第1讲 有理数基础复习（教师版）-初中数学6年级自招班

有理数基础复习第一讲有理数基础复习第一讲基本要求（1）有理数的分类，并准确判断一个数是哪一类有理数；（2）了解正数负数的实际意义、相反数、倒数、负倒数、绝对值的概念；（3）能熟练进行有理数的加、减、乘、除及其混合运算；正确性和速度——两手都要抓，两手都要硬！⑴的负倒数是；的相反数是.⑵年元旦上海和北京的夜间气温分别是和，两者相差.⑴；⑵⑴.⑵.⑴⑵有理数的认识有理数：正数与负数正数：大于的数叫做正数，如、、．正数前面的“”可以省略，与表示是同一个正数．负数：在正数前面加上负号“”的数叫做负数,负数小于．如、、．【注意】①数既不是正数，也不是负数．②一个数前面的“”，“”号叫做它的符号．③用正、负数表示相反意义的量：比如用正数表示向南，那么向北可以用负数表示为．有理数的定义整数和分数统称为有理数（）,一切有理数都可以写成分数形式.有理数的分类【注意】①正数和零统称为非负数；②负数和零统称为非正数；③正整数和零统称为非负整数；④负整数和零统称为非正整数．小数与有理数数轴定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线．【注意】①原点、正方向、单位长度称为数轴的三要素，三者缺一不可．②单位长度和长度单位是两个不同的概念，前者指所取度量单位的长度，后者指所取度量单位的名称，即单位长度是一条人为规定的代表“”的线段，这条线段可长可短，按实际情况来规定，同一数轴上的单位长度一旦确定，则不能再改变．有理数与数轴的关系：一切有理数都可以用数轴上的点表示出来；注意：数轴上的点不都代表有理数，如；一般地，数轴上右边的数总大于左边的数．数轴画法的常见错误举例：错例原因无原点没有正方向单位长度不统一没有单位长度相反数定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．特别地，的相反数仍是．注意点：相反数必须成对出现，不能单独存在．例如：与互为相反数，而与虽然符号不同，但它们不互为相反数．实数的相反数是，零的相反数是零；数轴上表示相反数的两个点关于原点对称；如果与互为相反数，那么，，；如果与互为相反数，且都不为零，那么．绝对值绝对值的意义代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是．几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离．数的绝对值记作．求字母的绝对值：①②③绝对值的非负性任何一个有理数的绝对值不是正数就是，即绝对值的结果都是非负的，记作【注意】①去绝对值也是一种运算，运算符号是“”，一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号．②任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：的符号是负号，绝对值是．倒数倒数：乘积为的两个数互为倒数．互为倒数，则；反之亦然．负倒数：乘积为的两个数互为负倒数．若互为负倒数，则．反之亦然．【注意】①倒数是成对出现的，单独一个数不能称为倒数；②互为倒数的两个数乘积为；零没有倒数；③如果与互为倒数，那么，，；④如果与互为负倒数，那么，，；⑤求一个非零有理数的倒数，把它的分子和分母颠倒位置即可．★☆☆☆☆在下表适当的空格里打上“√”号．整数分数正数负数有理数非正数非负整数非正分数整数分数正数负数有理数非正数非负整数非正分数√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√★★☆☆☆⑴将，，，，，，这七个数，按照从小到大的顺序排列为.⑵三个有理数、、在数轴上的位置如图所示，则（）A.B.C.D.⑶已知，试比较，，，，，的大小，按照从大到小的顺序排列为.⑴⑵⑶★★☆☆☆⑴下列说法中错误的是（）A.互为相反数的两个数的绝对值相等B.有理数可以用数轴上的点表示C.任何一个有理数都有相反数D.