华师福建 九下 数学 第27章《垂径定理及其推论》课件

第27章圆27.1

圆的认识2.圆的对称性第2课时垂径定理及其推论目

录CONTENTS01新课学习02深挖拓展03课堂小测学

习

目

标1.掌握垂径定理及其推论.2.能运用垂径定理解决有关的计算和证明问题.

垂径定理：垂直于弦的直径________这条弦，并且平分这条弦所对的两条________．几何语言：如图，∵_________________________，∴____________________________.知识点1

垂径定理例1

平分弧CD⊥AB，且CD为直径

如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB＝8cm，OC＝5cm.求DC的长．练1-1解：连结OA，∵OC⊥AB，∴AD＝

AB＝4cm.在Rt△OAD中，由勾股定理得，OD＝

＝3cm，∴DC＝OC－OD＝2cm.

如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦AB交小圆于点C，D.求证：AC＝BD.练1-2证明：过点O作OE⊥AB于点E.∵两个圆是同心圆且圆心为O，大圆的弦AB交小圆于C，D两点，∴AE＝BE，CE＝DE，∴AE－CE＝BE－DE，即AC＝BD.

如图，CD为⊙O的直径，E为弦AB(不是直径)的中点．请问CD与AB垂直吗？例2

知识点2

垂径定理的推论解：垂直，理由如下：如图，连结OA，OB.∵E为AB的中点，∴AE＝BE.在△AOE和△BOE中，

∴△AOE≌△BOE，∴∠AEO＝∠BEO＝

×180°＝90°，∴CD⊥AB.

如图是一个中式拱门的截面图，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E，并且CD＝4m，EM＝6m，求⊙O的半径．练2

解：如图，连结CO.∵M是弦CD的中点，且EM经过圆心O，∴EM⊥CD，CM＝

CD＝2m．设⊙O的半径为rm，在Rt△OCM中，由勾股定理得OC2＝OM2＋CM2，即r2＝(6－r)2＋22，解得r＝

.∴⊙O的半径为

m.

在圆柱形油槽内装有一些油，其截面如图所示．已知

截面⊙O的半径为5cm，油面宽AB为6cm，如果再注入

一些油后，油面宽变为8cm，求油面AB上升了多少．例3

解：有两种情况：(1)如图①，设宽度为8cm的油面为CD，连结OB，OD，作ON⊥AB，与CD，AB的交点分别为M，N.易知OM⊥CD，CM＝MD＝

CD＝4cm，AN＝BN＝

AB＝3cm.在Rt△BON中，由勾股定理得ON＝＝4cm.在Rt△DOM中，由勾股定理得OM＝

＝3cm.∴MN＝ON－OM＝1cm，即油面上升了1cm.(2)如图②，设宽度为8cm的油面为EF，过O作PQ⊥EF，与AB，EF的交点分别为Q，P，连结OB，OE.易知PQ⊥AB，EP＝PF＝

EF＝4cm，AQ＝BQ＝

AB＝3cm.在Rt△BOQ中，由勾股定理得OQ＝＝4cm.在Rt△EPO中，由勾股定理得OP＝

＝3cm.∴QP＝OQ＋OP＝7cm，即油面上升了7cm.综上所述，油面AB上升了1cm或7cm.1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝5cm，CD＝8cm，则AE＝________cm.823142．如图，P为⊙O内的一点，且OP＝6，若⊙O的半径为10，则过点P的弦长不可能为(

)A．12 B．16 C．17.5 D．20A23143．如图，侧面形状为圆弧形的拱桥的跨度AB＝12m，拱高CD＝4m，则拱桥的半径为(

)A．15m B．13m C．9m D．6.5mD23144．某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．(1)若输水管道有水部分的水面宽AB＝16cm，水最深地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径；解：(1)设圆心为O，过点O作OE⊥AB于点D，交弧AB于点E，连结OB，如图①.∵OE⊥AB，∴BD＝

AB＝8cm，由题意知ED＝4cm，设半径为xcm，则OD＝(x－4)cm，在Rt△BOD中，由勾股定理，得OD2＋BD2＝OB2，即(x－4)2＋82＝x2，解得x＝10，∴这个圆形截面的半径为10cm.24134．某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．(2)在(1)的条件下，小明把一只宽12cm的方形小木船放在修好后的圆柱形水管里，已知船高出水面13cm，问此小船能顺利通过这个管道吗？能顺利通过这个管道．理由：如图②，MN是垂直于OE的一条弦，延长EO交MN于点F，连结OM.设MN＝12cm，则MF＝

MN＝6cm.

∵EF⊥MN，OM＝10cm，∴在