江苏无锡市东林中学2024-2025学年九上数学第14周阶段性训练模拟练习【含答案】

江苏无锡市东林中学2024-2025学年九上数学第14周阶段性训练模拟练习一．选择题（共8小题）1．如图，在△ABC中，以BC为直径的半圆分别与AB，AC交于点D，E．若BC＝6，∠A＝60°，则的长为（）A． B．π C．2π D．3π2．如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝，BC＝2，点P为边AB上一动点，过点P作PD⊥BC于D，过点D作DE⊥AC于E，△PDE的外接圆与边BC的另一个公共点为F．下列结论：①∠PDE的大小不变；②∠CEF＝∠PED；③BD＝CF；④△PDE的外接圆直径的最小值为．其中正确的为（）A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④3．如图，在平面直角坐标系中，半径为1的⊙A的圆心A的坐标为（0，2），点B为x轴上一个动点，过点B作⊙A的切线，切点为C，CD⊥AB于点D．下列结论：①CD的最大值为1；②BC的最小值为；③∠ABC的最大值为30°；④若点B（1，0），则△BCD的面积为．则其中正确的结论有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个4．如图，点M是三边均不等的△ABC三条角平分线的交点，过M作DE⊥AM，分别交AB、AC于D、E两点，设BD＝a，DE＝b，CE＝c，关于x的方程2ax2+bx+c＝0（）A．一定有两个相等实数根 B．一定有两个不相等实数根 C．有两个实数根，但无法确定是否相等 D．没有实数根5．如图，多边形ABCDEF为正六边形，点P在边CD上，过点P作PQ∥ED交EF于点Q，连接BQ，且满足∠BPC＝∠BQP．设四边形PQED、四边形AFQB和△BCP的面积分别为S1、S2、S3，则正六边形ABCDEF的面积为（）A．S1+2S2+2S3 B．S1+2S2+S3 C．S1+2S2+3S3 D．2S1+S2+2S36．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝40°，AB＝6，斜边AB是半圆O的直径，点D是半圆上的一个动点，连接CD与AB交于点E，若BE＝BC时，弧BD的长为（）A． B． C． D．7．如图，在△ABC中，∠A＝60°，BC＝6，D是BC边上一点，CD＝2BD，线段AD的最大值为（）A．12 B．6+2 C．6+ D．8．正方形ABCD，BEFG如图放置，AB＝6，AG，CE相交于点P，Q为AD边上一点，且DQ：AQ＝1：2，则PQ的最大值（）A． B． C．7 D．二．填空题（共10小题）9．若关于x的二次函数y＝3x2﹣2x+m﹣1的值恒为正数，则m的取值范围为．10．如图，在正方形ABCD中，AD＝4，点E、F分别为AB、BC上的动点，且AE＝BF，AF与DE交于点O，点P为EF的中点．（1）若AE＝1，则EF的长＝；（2）在整个运动过程中，OP长的最小值为．11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，AM＝1，I为△ABC的内心，则IM＝．12．如图，点M（2，0）、N（0，4），以点M为圆心为半径作⊙M交y轴于A、B两点，点C为⊙M上一动点，连接CN，取CN中点D，连接AD、BD，则AD2+BD2的最大值为．13．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，AB＝3，以点A为圆心，AB的长为半径画弧，分别交BC，AC于点E，D，则图中阴影部分的周长是．