BA..证明:相似矩阵具有相同的特征值..设n阶矩阵A丰E，如果r(A+E)+r(A-E)=n，证明：-1是A的特征值。.设A^B，证明Ak〜Bk。.设a,a是n阶矩阵A分别属于九,九的特征向量，且九。九，证明a+a不是A12 12 1 2 1 2的特征向量。概率论部分一、填空：(每题3分，共15分).假设A,B是两独立的事件，P(AuB)=0.7,P(A)=0.3，则P(B)=。.设A,B是两事件，P(AIB)=1/4,P(B)=1/3,则P(AB)=。若二维随机变量 ，满足E(XY)=E(X)E(Y)，则X与Y。随机变量X~N(0,1),Y=2X+3,则Y~。设总体X~N(0,1),X1,X2,…，X]°是来自总体X的样本，则X服从分布。二、选择：(每题3分，共15分)如果()成立，则事件A,B互为对立事件x 0<x<2.若X的概率密度为f(x)=<4-x2<x<4，则P{X<3}=()0 其它.设随机变量X~B(n,p)，则方差var(X)=().下列结论正确的是()X与Y相互独立，则X与Y不相关X与Y不独立，则X与Y相关X与Y不相关，则X与Y相互独立X与Y相关，则X与Y相互独立

5.设X,X，…,X为来自正态总体X~N（从,a2）的一个样本，其中N已知，o2未知，则下12 n面不是统计量的是（）三、计算：（共70分）1.（15分）甲乙两袋，甲袋中有两白球一个黑球，乙袋中有一个白球两个黑球。先从甲袋中取一球放到乙袋中，再从乙袋中取一球，（1）求从乙袋中取出的是白球的概率；（2）已发现从乙袋中取出的是白球，问从甲袋中取出放入乙袋中的球为白球的概率。2.（10分）设随机变量X2.（10分）设随机变量X的密度函数为f（x）=cx2,0<x<20,其它0<x<1;，求Y=X2的概率密度;其他，试求：（1）常数c0<x<1;，求Y=X2的概率密度;其他，12x,.（10分）设随机变量X的密度函数为f（x）=jo.（10分）一袋中装有5只球，编码为1,2,3,4,5,在袋中同时取3只，以X表示取出的3只球中的最小号码，求随机变量X的分布律与数学期望.5.（15分）设随机变量（X,Y）的概率密度为16x,0<y<x<1

f(x,y)=]0,5.（15分）设随机变量（X,Y）的概率密度为（1）试求关于X及Y的边缘概率密度；（2）判断X与Y是否相互独立，并说明理由.[2x2x0<x<0n6.（10分）总体X的概率密度函数为f（x）=《02 ,0>0是未知参数，0 其它求未知参数0的矩估计量,并验证未知参数0的矩估计量是0的有偏还是无偏估计量。线性代数部分参考答案第一章行列式一、单项选择题1. (C).2.(C).3.(B).4(C)5..(A)6.(C)二.填空题1.0;2.(-1)n-in!;3.—3M;4.x4；5.—2;6.kw—2,3;7.k=7三.计算题.-2(x3+y3)；.x=-2,0,1;-(2+b)(1-b)...((n-2)-b);(-1)nIni(b-a);kkk=1

Ea)InI(x—

kk=Ea)InI(x—

kk=1 k=1第二章参考答案12.(D))14.(C).1.1或-1；2.0；5.81；6.0；(一10°三、)、-13-216 °、；2）、3)、|3-8-6'、-212-972.0；':-12° °I° °第三章向量参考答案、单项选择二、填空题1.5 2.相关3.aw° 4.相关三、解答题1.解：设P=xa+xa+xaTOC\o"1-5"\h\z11 22 33(1+九)x+x+x=°1 2 3则对应方程组为1x+(1+九)x+x八

1 2 3x+x+(1+九)x=九2

12 31十1十九其系数行列式|A|=111 11+九1 二九2(九+3)1 1十九1°、 1°、 (11°°、，°°,（1）当九。°,九w-3时，|A|w°，方程组有唯一解，所以P可由a「a2a3唯一地线性表示；（2）当工°时，方程组的增广阵A=[11U1r（A）=r（A）=1<3，方程组有无穷多解，所以P可由a,aa线性表示，但1 2, 3表示式不唯一；(3)当X=-3时，方程组的增广阵11-2-211-2-2-30-3-12-18,NA)丰r(A),方程组无解，所以P不能由a,a1a线性表示。2, 322.解：以a,a,a,a,P为列构造矩阵

1234(1)当a=±1且b丰0时，P不能表示为a,a,a的线性组合;234(2)当aw±1,b任意时，P能唯一地表示为a,a,a,a的线性组合。3.解:(a(1)当a=±1且b丰0时，P不能表示为a,a,a的线性组合;234(2)当aw±1,b任意时，P能唯一地表示为a,a,a,a的线性组合。3.解:(a,a,a,a,a)=

123451-104215612521-1-203071410000100-110000102

1

-1

0,a为一个极大无关组，且a=-a+a

4 3 1+0a2 4=2a+a-a1 2 4四、证明题.证::3(P+P)-4(2P-P)=01213・•・-5P+3P+4P=01 2 3・・・P,P,P线性相关123.证：设k(a+a)+k(a+a)+…+k(a11 2 22 3则(k+k)a+(k+k)a+…(k1n1 1 2 2 n-1+k)ann\,a,a,,a线性无关12 n'k+k=01nk+k=0.J1 2100…01110…00其系数行列式011…00=1+(-1)n+1=<2n为奇数0,n为偶数1………………000…10000…11k+k=0n-1 n，当n为奇数时，k,k,

12,k只能为零，na,a12,a线性无关;n当n为偶数时，k,k,……,k可以不全为零，a,a,……,a线性相关。

12 n 12 n参考答案、单项选择题二、填空题kW—2且k中3 4.r5.m三、计算题是2.不能1）v=（0,0,1,0）r#=（—1,1,0,1）t 2）k（—1,1,1,1）t（其中k为任意非零常数）12第五章参考答案一、单项选择题二、填空题,-1 ,1三、计算题1.〃,（1,1，…,1）72.(1)(-112.(1)(-11)1 1LJ(1—3)⑵-2四.证明题（略）概率论部分、填空（每题3分共15分）1.4/7；2.1/12；3.不相关；4.1.4/7；2.1/12；3.不相关；4.Y~N(3,4)；5.N(0,1/10)二、选择（每题3分共15分）1．C； 2.C； 3.D；4.A；5.B三、计算TOC\o"1-5"\h\z（15分）解：设A=｛第一次从甲袋中摸的是黑球｝A=｛第一次从甲袋中摸的是白球｝12由全概率公式11P(A"3P(aj=2P(B)=P(BIA)P(A)+P(B11P(A"3P(aj=22 2P