湖北省武汉市武昌区2023届高三上学期数学元月质量检测试卷

湖北省武汉市武昌区2023届高三上学期数学元月质量检测试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、单选题1．若集合A={x∈N∗|x是4和10的公倍数}，B={x∈R|A．∅ B．{−20C．{20} D．{202．若复数z满足(z−3)(z−5)+2=0，则z⋅zA．4 B．17 C．16 D．173．已知tanα=12A．−22 B．−2 C．2 4．红薯于1593年被商人陈振龙引入中国，也叫甘薯、番薯等.红薯耐旱耐脊、产量丰富，曾于数次大饥荒年间成为不少人的“救命粮食”，现因其生食多汁、熟食如蜜，成为人们喜爱的美食甜点.小泽和弟弟在网红一条街买了一根香气扑鼻的烤红薯，准备分着吃，如图，该红薯可近似看作三部分：左边部分是半径为R的半球；中间部分是底面半径为R、高为3R的圆柱；右边部分是底面半径为R、高为R的圆锥，若小泽准备从中间部分的甲、乙、丙、丁四个位置选择一处将红薯掰成两块，且使得两块的体积最接近，则小泽选择的位置是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁5．在△ABC中，AB=2，BC=1，∠ABC=π3，若点M满足BM=2A．12 B．23 C．1 6．若a=1011⋅e11A．b<c<a B．a<b<c C．c<b<a D．a<c<b7．已知随机事件A，B，C满足0<P(A)<1，0<P(B)<1，0<P(C)<1，则下列说法错误的是（）A．不可能事件Φ与事件A互斥B．必然事件Ω与事件A相互独立C．P(A∣C)=P(AB∣C)+P(AD．若P(A|B)=P(8．已知A是椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上顶点，点B，CA．(0，33] B．(0，6二、多选题9．已知数列{an}的前nA．{Sn}是递减数列 C．an<0 10．在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E在线段A．三棱锥D1B．若直线EF//平面ABC．不存在点F使平面DEF⊥平面BD．存在点F使直线EF与平面ABCD所成角为π11．已知点P是曲线C：x2+y2=|x|+|y|上的动点，点QA．原点在曲线C上B．曲线C围成的图形的面积为π+1C．过Q(0，D．满足P到直线y=x+3的距离为3212．声音中包含着正弦函数，周期函数产生了美妙的音乐.若我们听到的声音的函数是f(x)=1A．f(x)的最小正周期是π B．f(π2)C．x=kπ(k∈Z)是f(x)的零点 D．f(x)在(3π三、填空题13．若平面上有7条直线，其中没有两条平行，也没有三条交于一点，则共有个交点（用数字作答）.14．若圆x2+y2+6x=0与圆x15．已知(1+x)n的展开式中第9项、第10项、第11项的二项式系数成等差数列，则正整数16．某校采用分层随机抽样采集了高一、高二、高三年级学生的身高情况，部分调查数据如下：项目样本量样本平均数样本方差高一100167120高二100170150高三100173150则总的样本方差s2=四、解答题17．已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，且cos（1）求A；（2）若a=2，△ABC的面积为3，求b，c.18．已知数列{an}满足a1=1，a2=1，a（1）求证：a（2）求使得|akS19．“惟楚有材”牌坊地处明清贡院旧址，象征着荆楚仕子朱衣点额的辉煌盛况和江城文脉的源远流长，某学生随机统计了来此参观的100名游客，其中40名女性中有30名在“惟楚有材”牌坊下拍照，60名男性中有20名在“惟楚有材”牌坊下拍照.附：K2=P(00000k236710（1）用女性拍照的频率估计概率，若再来4名女性（是否拍照互相之间不影响）中至少有2名在“惟楚有材”牌坊下拍照的概率；（2）根据小概率值α=0.20．在三棱锥P−ABC中，PC=AB=AC=22BC=1，PC⊥平面ABC，点M是棱PA上的动点，点N是棱BC（1）当x=22时，求证：（2）当MN的长最小时，求二面角A−MN−C的余弦值21．已知点A(a，−1)是抛物线C：y2=2px(p>0)上一点，斜率为2的动直线l交C于M，N（异于A）的两点，直线（1）求抛物线C的方程；（2）若|MN|=5，求sin22．已知函数f(x)=ax与g(x)=loga（1）求g(x)在(1，（2）若a>1，h(x)=f(x)−g(x)恰有两个零点，求a的取值范围