14．如图，将⊙O上的沿弦BC翻折交半径OA于点D，再将沿BD翻折交BC于点E，连接DE．若AD＝2OD，则的值．15．如图，⊙O分别切∠ABC的两边AB，BC于点D，E，点F在⊙O上，若∠ABC＝70°，则∠F的度数为°．16．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4．点E是AB上的动点，点F是线段AE上的点，且EF＝3AF，DE，CF相交于点P，则DP的最大值为，最小值为．17．如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、F、G，∠B＝65°，∠C＝45°，则∠DGF的度数是°．18．如图，△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，，以C为圆心，CA为半径的圆弧分别交AB、CB于点D、E，则图中阴影部分面积之和为．三．解答题（共5小题）19．如图1，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，点A（0，3），C（4，0），点P是边OA上的一个动点．将线段CP绕点C顺时针旋转∠OCA的度数到CQ，点P的对应点是点Q．二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A和点B．（1）求二次函数y＝﹣x2+bx+c的表达式；（2）当点Q恰好落在抛物线的对称轴上时，求OP的长；（3）如图2，过点Q作y轴的平行线交位于第一象限的抛物线于点G，连接AG，AQ，若△AQG为直角三角形，求此时G点的坐标．20．如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（位于x轴的正半轴），与y轴交于点C．（1）b＝（用含c的代数式表示）；（2）若△ABC的面积为6，点P，Q为二次函数y＝x2+bx+c图象上的两点，设点P的横坐标为m，点Q的横坐标为n，且0＜n＜m＜3，直线AP，AQ分别与y轴交于点M，N．①求该二次函数的表达式；②若∠APQ＝2∠PAO，则2OM+ON是定值吗？若是定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由．

21．已知二次函数y＝ax2﹣（a+b）x+b（a、b是常数，a≠0）．（1）若M（﹣4，m）（m＞0）在该二次函数的图象上，当a＜0时，试判断代数式a+b的正负性；（2）已知对于任意的常数a、b（a≠0），二次函数的图象始终过定点P，求证：一次函数y＝（k2+3）x+3k（x≥1）图象上所有的点都高于点P．22．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且AC⊥BD，垂足为E，AB＝DB，F为DC延长线上一点．（1）求证：BC平分∠ACF；（2）若BE＝3，DE＝2，求AE和⊙O的半径长．23．已知：在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝m．（1）如图1，当时，以AB为直径的⊙G交CD于M、N两点，求此时MN的长；（2）如图2，若⊙O经过A、B两点，且与CD相切，当其半径不大于时，求m的取值范围．