一切小数都是有理数⑵下列说法中，正确的序号是（）①一个负数的绝对值是它的相反数；②倒数等于本身的数是和；③若一个数的绝对值是它本身，则这个数一定是正数；④零的绝对值和相反数都是它本身；⑤两个负数，绝对值较大的负数反而小A.①②④B.①③④C.①③⑤D.①④⑤⑶下列说法中，正确的有（）句①一个有理数不是整数，就是分数；②一个有理数不是正的，就是负的；③一个整数不是正的，就是负的；④一个分数不是正的，就是负的；⑤没有最大的非正数，也没有最小的非负数；A.B.C.D.⑷和是满足的有理数，下面四句话中，正确的有（）句①的相反数是；②的相反数是的相反数与的相反数的差；③的相反数是的相反数和的相反数的乘积；④的倒数是的倒数和的倒数的乘积A.B.C.D.⑸若三个数互不相等，则在，，中，正数一定有（）A.个B.个C.个D.个⑴⑵⑶⑷⑸★★★☆☆⑴的相反数是.⑵已知的倒数是，则的负倒数为.⑶若，则；若，则.⑷已知，则的值是.⑴⑵⑶；⑷★★★☆☆⑴数轴上有,,三点，点所对应的数是，点到点的距离是，点到点的距离是，则点所对应的数是.⑵数轴上点对应的数为，点对应的数为，则的中点对应的数为.（用表示）⑶如图所示，数轴上三个点对应的数分别为，，，相邻的两个点之间的距离相等，且满足，则.⑴点所对应的数是或，所以点所对应的数是或或或；⑵；⑶.★★★☆☆三个互不相等的有理数，既可以表示为，，的形式，也可以表示为，，的形式，求的值.易知，则，即，此时两组数为和，所以，，得.有理数的四则运算有理数的加法有理数加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．一个数同相加，仍得这个数．有理数加法的运算步骤：法则是运算的依据，根据有理数加法的运算法则，可以得到加法的运算步骤：①确定和的符号；②求和的绝对值，即确定是两个加数的绝对值的和或差．有理数加法的运算律：加法交换律：两个加数相加，交换加数的位置，和不变，即.加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或先把后两个数相加，和不变．即.有理数加法的运算技巧：①分数与小数均有时，应先化为统一形式；②带分数可分为整数与分数两部分参与运算；③多个数相加时，若有互为相反数的两个数，可先结合相加得零；④若有可以凑整的数，即相加得整数时，可先结合相加；⑤若有同分母的分数或易通分的分数，应先结合在一起；⑥符号相同的数可以先结合在一起．有理数的减法有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有理数减法的运算步骤：①把减号变为加号（改变运算符号）②把减数变为它的相反数（改变性质符号）③把减法转化为加法，按照加法运算的步骤进行运算．有理数加减混合运算的步骤：①把算式中的减法转化为加法；②省略加号与括号；③利用运算律及技巧简便计算，求出结果．【注意】根据有理数减法法则，减去一个数等于加上它的相反数，因此加减混合运算可以依据上述法则转变为只有加法的运算，即为求几个正数，负数和的和，这个和称为代数和．为了书写简便，可以把加号与每个加数外的括号均省略，写成省略加号和的形式．例如：，它的含义是正，负，正，正，负的和．有理数的乘法有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数同相乘，都得．有理数乘法的运算步骤：先确定符号，再计算绝对值，有括号的先算括号里的数.有理数乘法运算律：乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即．乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等，即．乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加，即．有理数乘法法则的推广：几个不等于的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数．几个数相乘，如果有一个因数为，则积为．