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】由题意可知A={x|x=20k，k∈N∗}，由(20k)2≤1000因此，A∩B={20}.故答案为：C.

【分析】根据交集的定义进行运算可得答案.2．【答案】D【解析】【解答】因为(z−3)(z−5)+2=0，所以z2−8z+17=0，所以所以z=4±i，当z=4−i时，z=4+i，z⋅当z=4+i时，z=4−i，z⋅所以z⋅z故答案为：D.

【分析】求解实系数一元二次方程可得z，再由复数代数形式的乘除运算进行化简，可得答案.3．【答案】D【解析】【解答】cosα故答案为：D

【分析】利用两角和的余弦公式结合弦化切可求得答案.4．【答案】B【解析】【解答】若从甲处分为两块，则左侧体积为23右侧体积为πR2⋅3R+若从乙处分为两块，则左侧体积为23右侧体积为πR2⋅2R+若从丙处分为两块，则左侧体积为23右侧体积为πR3+若从丁处分为两块，则左侧体积为23右侧体积为13πR故从乙处掰成两块，体积最接近，故答案为：B.

【分析】分从甲处分为两块，从乙处分为两块，从丙处分为两块，从丁处分为两块四种情况，再结合圆柱和圆锥的体积公式可得答案.5．【答案】C【解析】【解答】AM=−=−=−1故答案为：C.

【分析】AM⋅6．【答案】A【解析】【解答】因为a=1011⋅e11所以只需要比较e1110，e2令f(x)=ex−e⋅x(x>1)因为x>1，所以ex>e，则f'(x)=e故f(1110)>f(1)=0，则e所以a=10令g(x)=e2ln因为0<x<e，所以e−x>0，g'(x)=e⋅(e−x)x>0故g(1110)<g(e)=0，即e所以b=10综上：b<c<a.故答案为：A.

【分析】令f(x)=ex−e⋅x(x>1)，求导可得f(x)在(1，+∞)上单调性，可得a>c，令g(x)=e27．【答案】D【解析】【解答】因为不可能事件Φ与事件A不会同时发生，所以互斥，A符合题意；因为P(所以P(AΩ)=P(因为AB∪AB=A，且所以P(A∣C)=P(AB∣C)+P(AB例如，抛掷一枚骰子1次的试验，设事件B为出现点数小于等于4，事件A为出现点数小于等于2，则P(A|B)=P(A故答案为：D.

【分析】根据不可能事件、必然事件、互斥事件、相互独立事件的定义和条件概率公式逐项进行判断，可得答案.8．【答案】B【解析】【解答】由题意可得：A(0，∵直线AB的斜率存在且不为0，设为k，则直线AB：联立方程y=kx+bx2a2+y2即点B的横坐标为−2kb同理可得：点C的横坐标为2kba由题意可得：|AB|=|AC|，即1+k整理得：(|k|−1)[|k|由题意结合椭圆的对称性可得：关于|k|的方程(|k|−1)[|k|当|k|=1是方程|k|2+(1−a2b若b2a2=13，则当|k|=1不是方程|k|2+(1−a2b∵a>b>0，则f(t)=t2+(1−∴Δ=(1−a2综上所述：13≤b2a故答案为：B.