参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．【解答】解：连接OD、OE，∵∠A＝60°，∴∠B+∠C＝120°，∵OB＝OD，OE＝OC，∴∠ODB＝∠B，∠OEC＝∠C，∴∠BOD+∠EOC＝360°﹣120°×2＝120°，∴∠DOE＝60°，∴的长为：＝π，故选：B．2．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵PD⊥BC，DE⊥AC，∴∠PDE+∠EDC＝90°，∠EDC+∠C＝90°，∴∠PDE＝∠C，∴∠PDE＝∠B＝∠C，∴∠PDE的大小不变．∴①的结论正确；连接PF，如图，∵PD⊥BC，∴∠PDF＝90°，∴PF为△PDE的外接圆的直径，∴∠PEF＝90°，∴∠PED+∠DEF＝90°，∵DE⊥AC，∴∠DEF+∠CEF＝90°，∴∠CEF＝∠PED．∴②的结论正确；过点A作AG⊥BC于点G，如图，∵AB＝AC，AG⊥BC，∴BG＝CG＝BC＝1，∴AG＝＝2．∵PD⊥BC，AG⊥BC，∴PD∥AG，∴△PBD∽△ABG，∴，∴，设BD＝a，则PB＝a，PD＝2a，∴CD＝2﹣a．∵∠B＝∠C，∠PDB＝∠DEC＝90°，∴△PBD∽△DCE，∴，∴，∴DE＝2CE．∵∠PDE＝∠C，∠PED＝∠CEF，∴△PDE∽△FCE，∴，∴2CF＝PD＝2a，∴CF＝a＝BD．∴③的结论正确；∵CF＝a，∴DF＝DC﹣CF＝2﹣2a，∴PF2＝PD2+DF2＝（2a）2+（2﹣2a）2＝8a2﹣8a+4＝8+2，∵8＞0，∴当a＝时，PF2有最小值为2．∴PF有最小值为．∵PF为△PDE的外接圆的直径，∴△PDE的外接圆直径的最小值为．④的结论正确．∴正确的结论有：①②③④．故选：D．3．【解答】解：如图1，∵半径为1的⊙A的圆心A的坐标为（0，2），∴AC＝1，OA＝2，∵CD⊥AB于点D，∴CD＜AC，∴CD＜1，∴CD的最大值不可能是1，故①错误；∵BC与⊙A相切于点C，∴BC⊥AC，∴∠ACB＝90°，∴BC＝＝＝，∴当AB的值最小时，则BC的值最小，∵OA⊥OB，∴AB≥OA，∴AB≥2，∴AB的最小值为2，当AB＝2时，BC＝＝，∴BC的最小值为，故②正确；∵sin∠ABC＝＝，∴当AB的值最小时，则sin∠ABC的值最大，此时∠ABC的值最大，当AB最小＝2时，sin∠ABC＝，则∠ABC＝30°，∴∠ABC的最大值为30°，故③正确；当B（1，0）时，如图2，∵∠ACB＝∠BOA＝90°，AB＝BA，AC＝BO＝1，∴Rt△ACB≌Rt△BOA（HL），∴CB＝OA＝2，∵∠CDB＝∠ACB＝90°，∴tan∠ABC＝＝＝，∴BD＝2CD，∴CB＝＝＝CD＝2，∴CD＝，∴BD＝2×＝，∴S△BCD＝BD•CD＝××＝，故④正确，故选：B．4．【解答】解：∵AM是∠BAC的平分线，∴∠DAM＝∠EAM，∵DE⊥AM，∴∠AMD＝∠AME＝90°，在△AMD和△AME中，，∴△AMD≌△AME（ASA），∴MD＝ME，AD＝AE，∵DE＝b，∴MD＝ME＝DE＝b，设∠BAC＝α，则∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC＝180°﹣α，∵BM，CM分别是∠ABC，∠ACB的平分线，∴∠MBC＝∠DBM＝∠ABC，∠MCB＝∠ACB，∴∠MBC+∠MCB＝（∠ABC+∠ACB）＝90°﹣α，∴∠BMC＝180°﹣（∠MBC+∠MCB）＝180°﹣（90°﹣α）＝90°+α，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED，∵∠ADE+∠AED+∠BAC＝180°，∴∠ADE＝（180°﹣∠BAC）＝90°