在进行乘法运算时，若有带分数，应先化为假分数，便于约分；若有小数及分数，一般先将小数化为分数，或凑整计算；利用乘法分配律及其逆用，也可简化计算．“奇负偶正”口诀的应用一：口诀“奇负偶正”在多处知识点中均提到过，它具体的应用有如下几点：①多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”的个数，例如：；．②有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：，而．有理数的除法有理数除法法则：除以一个不等于的数，等于乘这个数的倒数：（）；两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；除以任何一个不等于的数，都等于．有理数除法的运算步骤：首先确定商的符号，然后再求出商的绝对值．★★☆☆☆⑴下列说法正确的是（）A.两个有理数的和一定大于任何一个加数B.两个有理数的和一定大于其中的一个加数C.两个有理数的和一定大于这两个数的差D.较小的有理数减去较大的有理数的差一定是负数⑵个不全相等的有理数之和为，那么一定有结论（）A.至少有一个是零B.至少有个正数C.至少有一个负数D.至多有个负数⑶若，则下列四个结论中，正确的是（）A.一定是正数B.可能是负数C.一定是正数D.一定是正数⑴⑵⑶★★★☆☆计算：⑴⑵⑶⑴原式⑵原式⑶原式★★★☆☆⑴已知、互为倒数，、互为相反数，为最大的负整数，为绝对值最小的数，则的值是.⑵已知且、互为相反数，、互为负倒数，的绝对值为，则代数式的值是.⑴由题意得，，，，则原式.⑵由题意得，，，，则原式或.★★★☆☆如果个不同的正整数满足，那么的值是多少？.★★★★☆数轴上标有个点对应的都是整数（它们称为整点），它们对应的整数分别是，为了确保从这些整点中可以取出个，其中任何个点之间的距离不等于，问的最小值是多少？的最小值是将数轴上的个点，自左端开始，连续个点为一组，每组仅取右边个点，这样就可以确保所取出的点，其中任意两点之间的距离不等于．从多少组中才能取出个点？，即从组可以取出个点，另外，再从第组中取出个点，就得到个点．所以，．即数轴上至少有个点，就能够确保从中取出个，其中任意两点之的距离不等于，，．当时，可以取；；；；；；和，共个，其中任何两个数所代表的两个点之间的距离都不等于．在整数之间填入符号和号，那么在所有可能的代数和中，最小的非负数是多少？由于整数的符号不影响其奇偶性，因此也不影响代数和的奇偶性，我们首先可以利用：，得知所有可能的代数和均为奇数，再考虑到非负数这一条件，我们期望这一最小值为．接下来我们的目标无非是填入符号“＋”和“－”凑出来，考虑到共有个数，我们需要利用周期性.注意到，，因此容易凑出所要的结果来：．但是题目中要求在数与数之间填入符号“＋”和“－”号，所以可以对算式的前项做处理，修改为：在下列数中，哪些是整数？哪些是正数？哪些是非负整数？哪些是有理数？，，，，，，，，，，整数：，，，正数：，，，，，非负整数：，，有理数：，，，，，，，，⑴学而思校车上原来有人，经过个站点时上下车情况如下（上车为正，下车为负）：，，，，最后有人，横线上应填的数字是．⑵学而思老师进行吃大米饭比赛，以碗为标准，超过次数用正数表示，不足的用负数表示，其中名老师的成绩如下表：张俊俊黄孔孔王阳阳罗小小周虎虎吴疯疯方捷捷邢飞飞问：这名老师吃掉米饭的平均值是碗．⑴；⑵.⑴的相反数的倒数是，的相反数是.⑵已知，则.⑶已知的负倒数是最大的负整数，则.⑷已知的绝对值和倒数都等于本身，若，则.⑴相反数为，再求倒数为；的相反数是.⑵由非负性可得，，所以.⑶最大的负整数为，的负倒数为，则，得.⑷绝对值和倒数都等于本身的数是，所以，得.⑴已知、都为有理数，且，，，则、、、的大小关系是（）A.B.C.D.⑵有理数、在数轴上如图所示，则（）A.B.C.D.⑶数轴上有，两点，如果点对应的数是，且，两点的距离为，则点对应的数的倒数为.⑷如图，如果数到原点的距离是数到原点的距离的倍，则数轴的原点是,,,四点中的点.⑴将，，，四个数表示在数轴上如下所示：所以，答案选.⑵为负数，又，所以且均为正数，所以，选.⑶点对应的数为