【分析】由题意可设直线AB：y=kx+b，与椭圆方程联立解出点B的横坐标，同理可得点C的横坐标，利用|AB|=|AC|，并且对a分类讨论即可求出椭圆9．【答案】A,B,C【解析】【解答】对于A，因为Sn=(故Sn+1−S所以{S对于B，当n=1时，a1当n≥2时，an经检验，a1=−1所以an故当n∈N*时，an+1对于C，由B知an对于D，因为Sn=(所以Sn故答案为：ABC.

【分析】由Sn=(12)n−1得Sn+110．【答案】A,B【解析】【解答】A，连接A1D，如图所示：设正方体的棱长为因为A1所以四边形A1所以B1又B1C⊄平面ADD1A所以B1C∥平面即B1C∥所以直线B1C上的所有点到平面ADD所以点F到平面ADD1的高度为由S△AD所以VDA符合题意，以D为坐标原点，DA，DC，设CF=λ因为点E在线段BD上，且BE=12BD，所以E则A(1，所以AD设平面AB1Dm⊥令c=1，则a=1，所以平面AB1D由C(0，1，所以CF=(x0所以CF=λ所以x0所以F(λ直线EF//平面AB1即EF⋅解得λ=12，当F处于C点时，平面DEF即为平面ABCD，而在正方体中平面ABCD⊥平面BB故存在点，F使得平面DEF⊥平面BBC不符合题意，由B选项知EF=(λ−12，1所以DD1=(0设直线EF与平面ABCD所成角为θ，由线面角的性质有：sinθ=|假设存在点F使直线EF与平面ABCD所成角为π3则sinπ即4λ因为Δ=(−6)所以不存在点F使直线EF与平面ABCD所成角为π3D选项不正确，故答案为：AB.

【分析】连接A1D，四边形A1B1CD为平行四边形，根据线面平行可得B1C∥平面ADD1，直线B1C上的所有点到平面ADD11．【答案】A,C,D【解析】【解答】对于A：将原点坐标O(0，0)代入，对于B：当x>0，曲线C：x2即x2即(x−1第一象限内曲线C与坐标轴围成的图形的面积为12所以总面积为：π+24B不符合题意；由函数图象知过Q(0，原点到直线y=x+3的距离为：d=|−1×0+1×0+3|(−1)2+12=32故答案为：ACD.

【分析】分类讨论后，根据对称性画出函数图象，逐项进行判断求解，可得答案.12．【答案】A,C,D【解析】【解答】对于A选项，函数y=12sin函数y=14sin函数y=16sin6x的最小正周期为因此，函数f(x)的最小正周期是π，A对；对于B选项，因为f(π又因为f(−π故f(π2)对于C选项，对任意的k∈Z，f(kπ)=1故x=kπ(k∈Z)是f(x)的零点，C对；对于D选项，∵f(x)=1则f==cos当3π4<x<π时，3π2<2x<2π，则cos2x>0所以，2x=7π4，可得当3π4<x<7π8时，当7π8<x<π时，f'因此，f(x)在(3π故答案为：ACD.

【分析】根据正弦函数的周期性可判断A；f(π2)=0，f(−π12)<0，可判断B；对任意的k∈Z，f(kπ)=0，可判断C；对f(x)求导，根据导数符号可得函数13．【答案】21【解析】【解答】因为平面上有7条直线，其中没有两条平行，也没有三条交于一点，所以任意两条直线确定一个交点，则共有C7故答案为：21.

【分析】每两条直线确定一个点，只要求出7条直线任取两条的方法数即可.14．【答案】(−∞【解析】【解答】解：将圆x2+y2+6x=0化为标准形式得(x+3)将圆x2+y2−2my+m2因为圆x2+y所以|CD|>R+r，即9+m2>7，即m2>40所以，实数m的取值范围是(−∞故答案为：(−∞

【分析】求出两个圆的圆心坐标和半径，利用两个圆的圆心距大于半径和，即可求出实数m的取值范围.15．【答案】14或23【解析】【解答】因为(1+x所以2Cn9化简可得n2−37n+322=0，解得n=14故答案为：14或23

【分析】利用二项展开式的通项公式求出通项求出各项的二项式系数，利用等差数列的定义列出方程解得正整数n的值.16．【答案】146【解析】【解答】由题意知，总的样本平均数为x=∴总的样本方差为：s=故答案为：146.