﹣α，∴∠BDM＝180°﹣∠ADE＝180°﹣（90°﹣α）＝90°+α，∴∠BMC＝∠BDM，又∵∠MBC＝∠DBM，∴△MBC∽△DBM，∴CM：MD＝BM：BD，即CM：BM＝MD：BD，同理可证：△MBC∽△EMC，∴CM：CE＝BM：ME，即CM：BM＝CE：ME，∴MD：BD＝CE：ME，即MD•ME＝BD•CE，∵MD＝ME＝b＞0，BD＝a＞0，CE＝c＞0，∴b•b＝ac，∴b2＝4ac，∵关于x的方程2ax2+bx+c＝0的根的判别式Δ＝b2﹣4×2ac＝b2﹣8ac，∴Δ＝4ac﹣8ac＝﹣4ac＜0，∴关于x的方程2ax2+bx+c＝0没有实数根．故选：D．5．【解答】解：如图，将△BCP绕点B逆时针旋转120°得到△BAG，连接QG交AF于H．∵∠BAG＝∠C＝120°，∴∠FAG＝360°﹣∠BAG﹣∠BAF＝120°＝∠F，∴PQ∥DE，∠E＝∠D，∴四边形DEQP是等腰梯形，∴DP＝EQ，∵CD＝EF，∴CP＝AG＝FQ，∵∠GHA＝∠QHF，∴△AGH≌△QFH（AAS），∴S△AHG＝S△QFH，∵∠PBQ＝180°﹣∠BQP﹣∠BPQ＝180°﹣∠BPC﹣∠BPQ＝∠DPQ＝60°，∠PBG＝120°，∴∠GBQ＝∠QBP＝60°，∵BG＝BP，BQ＝BQ，∴△GBQ≌△PBQ（SAS），∴S△BPQ＝S∠BGQ＝S△BCP+S四边形BAFQ＝S2+S3，∴S正六边形ABCDEF＝S1+S2+S3+S2+S3＝S1+2S2+2S3．故选：A．6．【解答】解：如图1，当BE＝BC时，∵BE＝BC，∠ABC＝40°，∴∠BCE＝∠BEC＝（180°﹣40°）＝70°，∴∠BOD＝2∠BCE＝140°，∴弧BD的长＝＝π．故选：B．7．【解答】解：作△ABC的外接圆，连接OA，OB，OC，OD，过O作OE⊥BC，∵∠A＝60°，∴∠BOC＝120°，∴∠BOE＝60°，∴∠OBE＝30°，∴OB＝2OE，∵，CD＝2BD∴，∵OB2＝OE2+BE2，∴4OE2＝OE2+27，∵OE＞0，∴OE＝3，∴OB＝6，∵，∴，∵AO+OD≥AD，∴当A，O，D三点共线时，AD最大，即：；故选：B．8．【解答】解：如图，连接AC，取AC的中点O，连接OQ，延长AD至E，使DE＝2，连接CE，OP，∵四边形ABCD、BEFG是正方形，AB＝6，∴AD＝CD＝AB＝BC＝6，BG＝BE，∠ADC＝∠ABC＝∠CBE＝90°，∴AC＝AD＝6，∵DQ：AQ＝1：2，∴DQ＝AD＝2，AQ＝AD＝4，∴QE＝DQ+DE＝2+2＝4，∴AQ＝QE，即Q是AE的中点，又∵点O是AC的中点，∴OQ＝CE，∵∠CDE＝90°，∴CE＝＝＝2，∴OQ＝CE＝，在△ABG和△CBE中，，∴△ABG≌△CBE（SAS），∴∠BAG＝∠BCE，∵∠BCE+∠CEB＝90°，∴∠BAG+∠CEB＝90°，∴∠APC＝∠BAG+∠CEB＝90°，∵点O是AC的中点，∴OP＝AC＝3，在△OPQ中，PQ≤OP+OQ＝3+，∴PQ的最大值为3+，故选：B．二．填空题（共10小题）9．【解答】解：由题知，抛物线的开口向上，又因为二次函数的函数值恒为正数，所以（﹣2）2﹣4×3×（m﹣1）＜0，解得m＞．故答案为：m＞．10．【解答】解：（1）∵ABCD是正方形，∴AD＝AB＝4，∠DAB＝∠ABF＝90°，又∵AE＝BF，∴△DAE≌△ABF（SAS），∴∠ADE＝∠BAF，AE＝BF，∵AE＝1，∴BF＝1，BE＝3，∴EF＝＝；故答案为：；（2）∵∠ADE＝∠BAF，∴∠ADE+∠DAF＝∠BAF+∠DAF＝90°，∴∠EOF＝∠AOD＝90°，又∵点P为EF的中点，∴OP＝EF，设AE＝BF＝x，则BE＝4﹣x，∴EF＝＝＝，∴当x＝2时，EF最小为2，即OP最小为；故答案为：．11．【解答】解：作ID⊥AB于点D，IE⊥BC于点E，IF⊥AC于点F，连接IA、IB、IC，∵∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，AM＝1，∴AB＝＝＝13，∵∠IEC＝∠IFC＝∠ACB＝90°，∴四边形IECF是矩形，∵I为△ABC的内心，∴ID＝IE＝IF，∴四边形IECF是正方形，设CF＝IF＝ID＝IE＝r，∵S△AIB+S△BIC+S△AIC＝S△ABC，∴×13r+×12r+×5r＝×12×5，解得r＝2，∴CF＝IF＝2，∵∠AFI＝90°，MF＝AC﹣CF﹣AM＝5﹣2﹣1＝2，∴IM＝＝＝2，故答案为：2．12．【解答】解：如图，连接MN，取MN的中点J，连接MC，JD，OJ，OD，MA，MB．∵点M（2，0）、N（0，4），∴OM＝2，ON＝4，∴MN＝＝2，∵MJ＝JN，∴OJ＝MN＝，∵MJ＝JN，CD＝DN，∴JD＝MC＝，∵MA＝MB＝，OM＝2，OM⊥AB，∴OA＝OB＝＝＝1，∴A（0，1），B（0，﹣1），∴点D的运动轨迹是以J为圆心，为半径的圆，设D（m，n），则AD2+BD2＝（n﹣1）2+m2+（n+1）2+m2＝2（m2+n2）+2，∵OD2＝m2+n2，∴OD最大时，m2+n2的值最大，∵OD≤OJ+JD，∴OD≤，∴m2+n2的最大值为，∴AD2+BD2的最大值为2×+2＝，故答案为：．13．【解答】解：如图，连接AE，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，AB＝3，∴∠B＝60°，∵AB＝AE，∴△ABE是等边三角形，∴∠BAE＝60°，BE＝AB＝3，∴弧BE的长度为＝π，∴图中阴影部分的周长是：3+π．故答案为：3+π．14．【解答】解：如图，连接AC，CD，OC，过点C作CH⊥AB于H．设OA＝3a，则AB＝6a．∵∠ABC所对的弧有，，，∴AC＝CD＝DE，∵CH⊥AD，∴AH＝DH，∵AD＝2OD，∴AH＝DH＝OD＝a，在Rt△OCH中，CH＝＝＝a，在Rt△ACH中，AC＝＝＝a，∴＝＝＝．故答案为：．15．【解答】解：连接OD，OE，∵⊙O分别切∠ABC的两边AB，BC于点D，E，∴半径OD⊥AB，半径OE⊥BC，∴∠BDO＝∠BEO＝90°，∵∠ABC＝70°，∴∠DOE＝360°﹣90°﹣90°﹣70°＝110°，∴∠F＝∠DOE＝55°．故答案为：55．16．【解答】解：设AF＝x，∵EF＝3AF，∴EF＝3x，∴AE＝AF+EF＝x+3x＝4x，∵四边形ABCD是矩形，AB＝6，AD＝4，∴AB∥CD，AB＝CD＝6，AD＝BC＝4，∠A＝∠B＝90°，∴△PCD∽△PFE，∴＝，即＝，∴PD＝DE，在Rt△ADE中，DE＝＝＝4，∴PD＝，令x+2＝t，则x＝t﹣2，∴PD＝＝8＝8，∵0＜AE≤6，即0＜4x≤6，∴0＜x≤，∴0＜t﹣2≤，即2＜t≤，当t＝，即x＝时，PD取得最大值，PD的最大值＝8＝，当t＝，即x＝时，PD取得最小值，PD的最小值＝8＝；故答案为：，．17．【解答】解：如图，连接OD，OF，∵∠B＝65°，∠C＝45°，∴∠A＝180°﹣65°﹣45°＝70°．∵AB是圆O的切线，∴∠ODA＝90°．同理∠OFA＝90°．∴∠A+∠DOF＝180°．∴∠DOF＝110°．∴∠DGF＝55°．故答案为：55．18．