【分析】由分层抽样后的样本方差公式计算可得答案.17．【答案】（1）解：已知cosC+3sin故sinA由B=π−A−C，得：sinB=代入上式，于是3sin由C∈(0，π)，得sinC≠0，从而上式消去sin于是2sin(A−π6)=1，即sin（2）解：由△ABC的面积为3得：12bcsinA=3，代入由余弦定理得a2=b2+c2−2bccosA由①②解得b=c=2.【解析】【分析】(1)根据两角和差的正弦公式以及正弦定理进行化简，即可求出∠A的大小；

(2)根据余弦定理及三角形的面积公式即可求出b，c.18．【答案】（1）证明：由anaaa⋮a累加得a于是an（2）解：由a1=a2=1，a进而an−a由（1）可知an=S于是只需求使得1ak−1从而只需求使得ak<101最大的正整数由a1=a2=1，an=an−2+an−1，列举得：a1=1，a2=1，a3=2结合数列{an}单调递增，于是使得a【解析】【分析】（1）利用递推关系式结合累加法可证得an=Sn−2+1；

（2）对任意n∈N∗，an=an−2+a19．【答案】（1）解：由频率估计概率可知：每名女性在“惟楚有材”牌坊下拍照的概率p=3则再来4名女性，其中2名女性在“惟楚有材”牌坊下拍照的概率为C43名女性“惟楚有材”牌坊下拍照的概率为C44名女性“惟楚有材”牌坊下拍照的概率为(3∴至少2名女性在“惟楚有材”牌坊下拍照的概率为27128（2）解：由已知可得列联表如下：

男性女性合计拍照203050不拍照401050合计6040100零假设H0K2根据小概率值α=0.001的独立性检验，【解析】【分析】（1）根据n次独立概率公式，可求出至少有2名在“惟楚有材”牌坊下拍照的概率；

（2）根据表中数据计算K220．【答案】（1）证明：在平面ABC内过点C作CD⊥AC，使得点D与点B在AC同侧，∵PC⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，AC⊂平面ABC，∴PC⊥AC，PC⊥CD，则PC，以C为坐标原点，CA，CD，则C(0，0，0)，由AB=AC=22BC得：A∴△ABC为等腰直角三角形，∴B(1，同理可得：△APC为等腰直角三角形，当x=22时，AM=12AP，CN=∴M(12，0，12∴MN⋅CA（2）解：由（1）可得：A(1，0，0)，P(0，∴M(22x则MN∴当x=22时，MN最小，∴M，∴M(12，∴CM=(12，0，设平面CMN的法向量为α=(则CM⋅α=12x1+1设平面AMN的法向量β=(则AM⋅β=−12x2+1∴|cos由图形可知：二面角A−MN−C为锐二面角，∴二面角A−MN−C的余弦值为13【解析】【分析】（1）以C为坐标原点，CA，CD，CP正方向为x，y，z轴，可建立空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，利用向量法可证得MN⊥AC；21．【答案】（1）解：由直线MN的斜率为2，设直线MN：x=12y+m，联立y2=2pxx=12y+mm>−p由韦达定理得：y1由直线AM，AN的倾斜角互补且M，N为不同两点，故直线AM，AN的斜率均存在，分别记为kAM，则kAMy1+11代入y得：−2pm+pm−pa+12由点A(a，−1)是抛物线C：y2=2px(p>0)上一点，代入上式消去a得：(2−p)m+1整理得：(2−p)(m−p+12p)=0，故故抛物线方程为y（2）解：由（1）可得y1故|MN|=(1+故m=0，满足Δ>0，于是M(0，0)，N(1，2)，cos∠MAN=因为0<∠MAN<π，故sin【解析】【分析】（1）设直线MN：x