【解答】解：连接CD，∵∠B＝30°，∴∠CAB＝90°﹣∠A＝60°，∵CD＝CA，∴△CDA为等边三角形，∴∠DCA＝60°，AD＝CD＝AC＝，∴∠DCE＝90°﹣60°＝30°，∴∠DCE＝∠B，∴CD＝BD，∴AD＝BD，∴S△ACD＝S△CBD＝S△ABC，∵S扇形ACD＝＝π，S扇形DCE＝＝π，∴阴影部分的面积＝S扇形ACD﹣S△ACD+S△CBD﹣S扇形DCE＝S扇形ACD﹣S扇形DCE＝＝π．故答案为：π．三．解答题（共5小题）19．【解答】解：（1）由题意得，，∴，∴y＝﹣x2+4x+3；（2）如图1，作QW⊥AC于W，交OA于V，作WE⊥OA于E，∴∠QWC＝∠AOC＝90°，∵∠QCP＝∠QCA，∴∠QCW＝∠OCP，∵CQ＝CP，∴△CWQ≌△COP（AAS），∴CW＝OC＝1，∵OC＝4，OA＝3，∴OC＝5，∵sin∠CAO＝，cos∠CAO＝＝，∴，，∴EW＝，AE＝，AV＝，∴OV＝OA﹣AV＝3﹣＝，OE＝OA﹣AE＝3﹣，∴V（0，），W（，），∴直线WV的解析式为：y＝x+，当x＝2时，y＝＝4，∴Q（2，4）∴OP＝QW＝＝2；（3）当∠AQG＝90°时，此时Q在AB上，由（2）知：点Q在直线y＝上运动，当y＝3时，，∴x＝，把x＝代入y＝﹣x2+4x+3得，y＝，∴G（，），如图2，当∠QAG＝90°时，设GQ交AB于X，设Q（m，），G（m，﹣m2+4m+3），∴AX＝m，GX＝﹣m2+4m，XQ＝3﹣（m+）＝，∵tan∠GAX＝tan∠QAX，∴，∴，∴m1＝1，m2＝5，由﹣x2+4x+3＝0得，x1＝2，x2＝2，∵5＞2+，∴m＝5舍去，∴m＝1，当m＝1时，y＝﹣1+4+3＝6，∴G（1，6），综上所述：G（1，6）或（，）．20．【解答】解：（1）将点A（﹣1，0）代入y＝x2+bx+c得1﹣b+c＝0，∴b＝c+1，故答案为：c+1；（2）①∵二次函数y＝x2+bx+c与y轴交于点C．∴C（0，c），∵b＝c+1，∴y＝x2+bx+c＝x2+（c+1）x+c＝（x+1）（x+c），令y＝0，则x＝﹣1或﹣c，∴B（﹣c，0），∵A（﹣1，0），∴AB＝﹣c+1，∵△ABC的面积为6，∴S△ABC＝AB•OC＝（﹣c+1）•（﹣c）＝c2﹣c＝6，解得c＝﹣3或4（舍去），∴b＝c+1＝﹣3+1＝﹣2，∴该二次函数的表达式为y＝x2﹣2x﹣3；②过点P作PH⊥x轴于点H，设直线PQ交x轴于点D，设P（m，m2﹣2m﹣3），Q（n，n2﹣2n﹣3），直线PQ的解析式为y＝kx+a，∴3，解得，∴直线PQ的解析式为y＝（m+n﹣2）x﹣3﹣mn，∵∠APQ＝2∠PAO，∠APQ＝∠PAO+∠ADP，∴∠BAP＝∠ADP，∴PA＝PD，∵PH⊥x轴，∴AH＝DH，H（m，0），∵A（﹣1，0），∴D（2m+1，0），∵D在直线PQ上，∴（m+n﹣2）（2m+1）﹣3﹣mn＝0，∴n＝5﹣2m，∴N（5﹣2m，4m2﹣16m+12），设直线AP的解析式为y＝px+q，∴，解得，∴直线AP的解析式为y＝（m﹣3）x+m﹣3，∴M（0，m﹣3），∴OM＝3﹣m，同理得N（0，2﹣2m），ON＝2m﹣2，∴2OM+ON＝2（3﹣m）+2m﹣2＝4．∴2OM+ON是定值，该定值为4．21．【解答】（1）解：由题意，y＝ax2﹣（a+b）x+b＝（ax﹣b）（x﹣1），又M（﹣4，m）（m＞0）在该二次函数的图象上，∴（﹣4a﹣b）×（﹣5）＞0．∴﹣4a﹣b＜0．∴﹣4a＜b．∴﹣4a+a＜a+b．∴a+b＞﹣3a．又a＜0，∴a+b＞﹣3a＞0，即a+b为正．（2）证明：由（1）y＝ax2﹣（a+b）x+b